(完整版)Hilbert希尔伯特环变换

3第章连续时间信号与系统的频域分析101另一方面，由于无线频谱的有限性并且要避免通信间的干扰，现有的无线通信系统分配频谱的方法主要是基于固定分配方式，这一分配模式并不能为未来的无线通信系统提供更多可用的带宽，而实际频谱利用情况也表明许多已经分配的频段在空间和时间上并没有被充分利用。

图3-4-8为美国联邦通信委员会FCC（The Federal Communications Commission）在美国伯克利州市内0～6GHz频段使用的频谱覆盖图，频谱利用率为15%～85%，尤其3～6GHz频谱浪费明显，这表明传统的特定授权频带频谱利用率很低，大量授权的无线频谱被闲置，这已大大阻碍了无线通信的应用和发展。

图3-4-8 0～6GHz的频谱利用率情况这表明，目前频谱资源的缺乏在很大程度上是由于低效率的静态频谱分配方案引起的，而不是物理上频谱本身的短缺，因此，导致这些矛盾的根本原因在于固定分配频谱方案和独占频谱使用权（即业务接入权或频谱准入权）原则，但由于固定频谱分配方案过去在频谱规范管理方面曾发挥过很好的作用，同时存在巨大的经济和政治背景，短期内改变这种状况很困难。

因此，现阶段最实际的办法是通过改变业务接入权或频谱准入权，以开放频谱使用、提高频谱使用率和充分利用空闲频谱。

与不断开放新的频段满足新增业务的需求相比，改变频谱资源的分配方式是更具有前景的一种方法。

建立在软件无线电基础上的无线智能通信系统—认知无线电CR（Cognitive Radio）是解决上述无线低频谱利用率，实现无线频谱复用的最佳方案。

CR通过对周围环境的认知，根据环境干扰的变化，自适应实时调整发射功率、载波频率和调制策略等参数，达到系统最佳性能。

认知无线电目前还处于预研阶段，距实际应用还有很长一段路要走。

3.5 希尔伯特变换及小波变换简介3.5.1 希尔伯特变换希尔伯特变换（Hibert transform）反映了傅里叶正反变换之间存在单边特性与解析性的对应关系。

目录∙ 1 本质模态函数(IMF)∙ 2 经验模态分解(EMD)∙ 3 结论∙ 4 相关条目∙ 5 参考文献∙ 6 外部链接[编辑]本质模态函数(IMF)任何一个资料，满足下列两个条件即可称作本质模态函数。

⒈局部极大值(local maxima)以及局部极小值(local minima)的数目之和必须与零交越点(zero crossing)的数目相等或是最多只能差1，也就是说一个极值后面必需马上接一个零交越点。

⒉在任何时间点，局部最大值所定义的上包络线(upper envelope)与局部极小值所定义的下包络线，取平均要接近为零。

因此，一个函数若属于IMF，代表其波形局部对称于零平均值。

此类函数类似于弦波（sinusoid-like），但是这些类似于弦波的部分其周期与振幅可以不是固定。

因为，可以直接使用希尔伯特转换，求得有意义的瞬时频率。

[编辑]经验模态分解(EMD)EMD算法流程图建立IMF是为了满足希尔伯特转换对于瞬时频率的限制条件之前置处理，也是一种转换的过程。

我们将IMF来做希尔伯特转换可以得到较良好的特性，不幸的是大部分的资料并不是IMF，而是由许多弦波所合成的一个组合。

如此一来，希尔伯特转换并不能得到正确的瞬时频率，我们便无法准确的分析资料。

为了解决非线性（non-linear）与非稳态（non-stationary）资料在分解成IMF时所遇到的困难，便发展出EMD。

经验模态分解是将讯号分解成IMF的组合。

经验模态分解是借着不断重复的筛选程序来逐步找出IMF。

以讯号为例，筛选程序的流程概述如下:步骤 1 : 找出中的所有局部极大值以及局部极小值，接着利用三次样条(cubic spline)，分别将局部极大值串连成上包络线与局部极小值串连成下包络线。

步骤 2 : 求出上下包络线之平均，得到均值包络线。

步骤 3 : 原始信号与均值包络线相减，得到第一个分量。

步骤 4 : 检查是否符合IMF的条件。

希尔伯特(Hilbert)变换希尔伯特(Hilbert)变换是一种信号处理中常用的数学工具之一，主要用于将实数信号转化为复数信号，并提取出复信号的包络和瞬时相位等信息。

本文将对希尔伯特变换的基本概念、性质以及在信号处理中的应用进行介绍。

一、基本概念1. 复信号的生成在信号处理中，我们往往需要将一个实数信号变为一个复数信号，这可以通过对信号进行“解析”的方式来实现。

具体地，我们将实数信号x(t)通过一个信号处理器H(t)（即称为系统传递函数）得到一个复数信号X(t)，即：X(t) = H(t) * x(t)其中，符号“*”表示对那些对应时间点处的信号进行点乘，即乘上相应的复数模长e^(jw)，其中w为角频率，j为单位复数。

2. 复信号的包络和瞬时相位由于复数信号包含实部和虚部两个分量，其中实部和虚部分别表示原信号的信号值和90度相位移的信息。

因此，我们可以通过分别从复数信号中提取出它的实部和虚部，来获得原始信号的包络和瞬时相位两个信息。

具体的，假设我们有一个复数信号X(t) = x(t) + j*y(t)，其中x(t)为实部，y(t)为虚部，则：信号的包络：A(t) = sqrt(x^2(t) + y^2(t))其中，atan2(y(t), x(t))表示y(t)/x(t)的反正切，但与通常的反正切最大的区别在于，它不仅考虑了y(t)/x(t)的值，而且也考虑了x(t)的符号，从而在所有象限范围内都具有唯一性。

3. 希尔伯特变换希尔伯特变换是一种用于从实数信号中构造复数信号的技术。

具体地，假设我们有一个实数信号x(t)，那么它的希尔伯特变换y(t)定义如下：y(t) = H[x(t)] = P.\ I.C.\ \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{x(t')}{t-t'-j\varepsilon} dt'其中，P和I.C.分别表示柯西主值和积分常数项。

黄锷院士在《On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary dat》a 中提出一种高维全息谱分析理论HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis) 要理解HHSA 方法，首先要了解希尔伯特变换、经验模态分解(EMD) 、与希尔伯特-黄变换(HHT) 。

学术背景：在信号处理与频谱分析的目的是要描述信号的频谱含量在时间上变化，以便能在时间和频谱上同时表示信号的能量或者强度。

傅里叶频谱并没有告诉我们哪些频率在什么时候出现。

因此傅里叶变换无法表现信号频率成分的时变性，因此学术界先后发展出了短时傅里叶变换、窗口傅里叶变换、小波等手段，近似的求信号某一时刻的瞬时频率。

希尔伯特变换：希尔伯特变换是以著名数学家大卫•希尔伯特(David Hilbert)来命名。

通过希尔伯特变换，使得我们对短信号和复杂信号的瞬时参数的定义及计算成为可能，能够实现真正意义上的瞬时频率的提取，因而希尔伯特变换在信号处理上具有十分重要的地位，使得希尔伯特变换具有广泛的工程应用。

但在进一步的工程应用中，希尔伯特变换具有以下缺陷：(1) 希尔伯特变换只能近似应用于窄带信号。

但实际应用中，存在许多非窄带信号，希尔伯特变换对这些信号无能为力。

即便是窄带信号，如果不能完全满足希尔伯特变换条件，也会使结果发生错误。

而实际信号中由于噪声的存在，会使很多原来满足 希尔伯特变换条件的信号无法完全满足；(2) 对于任意给定时刻，通过希尔伯特变换运算后的结果只能在 一个频率值，即只能处理任何时刻为单一频率的信号；(3) 对于一个非平稳的数据序列，希尔伯特变换得到的结果很大 程度上失去了原有的物理意义。

图1傅立叶、小波与希尔伯特-黄变换对瞬时频率的分辨率 希尔伯特-黄变换：针对上述的三个问题，黄铐院士在 1998年提出希尔伯特-黄变换 (HHT)。

希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）0 前言传统的数据分析方法都是基于线性和平稳信号的假设，然而对实际系统，无论是自然的还是人为建立的，数据最有可能是非线性、非平稳的。

希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）是一种经验数据分析方法，其扩展是自适应性的，所以它可以描述非线性、非平稳过程数据的物理意义。

1 HHT简介[贺礼平.希尔伯特-黄变换在电力谐波分析中的应用研究[D].湖南:中南大学,2009]HHT的发展。

1995年，Norden E.Huang为研究水表面波构思出一种所谓“EMD--HSA”的时间序列分析法，通过这种方法他发现水波的演化不是连续的，而是突变、离散、局部的。

1998年，Norden E.Huang等人提出了经验模态分解方法，并引入了Hilbert谱的概念和Hilbert谱分析的方法，美国国家航空和宇航局（NASA）将这一方法命名为Hilbert-Huang Transform，简称HHT，即希尔伯特-黄变换。

HHT是一种新的分析非线性非平稳信号的时频分析方法，由两部分组成：第一部分为经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）（the sifting process，筛选过程），它是由Huang提出的,基于一个假设：任何复杂信号都可以分解为有限数目且具有一定物理定义的固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF；也称作本征模态函数）；EMD方法能根据信号的特点，自适应地将信号分解成从高到低不同频率的一系列IMF；该方法直接从信号本身获取基函数，因此具有自适应性，同时也存在计算量大和模态混叠的缺点。

第二部分为Hilbert谱分析（Hilbert Spectrum Analysis，HSA），利用Hilbert变换求解每一阶IMF 的瞬时频率，从而得到信号的时频表示，即Hilbert谱。

§5.6 希尔伯特(Hilbert )变换•希尔伯特变换的引入 • 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换一．由傅里叶变换到希尔伯特变换正负号函数的傅里叶变换 根据对称性得到那么假设系统函数为那么冲激响应系统框图:系统的零状态响应利用卷积定理具有系统函数为 － 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络同理可得到: 假设系统冲激响应为()[]ωj t F 2sgn =()jt 221sgn ⋅↔-πω()ωπ-↔sgn 1j t ()为奇函数ωsgn ()ωπsgn 1j t -↔()⎩⎨⎧<>--=-=090 0 90sgn )(00ωωωωj j j j H ()()[]t j H F t h πω11==-()()ωF t f ˆˆ ()()ωF t f ()ωsgn j -()()()()t t f t h t f t f π1ˆ*=*=()[]()()()[]()()⎩⎨⎧<>-=-⋅== 0 0 sgn ˆˆωωωωωωωjF jF j F F t f F ()t t h π1-=2π()ωsgn j其网络的系统函数为该系统框图为输出信号利用卷积定理具有系统函数为 的网络是一个使相位滞后 弧度的宽带相移全通网络 希尔伯波特变换二． 可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应()[]()⎩⎨⎧<->===090 0 90 sgn )(00ωωωωj j j t h FH ()()ωt f ()(ωF t f ˆˆ ()ωsgn j ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=*=t t f t h t f t f π1ˆˆ()()()()()⎩⎨⎧<->=⋅= 0 0 sgn ˆωωωωωωωjF jF j FF 2π()ωsgn j ()[]()()τττπd 1ˆ⎰∞∞--==t f t f tf H ()()t t f t f π1ˆ*=()[]()()τττπd 1ˆ1⎰∞∞----==t f t f tf H ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-*=t t f t f π1ˆ即:其傅里叶变换又那么根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得因果系统系统函数 的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系三．常用希尔伯特变换对作为一种数学工具在通信系统中得到了广泛的应用()()()t u t h t h ⋅=()00<=t t h()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*=ωωπδωπωj j H j H 121()()())()(ωωωωωϕj jX j R e j H j H j +==()ωωj jX j R +)(()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+*+=ωωπδωωπj j jX j R 121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*+=ωωωππ121j X j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*-+ωωωππ12j R j X j ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+∴⎰∞∞-λλωλπωωωd 2121j X j R j jX j R ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰∞∞-λλωλπωd 212j R j X j ()λλωλπωd 1)(⎰∞∞--=j X j R ()()λλωλπωd 1⎰∞∞---=j R j X )(ωj H例5-6-1用三种方法求解此题：方法1 :方法2：那么希尔伯特变换的频谱函数为即：方法3：直接用希尔伯特变换定义式例5-6-2因为即系统函数式中实部虚部[]的实部与虚部满足希尔，证明)()()(thFtueth tα-=().ˆtft的希尔伯特变换ω()()弧度，即滞后比希尔伯特变换2ˆπtftf()()[]tttfHtfsin4cosˆωπω=⎪⎭⎫⎝⎛-==()[]()()cosωωπδωωπδωω-++==tFF因()()()[]()()()sgnˆωωπδωωπδωωω--++=-⋅=jjjFF()()()[]()ttfjFsinˆˆωωωδωωδπω=↔--+=[]tttHsindcos1cosωτττωπω=-=⎰∞∞-()[][]ωααjtueFthF t+==-1)(()()()ωωωαωωααωjjXjRjjH+=+-+=2222()22ωααω+=jR()22ωαωω+-=jX现在求 的希尔伯特变换可求出各分式系数那么()ωj X ()[]()λλωλπωd 1⎰∞∞--=j X j X H ()()λλωαλλπd 122⎰∞∞-=+-=()()λωαλαλλωαλλ-+++-==+-C j B j A 22令22,21,21αωωαωαω+=+-=--=C j B j A ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()[]()()()()()()λωλαωωαλαωαλαωπωd 2121122⎰∞∞-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++++-+---=j j j j j X H ()λωλωαλωλααωπd 122222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=()λωλωαλωλαλααωπd 12222222⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++=()()()∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+=ωλωαλαωαλααωπln ln arctg 12222()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=0022122ππααωπ22αωα+=()ωR =例5-6-3试分析下面系统可以产生单边带信号信号 是带限信号，其频谱函数为图中系统函数 载频由调制定理可知 为带通信号其频谱函数 是的希尔伯特变换信号其频谱那么其频谱函数即输出信号其频谱为()t y 2m m()t g ()ωG ()()ωωsgn j j H -=m ωω>>0()()t t g t y 01cos ω=()[]()()()00112121ωωωωω-++==G G Y t y F ()t g ˆ()t g ()[]()()()ωωωsgn ˆˆj jG G t g F -==()()()t t g t y 02sin ˆω-⋅=()[]()()()()[]0022ˆ21ωωδωωδπωπω+--*==j G Y t y F ()()()()[]0000sgn sgn 2ωωωωωωωω+++---=jG jG j ()()()()()00002sgn 21sgn 21ωωωωωωωωω++---=G G Y ()()()t y t y t y 21+=()()()ωωω21Y Y Y +=频谱图如下所示是带通信号〔上边带调幅信号〕的频谱 00m 0m 000m 0m 0()ωY。

Hilbert变换及谱分析Hilbert变换是⼀个很有⽤的变换，⽤它来做包络分析更是⼀种有效的数据处理⽅法。

现⽤代码测试其变换效果第⼀个程序效果如下% Hilbert变换测试clcclear allclose allts = 0.001;fs = 1/ts;N = 200;f = 50;k = 0:N-1;t = k*ts;% 信号变换% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号y = sin(2*pi*f*t);yh = hilbert(y); % matlab函数得到信号是合成的复信号yi = imag(yh); % 虚部为书上定义的Hilbert变换figuresubplot(211)plot(t, y)title('原始sin信号')subplot(212)plot(t, yi)title('Hilbert变换信号')% 检验两次Hilbert变换的结果（理论上为原信号的负值）% 结论：两次Hilbert变换的结果为原信号的负值yih = hilbert(yi);yii = imag(yih);max(y + yii)% 信号与其Hilbert变换的正交性% 结论：Hilbert变换后的信号与原信号正交sum(y.*yi)% 谱分析% 结论：Hilbert变换后合成的复信号的谱没有⼤于奈⽒频率的频谱，即其谱为单边的NFFT = 2^nextpow2(N);f = fs*linspace(0,1,NFFT);Y = fft(y, NFFT)/N;YH = fft(yh, NFFT)/N;figuresubplot(211)plot(f,abs(Y))title('原信号的双边谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|Y(f)|')subplot(212)plot(f,abs(YH))title('信号Hilbert变换后组成的复信号的双边谱')xlabel('频率f (Hz)')ylabel('|YH(f)|')第⼆个效果如下第⼀个包络测试可以看到，此包络分析得到的包络信号频率为20Hz，包络信号的波形为余弦信号的绝对值信号，这是因为计算包络时是取绝对值得到的，从⽽使信号频率加倍。