高三理数一轮复习：第十二章 排列组合、二项式定理、概率

高考数学一轮复习知识点之排列组合和概率
陈列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素停止排序。

以下是查字典数学网整理的高考数学一轮温习知识点，请考生学习。

.解陈列组分解绩的依据是：分类相加，分步相乘，有序陈列，无序组合。

解陈列组分解绩的规律是：相邻效果捆绑法;不邻效果插空法;多排效果单排法;定位效果优先法;定序效果倍缩法;多元效果分类法;有序分配效果法;选取效果先排后排法;至少至少效果直接法。

.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。

二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。

二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r.
.你掌握了三种罕见的概率公式吗?(①等能够事情的概率公式;②互斥事情有一个发作的概率公式;③相互独立事情同时发作的概率公式。

)
.二项式展开式的通项公式、n次独立重复实验中事情A发作k次的概率易记混。

通项公式：它是第r+1项而不是第r项;
事情A发作k次的概率：。

其中k=0，1，2，3，，n，且0
.求散布列的解答题你能把步骤写全吗?
如何对总体散布停止估量?(用样本估量总体，是研讨统计效果的一个基本思想方法，普通地，样本容量越大，这种估量就越准确，要求能画出频率散布表和频率散布直方图;了解频率散布直方图矩形面积的几何意义。

)
.你还记得普通正态总体如何化为规范正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示规范正态总体取值小于的概率)
高考数学一轮温习知识点的一切内容就是这些，查字典数学网预祝广阔考生可以取得更优秀的效果。

思维导图——排列、组合、二项式定理、概率知识点默写——排列、组合与二项式定理*1、分类加法计数原理：*2、分步乘法计数原理：3、排列数mn A 的含义：4、计算：m n A =*5、在m n A 中，若m n <，这样的排列叫作；若m n =，这样的排列叫作；6、阶乘!n =；nn A =；规定，0!=；7、组合数mn C 的含义：8、计算：m n C ==；9、组合数的性质（1）m n C =；（2）1m m n n C C -+=；（3）0121n nn n n n n C C C C C -+++++=.10、（1）对于*n N ∈，()na b +=.该公式所表示的定理叫作，右边的多项式叫作()na b +的；展开式共有项数为项.（2）二项展开式的通项1r T +=，表示第项.（3）二项展开式中的二项式系数为；项的系数是指.11、（1）对称性：与首末两端的两项的二项式系数相等，即(0,1,2,,)r n rn n C C r n -==（2）二项式系数最大的项在中间.当幂指数n 为偶数时，最大的二项式系数为，最大二项式系数为第项；当n 为奇数时，最大的二项式系数为，最大的二项式系数为第项.（3）二项式系数之和为.二项展开式中，各奇数项的二项式系数之和与各偶数项的二项式系数之和相等，即：==.12、若7270127(1)x a a x a x a x -=++++ ，令，得0127a a a a ++++=.一、特殊元素特殊位置优先1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？二、相邻元素捆绑法2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？三、不相邻问题插空法3、一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则所有节目共有多少种出场顺序？四、定序问题倍缩法、空位法、插入法4、7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法？五、排列组合混合问题先选后排法5、有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同装法？六、元素相同问题隔板法6、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？七、平均分组问题除法策略7、有6本不同的书，平均分成3堆，每堆2本，共有多少种分法？八、合理分类与分步策略8、在一次演唱会上共有10名演员，其中8人能够唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？九、构造模型策略9、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？。

排列组合二项式定理、概率统计知识点总结精华1．抽样方法;⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会 ，就称这种抽样为简单随机抽样。

注：①每个个体被抽到的概率为 ；②常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。

③从含有N 个个体的总体中,抽取n 个体,则每个体第一次被抽到概率1N,第二次被抽到概率1N,…,故每个个体被抽到的概率为n N,即每个个体入样的概率为n N.⑵系统抽样：步骤：①编号；②分段；③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ；④按预先制定规则抽取样本。

⑶分层抽样：当总体差异比较明显，将总体分成几部分，然后按照各部分 进行抽样，这种抽样叫分层抽样。

每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数⨯Nn ; 2. 总体特征数的估计：⑴样本平均数x = ；⑵方差222121[()()nS x x x x =-+-+2()]n x x ⋅⋅⋅+-去估计总体方差。

⑶样本标准差])()()[(122221x x x x x x n S n -+⋅⋅⋅+-+-==21)(1x x nni i-∑=3.(理科)排列数公式:!!()!(1)(1)(,,*)mn n m n m A n n n m m n m n N -=--+=≤∈,!n n A n =.组合数公式：(1)(1)()!(1)(2)321mm n nA n n n m C m n m m m m ⋅-⋅⋅⋅--==≤⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅,01nn n C C ==. 组合数性质：m n m n n C C -=；11r r r n n n C C C -++=.4. (理科)二项式定理：⑴掌握二项展开式的通项：1(0,1,2,...,)r n r rr nT C a b r n -+==； ⑵注意第r ＋1项二项式系数与第r ＋1项系数的区别. 6. 线性回归相关系数：=7．独立性检验（分类变量关系）：22()()()()()χ-=++++n ad bc a b c d a c b d .()20χ≥P x0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x2.7063.841 5.024 6.635 7.87910.828随机变量2χ越大，说明两个分类变量，关系 ，反之，经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。

第十二章排列组合、二项式定理、概率高考导航考纲要求备考策略计数原理1.理解分类加法计数原理和分步乘法计算原理，能正确区分“类”和“步”并能用两个原理分析和解决一些简单的实际问题；2.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；3.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；4.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.排列组合、二项式定理、概率是高考的重点内容.高考中一般以选择、填空的形式考查排列组合、二项式定理、古典概型、几何概型及概率的计算，以解答题的形式考查概率与分布列、期望、方差的综合，属中、低档题.复习时采用以下应对策略：1.立足基础知识和基本方法的复习，恰当选取典型例题，构建思维模式，造就思维依托和思维的合理定势，加强思维的规范训练.2.提高做题能力，通过变式题的训练，实现常规题向典型问题的转化，进行多种解法训练，提高分析解决问题的能力.3.抓好“操作”训练，注意加强对解题过程的叙述与分析的练习.4.加强数学思想方法的训练，分类讨论、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想在本章中经常考查到，需要平时经常归纳总结.5.在复习中要控制好题目的难度，不做难题、偏题、怪题.随机事件的概率1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式；3.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件的个数及事件发生的概率；4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，了解几何概型的意义.离散型随机变量1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列；2.了解超几何分布，并能进行简单的应用；3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能运用它们解决一些简单的实际问题；4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题；5.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.知识网络12.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点诠释重点：理解分类加法与分步乘法计数原理，并会应用其解决实际问题.难点：计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理.典例精析题型一分类加法计数原理【例1】高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人.(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学校学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任校学生会体育部长，有多少种不同的选法？【思路分析】(1)这一名学生会主席的选法可分为三类，即从高三一班或二班或三班中选取；(2)这一名学生会体育部长的选法可分为三类，即从高三一班或二班男生中或从高三三班女生中选取.【解析】(1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法有165种.(2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有80种.【方法归纳】分类计数原理，首先将完成一件事的方法分类，然后再计算各类方法中分别有多少种方法可以完成该事件，最后求其和.注意：每类方法可以独立完成.【举一反三】1.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( D )A.3B.4C.6D.8【解析】当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，共有4个.故选D.题型二分步乘法计数原理【例2】如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有种.【思路分析】根据焊接点脱落与不脱落两种情况入手求解即可.【解析】13.每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，但电路通的情况却只有3种，即2或3脱落或全不脱落.由于每个焊接点有脱落与不脱落两种情况，所以共有24－3＝13种情况.【方法归纳】利用分步乘法计数原理解决问题应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.【举一反三】2.从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有240种.【解析】能去张家界的有4人，依次能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人，则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有4×5×4×3＝240种.题型三分类加法和分步乘法计数原理综合应用【例3】如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A.240B.204C.729D.920【思路分析】由于中间数最大，可先按中间数进行分类，再按两边的数分步进行解答.【解析】A.分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个).故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).【方法归纳】对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类. 【举一反三】3.在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有 40 个.【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)； 第二类，有两条公共边的三角形共有8(个). 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).体验高考(2015广东)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)【解析】1 560.因为同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，所以全班共写了40×39＝1 560条毕业留言.【举一反三】(2016惠州调研)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( B )A.14B.13C.12D.9 【解析】由于a ，b ∈{－1,0,1,2}.(1)当a ＝0时，有x ＝－b2为实根，则b ＝－1,0,1,2，有4种可能；(2)当a ≠0时，因为方程有实根， 所以＝4－4ab ≥0，所以ab ≤1.(*)①当a ＝－1时，满足(*)式的b ＝－1,0,1,2，有4种可能. ②当a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能. ③当a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能.所以由分类加法计数原理，有序数对(a ，b )共有4＋4＋3＋2＝13(个).12.2 排列与组合考点诠释重点：理解排列、组合的意义，掌握排列数与组合数公式，会解决排列组合的实际问题. 难点：如何区分排列问题与组合问题，灵活解决排列组合的综合问题.典例精析题型一 有限制条件的排列问题【例1】3男3女共6个同学排成一行. (1)女生都排在一起，有多少种排法？ (2)女生与男生相间，有多少种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有多少种排法？(4)3名男生不排在一起，有多少种排法？(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？【思路分析】(1)用捆绑法；(2)(3)用插空法；(4)用排除法，全排后减去男生在一起的排法数；(5)用特殊元素优先法.【解析】(1)将3名女生看作一人，就是4个元素的全排列，有A44种排法.又3名女生内部有A33种排法，所以共有A44·A33＝144种排法.(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有2种插法)，所以女生与男生相间共有2A33·A33＝72种排法.(3)女生先排，女生之间及首尾共有4个空隙，任取其中3个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A33·A34＝144种.(4)直接分类较复杂，可用间接法，即从6个人的排列总数中减去3名男生排在一起的排法种数，得3名男生不排在一起的排法种数为A66－A33A44＝576种.(5)先将2个女生排在男生甲、乙之间，有A23种排法.又甲、乙有A22种排法，这样就有A23·A22种排法.然后把他们4人看成一个元素(相当于一个男生)，这一元素及另1名男生排在首尾，有A22种排法.最后将余下的女生排在其间，有1种排法.故总排法为A23A22A22＝24种.【方法归纳】解决排列类应用题的主要方法：(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后除以定序元素的全排列.【举一反三】1.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？【解析】(1)A15A35＝300或A46－A35＝300(间接法).(2)A35＋A12A14A24＝156.(3)千位是1的四位数有A35＝60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A24＝24个，所以第85项是2 301.题型二有限制条件的组合问题【例2】从7名男生5名女生中选取5人，符合下列条件的选法总数有多少种？(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.【思路分析】(1)从剩下10人中选3人；(2)从剩下10人中选5人；(3)(4)用排除法；(5)分三步进行.【解析】(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，所以有C310＝120种.(2)从除去A，B两人的10人中选5人即可，所以有C510＝252种.(3)全部选法有C512种，A，B都当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种.(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，所以有C512－C15·C47－C57＝596种选法.(5)分三步进行：第一步，选1男1女分别担任两个职务，有C17·C15种；第二步，选2男1女补足5人，有C26·C14种；第三步，为这3人安排工作，有A33种.由分步乘法计数原理知，共有C17·C15·C26·C14·A33＝12 600种选法.【方法归纳】在解组合问题时，常遇到“至多”“至少”问题，此时可考虑用间接法求解以减少运算量，如果同一个问题涉及排列组合问题，应注意先选后排的原则.【举一反三】2.某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选.【解析】(1)一名女生，四名男生.故共有C15·C48＝350种.(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种.(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长.故共有C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用排除法：C513－C511＝825种.(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.故选法有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种.(5)分两类：第一类，女队长当选：C412；第二类，女队长不当选：C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.故选法共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790种.题型三排列、组合的综合问题【例3】有4种不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒子内有2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？【思路分析】考虑相关限制条件，然后逐一列式求解.【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256种.(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出1个，有C14种方法，将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，有C13种方法，其余两个球，两个盒子，全排列即可，即A22.由分步乘法计数原理，放法有C14·C24·C13·A22＝144种.(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”含义相同.故也有144种放法.(4)先从四个盒子中任意拿走两个有C24种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数字看，可分为(3,1)，(2,2)两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12种放法；第二类：有C24种放法.因此共有C34·C12＋C24＝14种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C24·14＝84种.【方法归纳】求解排列、组合综合题的一般思路：排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.【举一反三】3.有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【解析】(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共有(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种.(2)除去该女生后，先取后排，有C47·A44＝840种.(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种.(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，选出的3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种.体验高考(2015四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【解析】B.数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数，比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾，有2A34＝48个；同理，以5开头的有3A34＝72个.于是共有48＋72＝120个，故选B.【举一反三】(2014福建)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b ＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( A )A.(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B.(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C.(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D.(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)【解析】从5个有区别的黑球中取k 个的方法数为C k 5，故可用(1＋c )5的展开式中c k 的系数表示.又所有的蓝球都取或都不取用1＋b 5表示.再由乘法原理知，符合题意的取法可由(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5表示.12.3 二项式定理考点诠释重点：理解二项式定理，熟记其展开式及通项；理解二项式系数的性质，并能应用其解决问题.难点：二项式系数与项的系数的区别和联系，灵活运用公式解题.典例精析题型一 求二项展开式中的指定项 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.(1)求n ；(2)求含x 2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【思路分析】本题主要考查二项式的展开式，解题关键是写出通项，转化为方程问题求解. 【解析】(1)通项公式为，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，所以所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z ，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝5－32k ，因为k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8. 所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2. 【方法归纳】1.掌握二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键.除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质；2.应用通项公式求二项展开式的特定项，如求某一项、含x 某次幂的项、常数项、有理项、系数最大的项等，一般是应用通项公式根据题意列方程，在求得n 或r 后，再求所需的项(要注意n 和r 的数值范围及大小关系)；3.注意区分展开式“第r ＋1项的二项式系数”与“第r ＋1项的系数”.【举一反三】1.若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a 等于( C )A.2B.C.1D.24【解析】T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 7·27－r a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由C 5722·a 5＝84得a ＝1，故选C.题型二 运用赋值法求值【例2】若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 7＋a 6＋…＋a 1； (2)a 7＋a 5＋a 3＋a 1； (3)a 6＋a 4＋a 2＋a 0.【思路分析】所求结果与各项系数有关，可以考虑用“特殊值法”，即“赋值法”解决. 【解析】(1)令x ＝0，则a 0＝－1；令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128，① 所以a 7＋a 6＋…＋a 1＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得a 7＋a 5＋a 3＋a 1＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12[128＋(－4)7]＝－8 128.【方法归纳】赋值法求系数和的应用技巧：(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，偶次项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，奇次项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.令x＝0，可得a 0＝f (0).【举一反三】2.在(2x －3y )10的展开式a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和.【解析】由题意知，(2x －3y )10＝C 010(2x )10(－3y )0＋C 110(2x )9(－3y )＋…＋C 1010(2x )0(－3y )10. (1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)在二项展开式中，令x ＝y ＝1，得各项系数和为(2－3)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)在(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10中， 令x ＝1，y ＝1，得 1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10.① 当x ＝1，y ＝－1，得 510＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 10.②①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＝510＋1， 所以奇数项系数和为510＋12.①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510.所以偶数项系数和为1－5102.题型三 二项式定理的综合应用【例3】已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 【思路分析】(1)可利用“赋值法”求各项系数的和； (2)可利用展开式中的通项公式确定T k ＋1中k 的值； (3)可利用通项公式求出k 的取值范围，再确定项. 【解析】由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4， 第三项的系数为C 2n ·(－2)2， 则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去).(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·⎝⎛⎭⎫－2x 2k ＝C k 8·(－2)k ·x ，令8－k 2－2k ＝32，则k ＝1，故展开式中含x 的项为T 2＝－16x .(3)设展开式中的第k 项，第k ＋1项，第k ＋2项的系数绝对值分别为C k －18·2k －1，C k 8·2k ，C k ＋18·2k ＋1，若第k ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2k －1≤C k 8·2k ，C k ＋18·2k ＋1≤C k 8·2k.解得5≤k ≤6.又T 6的系数为负，所以系数最大的项为T 7＝1 792x －11.由n ＝8知第5项二项式系数最大， 此时T 5＝1 120x －6.【方法归纳】求展开式中系数最大的项，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1解出k ，即可求得.【举一反三】3.求二项式⎝⎛⎭⎫x －2x 28的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项和系数最小的项.【解析】(1)二项式系数最大的项即展开式的中间项，也即第5项，所求项为T 4＋1＝C 48(x )4⎝⎛⎭⎫－2x 24＝1 120x6.(2)先求系数绝对值最大的项，设第r ＋1项的系数的绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 82r ≥C r －182r －1，C r 82r ≥C r ＋182r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥19－r，18－r ≥2r ＋1，解得5≤r ≤6，即第6项和第7项的系数绝对值最大.由于第6项的系数为负，第7项的系数为正， 所以第7项是系数最大的项，这一项为T 6＋1＝C 68(x )2·⎝⎛⎭⎫－2x 26＝1 792x －11； 第6项是系数最小的项，这一项为T 5＋1＝C 58(x )3·⎝⎛⎭⎫－2x 25＝－1 792x.体验高考(2015新课标Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60【解析】C.(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5的展开式中只有C 25(x 2＋x )3y 2中含x 5y 2，易知x 5y2的系数为C 25C 13＝30，故选C.【举一反三】(2015新课标Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝ 3 .【解析】设f (x )＝(a ＋x )(1＋x )4，则其所有项的系数和为f (1)＝(a ＋1)·(1＋1)4＝(a ＋1)×16.又奇数次幂项的系数和为12[]f (1)－f (－1)，所以12×(a ＋1)×16＝32，所以a ＝3.12.4 随机事件的概率考点诠释重点：理解频率与概率的区别与联系，互斥事件与独立事件的区别与联系，会求随机事件的概率.难点：对概率的概念和随机事件间的关系的理解，互斥事件概率加法公式的正确应用.典例精析题型一 频率与概率 【例1】某企业生产的乒乓球被某赛事组委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率m n(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)【思路分析】根据频率的计算公式f n (A )＝mn ，其中n 为相同条件下重复的试验次数，m为事件A 发生的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率.【解析】(1)依据公式P ＝mn，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取的球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率为0.950.【方法归纳】从表中所给的数据可以看出，当所抽乒乓球较少时，优等品的频率波动很大，但当抽取的球数很大时，频率基本在0.95附近摆动，利用概率的统计定义，可估计该批乒乓球的优等品率.【举一反三】1.某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：射击次数 100 120 150 100 150 击中飞碟数 81 95 123 82 119 击中飞碟的频率(1)将各次击中飞碟的频率填入表中； (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？【解析】利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率.(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率在0.81的附近波动，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81. 题型二 随机事件间的关系 【例2】某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率.【思路分析】根据古典型公式及互斥事件的概率公式可求解.【解析】将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，可见共有10种.令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则D ，E 互斥，F ＝D ＋E ，(1)P (D )＝110；(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.【方法归纳】应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和.【举一反三】2.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试问：得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？【解析】分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，D .由于A ，B ，C ，D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝1，P (B )＋P (C )＝512，P (C )＋P (D )＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝13.所以得到黑球、黄球、绿球的概率分别为14，16，13.题型三 对立事件的概率【例3】一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球.求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.【思路分析】―→求P (A 1)，P (A 2)，P (A 3)，P (A 4) (1)P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)―→结果 (2)P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)―→结果【解析】记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率即取出1球不是绿球，为P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.。

胡文2021年高三数学一轮复习必备精品：排列、组合、二项式定理11．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时 两个计数原理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。

高三总复习排列组合二项式定理和概率一、本讲进度«排列、组合、二项式定理和概率» 二、本讲要紧内容1、排列数、组合数的运算、化简、证明等；会解排列、组合应用题，把握常见应用题的处理思路。

2、把握二项式定理，会用展开式通项求有关展开式的咨询题。

3、明白得随机事件的概率，会求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互独立事件同时发生的概率。

三、复习指导1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直截了当解题。

它们的共同点差不多上把一个事件分成假设干个分事件来进行运算。

只只是利用分类运算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续假设干步才能完成的那么是分步。

利用分类计数原理，重在分〝类〞，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。

比较复杂的咨询题，常先分类再分步。

2、排列数与组合数差不多上运算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列〔既取又排〕个数的公式，组合数是研究组合〔只取不排〕个数的公式，是否有序是它们之间的本质区不。

排列数公式：)!m n (!n )]1m (n [)2n )(1n (n A m n -=----= ，当m=n 时，!n 12)1n (n A m n =⋅-= ，其中m ，n ∈N +，m ≤n ，规定0!=1组合数公式：)!m n (!m !n !m )]1m (n [)2n )(1n (n A A C m mm n m n-=----==组合数性质：m 1n 1m n m n m n n m n C C C ,C C +--=+=，规定1C 0n =，其中m ，n ∈N +，m ≤n3、处理排列组合应用题的规律 （1）两种思路：直截了当法，间接法 （2）两种途径：元素分析法，位置分析法〔3〕对排列组合的混合题，一样先选再排，即先组合再排列。

弄清要完成什么样的事件是前提 〔4〕基此题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法，平均分组法，逆向摸索法等4、二项式定理nn n r r n r n 1n 1n n 0n n b C b a C b a C a C )b a (+++++=+-- 通项公式r1n r n 1r b aC T -+=，r=0，1，2，…，n 二项式系数的性质：〔1〕对称性，在展开式中，与首末两端〝等距离〞的两个二项式系数相等，即nn 0n C C =， r n n r n 2n n 2n 1n n 1n C C ,,C C ,C C ---=== ；〔2〕增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间一项2n n C 最大；当n是奇数时，中间两项21n n C -，21n n C +相等，且为最大值；〔3〕 +++=+++=++++5n 3n 1n 4n 2n 0n n n n 2n 1n 0n C C C C C C ,2C C C C5、概率（1）概率是频率的近似值，两者是不同概念 （2）等可能事件中概率nm)A (P =，P(A)∈[0，1] （3）互斥事件A ，B 中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B) 特例：A B =时，1)A (P )A (P =+，即对立事件的概率和为1 〔4〕相互独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)=P(A)P(B)〔5〕事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C n k P k(1-P)n-k，其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项四、典型例题例1、用n 种不同颜色为以下两块广告牌着色〔如图〕，要求在①，②，③，④个区域中相邻〔有公共边界〕的区域不用同一种颜色。

高考数学一轮复习知识点之排列、组合和概率排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

以下是查字典数学网整理的高考数学一轮复习知识点，请考生学习。

.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。

.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。

二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。

二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r..你把握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。

) .二项式展开式的通项公式、n次独立重复试验中事件A发生k次的概率易记混。

通项公式：它是第r+1项而不是第r项;事件A发生k次的概率：。

其中k=0，1，2，3，，n，且0家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情形及时传递给家长，要求小孩回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高专门快。

.求分布列的解答题你能把步骤写全吗?如何对总体分布进行估量?(用样本估量总体，是研究统计问题的一个差不多思想方法，一样地，样本容量越大，这种估量就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;明白得频率分布直方图矩形面积的几何意义。

)要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。

在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。

高三数学排列与组合、二项式定理及概率知识系统讲解●知识考点1．正确理解和掌握分类计数原理及分步计数原理．利用分类计数原理及分步计数原理解决实际问题．234561，和按事件发生的连续过程“分步”．2．对于含有多个限制条件的问题，应先分析每个限制条件，然后综合考虑是用“直接法”(优先考虑多个限制条件) 逐个满足限制条件；还是用“间接法”(排除法) 先不考虑限制条件的问题, 然后排除不合条件的情形；有时也可用先局部满足限制条件、放弃部分限制条件方法进行；有时需用集合的对应关系来分析；有时可选择不同的途径进行思考；以便对照检验，防止重复或遗漏；有时也可用数字缩小来检验．3．解排列与组合应用题常用的方法有：直接计算法与间接计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种．4． 解排列与组合应用题经常运用的数学思想是：①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想． 5．二项式定理实质是公式222()2a b a ab b +=++、33223()33a b a a b ab b +=+++的推广, 它 揭示了二项式的n 次幂的展开式在项数、系数、次数等方面的联系, 特别是通项公式即展开式第1r +项67=●典例精析【例1】从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A．210种B．420种C．630种D．840种解析本题考查排列、组合的基础知识，以及综合运用知识解决实际问题的能力．选出3位老师后，派到3个班担任班主任的不同排法是一个简单的排列问题．因此，解决问题的关键是要确定从9位老师中选出符合要求的3位老师的选法．由于存在不同情況，所以需要分类讨论，在每一种情况中，又需应用组合的意义及分步原理．由此可看出，本题综合考查了考生对排列、组合意义的理解，分步原理的应用，以及分类Ca解析解法一：（直接法）当首位排2，次位排3时，有P33－1种；次位排4、5时有2P33种，共计17种；当首位排3，P44种，共计24种；当首位排4，次位排3时，有P33－1种；次位排1、2时有2P33种，共计17种；以上总计17+24+17=58种．解法二：（间接法）不作限定时有55P120种；当首位排1或5时，各有P44种，共计48种不满足要求；当首位排2，次位排1时，有P33种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求；当首位排4，次位排5时，有P 33种；而次位排3时有1种，共计7种不满足要求； 因此共有120－48－7－7=58种排法，即58个数． 【答案】C【例5】若)(...)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-，则(解 将一班3位同学视为一个整体，将这一整体与其他班的5位同学进行全排列,共有6633A A 种方法，并且他们之间共留下了7个空隙，将余下的二班的2位同学分别插入,共有27A 种方法，故一班有3位同学恰好被排在一起，而二班的2位同学没有排在一起排法总数为6633A A 27A .故所求的概率为 2011010276633=A A A A .【答案】B 【例7】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为2.,（Ⅰ）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（Ⅱ）求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；（Ⅲ）假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 分析本题主要考查相互独立事件同时发生或互斥事件发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解(1)记“甲连续射击4次至少有一次末中目标”为事件A 1，由题意知，射击4次，相当于作4次独立重复试验，故)(1)(11A P A P -=＝.8165)32(14=- 答：甲连续射击4次至少有一次末中目标的概率为：.8165 （2）记“甲射击4次，恰有2次射中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰有3次射中目标”为事件B 2，，2名新队员的排法有 2A ．7 B ．7 C ．7 D ．73. (2006年全国高考安徽卷)设常数0a >，42ax⎛+ ⎝展开式中3x 的系数为32，则a ＝__ _ ． 4. (2006年全国高考全国Ⅰ卷)安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有___ ______种．（用数字作答）5.(2006年全国高考山东文科卷) 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率；(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念；(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率.6，8.(2006年全国高考四川文科卷) 某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率．（结果保留三位小数）高考链接答案:6. 解：（I ）“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A ，由题意149)(3816222612=++=C C C C C A P （II ）“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B ，则283)(381622==C C C B P（III ）“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C ，“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D ，由题意，C 与D 是对立事件，因为73)(36162214==C C C C D P , 所以74731)(1)(=-=-=D P C P . 7. 设A i 表示事件“第二箱中取出i 件二等品”，i =0，1；B i 表示事件“第三箱中取出i 件二等品”，i =0，1，， 解法1：()()123123123123P C P A A A A A A A A A A A A =+++()()()()123123123123P A A A P A A A P A A A P A A A =+++0.90.80.30.90.20.70.10.80.70.90.80.7=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.902=解法2：()()1P C P C =-()1231231231231P A A A A A A A A A A A A =-+++()()()()1231231231231P A A A P A A A P A A A P A A A ⎡⎤=-+++⎣⎦()10.10.20.30.90.20.30.10.80.30.10.20.7=-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10.098=- 0.902=所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902（Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件D()()()()112233P D P A B A B A B =⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦()()()112233P A B P A B P A B =⋅⋅⋅⋅⋅()()()()()()112233P A P B P A P B P A P B =⋅⋅⋅⋅⋅0.90.80.80.80.70.9=⨯⨯⨯⨯⨯ 0.254016=0.254≈所以，这三人该课程考核都合格的概率为0.254。