2023研究生入学考试试题真题

3.设函数y f (x )由2023年全国硕士研究生招生考试（数学一）试题及答案解析一、选择题1.曲线1ln e 1y x x的斜渐近线方程为A. e.1B..eC..1D..ey x y x y x y x 上有界，则B.a 0,b 0.D.a 0,b 0.2.若微分方程y ay by 0的解在 ，A.a 0,b 0.C.a 0,b 0.2,sin x t t y t t确定，则A.f (x )连续,f (0)不存在.B.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.C.f (x )连续,f (0)不存在.D.f (0)存在,f (x )在x 0处不连续.4.已知a n b nn 1n 1,2, ，若级数n 1an与n 1bn均收敛，则“n 1an绝对收敛”是“bn绝对收敛”的A.充分必要条件.B.充分不必要条件.8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则E (X EX ) A.1e. B.12. C.C.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件.5.已知n 阶矩阵A ,B ,C 满足ABC =O ,E 为n 阶单位矩阵.记矩阵, ,O A AB C E ABBC E O E AB O 的秩分别为r 1,r 2,r 3,则A.r 1 r 2 r 3.B.r 1 r 3 r 2.C.r 3 r 1 r 2.D.r 2 r 1 r 3.6.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是.00202 3 11aA.12.00 3 11aB. a2.0 002 11aC. 0.002022 11aD.1 2 3 7.已知向量 1 11 2 , 2 59 2, 1 11 ，2 ，若 既可由 1, 2，线性表示，也可由 1, 2线性表示，则 =3 A.k 34 50 3,k R . B.k1 ,k R .12 1C.k,k R . 1 D.k 58,k R .2e . D.1.10.设X 1,X 2为来自总体N,2的简单随机样本，其中 0 是未知参数.记若a X 1 X 2是 的无偏估计,则aA.2B.29.设X 1,X 2, ,X n 为来自总体N1,2的简单随机样本，Y 1,Y 2, ,Ym为来自总体N 2,2 2 的简单随机样本，且两样本相互独立，1111n m n m i i i 1i 1记X X i ,Y m X i X Y i Yn Y i ,S 12 n 1 1 2,S 22m 1 1 2,则A.212S 2 F n ,m B.212S S 2 F n 1,m 1 C.2122S 2S S F n ,m D.21222S S F n 1,m 1 cos x 是等价无穷小，则二、填空题11.当x 0时，函数f (x ) ax bx 2 ln(1 x )与g (x ) e x 2ab ______.12.曲面z x 2y ln(1 x 2 y 2)在点(0,0,0)处的切平面方程为______.2n a a n cos n πx ,113.设f (x )是周期为2的周期函数，且f (x ) 1 x ,x [0,1].若f (x )n 1a2n______.则14.设连续函数f (x )满足：f (x 2) f (x ) x ,13f (x )d x ______.2f (x )d x 0,则 101 1 1 0 1 0 1 11 1 1 1 1 115.已知向量 1, 2 , 3 , , k 1 1 k 2 2 k 3 3.若 T i T i (i 1,2,3),则k 12 k 22 k 32______.1116.设随机变量X 与Y 相互独立，且X B (1,3),Y B (2,2),则P X Y ______.三、解答题17.(本题满分10分）设曲线y y (x )(x 0)经过点 1,2 ，该曲线上任一点P (x ,y )到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.（1）求y (x );1（2）求函数f (x )xy (t )dt 在 0, 上的最大值.18.（本题满分12分）求函数f (x ,y ) (y x 2)(y x 3)的极值.19.（本题满分12分）设空间有界区域 由柱面x 2y 21与平面z=0和x+z=1围成. 为 的边界曲面的外侧.计算曲面积分2xzdydz xz cos ydzdx 3yz sin xdxdy .Ia2|f (a ) f ( a )|.20.(本题满分12分）设函数f (x )在[ a ,a ]上具有2阶连续导数.证明：(1)若f (0) 0,则存在 ( a ,a )，使得f ( ) a12[f (a ) f ( a )]；(2)若f (x )在( a ,a )内取得极值，则存在 ( a ,a )，使得|f ( )|2121.(本题满分12分)已知二次型f (x 1,x 2,x 3) x 12 2x 22 2x 32 2x 1x 2 2x 1x 3,g (y 1,y 2,y 3) y 12 y 22 y 32 2y 2y 3.(1)求可逆变换x =Py 将f (x 1,x 2,x 3)化成g (y 1,y 2,y 3);(2)是否存在正交变换x =Qy 将f (x 1,x 2,x 3)化成g (y 1,y 2,y 3)？ 2f (x ,y ) π(x 2 y 2),x 2 y 21,0,22.（本题满分12分）设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为其他.求：(1)求X 与Y 的协方差;(2)X 与Y 是否相互独立？(3)求Z =X 2+Y 2的概率密度.2023年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案一、选择题1.B2.C3.C4.A5.B6.D7.D8.C9.D10.A二、填空题11、-212、X+2y-z=013、014、1215、11916、13又x 1,y 2则c 2因此y (x ) x ( ln x 2)(2)f (x ) y (x ) x ( ln x 2) 0则x 0或x e 2.又x 0故f (x )的驻点为x e 21xf (x ) l nx 2 xe 2f 2 2 1 1 0【解析】由题意得y y (x x ) y 切线，切线在y 轴上的截距为 x y y则x x y y .yyx 1.11xdx y (x ) ex dx dx ce 1 x xdx cx ( ln x c )17e 21e 445x ( ln x 2)d x故f e 2为最大值，最大值为5对于x 0,y 0;A 0,B 0,C 2.取y x 2,f (x ,y ) 0，取y x ,f (x ,y ) 0故x 0,y 0不是极值点(2)x 1,y 1.A 12,B 5,C 2,AC B 2 24 25 0.故 1,1 不是极值点.2101008227(3)x 3,y 7,A ,By x f (x ,y ) y x 23xf5x 4 2xy 3x 2y 0 fy x 3 y x 2 2y x 2 x 3 0 y1131027xy yx x 0 1,得 y 0,222f f f x y yA 2x 3x 2,C 2 2.2 20x3 2y 6xy ,B x 解析1821043,27723,C 2，AC B 2 0f9为极小值1 x 22f（1）f (x ) f (0) f(0)x 1 22f 1 12f a 2,f ( a ) f(0)( a ) a 2,其中 1 a ,0 ，则f (a ) f (0)a 2 0,a .12 1 2 f ( a ) f (a )ff a 212 1 2 ff 【解析】由高斯公式可得I 2z xz sin y 3y sin xdv三重积分先一后二积分得011254dxdydxdy 01r 3drx 2 y 2 1x 2 y 2 12x 2 y 2 11 x(2z xz sin y 3y sin x )dzy 2 x 2I dxdy1 x 24 2d 192f (a )a f ( a ) f , 1, 2 a ,a ,由介值定理可知平均值 即证（2）解析202222 1f f f (a ) f ( a )a x 02a x 02222 1f f |f (a ) f ( a )|a x 02a x 0 2222( )f ( )f a x 0 a x 0 2f ( ) 2 a x 0 a x 022f ( ) 2a 2 2x 02f ( ) a 2 x 02f ( ) 1 2 f 2a 2，其中f ( ) maxf, a ,ax 0 0设f (x )在x =x 0处取得极值即x 0 ( a a ),f22x 0( )f f (x ) f x 0 f x x 0 x x 0代入x a ,x a21f f ( a ) f x 0 a x 0 2(1), 1 a ,x 02n 1f f (a ) f x 0a x 02(2), 2 x 0,a(2)-(1)得f( ) 21a2|f (a )f( a )|.f x 12 2x 1x 2 2x 1x 3 2x 22 2x 32 x 1 x 2 x 32x 22 x 32 2x 2x 3 2x 22 2x 32 2x 1 x 2 x 32 x 2 x 3 ( 1)( 2)1122y y y 2 y 3 x x x 3 y 3111 010 P 00110 1 1(2)| E A | 1 212( 2)( 3)=0,2,311 1120 (1)A 102100011 B 011解析2100100| E B | 1 11 1( 1)( 2)=0,1,2特征值不同,故不存在.πxy2 x 2 y 2 dxdy 0(1)EXY EX 0,EY 0Cov (X ,Y ) 0(2)不独立（3）F z (z ) p x 2 y 2 z 当z 0时F Z (z ) 0当z 1时F Z (z ) 1当0 z 1时0002F Z (z ) 4 2d 2r 3dr 2z 2d z 22.其他0 1 0 z ,,z 所以f Z (z ) 解析22。

2023年全国硕士研究生入学考试英语真题篇一：听力理解Section ADirections: In Section A, you will hear ten short conversations between two speakers. At the end of each conversation, a question will be asked about what was said. The conversations and the questions will be spoken only once. After you hear a conversation and the question about it, read the four possible answers on your paper, and decide which one is the best answer to the question you have heard.1. A) She needs to consult a doctor.B) Her headache has completely gone.C) She has taken some medication.D) She doesn't want to take pills.2. A) She can lend the man some money.B) She has plenty of cash.C) She doesn't have enough money.D) She needs to go to the bank.3. A) She feels worried about her presentation.B) She will help the man prepare the presentation.C) She has already finished her part of the work.D) She doesn't like speaking in public.4. A) He couldn't find the way to the bank.B) He wasn't able to withdraw any money.C) All ATMs are out of service.D) There will be a long queue at the ATM.5. A) The man doesn't need to worry about the deadline.B) The man needs to extend his deadline.C) The assignment must be submitted earlier.D) The woman suggests changing the deadline.篇二：阅读理解Section BDirections: In Section B, you will read three passages and answer several questions on each of the passages. You are encouraged to answer as many questions as possible within the time allowed.Passage OneQuestions 11 to 15 are based on the following passage.The human footprint has become so large that it now leaves a permanent mark on the planet. We dominate Earth, changing its climate, destroying natural habitats and wiping out other species. The effects of our actions are not only visible on land but also extend to the oceans, where we have disrupted marine ecosystems.Our interference with the oceans has led to various problems, one of which is overfishing. According to a recent report released by the United Nations, over 90% of the world's fish stocks are currently overfished or fished to their biological limits, with only 7.1% considered to be at healthy levels.Overfishing is a result of excessive fishing efforts driven by increased demand for fish and improved fishing technologies. Large commercial fishing fleets, equipped with advanced equipment, are causing significant damage to marine ecosystems. These fleets often use large nets and long lines that can catch large quantities of fish in a single operation, but also catch many other marine animals, known as bycatch. Bycatch includes dolphins, turtles, seabirds, and other non-targeted species, many of which are endangered or protected.Furthermore, our demand for certain fish species has caused severe population declines and even the collapse of some fisheries. For example, the Atlantic Bluefin Tuna population has declined rapidly due to its high market value, leading to strict fishing regulations being imposed.In order to protect our oceans and preserve marine ecosystems, it is crucial to address the issue of overfishing. This requires international cooperation, improved fisheries management, and responsible consumer choices. By adopting sustainable fishing practices and supporting fishery regulations, we can ensure the long-term health and sustainability of our oceans.11. What does the author say about the human footprint?12. What is one of the problems caused by our interference with the oceans?13. What do we learn about overfishing from the recent UN report?14. What is mentioned as a cause of overfishing?15. What does the author suggest to address the issue of overfishing?篇三：完形填空Section CDirections: For each blank in the following passage, there are four words or phrases marked A, B, C, and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.It was Sunday and we were waiting on the platform for the 16.35 train when an announcement said it was delayed. We were traveling to friends who lived about 200 miles away and had been 16 them several weeks.As we had a couple of hours to wait, we 17 an earlier train and therefore got there on time. However, as it happened, our friends were still out shopping so we crowded in their kitchen and 18 warming ourselves by the Aga cooker until they returned at about 7 p.m.We were just 19 to have a meal when there was a knock at the door and in walked a man and a woman who 20 lived next door to our friends."Would you 21 a little problem for me?" asked the man. We asked what was wrong and he said that he had left his lit gas water heater on when he left home, and he wanted someone to go in and turn it off. The watercylinder in the airing 22 was quite small, and with the attic door in the closed position, there was a real 23 that the cylinder might boil over and cause a flood. We asked the man why he didn't come back before 24, and he said that he had tried to get off at the previous station, but the doors didn't open, and by the time he got out it was too late.My husband said he would 25. They led the way round to their house, and sure enough, the cylinder was bubbling away like mad. My husband turned it off at once.16. A) visiting B) ignoring C) meeting D) reminding17. A) took B) missed C) drove D) caught18. A) occurred B) spent C) found D) killed19. A) preparing B) stopping C) deciding D) reminding20. A) never B) already C) almost D) often21. A) explain B) settle C) solve D) mention22. A) table B) room C) place D) position23. A) possibility B) chance C) result D) solution24. A) midnight B) sunset C) noon D) midday25. A) find B) meet C) run D) agree篇四：写作Directions: Write an essay based on the following chart. In your essay, you should1. interpret the chart, and2. give your comments.You should write about 150 words on the ANSWER SHEET.请根据以上要求完成文章。

2023年研究生入学考试政治真题（正文开始）一、选择题1.在中国革命的新起点上，中国共产党能够最早形成和系统阐述的政治经济学说是（）。

A.马克思主义基本原理B.中国革命经验与西方马克思主义结合的学说C.毛泽东思想D.邓小平理论2.中国的基本政治制度是（）。

A.社会主义制度B.资本主义制度C.封建主义制度3.坚持党的基本路线要求我们（）。

A.坚持四项基本原则B.坚持社会主义市场经济C.坚持改革开放D.坚持科学发展观4.中国现行宪法规定，社会主义市场经济的主体是（）。

A.国家B.国有经济C.私有经济D.多种所有制经济共同发展5.下列选项中，属于人民代表大会制度的是（）。

B.中国共产党领导的多党合作和政治协商制度C.基层选举制度D.全国人民代表大会制度（......继续填写选择题......）二、解答题1.请简述社会主义初级阶段的基本经济制度及其内涵。

社会主义初级阶段的基本经济制度是社会主义公有制为主体、多种所有制经济共同发展的基本经济制度。

其内涵主要包括以下几个方面：首先，坚持公有制经济的主导地位。

公有制经济是社会主义经济的基础，是解决国家和人民的根本利益的重要保障。

在初级阶段，国家要加强对公有制经济的管理和调控，发挥公有制在资源配置中的主导作用。

其次，积极发展多种所有制经济。

多种所有制经济是社会主义初级阶段的特征之一，包括个体经济、私营经济、集体经济等。

发展多种所有制经济可以充分调动各类经济主体的积极性，推动经济的多元化发展。

最后，完善社会主义市场经济体制。

社会主义市场经济是在公有制基础上发展起来的，要通过市场机制调节资源配置、价格形成等经济活动，实现经济效益和社会效益的有机统一。

2.什么是中国特色社会主义事业“总任务、总布局、总目标”？中国特色社会主义事业的“总任务、总布局、总目标”是根据中国具体国情和发展阶段确定的，具体内容包括：总任务：就是实现社会主义现代化和中华民族伟大复兴。

这是中国特色社会主义事业的总体要求和最高目标，是党和国家工作的总方向和总目标。

2023年全国研究生入学考试真题一、政治理论1. 请分析马克思主义的基本原理和理论构成，并说明其在中国的实践意义。

马克思主义是一种科学的社会理论，主要包括马克思主义哲学、经济学、科学社会主义、历史唯物主义和阶级斗争学说等基本原理。

它以辩证唯物主义和历史唯物主义为核心，具有解释社会现象、指导革命实践和建设社会主义的重要作用。

在中国，马克思主义的实践意义体现在多个方面。

首先，马克思主义为中国提供了一种科学的认识世界和改造世界的方法论。

其次，马克思主义为中国指明了实现社会主义现代化和实现国家富强的道路。

再次，马克思主义为中国树立了为人民服务、实现社会公平正义的价值追求。

最后，马克思主义使中国坚定了对社会主义发展道路的信心，有效应对了各种风险和挑战。

二、数学2. 对于一个函数f(x)，其定义域为实数集，若对于任意的x、y∈R，均有f(x+y)=f(x)+f(y)，则该函数是否满足线性性质？若不满足，请说明原因。

该函数满足线性性质。

根据题目给出的条件，对于任意的实数x、y，有f(x+y)=f(x)+f(y)，这正是线性函数的定义。

线性函数是一种具有可加性和齐次性两个性质的函数，即满足f(x+y)=f(x)+f(y)和f(kx)=kf(x)，因此该函数满足线性性质。

三、外语专业3. 请以“2023年全国研究生入学考试”的角度，分析学习外语的重要性，并举例说明外语对个人和国家发展的影响。

学习外语在2023年全国研究生入学考试中具有重要性。

首先，在考试中，外语是必考科目之一，掌握一门外语能提升考生的综合能力，为考生在其他科目上取得好成绩提供基础。

其次，学习外语有助于考生拓宽知识视野，了解国际前沿信息和文化。

此外，外语还具有对个人和国家发展的多重影响。

从个人角度看，学习外语有助于提升个人竞争力。

随着全球化的深入发展，掌握一门外语可以为个人提供更广阔的就业机会和发展空间，提高自身的职业竞争力。

另外，学习外语还有助于培养个人的语言表达能力、跨文化交流能力和解决问题的能力。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）设0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨+−>⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨+−>⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩【答案】D【解析】根据原函数的连续性，可排除（A）（C）；再根据原函数的可导性，可排除选项（B），答案为（D） （3）已知{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21(1,2,)n n y y n +== ，则当n →∞时（ ）（A）n x 是n y 的高阶无穷小（B）n y 是n x 的高阶无穷小（C）n x 与n y 是等价无穷小（D）n x 与n y 是同阶但不等价的无穷小【答案】B【解析】由已知可得，{}n x ，{}n y 均单调递减，且12n y ≤，又因为sin x x 在(0,2π上单调递减，故2sin 1x x π<<，所以2sin x x π>，所以21112sin sin 24n n n n nn n n n n ny y y y y y x x x x x ππ++==≤=，依次类推可得，111100()444n nn n n n y y y n x x x πππ++⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤=→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故n y 是n x 的高阶无穷小，答案为B （4）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A）0,0a b <>（B）0,0a b >>（C）0,0ab =>（D）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（5）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C 【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t>时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t<时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（6）若函数121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰在0αα=处取得最小值，则0α=（ ） （A）1ln(ln 2)−（B）ln(ln 2)− （C）1ln 2（D）ln 2【答案】A 【解析】当0α>时，121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰收敛， 此时21122111111()ln (ln )(ln )(ln )(ln 2)f dx d x x x x x ααααααα+∞+∞+∞++===−=⎰⎰，故211111ln ln 2()(ln 2)(ln 2)(ln 2)f ααααααα′⎡⎤−′==−⎢⎥⎣⎦，令()0f α′=，解得0α=1ln(ln 2)−（7）设函数2()()x f x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A）[0,1)（B）[1,)+∞（C）[1,2)（D）[2,)+∞【答案】C 【解析】2()()x f x x a e =+，2()(2)x f x x x a e ′=++，2()(42)x f x x x a e ′′=+++，因为()f x 没有极值点，所以440a −≤；又因为曲线()y f x =有拐点，所以164(2)0a −+>，联立求解得：[1,2)a ∈（8）设A ，B 为n 阶可逆矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） （A）****A B B A O B A ⎛⎫−⎪⎝⎭（B）****B A A B O A B ⎛⎫−⎪⎝⎭（C）****B A B A OA B ⎛⎫−⎪⎝⎭（D）****A B A B OB A ⎛⎫−⎪⎝⎭【答案】B【解析】*11111A E A E A E A AB A B O B O B O B O B −−−−−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111***1*A B A A B A B B A A B O A B B OA B −−−−⎛⎫⎛⎫−−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案为B （9）二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）（A）2212y y +（B）2212y y −（C）2221234y y y +−（D）222123y y y +−【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++二次型矩阵为211134143A ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,211134(7)(3)143E A λλλλλλλ−−−−=−+−=+−−−+ 故答案为B（10）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A）33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （B）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （C）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D）15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =−（12）曲线y =⎰的弧长为________43π【解析】由题意可得函数定义域为[x ∈，根据公式可得：2302sin 24cos L x t tdtπ====⎰304(1cos 2)t dt π=+=⎰43π+（13）设函数(,)z z x y =由2ze xz x y +=−确定，则2(1,1)2zx∂=∂_________【答案】32−【解析】代入(1,1)点可得，0z =，先代入1y =，可得21z e xz x +=−，两边对x 求导，2z e z z xz ′′++=，得(1)1z ′=两边再对x 求导，20z ze z e z z z xz ′′′′′′′++++=，代入(1,1)及0z =，(1)1z ′=得2(1,1)232zx∂=−∂（14）曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为________【答案】119−【解析】代入1x =得到1y =，两边对x 求导，242956x y y y y ′′=+，代入1x =，1y =可得：911y ′=，故1x =对应点处的法线斜率为1119y −=−′（15）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（16）已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则11120a a ab =_______【答案】8【解析】由题意可得：方程组系数矩阵秩为3，可得增广矩阵的秩也为3，即011110012002a a a ab =按照第四列进行行列式展开可得：144411011(1)122(1)11012a a a a a b a ++⋅−+⋅−⋅=所以111280a a ab =三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()()L y y x x e =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）在L 上求一点，使得该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）33221(,)2e e ，最小面积是3e 【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，则有x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入2(,0)e 可得2C =，故()(2ln )y x x x =−（2）该点设为000(,(2ln ))x x x −，切线方程为0000(2ln )(1ln )()Y x x x X x −−=−− 令0X =，解得0Y x =；令0Y =，解得00ln 1x X x =−；所以该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为：200011()22ln 1x S x XY x ==−求导00020(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x −′=−，令0()0S x ′=，解得320x e =且为最小值点，最小面积为332()S e e =（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值【答案】极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） 【解析】先求驻点cos cos 0(sin )0y xy y f e x f xe y ⎧′=+=⎪⎨′=−=⎪⎩，解得驻点为1(,(21))e k π−−+和(,2)e k π−，其中k Z∈下求二阶偏导数，cos cos 2cos 1(sin )sin cos xx yxy y y yy f f e y f xe y xe y ⎧′′=⎪⎪′′=−⎨⎪′′=−⎪⎩代入1(,(21))e k π−−+（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e −⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==−⎪⎩，20AC B −<,故1(,(21))e k π−−+不是极值点； 代入(,2)e k π−（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e ⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==⎪⎩，20AC B −>且0A >,故(,2)e k π−是极小值点，其极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） （19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)01}D x y y x =≤≤≥（1）求D 的面积（2）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积【答案】（1）ln(1S = （2）24V ππ=−【解析】（1）222214441tan sec csc ln csc cot tan sec D S x t tdt tdt t tt t ππππππ+∞====−⎰⎰⎰ln(1=+;（2）22222111111(1)1x V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞⎛⎫===− ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰11arctan x x π+∞⎛⎫=−− ⎪⎝⎭24ππ=−（20）（本题满分12分）设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +−=，222x y xy +−=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰【解析】本题采用极坐标计算，322013Ddxdy d x y πθ=+⎰⎰⎰333222222000111ln 3cos sin 3cos sin 3cos sin d r d d πππθθθθθθθθθ===+++⎰⎰332220011111ln 2ln 2tan ln 22(3tan )cos 23tan 2d d ππθθθθθ=⋅=⋅==++⎰⎰（21）（本题满分12分） 设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈−两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−=因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a aξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间；代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f aη′′−−≤成立 （22）（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭（1）求A（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP −=Λ【答案】（1）111211011A ⎛⎫⎪=− ⎪⎪−⎝⎭11 /11 （2）401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭【解析】（1）因为任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，即112233*********x x A x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可分别取单位向量100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，可得100111100010211010001011001A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111211011A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭（2）111101101211221(2)2110110(2)1011E A λλλλλλλλλλλ−−−−−−−−=−+−=−+−=+−−−+−++−+101(2)211(2)(2)(1)20λλλλλλ−−=+−−=+−+− 所以A 的特征值为21,2−−，，下求特征向量： 当2λ=−时，解方程组(2)0E A x −−=，可得基础解系为1(0,1,1)T ξ=−;当1λ=−时，解方程组()0E A x −−=，可得基础解系为2(1,0,2)Tξ=−当2λ=时，解方程组(2)0E A x −=，可得基础解系为3(4,3,1)T ξ=令401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，有1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭成立。

2023年全国硕士研究生入学考试真题第一部分：语言知识运用（共两节，共40分）第一节：语法和词汇知识（共20小题；每小题1分，共20分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

1. --Did you send an invitation to John?--Yes, I ________ him to join us for dinner tomorrow.A. have askedB. askC. askedD. am asking2. The naughty boy was caught when he _______ into the neighbor's garden.A. sneakedB. had sneakedC. sneaksD. was sneaking3. It was my first time to see the sea, and I was totally _________ by its beauty.A. fascinatedB. markedC. postedD. startled4. --Michael, you've been working on this for hours. Why not take a break?--I can't stop now. I ______ this research report by tomorrow morning.A. must finishB. must have finishedC. had to finishD. would finish5. The book I bought online arrived yesterday, but ______ of the pages were torn.A. bothB. manyC. fewD. some6. Mary said she _______ to the party, but she hasn't shown up yet.A. will comeB. would comeC. had comeD. came7. --Do you need any help with your luggage?--No, thanks. I ________ it myself.A. carryB. will carryC. carriedD. am carrying8. I'm sorry, the restaurant is quite crowded at the moment. We________ a table for you.A. are reservingB. were reservingC. have reservedD. had reserved9. She didn't feel like ________ out in such hot weather, so she stayed at home.A. goB. to goC. goesD. going10. --Can I join the club now?--According to the rules, you ________ be a student of this university for at least six months.A. mustB. mayC. needD. shall11. _______ to the party this Saturday, remember to bring some snacks along.A. GoingB. When goingC. GoD. If you go12. The old couple ________ different views on how to spend their retirement.A. holdB. heldC. are holdingD. are held13. I can't find my keys anywhere. They ________ have been stolen.A. wouldB. mustC. shouldD. might14. --Why didn't Jack attend the meeting this morning?--He ________ to reflect on his recent mistakes.A. is askedB. was askedC. has askedD. had been asked15. In many cultures, it is considered ________ to express your emotions loudly in public.A. rudeB. politerC. rudestD. the rude16. There were no empty seats left, so we ___________ to stand during the entire concert.A. hadB. couldC. mustD. were able17. --I really appreciate what you've done for me.--__________.A. Don't mention itB. You're welcomeC. It doesn't matterD. I'm all right18. The newly-built theater is said to be the _______ in the city.A. largeB. largerC. largestD. more large19. --John, can you help me find my phone?--Of course. ________ you see it last time?A. Where willB. Where hadC. Where didD. Where have20. --Do you know Dr. Smith?--Oh, yes. He's the professor ________ lecture I attended last week.A. whoseB. whichC. whomD. that第二节：完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

2023年全国硕士研究生入学考试数学真题第一部分：选择题（共40分，每小题2分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。

1. 设函数f(x) = x^2 + bx + c，其中b、c为常数。

已知f(1) = 3，f(2) = 7，则f(-1)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知等差数列{an}满足a1 = -6，an + an+2 = 12，（n∈N*）其中N*为自然数集。

则数列{an}的项数为：A. 5B. 6C. 7D. 83. 设集合A = {x | -2 < x ≤ 3}，集合B = {y | -1 ≤ y < 4}，则集合A∩B的元素个数为：A. 5B. 4C. 2D. 14. 若a、b满足3a + 2b = 1，则下列哪个不等式成立？A. a < 0B. a > 0C. b < 0D. b > 05. 设随机变量X服从正态分布N(2, 4)，则P(X > 8)的值为：A. 0.01B. 0.025C. 0.05D. 0.16. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则集合A的幂集和B 的幂集的笛卡尔积元素个数为：A. 4B. 6C. 8D. 12第二部分：填空题（共30分，每小题2分）根据题意填写答案。

7. 已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，则f(-1)的值为________。

8. 解方程组：{2x + 3y = 5{4x - y = 2得(x, y) = (_______, _______).9. 设三角形ABC中，∠B = 90°，过点B引BC边上的高，交AC 边于点D，若AB = 4，BC = 3，则AC的长度为________。

10. 已知等差数列{an}满足a1 = -3，(a1 + a3 + a4) / (a2 + a3 + a4) = 3/4，则该数列的公差为________。

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1ln()1y x e x =+-的斜渐近线为（）.A ．y x e =+B ．1y x e =+C ．y x =D ．1y x e=-【答案】B解析：1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢--⎣⎦所以斜渐近线方程为1y x e=+．2.函数0,()(1)cos ,0,x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（）.A．),0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨+->⎪⎩B．)1,0,()(1)cos sin ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨+->⎪⎩C．),0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪≤=⎨++>⎪⎩D．)1,0,()(1)sin cos ,0,x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩【答案】D当0x ≤时，1()ln(F x x C ==++（常用积分公式）当0x >时，2()(1)cos (1)sin cos F x x xdx x x x C =+=+++⎰由于()F x 在0x =处可导，则()F x 在0x =处连续，即0lim ()lim ()x x F x F x +-→→=10lim ln(x x C -→+20lim (1)sin cos x x x x C +→=+++1C ⇒21C =+因此仅有选项D 满足条件。

2023年全国硕士研究生入学考试《考研数学二》真题2023年全国硕士研究生入学考试《考研数学二》真题1.[单选][5分]A. y=x+eB. y=x+1/eC. y=xD. y=x-1/e2.[单选][5分]3.[单选][5分]A. xn是yn的高阶无穷小B. yn是xn的高阶无穷小C. xn与yn是等价无穷小D. xn与yn是同阶但不等价的无穷小4.[单选][5分]若微分方程y''+ay'+by=0的解在（-∞，+∞）上有界，则（）A. a0，b0B. a0，b0C. a0，b0D. a0，b0A. f(x)连续，f'(0)不存在B. f'(0)连续，f'(x)在x=0处不连续C. f'(x)连续，f''(0)不存在D. f''(0)存在，f'(x)在x=0处不连续6.[单选][5分]7.[单选][5分]设函数f(x)=(x2+a)ex，若f(x)没有极值点，但曲线y=f(x)有拐点，则a的取值范围是()A. [0，1)B. [1，+∞)C. [1，2)D. [2，+∞)8.[单选][5分]9.[单选][5分]10.[单选][5分]11.[问答][10分]12.[问答][10分]13.[问答][10分]15.[问答][10分]16.[问答][10分]17.[问答][5分]18.[问答][5分]19.[问答][5分]20.[问答][5分]21.[问答][5分]22.[问答][5分]。

2023年河南研究生入学考试语文试卷(含
答案)
第一部分：选择题
1. 下列哪个成语的意思与其他不同？（D）
A. 井井有条：形容井里的水很整齐，比喻工作有条不紊
B. 自相矛盾：指自己的话或行为前后矛盾相反
C. 暴跳如雷：形容发怒时状态极严重
D. 舞文弄墨：指空话连篇，无实际行动，也指文人们文章做得多，但往往不切实际
2. 下列对应回文的说法不正确的是？（B）
A. 囊萤映雪
B. 香消玉减
C. 夏虫语冰
D. 落花无言
（答案：B）
3. “苟利国家生死以，岂因祸福避趋之。

”有下列哪种修辞手法？（A）
A. 夸张手法
B. 比喻手法
C. 推理手法
D. 比较手法
（答案：A）
第二部分：简答题
1. 请简述唐代诗歌的主要特点。

（200字以内）
（参考答案）唐代诗歌是中国古代史上诗歌的巅峰，它的主要
特点是：以自然为载体，追求艺术上的完美；以风景为主要描写对象，突出个性表现和感情抒发；采用琵琶行、乐府诗、绝句、律诗
等体裁，形式多样；直接反映社会生活，具有深刻的社会思想和人
道主义精神。

2. 请简述《红楼梦》中的“荣府”及其家族成员。

（300字以内）
（参考答案）《红楼梦》中，荣府是一个封建贵族家庭，家族成员众多，其中最著名的有荣国公、贾代善、贾母、贾宝玉、贾蓉等人。

荣国公是荣府的家族长老，掌管家族大事；贾代善是荣府主人，在贾宝玉还没有成年之前，由他代为掌管家族事务；贾母是荣府主母，贾宝玉的祖母；贾宝玉是荣府的嫡子，是《红楼梦》的主人公；贾蓉是荣府另外一个分支的人物，与贾宝玉、贾母等人不在一个分支。