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常用的不等式解释或应用场景一、基本不等式1.三角不等式：对于任意实数a和b，有∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣。
o解释：这个不等式描述了两个数的和的绝对值与它们绝对值的和之间的关系。
它常用于估计和简化涉及绝对值的表达式。
o应用场景：在计算涉及多个项的和的绝对值时，可以使用三角不等式来得到一个上界。
这在误差估计和数值分析中特别有用。
2.柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列a i和b i（i=1,2,...,n），有(∑i=1n a i b i)2≤(∑i=1n a i2)(∑i=1n b i2)。
o解释：这个不等式描述了两个向量的内积与它们模长之间的关系。
它表明两个向量的内积的绝对值不会超过它们模长的乘积。
o应用场景：在向量空间、线性代数和概率论中广泛应用。
例如，在证明两个随机变量的协方差不超过它们各自方差的乘积时就会用到这个不等式。
二、均值不等式1.算术-几何平均不等式（AM-GM Inequality）：对于任意非负实数a1,a2,...,a n，有na1+a2+...+a n≥n a1⋅a2⋅...⋅a n。
o解释：这个不等式表明一组非负数的算术平均数（AM）总是大于或等于它们的几何平均数（GM）。
o应用场景：在优化问题、概率论和统计学中广泛应用。
例如，在证明某些极值问题时，可以通过将问题转化为求某个表达式的最小值，然后利用AM-GM不等式来求解。
三、排序不等式1.切比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）：对于任意实数序列a i和b i（i=1,2,...,n），如果a i和b i都是单调不减或单调不增的，则有n1∑i=1n a i b i≥(n1∑i=1n a i)(n1∑i=1n b i)。
o解释：这个不等式描述了两个单调序列对应项乘积的平均值与它们各自平均值的乘积之间的关系。
它表明在排序后的情况下，对应项乘积的平均值会更大。
数学分析中几个重要不等式的应用不等关系是数学中的基本关系，不等式在数学应用和数学研究中起着非常重要的作用，不等式在数学中是一门独立的分支，而一些不等式在数学分析中起着非常重要的作用，在证明和解决数学问题中都有重要地位，在数学研究中有许多形式优美而且具有重要应用价值的不等式，一般称其为重要不等式.利用重要不等式可以评价命题的科学性，防止产生一些科学性的错误，对研究分析问题都有一定的指导作用。
一、几种重要不等式的混合应用有些不等式的证明题目如果只使用某一种重要不等式可能不一定达到证明的目的，因此需要交叉使用多个重要不等式，以下给出一个与三角函数有关的不等式命题，该题的证明需要用到Jensen不等式和均值不等式。
例1设P为内任一点，求证：在、、中至少有一个小于或等于证明设、、；、、由正弦定理知所以在、、中必有一个角的正弦值不大于，不妨设所以有，否则，此时有或.二、重要不等式与数学思想方法相结合的应用重要不等式的许多应用，前面已经论述过，在数学分析中数学思想方法可谓是一个强有力的数学工具，许多重要不等式的证明本身或许就是这些数学思想方法成功运用的典范，当然在不等式的证明问题中如能成功运用这些思想方法将会在解题的灵活性和技巧性上收到事半功倍之效.例2（Cauchy不等式）若，（），则分析Cauchy不等式的形式具有一元二次方程根的判别式形式，于是我们想到了构造法.证明利用非负二次三项式的判别式非正的原理.构造函数分析欲证不等式较为复杂，而且不能直接运用均值不等式，所以应采用换元法加以化简变形，构建使用均值不等式的结构。
证明由已知条件原不等式即证：而上式当且仅当即时成立.本文中不等式的证法多是常用的证法，有许多证明方法都是数学思想方法成功运用的典范，现对本文中所涉及到的数学思想方法作出总结，这样可以加深我们对数学思想方法的认识和理解。
第七讲 重要不等式及其运用本专题主要学习整理几个重要的不等式及其运用。
一 知识方法梳理方法：(一) 如何求AB 的最大值(四类)(二) 如何求A+B 的最小值2 n 个正数的均值不等式：3 柯西不等式：4．已知y x ,是两个变化的正数，①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2； ②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 5．用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
一正：各项或各因式必须为正数,不正要转正；二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，直接看不出来的,通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方，或多次用均值不等式等方式,凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构；三相等：要注意取等号的条件要相同,使和积为定值两项必须相等。
如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值,此时可用单调性等方法来求最 二 典例分析 例1 (1) 已知45>x ，求函数5414)(-+=x x x f 的最小值。
(2) 函数()()y x x x=++49有最小值吗？(3) 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
(4) 设,,+∈R b a 且,3=++ab b a 求b a 2+的最小值；点评：分式函数y=f(x)求最值，如果y=f(x)可表示成y = mg(x)+)(x g A+B 的形式，且g(x)在定义域内恒正或恒负，A>0,m>0,则可用均值不等式求最值.例2 (1)已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
(2) 已知正数x 、y 满足2x y +3=，求yx 52+的最小值 (3) 1401,1x y x x<<=+-已知求的最小值。
(4) sin x x π2212求y=+,(0<x<)的最小值cos 2评注 (i)已知+∈R y x e d c b a ,,,,,,11111,如果满足,111c y b x a =+求ye x d 11+的最小值; ( ii)已知+∈R y x e d c b a ,,,,,,22222,如果满足222c yb x a =+求y e x d 22+的最小值;例3 (1) 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(2) 已知0,0a b >>，则11a b ++ ）A ．2B．C ．4D ．5【答案】C解析因为114a b ++=≥当且仅当11a b ==即a b =时，取“=”号。
重要不等式使用条件一、引言在数学中，不等式是一种比较两个数或者变量关系的数学表达式。
不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义。
在数学中，有许多重要的不等式被广泛应用于各个领域，如数论、代数、几何和概率论等。
本文将介绍一些常见的重要不等式及其使用条件。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解析几何中的一个基本定理，它描述了内积的性质。
该不等式可以用来证明其他重要定理，如三角形不等式和均值不等式。
不等式表述对于实数集合上的内积空间V中的向量a和b，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：|⟨a,b⟩|≤∥a∥∥b∥其中⟨a,b⟩表示向量a和b的内积，∥a∥表示向量a的模。
使用条件柯西-施瓦茨不等式成立的条件是向量空间V上定义了内积，并且满足以下性质：1.正定性：对于任意非零向量a，有⟨a,a⟩>0。
2.齐次性：对于任意标量k和向量a，有⟨k⋅a,b⟩=k⋅⟨a,b⟩。
3.加法性：对于任意向量a、b和c，有⟨a+b,c⟩=⟨a,c⟩+⟨b,c⟩。
满足以上条件的内积空间可以是实数集合上的内积空间或复数集合上的内积空间。
三、三角形不等式三角形不等式是几何学中一个基本的定理，它描述了三角形中边长之间的关系。
该不等式在计算几何学、概率论和信息论等领域得到广泛应用。
不等式表述对于任意三角形的边长a、b和c，三角形不等式可以表示为：|a−b|<c<a+b使用条件三角形不等式成立的条件是边长a、b和c满足以下条件：1.非负性：边长必须大于等于零，即a,b,c≥0。
2.两边之和大于第三边：任意两边之和必须大于第三条边，即a+b>c,a+c>b,b+c>a。
满足以上条件的三个边长可以构成一个有效的三角形。
四、均值不等式均值不等式是数论中的一个重要定理，它描述了一组数的平均值与其他函数之间的关系。
该不等式在概率论、统计学和经济学中得到广泛应用。
不等式表述对于一组实数x1,x2,…,x n，其中n≥2，均值不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1⋅x2⋅…⋅x n n使用条件均值不等式成立的条件是实数x1,x2,…,x n满足以下条件：1.非负性：所有实数必须大于等于零，即x i≥0。
重要不等式使用条件1. 引言在数学中，不等式是比较两个数或者变量之间大小关系的数学表达式。
重要不等式是指那些在数学推导和证明中经常被使用的不等式。
这些不等式在各个领域都有广泛的应用，例如代数、几何、概率论等。
为了正确使用这些重要不等式，我们需要了解它们的使用条件。
本文将介绍一些常见的重要不等式，并详细说明它们的使用条件，以帮助读者更好地理解和应用这些不等式。
2. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中一个非常重要且广泛应用的不等式。
它表达了两个向量内积的大小关系。
柯西-施瓦茨不等式的表述如下：对于任意实数或复数向量 x 和 y，有：|x·y| ≤ ||x||·||y||其中，|x·y| 表示向量 x 和 y 的内积（点积）的绝对值，||x|| 表示向量 x 的模（长度）。
柯西-施瓦茨不等式成立的条件是：向量 x 和 y 都属于一个内积空间，且该内积空间满足柯西-施瓦茨不等式的定义。
3. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是概率论中一个重要的不等式，用于估计随机变量与其期望值之间的关系。
马尔可夫不等式的表述如下：对于一个非负随机变量 X 和任意正实数 a，有：P(X ≥ a) ≤ E(X)/a其中，P(X ≥ a) 表示随机变量 X 大于等于 a 的概率，E(X) 表示随机变量 X 的期望值。
马尔可夫不等式成立的条件是：随机变量 X 的概率分布必须满足一定的条件，例如非负性、有限性、单调性等。
4. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中另一个重要的不等式，用于估计随机变量与其期望值之间的关系。
切比雪夫不等式的表述如下：对于一个具有有限方差σ² 的随机变量 X 和任意正实数 k（k > 0），有：P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ σ²/k²其中，P(|X - E(X)| ≥ k) 表示随机变量 X 与其期望值之间的偏离程度大于等于k 的概率，σ² 表示随机变量 X 的方差。
高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。
绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。
下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。
1. |x| > a ，其中a为正实数。
解集为：x < -a 或 x > a。
这个不等式表示x与原点的距离大于a。
2. |x| < a ，其中a为正实数。
解集为：-a < x < a。
这个不等式表示x与原点的距离小于a。
3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。
解集为：-a ≤ x ≤ a。
这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。
4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。
解集为：x < a - b 或 x > a + b。
这个不等式表示x与点a的距离大于b。
5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b < x < a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于b。
6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。
（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。
熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。
二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。
下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。
这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。
2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。
概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。
（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。
（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。
（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。
（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。
2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。
（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。
（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。
（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。
（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。
几个重要的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几个重要的不等式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反向不等式和霍尔德不等式。
一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中最基本的不等式之一。
它可以用于证明其他许多重要的定理和不等式。
该不等式表述为：对于任意两个实数序列a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1b1 + a2b2 + … + anbn)² ≤ (a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²)其中“=”号成立当且仅当ai/bi为常数或bi=0。
该不等式可以推广到内积空间中，即对于任意两个向量x和y，有|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中“=”号成立当且仅当x与y线性相关。
二、均值不等式均值不等式是一类基本的算术平均值与几何平均值之间的关系。
它包括算术平均不等式、几何平均不等式和调和平均不等式。
1. 算术平均不等式对于任意n个非负实数a1, a2, …, an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥√(a1a2…an)其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
该不等式表明，n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
2. 几何平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有(a1a2…an)^(1/n) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
该不等式表明，n个正实数的几何平均值小于等于它们的算术平均值。
3. 调和平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n ≤ (n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an))其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
不等式的应用不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
不等式是一种比较大小关系的数学表达式，通过不等号（如大于号或小于号）来表示两个数之间的大小关系。
本文将以几个不等式应用的实例来说明其在实际问题中的作用。
一、成本与收益不等式在商业领域中，成本和收益是一个重要的考虑因素。
当我们考虑某个项目或产品时，需要确定其成本和预计收益，并通过不等式来评估其可行性。
假设我们有一个生产某种产品的计划，成本为C，每个单位的收益为R，销售数量为x。
那么我们可以建立不等式C ≤ R * x，来限制生产的成本不能超过预期的收益。
二、速度与时间不等式在物理学中，速度和时间是一个常见的关系。
例如，当我们考虑一个物体的运动时，可以利用速度和时间之间的不等式来解决相关问题。
假设一个物体的速度为v，运动的时间为t，那么我们可以建立不等式v * t ≤ d，其中d为物体的位移。
这个不等式告诉我们，物体在一段时间内的位移不会超过速度与时间的乘积。
三、资源分配不等式在资源管理中，资源的有限性是一个重要的考虑因素。
假设我们有一定数量的资源，需要分配给不同的工作或项目，我们可以利用不等式来确定资源的合理分配。
设资源数量为N，需要分配给n个项目，每个项目所需的资源分别为r1、r2、...、rn。
我们可以建立不等式r1 +r2 + ... + rn ≤ N，来限制资源分配不超过总数量。
四、难度与能力不等式在教育领域中，考试和评估是一种常见的方式来衡量学生的能力。
考试的题目难度通常是不同的，我们可以利用不等式来判断学生是否具备解答某道题目的能力。
假设题目的难度为D，学生的能力为S，那么我们可以建立不等式S ≥ D，来要求学生的能力能够超过题目的难度。
总结：以上仅是不等式应用的一些实例，实际上不等式在各个领域都有着广泛的应用，包括经济学、工程学等等。
通过合理运用不等式，我们可以解决各种实际问题，做出正确的决策和评估。
因此，掌握和理解不等式的应用是数学学习的重要一环，也是我们在日常生活中需要具备的数学思维能力之一。
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当n b b b === 21 3．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
1. 幂均值不等式设0>>βα，),,2,1(n i R a i =∈+，则βββββαααααM n a a a n a a a M nn=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=121121 。
证：作变量代换，令i i x a =β，则β1i i x a =，则βαβαβαβαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⇔≥n x x x x x x n M M n n 21211① 0>>βα ，1>∴βα，又函数)1()(>=p x x f p 是()+∞,0上的凸函数，由Jensen 不等式知①式成立。
2.（切比雪夫不等式）设两个实数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则()()n n ni in i i n n n b a b a b a nnbna b a b a b a n+++≤⋅≤+++∑∑==- 221111112111等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
证：由排序不等式有：n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 221122111121， n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 2211132211121，……………………………………………………………………………n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-- 221111211121以上n 个等式相加即得。
3. 一个基础关系式y x y x )1(1αααα-+≤-，其中]1,0[,0,∈>αy x证：若x,y 中有一个为0，则显然成立。
设x,y 均不为零，则原不等式ααα-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔1y x y x ，令t y x =，则上式)1(ααα-+≤⇔t t ，记αααt t t f --+=)1()(，则1)(--='αααt t f ，因此，当1>t 时，0)(>'t f ，当10≤<t 时，0)(<'t f ，且0)1(='f ，所以)(t f 得极小值为0)1(=f ,故0)1(≥--+αααt t ，即y x y x )1(1αααα-+≤-.4. Holder 不等式设1,),,2,1(0,≥=≥q p n k b a k k 且111=+qp ，则qnk q k pnk p k n k k k b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===等号成立当且仅当存在R t ∈使得),,2,1(n k tb a qk p k ==。
证: 在上面基础关系式中，取,,,1q k p k B y A x p ===α有q k p k k k B qA pB A 11+≤……① ① 式两边对k 求和，得：∑∑∑===+≤n k qk n k p k nk k k B q A p B A 11111,令qn k q k k k pn k p k k k b b B a a A 1111,⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==,代入上式即证。
5. 一个有用的结论设+∈R b a i i ,，则∏∏∏===+≥+ni n ini n ini ni ib a b a111111)(，推广得设),,2,1,,,2,1(,n j n i R a ij ==∈+，则∑∏∏∑====≥n j nni ij n i nnj ija a111111)()(.证：原不等式1)(11121≤+++⇔∑∏==nnj ni ini i ija a aa ,而)(1)(1211121∑∏==+++≤++ni in i i ij nni ini i ija a a a n a a a a∑∑∑∏====+++≤+++∴n j ni in i i ij nnj ni ini i ija a a a n a a a a 112111121)(1)( 1111)(111121=⋅==+++=∑∑∑===n n n a a a a n n i n i n j in i i ij ,它可把含根式的积性不等式化为和式。
三、如何运用几个重要不等式例1 设+∈R c b a ,,且1=abc ，求证：333222c b a c b a ++≤++。
证：由柯西不等式有2222333)())((c b a c b a c b a ++≥++++…①而≥++++=++))(111()(3222222222c b a c b a ≥++2)(c b a 33)(abc c b a ⋅++)(3c b a ++≥，即c b a c b a ++≥++222…②由①②有：≥++++))((333c b a c b a ))((222c b a c b a ++++,∴333222c b a c b a ++≤++方法二：由幂均值不等式有：=++≥++23222333)3(3c b a c b a )3(3222c b a ++21222)3(c b a ++ 22221322222233)(c b a c b a c b a ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥。
方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM 不等式有：不妨设c b a ≤≤，则≥++++≥++3))((222333c b a c b a c b a 222322233)(c b a abcc b a ++=⋅++ 例2 设1),,,2,1(,01==>∑=ni ii xn i x ，求证：1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii证：左边=∑∑∑∑====---≥---ni i ni ini ni i i x x n x x 11211111112112111212112))1(()1())1(()1(∑∑∑∑====---≥ni i ni ni i ni x x n11)11(1)1()1(1222-≥-++⋅=-=---=∑∑=n x n x n n n n n n n ni ii 。
评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。
例3 设1,,,,=∈+abcd R d c b a ，求证：∑≥+2)1(1b a证：设),,,(,,,,+∈====R w z y x xwd w z c z y b y x a ，则原不等式 ∑∑∑≥+⇔≥+⇔≥+⇔21112)(2)1(1zy xz y x yz z y y x ，由Cauchy 不等式有：212121212121)11(1)1(11122=+≥+=+≥+∑∑∑∑∑∑∑∑∑xyxyxy xyxyxzy x x z y x，故原不等式成立。
评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。
例4 设n 是正整数，且n k a k ,,2,1,0 =>，11=∑=nk ka，求证：n nk kn a n )22()12(1-≥+-∏= 证：原不等式22)12(11-≥+-⇔∏=n a n nk n k ，由“二，结论5” 有nknk n nk n k a n n n n a n 11111)11212()12(+--+--≥+-⇔∏∏=-= 个n nn n n n n a a a n a a a n n n n 21212121)12()12(+-=+--++--≥，又n n ni i a a a n a 211≥∑=， n ana a a ni in n=≥∴∑=1211，故n n nk kn n n a n )22()2()12(1-≥+-≥+-∏=。
评注：本例第一步放缩也可用Holder 不等式的推广。
例5 设,...,21a a 是一个无穷项的实数列，对于所有正整数i 存在一个实数c ，使得c a i ≤≤0 且ji a a j i +≥-1对所有正整数)(,j i j i ≠成立，证明：.1≥c 证： 对于2≥n ，设(1),(2),...,()n ρρρ为n ,...2,1的一个排列且满足：(1)(2)()0...n a a a c ρρρ≤<<<≤. ∴()(1)()(1)()n n n c a a a a ρρρρ-≥-=-+(1)(2)()n n a a ρρ---+(2)(1)...()a a ρρ+-1()(1)n n ρρ≥++-1(1)(2)n n ρρ+-+-1...(2)(1)ρρ++…① 21(1)2()(1)()n i n i n ρρρ=-≥--∑（柯西不等式）∴2(1)(1)(1)()n c n n n ρρ-≥+--22(1)3n n n -≥+-34131+-=+-≥n n n .故.1≥c 评注：这里把i a 有序化后，①的变形是关键。
