动点轨迹求法(六部分全)

1、求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.2、求动点轨迹方程的几种方法：(1)直接法：(2)定义法：(3)相关点代入法：(4)待定系数法；（5）交轨法；（6）参数法：（7）点差法： 典型例题一：直接法： 此类问题重在寻找数量关系。

当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法.例1：已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1．求曲线C 的方程．二：定义法：熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键.1)圆：到定点的距离等于定长；2)椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；3)双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；4)抛物线：到定点与定直线距离相等.（定点不在定直线上）.例1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程.例2： 一条线段AB 的长等于a 2,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点M 的轨迹方程？例3：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.求曲线Γ的方程.例4：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。

5:一动圆与圆O ：122=+y x 外切，而与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是：A ：抛物线B ：圆C ：椭圆D ：双曲线一支三：相关点代入法 “相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．例1：点P (4,－2)与圆x 2+y 2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )例2：已知抛物线2 4C y x =： 焦点为F .点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 轨迹方程.3.已知A 为曲线2:410C x y 上的动点，定点(2,0)M ，若2AT TM ，求动点T 的轨迹方程.四、交轨法 1.求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程. 2.若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程，也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程，再化为普通方程.例：两条直线10x my --=和10mx y +-=的交点的轨迹方程是（ ）五、待定系数法六、参数法此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。

考点透视董纪琴动点的轨迹方程问题主要考查圆锥曲线的定义与几何性质，通常要求根据已知的条件，求动点的轨迹方程.此类问题具有较强的抽象性，且解题过程中的运算量较大.很多同学由于在解题时没有选择合适的方法，导致解题失败.下面，笔者结合例题探讨一下动点轨迹方程问题的解法.一、直接法运用直接法求解动点的轨迹方程问题，需充分利用题设中的几何条件，寻找与动点有关的几何量或等量关系，并将其转化为关于动点的坐标的关系式，进而得到动点的轨迹方程.其解题步骤为：（1）设动点的坐标；（2）找等量关系；（3）根据已知条件列出方程；（4）整理化简该方程，求得动点的轨迹方程.例1.已知点A(-2,0)，B(2,0)，直线AM与BM的斜率之积为-12，求点M的轨迹C的方程，并说明C是什么曲线.解：由题意知kAM=yx+2，kBM=yx-2.因为直线AM与BM的斜率之积为-12，故y x+2∙y x-2=-12，化简得x24+y22=1(||x≠2)，故曲线C为中心在坐标原点，半长轴为2，半短轴为2，焦点在x轴上，且不含左、右顶点的椭圆.运用直接法求动点的轨迹方程，通常需仔细寻找与动点有关的一些几何量，如相等距离、相等角、成比例的线段等，然后根据两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、相似三角形的性质等建立关于x,y的等量关系式，再通过化简，就能求出动点轨迹的方程.二、参数法若题目较为复杂，根据题意难以快速建立与动点有关的关系式，或明确动点的运动轨迹，就可以运用参数法，设出相关参数，建立关于参数的方程，再通过化简、消去参数，进而得到动点的轨迹方程.例2.若点A在x轴上移动，点B在y轴上移动，线段AB的长为a，点P是AB上的一动点，且||AP=2||PB，求点P的轨迹方程.解：过点P作PM⊥x轴于M，过点P作PN⊥y轴于N.设点P()x，y，AB与x轴的夹角为θ(||θ≤π2)，则||AP=2a3，||BP=a3，于是x=13a cosθ，y=23a sinθ，消去参数，可得æèöø3xa2+æèçöø÷3y2a2=1，即动点的P轨迹方程为36x2+9y2=4a2.由于A,B为动点，所以直线AB与x轴的夹角直接影响着A、B点的横、纵坐标，此时我们要引入参数，运用参数法解题.根据题意绘制出相应的几何图形，再添加合适的辅助线，并根据直角三角形的性质列出关于参数的方程，就能通过消参，快速得出动点的轨迹方程.三、相关点法若动点P随点Q的变化而变化，就可以采用相关点法来求动点的轨迹方程.在解题时，我们首先要设出点P与点Q的坐标，然后根据题意建立两点之间的关系式，再将其代入关系式中进行运算，即可求出动点的轨迹方程.例3.已知点B为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的动点，点A(2a,0)为定点，试求线段AB的中点M的轨迹方程.解：设中点M的坐标为()x,y，B点的坐标为()x0,y0，因为M为线段AB的中点，所以ìíîïïx0+2a2=x，y0+02=y，可得{x0=2x-2a，y0=2y，则B(2x-2a,2y)，因为点B在椭圆x2a2+y2b2=1，所以x02a2+y02b2=1，即(2x-2a)2a2+(2y)2b2=1，整理可得4(x-a)2a2+4y2b2=1，该方程即为中点M的轨迹方程.仔细分析题意可以知道，点M都随着点B的变化而变化，因此需采用相关点法解题比较便捷，用M点的坐标表示B点的坐标，再将其代入题设中进行运算，化简所得的结果，即可快速求得问题的答案.由此可见，无论运用哪种方法求动点的轨迹方程，都要设出动点的坐标，建立关于动点的坐标与已知曲线方程之间的关系式，再通过化简，求得关于动点坐标的方程，从而求出动点的轨迹方程.虽然此类问题较为复杂，难度系数较大，但是只要明确题目中与动点相关的已知条件，选择与之相应的方法进行求解，问题就能迎刃而解.（作者单位：南京航空航天大学附属高级中学）37。

思路探寻在解题时，我们经常会遇到求动点的轨迹方程问题.此类问题主要考查圆锥曲线的定义、图形以及几何性质，对同学们的想象与计算能力都有较高的要求.在解答此类问题时，需根据题目中所给的条件建立起各个变量之间的联系，得到关于动点的关系式，进而求得动点的轨迹方程.本文主要谈一谈动点的轨迹方程的几种求法.一、直接法直接法是求动点的轨迹方程的基本方法.通常要先设出动点的坐标；然后根据题目中所给的条件，利用相关的公式、定义、性质列出有关动点坐标的关系式；再通过化简、消元、变形，得到动点的轨迹方程；最后验证所得的结果是否满足题目的条件.例1.已知两定点A (-2,0)，B (2,0)，动点P 满足 PA ∙PB =0.由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，若 PM = MQ ，求点M 的轨迹方程.解：设M (x ,y )，P (x 1,y 1)，则Q (x 1,0)，因为 PA ∙PB =0，所以x 12+y 12=4.因为PM ⊥x 轴， PM = MQ ，所以x 1=x ，y 1=2y ，所以点P 的坐标为（x ,2y ）.又因为点P在圆x 12+y 12=4上，所以x 2+4y 2=4，所以点M 的轨迹方程为x 24+y 2=1.本题较为简单，可采用直接法求解.题目的条件中已明确给出了动点的几何关系，只要设出动点的坐标，根据已知条件建立关于点M 的坐标的关系式，即可得到点M 的轨迹方程.二、相关点法若一动点P 随着另一动点Q 的变化而变化，且已知另一动点Q 的运动轨迹，就可以利用相关点法，根据另一动点Q 的轨迹来求得动点P 的轨迹方程.在解题时，需先建立两个动点坐标之间的联系，求得另一动点Q 的轨迹方程；然后用动点P 的坐标表示相关点Q 的坐标，将其代入相关点Q 的轨迹方程，即可求得动点P 的轨迹方程.例2.从圆x 2+y 2=1上的任意一点P 向y 轴作垂线，求该垂线段中点M 的轨迹方程.解：设点P 为（x 0,y 0），点M 为（x ,y ），由题意知：ìíîïïx =x 02，y =y 0，即{x 0=2x ，y 0=y .因为点P 在圆上，所以x 02+y 02=1，可得4x 2+y 2=1，所以点M 的轨迹为椭圆，其轨迹方程为4x 2+y 2=1.分析题意可知，点M 随着点P 的变化而变化，需采用相关点法解答.先设出点M 和P 的坐标，并根据二者之间的联系建立关系式；然后用点M 的坐标表示P 点，通过P 点的轨迹方程间接求得M 点的轨迹方程.三、交轨法如果动点是两条曲线的交点，就可以采用交轨法来求动点的轨迹方程.先选出一个适当的参数表示动点；再根据题目中的条件建立关于参数的式子；然后通过恒等变换，逐步消去参数，得到所求点的轨迹方程.例3.已知动点P 在直线l ：x -y -2=0上运动，过P 点作抛物线C :y =x 2的两条切线PA ,PB ，与抛物线C分别相切于A ,B 两点，求△APB 的重心G 的轨迹方程.解：设切点A ,B 的坐标分别为(x 1,x 12)和(x 2,x 22)，则切线PA ,PB 的方程分别为：2x 1x -y -x 12=0，2x 2x -y -x 22=0，可得x p =x 1+x 22，y p =x 1x 2.设G 的坐标为(x ,y )，根据三角形重心的坐标公式可得：x =x 1+x 2+xp 3=x p ①，y =y 1+y 2+y p 3=4x p 2-y p3②.又因为点P 在直线l ：x -y -2=0上运动，所以x p -y p -2=0③，由①②③可得△APB 的重心G 的轨迹方程是：y =43x 2-13x +23.解答本题，首先要根据题目中所给的条件设出切点的坐标，通过对抛物线的方程求导，得到切线的方程，并求出点P 的坐标；然后设出重心G 的坐标，根据中点的坐标公式和重心的坐标公式建立关系式，即可利用交轨法求得重心G 的轨迹方程.求动点的轨迹方程问题的难度往往不大，但解题时的计算量较大，同学们在解题时要谨慎计算，注意检验，避免出错.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）史玉蕾48Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

动点轨迹方程求解的常见方法符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。

轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。

符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。

重点要掌握常用求轨迹方法，难点是轨迹的定型及其纯粹性和完备性的讨论。

动点轨迹方程求解的常见方法一、动点轨迹方程解题步骤1、建系——建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;2、设点——设轨迹上的任一点P(x，y)，写出点P的集合;3、列式——列出动点p所满足的关系式;4、代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，化简方程为最简形式;5、证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

二、动点轨迹方程求解常见的6种方法动点轨迹方程的求解方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

1、直译求解法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

2、定义求解法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

求动点轨迹的基本方法动点轨迹是描述物体在一定时间内或在一定空间内的运动情况的几何形状。

求解动点轨迹的基本方法主要包括几何法和解析法。

一、几何法：几何法主要基于对物体运动的直观观察和几何图形的性质，通过描绘和分析物体运动的几何图形来求解动点轨迹。

1.寻找特殊运动点：观察物体运动中是否存在固定点、对称点或者不动点，因为这些点通常构成运动的基本要素。

例如，当一个物体做圆周运动时，圆心就是不动点，固定于圆心运动的点就是在圆上等距离地运动。

2.描绘位置图形：根据物体运动过程中的关键时刻或关键时刻的位置，用直线、曲线、抛物线等几何图形来描绘出物体的位置。

例如，当一个物体做匀速直线运动时，可以用一条直线来表示其轨迹。

3.利用几何性质进行分析：利用几何图形的性质，如直线上的点的等距离关系、圆心到圆上任意一点的距离相等等，来分析运动的特点和运动过程中的关系。

二、解析法：解析法是通过建立数学模型来描述物体运动的轨迹，并借助数学计算和推理方法求解动点轨迹。

1.建立运动方程：根据物体的运动特点和问题的条件，建立相应的运动方程。

例如，当一个物体做匀速直线运动时，可以用位置函数x=f(t)来描述其运动，其中x为位置，t为时间，f(t)为一个关于时间t的函数。

2.求解方程：利用运动方程进行数学计算，将问题中所给的条件代入方程，通过计算和推导求解出物体的位置和时间的关系。

例如，当已知物体的速度函数v=f(t)时，可以通过积分计算来求得物体的位移函数x=f(t)。

3. 绘制轨迹图形：根据所得到的数学关系，可以绘制出物体的轨迹图形，描绘出物体在空间中的运动情况。

例如，当已知物体在xy平面上任意时刻的位置(x,y)与时间t的关系时，可以将这些位置点连成曲线，得到物体的轨迹。

几何法和解析法是求解动点轨迹的两种基本方法，它们在不同的问题中有不同的应用。

在实际问题中，通常需要结合几何法和解析法来分析和求解动点轨迹问题，以得到更全面和准确的结果。

求轨迹方程的六种常用方法1. 直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1.已知线段AB =6,直线AM,BM相交于M,且它们的斜率之积是,求点M 的轨迹方程。

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(-3,0),B(3,0), 设点M的坐标为(x,y),则直线AM的斜率 ,直线B M 的斜由已知有化简，整理得点M的轨迹方程为练习：1. 平面内动点P到点F(10,0)的距离与到直线x=4的距离之比为2,则点P的轨迹方程是2. 设动直线I垂直于x轴，且与椭圆x²+2y²=4交于A、B两点，P是I上满足PA ·PB=1的点，求点P的轨迹方程。

3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线2. 定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2.若B(-8,0),C(8,0)为△ABC的两顶点， AC和AB两边上的中线长之和是 30,则△ABC的重心轨迹方程是。

解：设△ABC的重心为G(x,y),则由AC和AB两边上的中线长之和是 30可得,而点B(-8,0),C(8,0)为定点，所以点G的轨迹为以B,C 为焦点的椭圆。

所以由2a=20,c=8可得a=10,b=√ a² - c²=6故△ABC的重心轨迹方程是练习：4.方程2√(×-1)²+(y-1)²=1x+y+2)表示的曲线是()A. 椭圆B. 双曲线C. 线段D. 抛物线3. 点差法圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A(x,y1),B(×,y2)的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得xi+×2,yi+y2,X1 - X2,yi - y2等关系式，由于弦AB 的中点P(x,y) 的坐标满足2x=x₁+×2, 2y=yi+y2且直线AB的斜率为,由此可求得弦AB中点的轨迹方程。

轨迹方程的六种求法整顿求轨迹方程是高考中罕有的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳,供同窗们参考.求轨迹方程的一般办法：1.直译法：假如动点P的活动纪律是否合乎我们熟知的某些曲线的界说难以断定,但点P知足的等量关系易于树立,则可以先暗示出点P所知足的几何上的等量关系,再用点P的坐标（x,y）暗示该等量关系式,即可得到轨迹方程.2.界说法：假如动点P的活动纪律合乎我们已知的某种曲线（如圆.椭圆.双曲线.抛物线）的界说,则可先设出轨迹方程,再依据已知前提,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程3. 参数法：假如采取直译法求轨迹方程难以奏效,则可追求引动员点P活动的某个几何量t,以此量作为参变数,分离树立P 点坐标x,y与该参数t的函数关系x＝f（t）, y＝g（t）,进而经由过程消参化为轨迹的通俗方程F（x,y）＝0.4. 代入法（相干点法）：假如动点P的活动是由别的某一点P'的活动激发的,而该点的活动纪律已知,（该点坐标知足某已知曲线方程）,则可以设出P（x,y）,用（x,y）暗示出相干点P'的坐标,然后把P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.5.交轨法：在求动点轨迹时,有时会消失请求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题平日经由过程解方程组得出交点（含参数）的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程）,该法经常与参数法并用. 6. 待定系数法：已知曲线是圆,椭圆,抛物线,双曲线等一.直接法把标题中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程根本步调是：建系.设点.列式.化简.解释等,圆锥曲线尺度方程的推导. 1. 已知点(20)(30)A B -，，，,动点()P x y ，知足2PA PB x =·,求点P 的轨迹.26y x =+,2. 2.已知点B （－1,0）,C （1,0）,P 是平面上一动点,且知足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程;（2）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD⊥AE,断定：直线DE 是否过定点？试证实你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k1.k2知足k1·k2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二.界说法应用所学过的圆的界说.椭圆的界说.双曲线的界说.抛物线的界说直接写出所求的动点的轨迹方程,这种办法叫做界说法．这种办法请求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的前提,或应用平面几何常识剖析得出这些前提．1. 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是解：如图,设动圆圆心为M,由题意,动点M 到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所求轨迹是以（－2,0）为核心,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,极点是（1,0）,启齿向左,所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2.一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切,则动圆圆心轨迹为解：如图,设动圆圆心为M,半径为r,则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1,由双曲线界说知,其轨迹是以O.C 为核心的双曲线的左支3.在ABC △中,24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39,求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 地点直线为x 轴,线段BC 的中垂线为y 轴树立直角坐标系,如图1,M 为重心,则有239263BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是认为B C ，核心的椭圆,个中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠． 留意：求轨迹方程时要留意轨迹的纯粹性与完整性.4.设Q 是圆x2+y2=4上动点另点A （3.0）.线段AQ 的垂直等分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45),当Q 点在圆周上活动时,求点P 的轨迹方程．解：衔接PA ∵l⊥PQ,∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ 上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆界说可知：P 点轨迹是以O.A 为核心的椭圆．5.已知ΔABC中,A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列,|AB|=2,求极点C 的轨迹方程 解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的界说可知,点C 的轨迹是以A.B 为核心的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为23,∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧,必有x<0,而C 点在x 轴上时不克不及组成三角形,故x≠─2,是以点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2<x<0) 点评：本题在求出了方程今后评论辩论x 的取值规模,现实上就是斟酌前提的须要性6.一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆226910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并解释它是什么样的曲线.解析：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ,半径为R ,设已知圆的圆心分离为1O .2O ,将圆方程分离配方得：22(3)4x y ++=,22(3)100x y -+=,当M 与1O 相切时,有1||2O M R =+①当M 与2O 相切时,有2||10O M R =-②将①②两式的双方分离相加,得21||||12O M O M +=, 即2222(3)(3)12x y x y +++-+=③移项再双方分离平方得：222(3)12x y x ++=+④双方再平方得：22341080x y +-=,整顿得2213627x y +=, 所以,动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=,轨迹是椭圆. （法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=, 由以上方程知,动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12,所以点M 的轨迹是核心为1(3,0)O -.2(3,0)O ,长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中间在坐标原点,核心在x 轴上,∴26c =,212a =,∴3c =,6a =,∴236927b =-=,∴圆心轨迹方程为2213627x y +=. 三.相干点法此办法实用于动点随已知曲线上点的变更而变更的轨迹问题. 若动点P(x,y)随已知曲线上的点Q(x0,y0)的变动而变动,且x0.y0可用x.y 暗示,则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程,即得点P 的轨迹方程．这种办法称为相干点法(或代换法)．x y 1O 2O P1.已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1).B 为抛物线上随意率性一点,点P 在线段AB 上,且有BP∶PA=1∶2,当B 点在抛物线上变动时,求点P 的轨迹方程．剖析解：设点P(x,y),且设点B(x0,y0)∵BP∶PA=1∶2,且P 为线段AB 的内分点．2.双曲线2219x y -=有动点P ,12,F F 曲直线的两个核心,求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程.解：设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ,∴在已知双曲线方程中3,1a b ==,∴9110c =+=∴已知双曲线两核心为12(10,0),(10,0)F F -,∵12PF F ∆消失,∴10y ≠ 由三角形重心坐标公式有11(10)10003x x y y ⎧+-+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即1133x x y y =⎧⎨=⎩ . ∵10y ≠,∴0y ≠.3.已知点P 在双曲线上,将上面成果代入已知曲线方程,有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠.4.（上海,3）设P 为双曲线-42x y2＝1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是.解析：设P （x0,y0） ∴M（x,y ） ∴2,200y y x x ==∴2x＝x0,2y ＝y0∴442x －4y2＝1⇒x2－4y2＝15.已知△ABC 的极点(30)(10)B C -，，，,极点A 在抛物线2y x =上活动,求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，,00()A x y ，,由重心公式,得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上,200y x =∴． ③将①,②代入③,得23(32)(0)y x y =+≠,即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠． 四.参数法假如不轻易直接找出动点的坐标之间的关系,可斟酌借助中央变量（参数）,把x,y 接洽起来．若动点P （x,y ）的坐标x 与y 之间的关系不轻易直接找到,而动点变更受到另一变量的制约,则可求出x.y 关于另一变量的参数方程,再化为通俗方程．1.已知线段2AA a '=,直线l 垂直等分AA '于O ,在l 上取两点P P '，,使有向线段OP OP '，知足4OP OP '=·,求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2,以线段AA '地点直线为x 轴,以线段AA '的中垂线为y 轴树立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，, 则由题意,得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分离为4()()t y x a y x a a ta =+=--，． 两式相乘,消去t ,得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程．评析：参数法求轨迹方程,症结有两点：一是选参,轻易暗示出动点;二是消参,消参的门路灵巧多变.2.设椭圆中间为原点O,一个核心为F （0,1）,长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程;（2）设经由原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q,点P 在该直线上,且12-=t t OQ OP,当t 变更时,求点P 的轨迹方程,并解释轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞b a b x a y =+由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==-,,122t b a b a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.11.122222t b t t a 所以椭圆方程为222222)1()1(t y t x t t =-+-．(2)设点),,(),,(11y x Q y x P 解方程组⎩⎨⎧==-+-,,)1()1(1122122122tx y t y t x t t 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.)1(2,)1(212121t t y t x 由12-=t t OQ OP 和1x x OQ OP =得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,2,2,2222t y t x t y t x 或 个中t ＞1．消去t,得点P 轨迹方程为)22(222>=x y x 和)22(222-<-=x y x ．其轨迹为抛物线y x 222=在直线22=x 右侧的部分和抛物线y x 222-=在直线22-=x 在侧的部分．3.已知双曲线2222n y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的极点为A1.A2,与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P.Q 求直线A1P 与A2Q 交点M 的轨迹方程; 解设P 点的坐标为(x1,y1),则Q 点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P 的方程为y=)(11m x mx y ++① A2Q 的方程为y=－)(11m x mx y --② ①×②得y2=－)(2222121m x m x y --③又因点P 在双曲线上,故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即 代入③并整顿得2222n y m x +=1此即为M 的轨迹方程4.设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M 的轨迹方程,并解释它暗示什么曲线 解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)直线AB 的方程为x=my+a由OM⊥AB,得m=－y x 由y2=4px 及x=my+a,消去x,得y2－4pmy －4pa=0所以y1y2=－4pa, x1x2=22122()(4)y y a p = 所以,由OA⊥OB,得x1x2 =－y1y2所以244a pa a p =⇒=故x=my+4p,用m=－y x代入,得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法二设OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -∴AB 的方程为2(2)1k y x p k=--,过定点(2,0)N p , 由OM⊥AB,得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点 解法三设M(x,y) (x≠0),OA 的方程为y kx =,代入y2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k =-,代入y2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM⊥AB,得M 既在以OA 为直径的圆222220p p x y x y k k+--=……①上, 又在以OB 为直径的圆222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）,①2k ⨯+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0),它暗示以(2p,0)为圆心,以2p 为半径的圆,去失落坐标原点5.过点A （－1,0）,斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y2=4x 交于P,Q 两点.若曲线C 的核心F 与P,Q,R 三点按如图次序组成平行四边形PFQR,求点R 的轨迹方程;解：请求点R 的轨迹方程,留意到点R 的活动是由直线l 的活动所引起的,是以可以寻找点R 的横.纵坐标与直线l 的斜率k 的关系．然而,点R 与直线l 并没有直接接洽．与l 有直接接洽的是点P.Q,经由过程平行四边形将P.Q.R 这三点接洽起来就成为解题的症结．由已知:(1)l y k x =+,代入抛物线C ：y2=4x 的方程,消x 得：204k y y k -+=∵C l P 直线交抛物线于两点.Q∴20410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩解得1001k k -<<<<或设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ,M 是PQ 的中点,则由韦达定理可知：122,2M y y y k+==将其代入直线l的方程,得2212M M x k y k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵四边形PFQR 是平行四边形, ∴RF 中点也是PQ 中点M .∴242342M F Mx x x k y y k ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又(1,0)(0,1)k ∈-⋃∴(1,)M x ∈+∞．∴点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y6.垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线y2=2(x –1)分离交于点A 和点P,点B 在y 轴上且点A 分OB 的比为1:2,求线段PB 中点的轨迹方程解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=t tt y t t x 223)2(4121222,消去t 得：y2=16(x –21) 点评：本题采取点参数,即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应剖析动点活动的原因,找出影响动点的身分,据此恰当地选择参数7.过双曲线C ：x2─y2/3=1的左核心F 作直线l 与双曲线交于点P.Q,以OP.OQ 为邻边作平行四边形OPMQ,求M 的轨迹方程解：k 参数法 当直线l 的斜率k 消失时,取k 为参数,树立点M 轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ 的中点N(x0,y0), l:y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3,∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2), ∴x=2x0=x1+x2=4k2/(3─k2),y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22231234k k y k k x , 消去k 并整顿,得点M 的轨迹方程为：1124)2(22=-+y x 当k 不消失时,点M(─4,0)在上述方程的曲线上,故点M 的轨迹方程为：点评：本题用斜率作为参数,即k 参数法,k 是经常应用的参数设点P.Q 的坐标,但没有求出P.Q 的坐标,而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上行止理,是处懂得析几何分解题的罕有技能8.（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA ,OB 知足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为(I) 证实线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X2Y=0的距离的最小值为5时,求p 的值.解析：(I)证实1:22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- 整顿得:0OA OB ⋅=12120x x y y ∴⋅+⋅=设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的随意率性一点,则0MA MB ⋅= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=整顿得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则又因12120x x y y ⋅+⋅=1212x x y y ∴⋅=-⋅22121224y y y y p∴-⋅= 所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x2y=0的距离为d,则当y=p 时,d=2p ∴=.五.交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其进程是选出一个恰当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标合适的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程．1. 已知两点)2,0(),2,2(Q P -以及一条直线ι：y=x,设长为2的线段AB 在直线λ上移动,求直线PA 和QB 交点M 的轨迹方程．解：PA 和QB 的交点M （x,y ）随 A.B 的移动而变更,故可设)1,1(),,(++t t B t t A ,则PA ：),2)(2(222-≠++-=-t x t t y QB ：).1(112-≠+-=-t x t t y 消去t,得.082222=+-+-y x y x 当t=－2,或t=－1时,PA 与QB 的交点坐标也知足上式,所以点M 的轨迹方程是.0822222=+--+-y x x y x以上是求动点轨迹方程的重要办法,也是经常应用办法,假如动点的活动和角度有显著的关系,还可斟酌用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何办法,都要留意所求轨迹方程中变量的取值规模．2.自抛物线y2＝2x 上随意率性一点P 向其准线l 引垂线,垂足为Q,贯穿连接极点O 与P 的直线和贯穿连接核心F 与Q 的直线交于R 点,求R 点的轨迹方程.解：设P （x1,y1）.R （x,y ）,则Q （－21,y1）.F （21,0）,∴OP 的方程为y=11x y x,①FQ 的方程为y=－y1（x －21）.②由①②得x1＝xx 212-,y1＝xy 212-,代入y2＝2x,可得y2＝－2x2+x.六.待定系数法当曲线（圆.椭圆.双曲线以及抛物线）的外形已知时,一般可用待定系数法解决.1.已知Ａ,Ｂ,Ｄ三点不在一条直线上,且(20)A -，,(20)B ，,2AD =,1()2AE AB AD =+．（1）求E 点轨迹方程;（2）过A 作直线交认为A B ，核心的椭圆于M N ，两点,线段MN 的中点到y 轴的距离为45,且直线MN 与E 点的轨迹相切,求椭圆方程．解：（1）设()E x y ，,由1()2AE AB AD =+知E 为BD 中点,易知(222)D x y -，．又2AD =,则22(222)(2)4x y -++=．即E 点轨迹方程为221(0)x y y +=≠; （2）设1122()()M x y N x y ，，，,中点00()x y ，．由题意设椭圆方程为222214x y a a +=-,直线MN 方程为(2)y k x =+．∵直线MN 与E 点的轨迹相切, 2211k k =+∴,解得33k =±． 将33y =±(2)x +代入椭圆方程并整顿,得222244(3)41630a x a x a a -++-=,2120222(3)x x a x a +==--∴,又由题意知045x =-,即2242(3)5a a =-,解得28a =．故所求的椭圆方程为22184x y +=．2.已知圆C1的方程为(x －2)2+(y －1)2=320,椭圆C2的方程为2222by ax +=1(a ＞b ＞0),C2的离心率为22,假如C1与C2订交于A.B 两点,且线段AB 恰为圆C1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C2的方程..解：由e=22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设A(x1,y1).B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y=－x+3,代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0. 有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.3.已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 订交于A.B 两点,且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率;（2 ）若椭圆的右核心关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上,求此椭圆的方程. 讲授:（1）设A.B 两点的坐标分离为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由得02)(2222222=-+-+b a a x a x b a , 依据韦达定理,得∴线段AB的中点坐标为（222222,ba b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+ 故椭圆的离心率为22=e .（2）由（1）知,c b =从而椭圆的右核心坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线2:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得b y b x 545300==且由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .。

动点轨迹求法一考点分析解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．二命题趋势解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．三知识网络四考点对接1 直接法：用直接法求轨迹方程的步骤：（1）恰当地建立直角坐标系（如已经建立，此步可以省略）；（2）设动点P(x，y)为轨迹上任意一点；（3）用动点坐标P（x，y）表示问题中的几何关系，列出等式关系；（4）化简并整理得轨迹方程。

注意：如果含有参数，则必须进行讨论。

、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简整理,主要用于动点具有的几何条件比拟明显时1.三角形ABC 中,BC = 4,且AB = "'E A C,那么三角形ABC 面积最大值为.. 一、, 一 . ........ 一 I PAI _、 2、动点P (x,y)到两定点 A (—3, 0)和B (3, 0)的距离的比等于 2 (即 -------------------- ! 2),|PB|求动点P 的轨迹方程？3、一动点到y 轴距离比到点 2,0的距离小2,那么此动点的轨迹方程为. 由M… …MA 1 …— —八4.A 1,0 , B 2,0 ,动点M x, y 满足_ —.设动点M 的轨迹为C .MB 2(1)求动点M 的轨迹方程,并说明轨迹 C 是什么图形；(2)求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；15、曲线C 是动点M 到两个定点O 0,0、A 3,0距离之比为1的点的轨迹. 2(1)求曲线C 的方程；(2)求过点N 1,3且与曲线C 相切的直线方程.10,两端点 A,B 分别在x 轴和y 轴上滑动, M 在线段 AB 上且_2_2__22 一A x 16y64 B . 16x y 64C. x 2 16y 2 8 D . 16x 2 y 2 8 — 1 IM (x, y)与两个定点 M 1 (26, 1), M 2 (2, 1),且 1Mg = =5. (I )求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(n )记(I )中的轨迹为 C,过点M (-2, 3)的直线l 被C 所截得的线段的长为 8,求 直线l 的方程.A&M ,由题意有：+ 2八六涧X M-球,整理可得：,结合三角形 的性质可得点C 的轨迹方程为以川5为圆 心,2V§为半径的圆出去其与x 轴的交点,据此可得三角形ABC 面积的最大值为6. 一条线段的长等于4MB ,那么点M 的轨迹方程是(B7.坐标平面上一点1、【解析】建立如下图的平面直角坐标系,那么:,设点A 的坐标为2、【解答】••• | PA= J(x 3)2—y2,| PB | (x 3)2代入四2得亟亘工1PBi . (x 3)2 y2化简彳导(x—5) 2+y2=16,轨迹是以(2(x 3)25, 0)为圆心,2 2y24(x 3)24为半径的圆.4y223、y 8x x 0 或y 0【解析】设动点为P x,y ,那么由条件得_ 2 22 y2y24x 4 x ,当x 0时,y 8x ；当x 0时,y 0, 所以动点的轨迹方程为y28x x 0或x 4、(1)-- x 1 2y2 12 2 y2 2化简可得: 4 ,轨迹C是以2,0为圆心,2为半径的圆(2)设过点B的直线为y k x 2 ,圆心到直线的距离为d4k k2 1(1)点M的轨迹方程是(x—1)2+(y—1)2= 25,轨迹是以(2)直线l的方程为x=-2,或5x-12y + 46=0.(1,1)为圆心,以5为半径的圆,、2 5. (1) x2y2 2x 3 05x 12y 31 0(1) 设点M x, y .OMAM 及两点间的距离公式,■ 2 2 x y2- x 3将①式两边平方整理得2x 3 0.即所求曲线方程为x22x 0.(2)由(1)得x 1 2 y 4,表不圆心为C 1,0 ,半径为2的圆.〔i 〕当过点N 1,3的直线的斜率不存在时,直线方程为 x 1,显然与圆相切; 〔ii 〕当过点N 1,3的直线的斜率存在时,设其方程为y 3 k x 1 ,即 kx y 3 k 0,由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径,即k 0 3 k 八…5 2 -- ==_2 2,解得 k —,、*2 112此时直线方程为5x 12y 31 0,所以过点N 1,3且与曲线C 相切的直线方程为 x 1, 5x 12y 31 0 .7【解析】【试题分析】〔1〕运用两点间距离公式建立方程进行化简；〔2〕借助直线与圆的位置关系,运用圆 心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率,再用直线的点斜式方程 分析求解：化简,得, + / = "2-210. 二点M 的轨迹方程是811%卜11=25 轨迹是以〔1」〕为圆心,以弓为半径的圆〔1〕由题意,得(2)当直线।的斜率不存在时,1*〜2,I | 2 2此时所截得的线段的长为勺5 -3『符合题意.当直线।的斜率存在时,设।的方程为13 = k|x + 2)即h-v+2k + 3=O圆心到।的距离$+iI 孤*2、2------- )+4=5由题意,得解得5 231—x 7 . - - 0,直线।的方程为12 6即5x-12y*46 = d综上,直线।的方程为-2,或1"+46〞二、定义法假设动点运动的规律满足某种曲线的定义,那么可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现.1:圆(及= "的圆心为M,圆/一4'+/=1的圆心为M2, 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程.2:一动圆与圆O x2y21外切,而与圆C： x2y26x 8 0内切,那么动圆的圆心M的轨迹是：A:抛物线B:圆C:椭圆D:双曲线一支3 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程？4:ABC的顶点A, B的坐标分别为(-4, 0), (4, 0), C为动点,且满足5 .sin B sin A -sin C,求点C 的轨迹.45、等腰三角形ABC中,假设一腰的两个端点分别为A 4,2 , B -2,0 ,A为顶点,求一腰的一个端点C的轨迹方程6、圆O: x2+ y2= 16及点A(2, 0),求过A且与圆.相切的诸圆圆心P的轨迹方程.7 .动点M到定点F i 2,0和F2 2,0的距离之和为472.⑴求动点M轨迹C的方程；(2)设N 0,2 ,过点P 1, 2作直线l ,交椭圆C于不同于N的A, B两点,直线NA,NB的斜率分别为K , k2,求k〔k2的值.8 .M 2,0 , N 2,0 ,那么以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()八 2 2c 2 2 4A. x y 2 B . x y 42 2 2 2C. x2y22 x 2 D . x2y24 x 2D1 .解：设动圆的半径为R由两圆外切的条件可得：|PM I|=R+5, W=R + 1.,|PM1|-5-|PM2|-L|PM1|-|PM3|-4O•••动圆圆心P的轨迹是以M、M为焦点的双曲线的右支, c=4, a=2, b2=12.故所求轨迹方程为' <|MO | R 1………2.【解答】令动圆半径为R,那么有,那么|MO|-|MC|=2 ,满足双曲线定义.应选|MC| R 1Db3解设M点的坐标为(x, y)由平几的中线定理：在直角三角形AOB中,1… 1 COM= —AB — 2a a,2 22 2 222x y a,x y aM点的轨迹是以O为圆心,a为半径的圆周5 54.【解析】由sin B sin A -sinC,可知b a -c 10,即|AC| | BC | 10 ,满足4 4椭圆的定义. 令椭圆方程为2x F a’2b i,那么a 5,c 4 b 3 ,那么轨迹方程为2 x 25 5〕,图形为椭圆〔不含左,右顶点〕 5、x 2 240 x 2且x i0 6、解：如右图: A 且与圆.相切的圆,只能与圆 .相内切,根据两圆相内切的性质: 连心线必过其切点,设切点为 M,那么O 、P 、M 共线, OM OP + PM .又由于A 在圆 P 上, PM = PA . OP + PA = OM =4. 故P 的轨迹是以O 、 OM = 4的椭圆.故P 的轨迹方程:(n)由｛ y k i A 为焦点, 长轴长为(x i)22+L = i .3F 2为焦点,以4J2为长轴长的椭圆.由椭圆定义,可知点 M 的轨迹是以F ,、_22,a 2J2,得b 2 .故曲线C 的方程为之 8 当直线l 的斜率存在时, 设其方程为2 y 4 k i /日 ,得i i 2k 24k k 2 xA x i ,y iB x 2,y 2 , 4k k 2x ix 2i 2k 2k 2工 x i2 y 2 2 2kx i x 24 x i x 2 x 2 x i x 2当直线l 的斜率不存在时,得 A、J4i,V ,B综上,恒有k i k 2 4. i2分2y .…— i . 5 分42k 22k_2 一2k 8ki 2k 24k k 2 4 -2k 2 8k4. ii考点：1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义0,2和0, 2 ,假设三角形的周长为10,那么顶点C、相关点法;假设动点P(x, y 脓赖于某曲线上的另一个动点P 1(x 1,y 1)而运动,且x 1,y 1可用x, y 表示,那么将P 1(x 1,y 1)代入曲线,求出 P 点的轨迹方程.此法也称代入法或转移法. 1 .点P (4 , — 2)与圆x 2+ y 2= 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 . .(x-2)2 + (y+ 1)2= 1【解析】设圆上任一点坐标为M(x 0, y 0),那么PM 的中点坐标为(x, y),2x = + 4 x 0 = 2x-4那么 ' 二 Vg-2 解得% , 2V + 2代入 $ + 小 $ 中得仅—2)2 + (y + 1)2= 1.222.圆O:x y 4及一点P 1,0 , Q 在圆O 上运动一周,PQ 的中点M 形成上的动点,点D 是P 在x 轴上的投影,M 为线段PD上一点,且4 = -|PD3. ABC 中,A,B 的坐标分别为的轨迹方程是()2 2x y -A. — — 1 ( y 0)9 52 2x y-B.———1 ( y 0)36 20 2xC.—52y——1 ( x 0)922x yD.— —32 361 (x 0)3.如图,设P 是圆轨迹C .(1)求轨迹C 的方程;〔1〕当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;2,、 1 22 . (1) C : x — y2【解析】试题分析：〔1〕转移法求动点轨迹,先设所求M动点坐标及Q点坐标,再根据中点坐标公式得两者坐标关系,用M动点坐标表示Q点坐标,最后代入圆方程,化简得轨迹的方程〔2〕先根据点斜式写出直线PQ的方程,再根据圆心到直线方程距离得三角形的高利用垂径定理可得弦长,即三角形底边边长,最后根据三角形面积公式得结果 .试题解析：〔1〕设M x,y ,Q x1,y1 ,那么x1 2x 1,y1 2y,22 2 一 1 2把x1,y1 代入x y 4 得C : x — y 12〔2〕直线PQ : y x 1圆心C到直线PQ的距离为d【解析】试题分析:〔I〕由题意P是圆/十¥' = 25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,4|MD| = -|PD|且 5 ,利用相关点法即可求轨迹; n〕由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立,利用根与系数的关系得到线段长度试题解析：〔I 〕设M的坐标为〔x,y〕 P的坐标为〔x p,y p〕由x p =x,S CMN2 Sx +( V)=25. P在圆上,4,即C的方程为..224.圆O X y 4,从这个圆上任意一点 P 向y 轴作垂线段PP 〔 P 在y 轴上〕,M 在直线PP 上且PM 2Pd ,那么动点M 的轨迹方程是〔〕M 向y 轴作垂线段,垂足为 N,且OQ OM ON,, 那么动点Q 的轨迹方程是2与1上的动点,A 〔2a,0〕为定点,求线段AB 的中点M 的 b 2轨迹方程.分析：题中涉及了三个点 A B 、M 其中A 为定点,而B 、M 为动点,且点B 的运动是 有规律的,显然 M 的运动是由B 的运动而引发的,可见 M B 为相关点,故采用相关点法求 动点M 的轨迹方程.【解析】设动点M 的坐标为〔x, y 〕,而设B 点坐标为〔xo, y .〕 那么由M 为线段AB 中点,可得【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系7、如下图,P 〔4,.〕是圆x 2+y 2=36内的一点,A 、B 是圆上两动点,且满足/ APB=90 求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程,22 在圆 x y 4上任取一点P,过点P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点 M 的轨迹是什么?A. 4x 2+16y 2=1B. 16x 2+4y 2=1C.—162X D.— 165、圆O ,从这个圆上一动点 2_ x5、一42y 16 x . 2a x 2 y .o 2x 0 2x 2a y o 2y即点 B 坐标可表为〔2x-2a, 2y 〕2点B 〔x .,y .〕在椭圆三a 2y- 1上b 22x . 2 a2〞1 b 2〔2x 从而有-一 2a)22a(2y)2 1f 1'整理,得动点M 的轨迹方程为4x、22 a) 4y 2,2ab【解析】：设AB的中点为R,坐标为(x,y),那么在RtAABP中,|AR|=|PR］又由于R是弦AB的中点,依垂径定理? 在RtA OAR中,|AR|2=|AO |2- |OR|2=36 — (x2+y2)又|AR|=|PR|= (x—4)2—y2所以有(x-4)2+y2=36- (x2+y2),即x2+y2-4x- 10=0因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动x 4 y 0设Q(x,y), R(x i,y i),由于R 是PQ 的中点,所以x i = ---------------- , y1-一2 2代入方程x2+y2-4x- 10=0,得(三)2 (尹4?-10=0整理得,x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程2 28.圆O:x y 4及一点P 1,0 , Q在圆O上运动一周, PQ的中点M形成轨迹C.(1)求轨迹C的方程；五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程. 其过程是选出一个适当的参数, 求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程.1、两点P( 2,2),Q(0,2)以及一条直线：y=x,设长为4'2的线段AB在直线上移动, 求直线PA和QB交点M的轨迹方程.【解析】：PA和QB的交点M (x, y)随A、B的移动而变化,故可设A(t,t), B(t 1,t 1),t 2 t 1那么PA : y 2 ——(x 2)(t 2), QB ：y 2 ——x(t 1).消去t ,得t 2 t 12 2x y 2x 2y 8 0.当t=—2,或t=—1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以点M的轨迹方程是x2 y2 2x 2x 2y 8 0.六、用点差法求轨迹方程21.椭圆—y2 1,2一1 1 . ....... ................... ...(1)求过点P 1,1 且被P平分的弦所在直线的方程；2 2(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A2,1引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程；分析：此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.M Xi, yi , N X2, y ,线段 MN 的中点 R x, y ,那么将③④代入得X 2y 里坐 0 .⑤X i X 2故所求的轨迹方程为：X 2—y 2 + 4X = 0 (X 0).(i)将X 1,y1代入⑤,得小 y 21,故所求直线方程为：2X 4y 3 0.⑥2 2X i X 22222i i将⑥代入椭圆万程 X 2 2y 2 2得6y 2 6y — 0,36 4 6 - 0符合题意,442X 4y 3 0为所求.(2)将、_」2 2代入⑤得所求轨迹方程为：x 4y 0.(椭圆内局部)x i x 2 (3)将yi y 22」代入⑤得所求轨迹方程为： x 2 2y 2 2x 2y 0 .(椭圆内局部)x i x 2 x 2七、引参消参法；假设题目出现当动点运动所受限制条件较多,不易直接建立X 、y 的某种联系,但且发现x 、y 同时受到另外一个变量 t (如角度、斜率、截距等)的制约而将它们用 t 表示,然后通过消去变量t 而得到所要求的动点的轨迹方程 f(x, y)=0.例7、过点M(-2, 0)作直线L 交双曲线x 2 —y 2 = i 于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行 四边形OAPR 求动点P 的轨迹方程.解：设过 M 的直线方程为：y = k (x + 2) (k 0, k i),代入双曲线 x 2—y 2 = i 得：(i — k 2) x 2 -4 k 2x -4 k 2 - i = 0 OAPB 为平行四边形,那么：4k 2X p = X A + X B = ---V ；yi k4k y p = N A + y B = k (X A + X B ) + 4k = ---y ° BP Ai k解：设弦两端点分别为 X 2y 2 2, x 2 2y 2 2, x i x 2 2x, y i y 2 2y ,①一②得 X i X 2 X i X 2 2 y i y 2 y i y 2 0.X 2 ,那么上式两端同除以X 1 X 2 ,有 X i X 2 2 y iy 2 V y 2X i X 20,①由题意知X i2、点P在直线x=2上移动,直线l通过原点且和OP 垂直,通过点A(1 , 0)及点P的直线m和直线l相交于点Q求点Q的轨迹方程.解如图1所示,设OP所在直线的斜率为k,那么点P的坐标为(2 , 2k).由l OP ,得直线的方程为x+ky=0. ①易得直线m的方程为y=2k(x-1). ②由于点Q(x, y)是直线l和直线m的交点,所以将①②联立,消去k,得点Q的轨迹方程为2x2 y20〔x木〕.P2X。