初中数学总复习《一元二次方程》提高测试

初中数学一元二次方程提高练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A. 0B. 1C. −3D. −12.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.3.对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定4.下列命题正确的是（）A. 若分式的值为0，则x的值为±2．B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．C. 若，则．D. 若，则一元二次方程有实数根．5.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（）A. 0B.C.D.6.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个7.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）A. ②B. ①③C. ②③④D. ②④8.一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.9.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A. 3B. ﹣3C. 5D. ﹣511.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A. 9B. 8C. 7D. 612.设是方程的两个实数根，则的值是( )A. -6B. -5C. -6或-5D. 6或5二、填空题（共5题；共5分）13.已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为________．14.一元二次方程的解为________．15.已知关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．16.若方程的根也是方程的根，则________.17.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.三、计算题（共3题；共25分）18.解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）.19.解下列方程：（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；（2）x2﹣4x+2＝0.20.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.四、解答题（共2题；共10分）21.阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得，解得；故答案为：B．【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤ 且k≠0，故答案为：C．【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．3.【答案】B【解析】【解答】解：，，不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故答案为：B．【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．4.【答案】D【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；C.可以假设b=2，a=1，满足，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；D. ，当时，，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．故本题选择D．【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．5.【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故答案为：D.【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.6.【答案】D【解析】【解答】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆= ，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：D.【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.7.【答案】D【解析】【解答】解：①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；②由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；④由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；综上，正确的是②④ .故答案为：D.【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.8.【答案】B【解析】【解答】,,.故答案为：B.【分析】配方法的基本步骤，在方程两边加上一次项系数的一半的平方。

第二章 一元二次方程分类提升训练 2024--2025学年 北师大版 九年级数学上册一、单选题1．关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．9B ．6C ．4D ．2．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．B ．C．D ．3．已知关于x 的方程有两个相等的实数根，则（）A ．10B ．25C ．D ．4．设，是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+2=0的两个实数根，且(x 1+1)(x 2+1)=13，则m 的值为（ ）A ．2B ．4C ．2或D ．或45．某厂家今年一月份的口罩产量是50万个，三月份的口罩产量是80万个，若设该厂家一月份到三月份口罩产量的月平均增长率为x ，则所列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为( )A ．B ．C ．或D ．或7．一个研究小组有若干人，互送研究成果，若全组共送研究成果72个，这个小组共有（ ）人A ．8B ．9C ．10D ．72240x x m ++=1-22510x y ++=20ax bx c +-=212x x +=20x =2100x x m -+=m =25-25±1x 2x 4-2-250(1)80x +=250(1)80x -=()501280x +=()250180x +=26y x =-+x A y B P AB (A B)P OA OB C D OCPD 4P ()2,21,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,41,52⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,4()2,28．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，则一次项系数、常数项分别是（ ）A ．、B ．、C ．、D ．、9．已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( )A ．B ．C ．或D ．或二、填空题10．已知，是一元二次方程的两根，则　　．11．数字下乡，农货上行，直播逐渐成为农户销售农产品的重要渠道，某地农村网商年为家，年达到家，设年到年农村网商的月平均增长率为，根据题意可列方程为　　．12．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ．13．已知关于的 方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ．14．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为　　．15． 二次项系数为，且两根分别为，的一元二次方程为 ．（写成的形式）16．如图，在等边三角形中，D 是的中点，P 是边上的一个动点，过点P 作，交于点E ，连接．若是等腰三角形，则的长是　　．2316x x +=36-16161-6-1-αβx 22(23)0x m x m +++=111αβ+=-m 3131-3-11x 2x 2320220x x --=2111234x x x x --+=202115002023216020212023x x 210x kx k +++=1x 2x 22121x x +=k x 21(1)02m x --=m x 211x =212x =20ax bx c ++=ABC AC AB PE AB ⊥BC ,DP DE 8,AB PDE =V BP三、解答题17．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为元个时，七月销售个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到个．（1）求八，九两月销量的月平均增长率；（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低元，月销量在九月销量的基础上增加个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利元？18．解方程：（1）（2）19．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 m ，n.（1）求t 的取值范围.（2）当t=3时，解这个方程.（3）若m ，n 是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q 的最小值.20．某水果超市以每千克元的价格购进一批水果，然后以每千克元的价格出售，一天可以售出千克．通过调查发现，每千克的售价每降低元，一天可以多售出千克．（1）若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是______千克，每千克盈利______元（用含x 的代数式表示）；.2030/2002881318002531x x x -=+3(2)2(2)x x x -=-222tx t 2t 40x -+-+=9121000.120x（2）要想一天盈利元，且保证一天销售量不少于千克，商店需将每千克的售价降低多少元？21．若是关于x 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根和系数a 、b 、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知是关于x 的一元二次方程x 2−2(m+1)x+m 2+5=0的两实数根．（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）已知等腰三角形的一边长为，若、恰好是另外两边的长，求这个角形的周长．22．某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A 型水杯（个）B 型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？50025012x x 、12x x 、12b x x a +=-12cx x a=12x x 、m ()()121119x x --=m ABC 71x 2x ABC ∆23．某网店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个120元的价格进货．（1）经过市场调查发现，当每个背包的售价为140元时，月均销量为980个，售价每增长10元，月均销量就相应减少30个，若使这种背包的月均销量不低于800个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在实际销售过程中，由于原材料涨价和生产成本增加的原因，每个背包的进价为150元，而每个背包的售价比（1）中最高售价减少了a%（a＞0），月均销量比（1）中最低月均销量800个增加了5a%，结果该店销售该背包的月均利润达到了40000元，求在实际销售过程中每个背包售价为多少元？答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】404811．【答案】1500(1+x )2=216012．【答案】13．【答案】0≤m≤2且m≠114．【答案】15．【答案】16．【答案】或或．17．【答案】（1）解：设八，九两月销量的月平均增长率为，由题意可得：，解得：，，不符合题意，舍去，答：八，九两月销量的月平均增长率为；（2）解：设该品牌头盔售价降低元，，整理得：，解得：，不符合题意，舍去，元，答：该品牌头盔售价为元时，超市十月能获利元．18．【答案】（1）解：原方程化为，，，，1-2300(1)363x +=22310x x -+=3-+412-x 2200Ω)288%x +=10.220%x ==22x =-()20%a ()()302028831800a a --+=2863600a a +-=14a =290(a =-)3030426(a -=-=)26180025410x x --=5a =4b =-1c =-所以，所以方程有两个不相等的实数根，即，（2）解：原方程可化为，所以，所以，．19．【答案】（1）解：∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac ＞0即4t 2-4（t 2-2t+4）＞0，解之：t>2（2）解：当t=3时，x 2-6x+7=0解之：x₁=3+，x₂=3- （3）解：∵m ，n 是方程的两个实数根，∴m+n=2t ，mn=t 2-2t+4，∴Q=(m-2)(n-2)=mn-2（m+n ）+4=t 2-2t+4-4t+4=（t-3）2-1，当t=3时Q 有最小值为-1.20．【答案】（1），（2）商店需将每千克的售价降低元21．【答案】（1）m≥2；（2）m=5；（3）这个角形的周长为17．22．【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元．23．【答案】(1) 200元；(2) 190元22Δ4(4)45(1)360b ac =-=--⨯⨯-=>4610x ±==11x =215x =-3(2)2(2)0x x x -+-=(32)(2)0x x +-=12x =223x =-()100200x +()3x -2。

中考数学复习专项提升练习：一元二次方程一、选择题1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．2x2+x=1x−5B．x2−3x+2C．−5x2+3y−2=0D．y2=162．用配方法解一元二次方程式x2+4x-5=0，此方程可变形为（ ）A．（x+2）2=9B．（x-2）2=9C．（x+2）2=1D．（x-2）2=13．已知3x2=12，则x的值为（ ）A．4B．9C．2D．±24．关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为（ ）A．2B．−2C．2或−2D．05．如果关于x的一元二次方程k2x2−(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）A．k>－14B．k>－14且k≠0C．k<－14D．k≥－14且k≠06．设一元二次方程x2−3x+2=0的两根为x1,x2，则x1+x2−x1x2的值为（ ）A．1B．−1C．0D．37．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）A．3.2(1−x)2=3.7B．3.2(1+x)2=3.7C．3.7(1−x)2=3.2D．3.7(1+x)2=3.28．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1 ，则m的值是（ ）A．3B．1C．3或−1D．−3或1二、填空题9．m＝ 时，关于x的方程(m+1)x m2+1+mx+5=0是一元二次方程．10．已知一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．11．三角形的两边长分别为6和8，第二边长是方程x2−12x+20=0的一个实根，则第三边长为 ．12．已知α，β是一元二次方程x2−2023x−2024=0的两个根，则α2−2024α−β的值等于 . 13．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为 ．三、解答题14．解方程：（1）3x2−10x+6=0；（2）5(x+3)2=2(x+3)．15．已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+3m=0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x21+x22−x1x2=19，求m的值．16．方程14x2−kx+k2+2k−3=0是关于x的一元二次方程．（1）若这个方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若等腰三角形ABC的三边分别用a、b、c表示，其中一边a长为4，另外两边b、c长恰好是这方程的两个根，求△ABC的周长．17．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．18．某租赁公司拥有80辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为300元时，可全部租出．每辆车的日租金每增加5元，未租出的车将增加1辆．租出的车每辆每天的维护费为15元，未租出的车每辆每天的维护费为5 元．（1）当每辆车的日租金定为300元时，公司的当日日收益（租金收入扣除维护费）是多少元？（2）当每辆车的日租金定为360元时，能租出多少辆？（3）当每辆车的日租金定为多少元时，租赁公司的日收益（租金收入扣除维护费）可达23360元？参考答案1．D2．A3．D4．B5．B6．A7．B8．A9．110．±211．1012．113．（x﹣1）x=164014．（1）解：3x2−10x+6=0，∵a=3，b=−10，c=6，∴b2−4ac=(−10)2−4×3×6=28>0，∴x=−b±b2−4ac2a =10±286=5±73，∴x1=5+73，x2=5−73；（2）解：5(x+3)2=2(x+3)，5(x+3)2−2(x+3)=0，(x+3)(5x+13)=0，x+3=0或5x+13=0，解得x1=−3，x2=−135．15．（1）证明：∵Δ=b2−4ac =[−(m+3)]2−12m=m2+6m+9−12m=m2−6m+9=(m−3)2；又∵(m−3)2≥0，∴b2−4ac≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：∵x1+x2=m+3，x1⋅x2=3m，x21+x22−x1x2=19，∴(x1+x2)2−3x1x2=19，∴(m+3)2−3×3m=19，整理得m2−3m−10=0，解得m=5或m=−2，故m的值为5或−2．16．（1）解：∵方程14x2−kx+k2+2k−3=0有两个不相等的实数根∴Δ=b2−4ac=(−k)2−4×14(k2+2k−3)>0解得：k<32（2）解：①当b=c时，则Δ=b2−4ac=(−k)2−4×14(k2+2k−3)=0，解得k=32，把k=32代入原方程得：14x2−32x+94=0方程可化为x2−6x+9=0解方程得x1=x2=3，所以b=c=3，△ABC的周长=4+3+3=10；②当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程14x2−kx+k2+2k−3=0，可解得k=1当k=1时，方程化为14x2−x=0，解得x1=0，x2=4．x1=0即为c=0或b=0，不符合题意，舍去。

2024年浙教版数学八年级下学期第二章一元二次方程单元练习提高一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）A．2x+1=0B．x²−3x+1=0C．x²+y=1D．1=1x22．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（ ）A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=13．方程x2+5x=0的解为（ ）A．x=5B．x=-5C．x₁=0，x₂=5D．x₁=0，x₂=−54．我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1，x2=-3，现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是（ ）A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=-3C．x1=-1，x2=-3D．x1=-1，x2=35．关于x的一元二次方程x2−4x−k=0没有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k>4B．k<4C．k>−4D．k<−46．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2−11x+30=0的解，则这个三角形的周长是（ ）A．11B．11或12C．12D．107．已知x₁，x₂是方程：x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式x31−2024x1+x22的值是（ ）A．4 049B．4 047C．2 024D．18.假期老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（ ）A．7B．8C．9D．109．方程x2-2013|x|+2014=0的所有实数解的和是（ ）A．-2013B．0C．2 013D．2 01410．对于一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程a x2+c=0有两个不相等的实根，则方程a x2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程a x2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；②若x0是一元二次方程a x2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2其中正确的（ ）A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②二、填空题（每题4分，共24分）11．x=2是关于x的方程x2+mx+4=0的解，则m的值是 ．12．若(x2+y2)(x2+y2-2)=8，则x2+y2的值为 ．13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 ．14．若实数a,b满足（4a+4b）（4a+4b-2）-8=0，则a+b=_________．15．已知关于x的一元二次方程，x2+ax+(m+1)(m+2)=0对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是_____.16.《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7−4=3.”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为 ．三、解答题（共8题，共66分）17．解下列方程．（1）x2-2=x；（2）2x2+x-1=018．已知关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，求另一个根及m的值．19．已知方程x2-3x-1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，求a+b-2c的值.20．已知关于x的方程k x2+(k+1)x+k=0有实数根.4（1）当k=4时，求解上述方程.（2）求k的取值范围.（3）是否存在实数k，使方程有两个根且两根的倒数和为1? 若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.21．定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“和美”方程．（1）当b＜0时，判断此时“和美”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．（2）若“和美”方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．22．已知a＞0，b＞a+c，判断关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况.23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》能力提升检测卷(含答案）时间：90分钟 总分100分一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列方程中,是一元二次方程的是（ ）A. x 2+y =3B. 112=-x xC. x 2-3=0D. 2x +1=0 2.一元二次方程(x +3)(2X-1)=9化为一般形式后正确的是（ ）A. 2x 2+5x -12=0B. 2x 2+6x +12=0C. x 2+3x -6=0D. 2x 2-5x -3=93.若m ,n 是一元二次方程x 2+2x -25=0的两个实数根,则m +n 的值为( )A. -2B. 2C. -25D. 254.某衬衫经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为( )A. 10%B. 15%C. 20%D. 25%5.关于x 的一元二次方程(a -2)x ²-3x -2=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A. a >87B. a <87C. a >87且a ≠2D. a >78 且a ≠2 6.给出一种运算：a b =(a +b )b ,如2 3=(2+3)×3=15,若方程2 x =k 的一个根为2,则另一个根为( )A. 4B. -4C. 8D.-87.若x =a 是方程x ²+x -1=0的一个根，则代数式-(a -1)²-3a 的值为( )A. 2B. 1C.-1D.-28.某社区服务中心为解决居民停车难的问题，准备利用社区内一块矩形空地修建一个停车场(如图).已知停车场的长为52米，宽为20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道.设通道的宽是x 米，若停车位的面积为482平方米.依题意可列出方程( )A. 2×20x +52x =52×20-482B. 20x +2×52x -x ²=52×20-482C.(52-2x )(20-2x )=482D.(52-x )(20-2x )=482第8题图9.已知关于x 的一元二次方程x ²+5x -k =0,当-6≤k ≤0时，该方程根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定10.欧几里得的《原本》中记载着方程x ²+ax =b ²的图解法：画R t △ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b ,再在斜边AB 上截取BD=BC.则该方程的一个正根是( )A. AC 的长B. CD 的长C. AD 的长D. BC 的长 第10题图二、填空题(每小题3分，共18分)11.已知(m -2)x |m |+3x +2=0是关于x 的一元二次方程，则m =________.12.一元二次方程x ²+21x =20x +20×21的根是__________.13.若关于x 的一元二次方程(a -2)x ²-3x +1=0有实数根，则整数a 的最大值为________.14.已知关于x 的一元二次方程x ²+6x +4k -8=0的一个根与分式方程23313)(-=--x x x 的根相等，则k 的值为___________.15. 阅读下面的诗词然后解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方与寿符.哪位学子算得快，多少年华属周瑜?请你通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄为__________.16.若x ₁,x ,是一元二次方程x ²-3x +1=0的两个实数根，则x 1²+x 22-2的值为_______.三、解答题(共52分)17.(6分)选择合适的方法解一元二次方程.(1)3(x +2)²=(x -2)²; (2)(x +3)²=2x +6.18.(6分)已知关于x 的方程x ²-3x +m -2=0有两个实数根x ₁,x ₂(1)求实数m 的取值范围；(2)若x 1²+x 2²=m +1,求m 的值.19.(7分)为解方程(x ²-2)²-5(x ²-2)+4=0,我们可以将x ²-2视为一个整体，然后设x ²-2=y ,则 原方程化为y ²-5y +4=0,解此方程得y =1,y =4,当y =1时，x ²-2=1,∴x =±3当y =4时，x ²-2=4,∴x =±6∴原方程的解为x ₁=-3,x ₂=3,x ₃=-6,x ₄=6.以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想.用上述方法解下列方程：(1)(2x +5)²-4(2x +5)+3=0; (2)x 4-8x ²+7=0.20.(7分)某工厂为了给市场上供应足够的跳绳，3月到5月生产的跳绳数量由10000条增加到 14400条.(1)求该工厂3月到5月生产跳绳的数量的月平均增长率；(2)若该工厂在接下来的生产中仍然保持相同的月平均增长率，请你预计6月份生产跳绳的数量能否达到18000条?说明理由.21.(8分)已知等腰△ABC 的两边长b ,c 恰好是关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +5(k -43)=0 的两个根.若△ABC 的另一边长a =4,试求△ABC 的周长.22.(8分)如图，在矩形ABCD 中，AB=4 cm ,BC=9 cm ,点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动.若其中有一个动 点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为t s.(1)填空：AP=______cm ,BQ=_______ cm ;(用含t 的代数式表示)(2)当t (t ≠0)为何值时，PQ=4 cm ?(3)在动点P,Q 运动过程中，是否存在某个时刻使五边形APQCD 的面积为矩形面积的32?若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.23.(10分)小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T 恤衫.已知每件T 恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件.(1)若降价8元，则每天销售T 恤衫的利润为多少元?(2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T 恤衫的销售价应该定为多少?(3)为了保证每件T 恤衫的利润率不低于55%,小明每天能否获得1200元的利润?若能，求出定价；若不能，请说明理由.(利润率=成本利润×100%)参考答案：。

中考数学总复习《一元二次方程（解答题专练）》专项提升练习(附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁殖出若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1h后变成了841个病毒，求一个病毒每半小时繁殖出多少个病毒.2．某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元.求平均每次降价的百分率.3．某公司今年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元，假设该产品每月利润的增长率相同，求这个增长率.4．某种计算机CPU(中央处理器)经过7，8月连续两次降价，每片售价由2 500元降到了1600元.已知每次降价的百分率相同.（1）求每次降价的百分率.（2）若9月继续保持相同的百分率降价，则这款CPU在9月的售价为多少元? 5．已知关于x的一元二次方程x2−(k−2)x+(1−k)=0.（1）求证：不论k为何值时此方程总有两个实数根；（2）当方程的一个根为x1=5时求方程的另一个根x2及k的值．6．小明同学在寒假社会调查实践活动期间，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂1月罐头加工量为a吨.②该厂3月的加工量比1月增长了44%.③该厂第一季度共加工罐头182吨.④该厂从4月开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降.⑤6月设备整修更新完毕，此月加工量为1月的2.1倍，与5月相比增长了46.68吨.利用以上信息，求：（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率.（2）a的值.（3）该厂第二季度的总加工量7．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加m%，则5月份再生纸项目月利润达到662万元求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润．8．已知关于x的二次函数y=(x−2a)(x−b−1).（1）该函数的图象与x轴只有一个交点，求a与b之间的关系.（2）若a=1当x>3时y随x的增大而增大，求b的取值范囲.（3）若a=m，b=1−m该函数的象不经过第三累限，求m的取值范围. 9．如图所示，△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.P，Q分别从A，B同时出发.（1）经过几秒，P、Q间的距离等于6cm？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.（3）几秒时△PBQ与△ABC相似？10．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知AE=√2，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6√2，求△ABC面积．二、综合题11．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．12．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为21米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米.（1）饲养场另一边BC=米（用含x的代数式表示）；（2）若饲养场ABCD的面积为180平方米，求x的值；（3）饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.13．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹．（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．14．2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元．（1）求该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率．（2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？15．如图所示，四边形ABCD为矩形AB=6cm，AD=4cm若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时另一点也同时停止．设运动的时间为t(s)．（1）当t为何值时△PDQ的面积为6cm2？（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知关于x的一元二次方程：x2-（2k+1）x+4（k-1）＝0．2（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．17．定义：当x取任意实数，函数值始终不小于一个常数时称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.（1）判断：函数y=x2+2x+2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y=3|ax2+bx+c|+2①当a>0，c<0时此时的恒心值为；②若三个整数a、b、c的和为12，且ba =cb，求a的最大值与最小值，并求出此时相应的b、c的值；（3）“恒心函数”y=ax2+bx+c(b>a)的恒心值为0，且a+b+ca+b>m恒成立，求m的取值范围.参考答案一、解答题1．某种病毒在其生长过程中，在保证自身稳定性的前提下，每隔半小时繁殖出若干个新的病毒，如果由最初的一个病毒经过1h后变成了841个病毒，求一个病毒每半小时繁殖出多少个病毒.【答案】解：设一个病毒每半小时繁衍x个病毒根据题意得1+x+（1+x）x=841整理得：x2+2x-840=0解得：x1=28，x2=-30（舍去）故一个病毒每半小时繁衍28个病毒.2．某种音乐播放器MP3原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元.求平均每次降价的百分率.【答案】解：设平均每次降价的百分率为x依题意，得：400（1-x）2=256解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；故平均每次降价的百分率为20%.3．某公司今年销售一种产品，1月获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月的利润比2月的利润增加4.8万元，假设该产品每月利润的增长率相同，求这个增长率.【答案】解：设这个增长率为x依题意得：20（1+x）2-20（1+x）=4.8解得： x1=0.2=20%，x2=-1.2（不合题意，舍去）；故这个增长率是20%.4．某种计算机CPU(中央处理器)经过7，8月连续两次降价，每片售价由2 500元降到了1600元.已知每次降价的百分率相同.（1）求每次降价的百分率.（2）若9月继续保持相同的百分率降价，则这款CPU在9月的售价为多少元? 【答案】（1）解：设每次下降的百分率为x依题意，得：2500（1-x）2=1600解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）；故每次下降的百分率为20%.（2）解：1600×（1-20%）=1280（元）；故若9月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌的手机售价为1280元.5．已知关于x的一元二次方程x2−(k−2)x+(1−k)=0.（1）求证：不论k为何值时此方程总有两个实数根；（2）当方程的一个根为x1=5时求方程的另一个根x2及k的值．【答案】（1）证明：∵x2−(k−2)x+(1−k)=0∴Δ=[−(k−2)]2−4×1×(1−k)=k2−4k+4−4+4k=k2≥0∴不论k为何值时此方程总有两个实数根；（2）解：将x1=5代入x2−(k−2)x+(1−k)=0，得52−5(k−2)+(1−k)= 0解得k=6∴原方程为x2−4x−5=0解得x1=5，x2=−1．6．小明同学在寒假社会调查实践活动期间，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：①该厂1月罐头加工量为a吨.②该厂3月的加工量比1月增长了44%.③该厂第一季度共加工罐头182吨.④该厂从4月开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降.⑤6月设备整修更新完毕，此月加工量为1月的2.1倍，与5月相比增长了46.68吨.利用以上信息，求：（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率.（2）a的值.（3）该厂第二季度的总加工量【答案】（1）解：设第一季度加工量的月平均增长率为x由题意得（1+x）2=1.44解得：x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）故第一季度加工量的月平均增长率为20%.（2）解：由题意得a+1.2a+1.44a=182解得：a=50；故该厂一月份的加工量a的值是50.（3）解：六月份产量为50×2.1=105吨五月份产量为105-46.68=58.32吨设从三月到五月逐月下降的百分率为y由题意得50×1.44×（1-y）2=58.32解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）；∴从三月到五月逐月下降的百分率为10%∴四月产量为72×0.9=64.8（吨）∴第二季度总产量为64.8+58.32+105=228.12（吨）；故该厂第二季度的总加工量是228.12吨.7．某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨（1）求4月份再生纸的产量；（2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66 m%.5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2万元求m的值；（3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润．【答案】（1）解：设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨，依题意得x+2x-100=800 ，解得x= 300∴2x-100= 2x300- 100=500，即4月份再生纸的产量为500吨．（2）解：依题意得1 000(1+ m% ) ×500( 1 +m%)= 660 0002整理得m2+300m-6 400=0，解得m1= 20，m2=-320(不合题意，舍去)，即m的值为20．（3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨依题意得1 200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a∴1200(1+y)2=1 500．即6月份每吨再生纸的利润是1500元8．已知关于x的二次函数y=(x−2a)(x−b−1).（1）该函数的图象与x轴只有一个交点，求a与b之间的关系.（2）若a=1，当x>3时y随x的增大而增大，求b的取值范囲.（3）若a=m，b=1−m该函数的象不经过第三累限，求m的取值范围. 【答案】（1）解：当该函数的图象与x轴只有一个交点时(x-2a)(x-b-1)=0只有一个根∴2a=b+1；（2）解：当a=1时二次函数与x轴两交点的横坐标为2和b+1；∵函数的二次项系数大于0∴函数的开口向上∵当x>3时y随x的增大而增大∴b+1≤3+3-2解得b≤3；（3）解：∵a=m，b=1−m∴二次函数为y=(x-2m)(x+m-2)∵该图象不经过第三象限∴当与x轴只有一个交点时2m=2-m；解得m=23当与x轴有两个交点时2m+2-m>0且2m(2-m)≥0解得0≤m≤2；∴m=2或0≤m≤2.39．如图所示，△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm点P从点A开始沿AB 边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动P，Q分别从A，B同时出发.（1）经过几秒P、Q间的距离等于6cm？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由.（3）几秒时△PBQ与△ABC相似？【答案】（1）解：设经过x秒PQ=6cm，依题意有(6−x)2+(2x)2=36解得x1=0（舍去）x2=2.4故经过24秒PQ=6cm；（2）解：设经过y秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积=12×6×8=24cm2，12(6−y)⋅2y=12，y2−6y+12=0∵Δ=b2−4ac=36−4×12=−12<0∴此方程无实数根∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（3）解：设经过秒时△PBQ与△ABC相似①△PBQ∽△ABC时∴BPBA =BQBC∴6−t6=2t8∴t=2.4②当△PBQ∽△CBA时∴BPBC =BQBA∴6−t8=2t6∴t=1811综上所述，1811秒或2.4秒时△PBQ与△ABC相似.10．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC 和Rt△BED边长，易知AE=√2，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6√2，求△ABC面积．【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时勾系一元二次方程为3x2+5√2x+4＝0；（2）证明：根据题意，得Δ＝（√2c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab∵a2+b2＝c2∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）解：当x＝﹣1时有a﹣√2c+b＝0，即a+b＝√2c∵2a+2b+√2c＝6√2，即2（a+b）+√2c＝6√2∴3√2c＝6√2∴c＝2∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2√2∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴ab＝2ab＝1．∴S△ABC＝12二、综合题11．如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时能围成一个面积为640m2的羊圈？（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】（1）解：设矩形ABCD的边AB=x m，则边BC=70−2x+2=(72−2x)m．根据题意，得x(72−2x)=640．化简，得x2−36x+320=0．解得x1=16，x2=20．当x=16时72−2x=72−32=40；当x=20时72−2x=72−40=32．答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时能围成一个面积为640m2的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得x(72−2x)=650．化简，得x2−36x+325=0．∵Δ=(−36)2−4×325=−4<0∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650m2．12．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD）两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为21米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）.建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米.（1）饲养场另一边BC=米（用含x的代数式表示）；（2）若饲养场ABCD的面积为180平方米，求x的值；（3）饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.【答案】（1）（48-3x）（2）解：由题意得：x（48-3x）=180解得：x1=6，x2=10∵1＜48-3x≤21，1＜x≤15∴9≤x≤15∴x=10.（3）能，理由如下设饲养场ABCD的面积为S，则有：S=x（48-3x）=-3x2+48x=-3（x-8）2+192∵由（2）可知9≤x≤15∴由二次函数的性质可知，当x=9时S有最大值189m2∴饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的，其最大面积为189m2.13．如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹．（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的1780（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．【答案】（1）解：设条纹的宽度为x米．依题意得2x×5+2x×4﹣4x2= 1780×5×4解得：x1= 174（不符合，舍去），x2= 14．答：配色条纹宽度为14米（2）解：条纹造价：1780×5×4×200=850（元）其余部分造价：（1﹣1780）×4×5×100=1575（元）∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元14．2020年，某家庭纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展养殖业，到2022年，家庭收入为3600元．（1）求该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率．（2）若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入是否达到4200元？【答案】（1）解：设该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率为x，根据题意得2500(1+x)2=3600解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2（舍去）∴该家庭2020年到2022年人均收入的年平均增长率为20%；（2）解：3600×(1+20%)=4320元4320>4200∴若年平均增长率保持不变，2023年家庭年收入能达到4200元．15．如图所示，四边形ABCD为矩形AB=6cm，AD=4cm若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时另一点也同时停止．设运动的时间为t(s)．（1）当t为何值时△PDQ的面积为6cm2？（2）是否存在t使△PDQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由题意可得：AQ=t，BP=2t∵四边形ABCD为矩形AB=6cm，AD=4cm∴DQ=4−t，AP=6−2t，∠A=90°(4−t)(6−2t)=6∴12∴t2−7t+6=0解得：t=1或t=6；∵0≤t≤3∴t=6不符合题意，则t=1∴当t=1s时△PQD的面积为6cm2．（2）解：由题意可得：DQ=4−t，AP=6−2t，AQ=t∴PQ2=AQ2+AP2=t2+(6−2t)2∵△PDQ为钝角三角形；且为等腰三角形∴DQ=PQ∴(4−t)2=t2+(6−2t)2∴t2−4t+5=0∴Δ=(−4)2−4×1×5=16−20=−4<0∴方程无解∴不存在t使△PDQ为等腰三角形．）＝0．16．已知关于x的一元二次方程：x2-（2k+1）x+4（k-12（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．)【答案】（1）证明：Δ=(2k+1)2−4×1×4(k−12＝4k2-12k+9＝（2k-3）2∵无论k取什么实数值，（2k-3）2≥0∴△≥0∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k−3)2∴x1＝2k-1，x2＝2∵b，c恰好是这个方程的两个实数根故设b=2k-1，c＝2当a 、b 为腰， 则a=b=4，即2k-1=4， 解得：k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时 b=c=2，此时b+c=a ， 故此种情况不存在； 综上所述，△ABC 的周长为10．17．定义：当x 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”.（1）判断：函数y =x 2+2x +2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y =3|ax 2+bx +c|+2 ①当a >0，c <0时此时的恒心值为 ；②若三个整数a 、b 、c 的和为12，且ba =cb ，求a 的最大值与最小值，并求出此时相应的b 、c 的值；（3）“恒心函数”y =ax 2+bx +c(b >a)的恒心值为0，且a+b+c a+b>m 恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）解：y =x 2+2x +2=(x +1)2+1≥1 ∴函数y =x 2+2x +2为“恒心函数”，“恒心值”为1. （2）①2②由题可知{a +b +c =12b a=c b} ∴{a +c =12−bac =b 2}∴设a 、c(a ≠c)为方程x 2+(b −12)x +b 2=0的两根 Δ=(b −12)2−4b 2＞0∴b 2+8b −48＜0 ∴−12＜b ＜4∴b=−11，−10⋯3经验证，“b=−8，a=16，c=4”、“a=b=c=4”和“b=−8，a=4，c= 16”符合条件综上a max=16，b=−8，c=4a min=4，b=4，c=4或a min=4，b=−8，c=16（3）解：由题可知即c=b 24a∴a+b+c a+b=1+c a+b=1+b2 4a a+b=1+b24a(a+b)＞1+b24b(b+b)=98∴m≤98。

中考数学《一元二次方程》专题复习检测试卷一．单项选择题（共15小题，每小题3分，共45分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．3（1+x ）2＝3x 2+7B ．3（1+x ）2＝x （3x +7）C ．px 2+x ﹣4＝x （px ﹣1）D ．2x 2＝02．若关于x 的方程mx m ﹣1+（m ﹣3）x +5＝0是一元二次方程，那么m 的值为（ ）A ．m ＝3B ．m ＝2C ．m ＝1D ．m ≠03．一元二次方程2x 2﹣2x ＝1的一次项系数和常数项依次是（ ）A ．﹣2和﹣1B ．﹣2和1C ．2和﹣1D ．2和14．如果关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2+3x +|a |﹣2＝0的常数项为0，那么a 的值一定是（ ）A ．2B ．﹣2C ．2或﹣2D ．05．已知m 是方程x 2﹣x ﹣2＝0的一个根，则代数式m 2﹣m +2022的值等于（ ）A ．2024B ．2022C ．2023D ．20216．已知x ＝﹣1是一元二次方程x 2+mx ＝3的一个解，则m 的值是（ ）A ．0或2B ．2C ．0D ．﹣27．方程x 2＝4的解是（ ）A ．±√2B ．√2C ．±2D ．28．一元二次方程x 2﹣3＝0的根是（ ）A ．x =±√3B ．x =√3C ．x ＝3D ．x ＝09．用配方法解方程x 2+7x ﹣5＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．(x +72)2=694 B ．(x +72)2=294 C ．(x −72)2=694 D ．(x −72)2=29410．用配方法解方程x 2+4x ﹣1＝0，配方后的方程是（ ）A ．（x +2）2＝5B ．（x ﹣2）2＝3C ．（x ﹣2）2＝5D ．（x +2）2＝311．对于实数a ，b ，定义运算“※”：a ※b ＝a 2﹣2b ，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x ※x ＝﹣1，则x 的值为（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或﹣112．如果a是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的较小的根，那么下面对a的估值一定正确的是（）A．﹣1.5＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣4＜a＜﹣3D．4＜a＜513．方程（x+2）（x﹣3）＝0的解是（）A．x＝2B．x＝﹣3C．x1＝﹣2，x2＝3D．x1＝2，x2＝﹣314．一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的一个解是x＝2，则另一个解是（）A．x＝3B．x＝2C．x＝1D．无法判断15．如果y为实数，且满足等式（y2+m2）2﹣2（y2+m2）＝24，那么5（y2+m2）的值一定是（）A．6B．30C．36D．12二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）16．若关于x的方程（m+1）x m2+1−3x+2＝0是一元二次方程，则m的值是________．17．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为________．18．关于x的方程x2+kx+2＝0的一个根是1，则k＝________．19．方程x2﹣5＝0的根是．20．下面是某同学解方程x2+6x﹣16＝0的部分运算过程：解：移项，得x2+6x＝16，…第一步配方，得x2+6x+9＝16+9，…第二步即（x+3）2＝25，…第三步两边开平方，得x+3＝5，…第四步①该同学的解答从第________步开始出错．②请写出正确的解答过程．21．如果用公式法解关于x的一元二次方程，得到x=−9±√92−4×3×1，那么该一元二次方2×3程是________．22．方程x2＝x的解是________．23．实数x、y满足（x2+y2）（x2+y2﹣1）＝12，则x2+y2的值为________．24．一元二次方程x2+5x+1＝0的根的判别式的值是________．25．写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下两个要求：①二次项系数为2，②两根分别为3和−1：________．2三．解答题（共4小题，共75分）26．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，求m的值．27．已知m是方程2x2﹣7x+1＝0的一个根，求代数式m（2m﹣7）+5的值．28．（1）用适当的方法解方程：81（1﹣x）2＝64．（2）请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100（1﹣x）2＝81”来解决．你设计的问题是：．29．阅读材料，并回答问题．小明在学习一元二次方程时，解方程2x2﹣8x+5＝0的过程如下：解：2x2﹣8x+5＝0．2x2﹣8x＝﹣5．①．②x2−4x=−52+4．③x2−4x+4=−52．④(x−2)2=32．⑤x−2=√62．⑥x=2+√62问题：（1）上述过程中，从________步开始出现了错误（填序号）．（2）发生错误的原因是：__________．（3）写出这个方程的解：__________．。

专题2.1 一元二次方程（能力提升）（原卷版）一、选择题。

1．（2021秋•龙沙区期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则m2﹣m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．20222．（2022春•霍邱县期末）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（）A．5，﹣1B．5，4C．5，﹣4D．5，13．（2021秋•揭阳期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个根为﹣1，则下列等式成立的是（）A．a+b+c＝1B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝0D．a﹣b+c＝1 4．（2022春•惠民县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b的值是（）A．2016B．2020C．2025D．20265．（2021秋•长汀县校级月考）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣2m+2020的值为（）A．2019B．2020C．2021D．2022 6．（2021•阳东区模拟）若方程x2﹣4x+c＝0的一个实数根是3，则c的值是（）A．c＝﹣3B．c＝3C．c＝5D．c＝0 7．（2021•宣州区校级自主招生）已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为（）A．0B．1C．2D．38．（2021秋•长安区校级期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x+2＝0B．2x2+y﹣1＝0C．2x﹣3y+1＝0D．x2﹣x﹣3＝09．（2021•江油市模拟）关于x的方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0的一个根是0，则m的值是（）A．7B．﹣3C．1或﹣3D．010．（2022春•淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（）A．2022B．2020C．2019D．2021二、填空题。

中考数学复习《一元二次方程》专项提升训练题-附答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．把x2−5x=31配方，需在方程的两边都加上（）A．5B．25C．2.5D．2542．方程x2−8x+16=0根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根3．若x=0是关于x的一元二次方程(m−1)x2+2x+m2−1=0的解，则m的值为（）A．m=±1B．m=0C．m=1D．m=−14．一元二次方程3x2−mx−3=0有一根是x=1，则另一根是（）A．x=1B．x=−1C．x=2D．x=45．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k<1C．k≤1且k≠0D．k<1且k≠06．在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某小组成员之间共互赠了30本图书，若设该组共有x名同学，那么依题意可列出的方程是（）A．x(x−1)=30B．x(x+1)=30x(x−1)=30C．2x(x−1)=30D．127．若a是方程3x2−6x−2=10的一个解，则2a2−4a−2031的值是（）A．2023 B．－2023 C．2022 D．－20228．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条线，一共开了21条线，则这个航空公司共有飞机场（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题9．若关于x的方程(m−1)⋅x2+x+m2−1=0，有一根为0，则m=．10．已知抛物线y=x2+2x+k−1与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．若x1、x2是一元二次方程x2+2x＝3的两根，则x1•x2的值是．12．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加行。

13．已知关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a(x+2)2+b(x+2)+c=0的两根之和为．14．解方程：（1）x2−2x=99；（2）(x+3)2=−2(x+3)15．已知关于x的一元二次方程x2+(3−k)x+2−k=0.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根大于1，求k的取值范围．16．关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m=0有实数根.（1）求m的取值范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22−x1x2=9，求m的值.17．某公司投资建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间租金定为10万元，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金为l3万元时，能租出多少间？（2）若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为多少万元时，该公司的年收益为275万元？18．重庆奉节脐橙，柚子非常出名，奉节大力发展经济作物．其中果树种植已经具有规模性了，今年受气1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．B8．D9．m=±110．k<211．-312．313．-114．（1）解：∵x2−2x=99∴x2−2x+1=100，即(x−1)2=100∴x−1=10或x−1=−10解得：x1=11（2）解：∵(x+3)2=−2(x+3)∴(x+3)2+2(x+3)=0∴(x+3)(x+5)=0∴x+3=0或x+5=0解得：x1=−315．（1）证明：∵Δ=(3−k)2−4×(2−k)=k2−2k+1=(k−1)2≥0∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2+(3−k)x+2−k=(x+1)(x+2−k)=0∴x1=−1∵方程有一个根大于1∴k−2>1，解得：k>3∴k的取值范围为k>3.16．（1）解：关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−2m=0有实数根∴Δ=b2−4ac=[−(2m−1)]2−4(m2−2m)=4m+1≥0解得m≥−14.（2）解：∵x1+x2=2m−1x1x2=m2−2m∴x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=(2m−1)2−3(m2−2m)=m2+2m+1 .∵x12+x22−x1x2=9∴m2+2m+1=9，即(m+1)2=9解得m=2或m=−4 .由（1）知m≥−14∴m=2 .17．（1）解：∵（130000﹣100000）÷5000=6∴能租出30﹣6=24（间）（2）解：设每间商铺年租金增加x万元所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5=275解得x1=5，x2=0.5∴每间商铺的年租金为10.5万元或15万元∴若从减少空铺的角度来看，当每间商铺的年租金为10.5万元时，该公司的年收益为275万元18．解：（1）设今年柚子xkg由题意得：4200－x≤6x解得：x≥600答：该果农今年收获柚子至少600kg．（2）由题意知：1000×（1－a%）×15+2000×（1+2a%）×10×（1－56a%）＝1000×15+2000×10令a%＝m15×（1－m）+20×（1+2m）（1－56m）＝15+20100m2－25m＝0解得：10m =（不合题意，舍去），20.25m =＝25% ∴a ＝25。

一元二次方程全章提高测试题（90分钟，120分）班级------ 姓名------ 得分一、 填空题（本题20分，每小题4分）：1．方程4x 2＋（k ＋1）x ＋1＝0的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是 ；2．方程 kx 2＋1 ＝ x －x 2无实数根，则k ；3．如果 x 2－2（m ＋1）x ＋m 2＋5 是一个完全平方式，则m ＝ ； 4．若方程 x 2＋mx －15 ＝ 0 的两根之差的绝对值是8，则m ＝ ；5．若方程 x 2－x ＋p ＝ 0 的两根之比为3，则 p ＝ . 二 选择题（本题24分，每小题4分）：6．若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是……（ ）（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）47．若c 为实数，方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2＋3x －3＝0的一个根，那么方程x 2 －3x ＋c ＝0的根是（ ） （A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－3 8．方程x 2－3|x |－2＝0的最小一根的负倒数是…（ ）（A ）－1 （B ）)173(41-- （C ）21（3－17） （D ）219．对于任意的实数x ，代数式x 2－5x ＋10的值是一个（ ） （A ）非负数 （B ）正数 （C ）整数 （D ）不能确定的数 10．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝ 0 （a ≠0） 的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是 （ ）（A ）3b 2＝8ac （B ）a c ab 2325922= （C ）6b 2＝25ac （D ）不能确定 11．已知方程3x 2＋2x －6 ＝ 0 ，以它的两根的负倒数为根的新方程应是（ ）（A ）6x 2－2x ＋1＝0 （B ）6x 2＋2x ＋3＝0 （C ）6x 2＋2x ＋1＝0 （D ）6x 2＋2x －3＝0 三 解下列方程（本题24分，每小题6分）：12、0223422=-+x x ； 13．1415112-=--+-x x x x ； 14．4x 2＋19x －5＝0； 15．06)1(5)1(2=+---x xx x四（本题10分）16.若方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2， 不解方程求x41＋x 42的值；五（本题10分）17.两列火车分别从A 、B 两站同时发出，相向而行，第一列车的速度比第二列车每小时快10 km ，两车在距A 、B 中点28 km 处相遇，若第一列车比原来晚发出45分，则两车恰在A 、B 中点相遇，求A 、B 距离及两车的速度．六（本题12分）18.挖土机原计划在若干小时挖土220m 3，最初3小时按计划进行，以后每小时多挖10m 3，因此提前2小时超额20m 3完成任务，问原计划每小时应挖土多少m 3 ？答案： 1．219-，81； 2．＞43-； 3．２； 4．2±； 5．163． 6．Ｂ；7．Ｃ；8．Ｂ；9．Ｂ；10．Ｃ；11．Ｄ． 12．x 1＝622-，x 2＝－622-； 13．x ＝－２； 14．x 1＝41，x 2＝415- ， 15．x 1＝32，x 2＝43． 16．答案：16161． 解：因为方程2x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，由根与系数的关系知 2321=+x x ，2121-=x x ． 所以17．答案：A 、B 距离为840km ，第一列车速度为80km ／h ，第二列车速度为70km ／h .解：设A 、B 两站相距为2S km ，第一列车速度为（x ＋10）km /h ，第二列车速度为x km /h ．依题意，得解得 ⎩⎨⎧==42070S x所以 A 、B 两站相距为840km ，第一列车速度为80km ／h ，第二列车速度为70km ／h .18．答案：原计划每小时挖土20m 3． 解：设原计划每小时挖土x m 3．依题意，得解得 20=x ． 所以原计划每小时挖土20m 3．。