《计算机数值方法教学课件》第一章 线性代数方程组数值解法-part i.ppt
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线性代数问题的计算机求解.ppt
可以利用 MATLAB 语句对给定矩阵进行数值解 与解析解分析，如计算矩阵的行列式、迹、秩、 范数、特征多项式、逆矩阵和广义逆矩阵、特征 值与特征向量等。
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
56
分析了线性代数方程可解的条件，分别对唯一解、 无穷解和无解等问题进行处理，给出了基于
15
4.1.2 符号矩阵的输入
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
16
【例4-6】用数值法和解析法求下式
63
S= 2i 1 2 4 8 262 263 i0
i=1:63; s=sum(2.^i) S=vpa(sum(sym(2.^i)),20)
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
32
【例4-14】
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
33
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
34
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
35
【例4-15】
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
36
4.2.2.2 矩阵的广义逆
MATLAB语言与应用
40
【例4-17】
>>norm(A*v-v*d)
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
41
4.3 线性方程组的计算机求解
线性代数方程：
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
42
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
43
【例4-18】
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
56
分析了线性代数方程可解的条件，分别对唯一解、 无穷解和无解等问题进行处理，给出了基于
15
4.1.2 符号矩阵的输入
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
16
【例4-6】用数值法和解析法求下式
63
S= 2i 1 2 4 8 262 263 i0
i=1:63; s=sum(2.^i) S=vpa(sum(sym(2.^i)),20)
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
32
【例4-14】
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
33
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
34
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
35
【例4-15】
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
36
4.2.2.2 矩阵的广义逆
MATLAB语言与应用
40
【例4-17】
>>norm(A*v-v*d)
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
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4.3 线性方程组的计算机求解
线性代数方程：
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
42
2021年2月17日2时43分
MATLAB语言与应用
43
【例4-18】
第一章 常用数值分析方法§2 线性方程组的数值解法PPT课件
求解Ax = b，曾经学过克莱姆(Cramer)法则， 矩阵变换法等，但已远远满足不了实际运算的需要， 主要体现两个方面：一是运算的快速和准确，其次 是方程组的个数增大时的计算问题。如何建立能在 计算机上可以实现的有效而实用的解法，具有极其 重要的意义，我们都知道，Cramer法则在理论上是 绝对正确的，但当 n较大时， 在实际计算中却不能 用。
07:54 27.11.2020
3/37
X.Z.Lin
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限步 四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算 法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
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7/37
X.a a a结132(((1 1 1为求111))) xxx能解1 1 1 更步 清骤a a a132 楚，(((1 1 1222)))地并xxx2 2 2得且 到很a a a算容132(((1 1 1法易333))) xxx，地3 3 3下可 面推a a a以1 广32(((1 1 1444)))4至xxx阶4 4 4一线 般性的b b b方132(((n1 1 1程（)))阶4组线(阶2为性）-例方4 )
请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小数，
即不可避免地存在着舍入误差的影响，因而即使是准确的 直接解法，也只能求到近似解。
直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
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4/37
X.Z.Lin
线性方程组的
直接解法
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X.Z.Lin
线性方程组的数值解法
解线性方程组的数值方法大致分为两类：
1. 直接法：指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限步 四则运算可求得方程组准确解的方法。
2. 迭代法：从给定的方程组的一个近似值出发，构造某种算 法逐步将其准确化，一般不能在有限步内得到准确解。
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X.a a a结132(((1 1 1为求111))) xxx能解1 1 1 更步 清骤a a a132 楚，(((1 1 1222)))地并xxx2 2 2得且 到很a a a算容132(((1 1 1法易333))) xxx，地3 3 3下可 面推a a a以1 广32(((1 1 1444)))4至xxx阶4 4 4一线 般性的b b b方132(((n1 1 1程（)))阶4组线(阶2为性）-例方4 )
请注意：由于在计算中某些数据实际上只能用有限位小数，
即不可避免地存在着舍入误差的影响，因而即使是准确的 直接解法，也只能求到近似解。
直接法在求解中小型线性方程组（≤100个），特别是 系数矩阵为稠密型时，是常用的、非常好的方法。
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X.Z.Lin
线性方程组的
直接解法
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数值分析解线性方程组的直接方法 PPT
a1(11) D1 ak(kk) Dk / Dk1, k 2,3,, n.
(2、12)
§5、2、2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G、E、 */:
Step 1: mi1 ai1 / a11 (a11 0)
A的谱半径为 ( A) 7.
5、1、4 特别矩阵 A (aij ) Rnn. (1)对角矩阵 如果当i j时，aij 0. (2)三对角矩阵 如果当| i j | 1时，aij 0. (3)上三角矩阵 如果当i j时，aij 0. (4)上海森伯格阵 如果当i j 1时，aij 0. (5)对称矩阵 如果AT A. (6)埃尔米特矩阵 设ＡＣnn ,如果AH A( AH AT ) (7)对称正定矩阵 如果（a）AT A，（b）对任意非零向量 x Rn , ( Ax, x) xT Ax 0. (8)正交矩阵 如果Ａ－１＝ＡＴ
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
的直截了当解法。方程组(5、1)的矩阵形式为
其中
a11
A
a 21 2
... ... ... ...
Ax=b
a1n a2n ... a nn
x1
,
x
x2 ...
x n
b1
(3) 相似矩阵 B=S-1AS有相同的特征多项式、
1 2 2
例1 求 A 2 2 4 的特征值及谱半径、
2 4 2
解: A的特征方程为
1 2 2
det(I A) 2 2 4
2
4 2
3 32 24 28 ( 2)2 ( 7) 0,
故A的特征值为 1 2 2, 3 7
数值分析解线性代数方程组的直接解法省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
i 2, , n, j 2, , n
b (2) i
b (1) i
mi1b1(1) ,
i 2, , n
对方程组A(1) x b(1)从左边乘以L1 L1 A(1) x L1b(1)
数值分第析18页
数值分析
第二步：设a2( 22 )
0，取mi 2
a(2) i2
a(2) 22
，i
3, ..., n
数值分第析4页
数值分析
数值求解方法有以下三条路径（三种框架）
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，经过有限次运 算可求出准确解。
迭代法：结构迭代格式，产生迭代序列，经过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
极小化方法：结构二次模函数，用迭代过程求二次
模函数极小化问题，即变分法（经
n次运算，理论上得准确解）要求A
数值分析
将方程组Ax=b系数矩阵与右端项合并为
a11 a12
A, b
a21
a22
an1
an2
a1n b1
a2n
b2
A
ann
bn
记A
(1)
A
a1(11)
...
a(1) 1n
b(1) 1
1(1)
,
(1) 2
,
...,
(1) n
,
b(1)
an(11)
...
a(1) nn
b(1) n
第一步：设a1(11) 0, 取mi1 aa（ （1i1111） ）,
6 3 3
x1
2x2 x2
3x3 2x3 3x3
6 3 3
回代求得 x3 3 / 3 1
x2 (3 2 x3 ) (3 2 1) 1
线性方程组的数值解法详解演示文稿
n
非行零交判换断的次元数素最个多数为为：：kn1(1nnk1()n12kn)(n
k 1
1)
1 2
n(n
1)
二、矩阵三角分解法
设有线性方程组：AX=b
a11 a12 a1n
x1
b1
A
a21
a22
a2
n
,
X
x2
,
b
b2
.
an1 an2 ann
xn
bn
矩阵三角分解法包括不选主元和选主元两种方法。
1、不选主元三角分解算法 当A非奇异时，可以将A作LU分解：
1 0
0 u11 u12 u1n
A
LU
l21
1
0
0
u22
,
ln1 ln,n1 1 0 0 unn
其中：(矩阵LU分解)
(1) u1 j a1 j (i 1,2,,n), li1 ai1 / u11(i 2,,n),
1
0 0
1
2，y
2 ,
x
0
.
1 1 1 0 0 1
1 1
§3 解线性方程组的迭代法
考虑线性方程组
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
a22x2
a2n xn
b2
an1x1 an2x2 annxn bn
也就是
Ax=b.
进行矩阵分裂
A=M-N,
(2.1) (2.2)
其中
a1(11)
0
0
a1(12) a2(22)
an(22)
a1(1n) a2(2n)
an(2n)
计算机数值方法课件
案例实现
使用Python编程语言实现插值 和拟合的应用。
06
总结与展望
本课程总结
内容全面
本课件涵盖了计算机数值方法的 多个领域，包括线性代数、微积 分、插值与拟合、数值积分与微 分、常微分方程数值解等。
实践性强
通过丰富的实例和实际应用案例 ，使学生能够更好地理解和掌握 计算机数值方法的应用。
易于理解
课件采用简洁明了的语言和图文 并茂的方式，帮助学生更好地理 解复杂的概念和算法。
未来发展与挑战
技术更新
随着计算机技术的不断发展，数值方法的应用范围和需求 也在不断扩大，需要不断更新课件内容以适应新的发展需 求。
理论与实践结合
数值方法的应用需要理论与实践相结合，未来应加强实践 环节的教学，提高学生的实际操作能力。
直接法实现
直接法的原理
直接法是一种通过直接计算得到解的方法，不需要通过迭代逼近 解。
直接法的步骤
直接法通常包括建立数学模型、选择合适的算法和编程实现三个步 骤，其中建立数学模型是关键。
直接法的优缺点
直接法具有精度高、稳定性好等优点，但也存在计算量大、计算时 间长等缺点。
优化算法实现
优化算法的原理
直接法
通过矩阵运算直接求解线性方程组，如高斯消元法、LU分解等 。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔 迭代法等。
共轭梯度法
结合直接法和迭代法的优点，在求解大型稀疏线性方程组时具有 较好的效果。
非线性方程的求解
牛顿法
通过迭代逐步逼近非线性 方程的根，具有较高的收 敛速度和精度。
05
案例分析
线性方程组求解案例
总结词
介绍线性方程组的数值解法，包括直接法和迭代法。
《计算机数值方法教学课件》数值计算方法绪论共33页
这种概括一方面能很好地反映客观规律， 另一方面也存在误差。我们把数学模型与实际
问题之间的误差称为模型误差。
例1：自由落体问题。我们用
s t 1 gt2
2
来描述自由落体下落时，距 离与时间来自关系。若自由落体在时间t的实际下落 距离为：S% t
则 s%t s(t ) 就是模型误差。
t0
s% t
t1
教材I的参考书目
1 《计算方法引论》,徐萃薇.高等教育出版社,1985.
2 《数值分析》,李庆扬,王能超,易大义.华中理工大学出版社, 1986
3《 Numerical Analysis 》, Richard L. Burden, J. Douglas Faires. 高等教育出版社，第七版.
教材I的参考书目
2
例2：用带毫米刻度的直尺测量某正方形的边长。
012 3 如图示，则该正方形的边长为 2.74 cm。误差小 于 0.05 cm.
(3) 方法误差（Truncation Error）
在解决实际问题时，数学模型往往很复杂， 因而不易获得解析解。这就需要建一套行之有效 的近似方法或数值方法。模型准确解与数值方法
(2) 观测误差 (Observation Error)
由于仪器的精度、试验手段、环境变化，以 及人的工作状态和能力等因素的影响，而使测量数 据带有误差。把这种因测量因素而引起的原始数据
的不准确称为 观测误差（测量误差）。
例如在测量物体长度和温度等物理量时，均会 存在观测误差（测量误差）。
在例1公式 s t 1 gt 2 中，g, t 都包含有观测误差。
授课内容安排
第一章 线性代数方程组数值解法 第二章 常微分方程数值解法 第三章 偏微分方程的数学性质 第四章 有限差分法的基本概念 第五章 线性偏微分方程的有限差分法 第六章 流体力学控制方程的有限差分法
问题之间的误差称为模型误差。
例1：自由落体问题。我们用
s t 1 gt2
2
来描述自由落体下落时，距 离与时间来自关系。若自由落体在时间t的实际下落 距离为：S% t
则 s%t s(t ) 就是模型误差。
t0
s% t
t1
教材I的参考书目
1 《计算方法引论》,徐萃薇.高等教育出版社,1985.
2 《数值分析》,李庆扬,王能超,易大义.华中理工大学出版社, 1986
3《 Numerical Analysis 》, Richard L. Burden, J. Douglas Faires. 高等教育出版社，第七版.
教材I的参考书目
2
例2：用带毫米刻度的直尺测量某正方形的边长。
012 3 如图示，则该正方形的边长为 2.74 cm。误差小 于 0.05 cm.
(3) 方法误差（Truncation Error）
在解决实际问题时，数学模型往往很复杂， 因而不易获得解析解。这就需要建一套行之有效 的近似方法或数值方法。模型准确解与数值方法
(2) 观测误差 (Observation Error)
由于仪器的精度、试验手段、环境变化，以 及人的工作状态和能力等因素的影响，而使测量数 据带有误差。把这种因测量因素而引起的原始数据
的不准确称为 观测误差（测量误差）。
例如在测量物体长度和温度等物理量时，均会 存在观测误差（测量误差）。
在例1公式 s t 1 gt 2 中，g, t 都包含有观测误差。
授课内容安排
第一章 线性代数方程组数值解法 第二章 常微分方程数值解法 第三章 偏微分方程的数学性质 第四章 有限差分法的基本概念 第五章 线性偏微分方程的有限差分法 第六章 流体力学控制方程的有限差分法
数值分析-线性代数方程组的直接解法PPT学习教案
n1继续上述消元过程设第第k1次消元已经完成得到与原方程组等价的方程组?????????????????????????????????????????????????????????????knkknkknnknkkknkkknnbbbbxxxxaaaaaaaaa????????????2211212222211112111nkjibmbbamaakkikkikikkjikkijkij111????????????1nkiaamkkkkikik????记为其中kkbxa?只要消元过程就可以进行下去直到经过nn11次消元之后消元过程结束得到与原方程组等价的上三角形方程组记为0?kkkannbxa?或者写成?????????????????????????????????????????2211212222211112111nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa?????????????????????22222222111121121111nnnnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa????即即372回代过程就是对上三角方程组37自下而上逐步回代解方程组计算即1211?????????niaxabxabxiiijnijiijiiinnnnnn33高斯消去法的计算步骤
,
a (1) 31
,,
a (1) n1
mi1
a (1) i1
a (1) 11
,
(i 2,3,, n)
用 mi1 乘以第1个方程后加到第 i 个方程上去,消去
第2～n个方程的未知数 x1 ,得到 A(2) x b(2) 即
a (1) 11
a (1) 12
a (2) 22
a (2) n2
a (1) 1n
第21页/共108页
设方程组系数矩阵 A (aij )n ，其顺序主子式
,
a (1) 31
,,
a (1) n1
mi1
a (1) i1
a (1) 11
,
(i 2,3,, n)
用 mi1 乘以第1个方程后加到第 i 个方程上去,消去
第2～n个方程的未知数 x1 ,得到 A(2) x b(2) 即
a (1) 11
a (1) 12
a (2) 22
a (2) n2
a (1) 1n
第21页/共108页
设方程组系数矩阵 A (aij )n ，其顺序主子式
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a11 x1 a12 x2
a
21
x1
a22 x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2 (1-1)
ann xn bn
(1-1)可记为 AX = b
(1-1')
3
A
a11 a21
a12 a22
an1 an2
AX = b
a1n a2n
ann
(2 22
)
x
2
a (1) 13
x3
a (2) 23
x3
a (2) 32
x2
a (2) 3
x3
a
(2 i2
)
x
2
a (2) i3
x3
a
(2) n2
x
2
a (2) n3
x3
a (1) 1n
xn
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a (2) 3n
xn
b(2) 3
a (2) in
xn
b(2) i
0,
,
aHale Waihona Puke (i ii2x1
2x2 8 x 2
4x3 8x3
10 24
(5)
3x2 3x3 3
(6)
7
2
x1
2x2 8 x 2
4x3 8x3
10 24
(5)
3x2 3x3 3
(6)
(6)式-(5)式×(3/-8) , 得
2
x1
2x2 8 x 2
4x3 8x3
10 24
6x3 12
x3=2, x2=1, x1=0
令
a (1) 21
m a (1) (1) 2 11
0
若
a (1) 11
0
得
m (1) 2
a (1) 21
a (1) 11
得到： 0 a（222）x2
a（22n）x n
b（2） 2
11
a (1) 11
x1
a (1) 12
x2
0
a
(2) 22
x
2
a (1) 13
x3
a (2) 23
x3
第 (i)行
• AX = b
解的存在与唯一性:
• 若系数矩阵A非奇异,则方程组有唯一解: X= A-1b
6
例：解如下三元一次方程组:
2 5
x1 x1
2x2 3x2
4x3 2x3
10 1
(1) (2)
x1 4x2 x3 2 (3)
(2)式－(1)式×(5/2) (3)式－(1)式×(1/2)，得
an1 x1 an2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
(1-1)
化为：
b11 x1
b12 x2 b22 x2
b1n xn g1 b2n xn g2
bnn xn gn
(1-2)
该过程叫消元，然后可以求出xn, xn-1,…,x1, 叫回代。
a (1) i1
a (1) 11
ai(j2)
a(1) ij
m a (1) (1) i 1j
,
bi(2)
b(1) i
m b (1) (1) i1
,
j 2, 3, , n
i 2, 3, , n
计算量分析 (只计算乘除法)： (n+1) (n-1)次乘除法
12
a1(11)
x1
a (1) 12
x2
a
A(3) X b(3)
13
第k次消 元
a (1) 11
x1
a (1) 12
x2
a
(2) 22
x
2
a (1) 13
x
3
a (2) 23
x3
第 (i)行
a
(k kk
)
x
k
a
(k nk
)
x
k
a (1) 1n
x
n
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a
(k kn
)
x
n
b(k) k
a(k) nn
8
• §1.1 Gauss消元法与列主元消元法 1.1.1 Gauss消元法 1.1.2 列主元消元法
• §1.2 三角矩阵分解法 • §1.3 解线性方程组的迭代法
9
1.1.1 Gauss消元法(Gaussian Elimination )
a11 x1 a12 x2
a
21
x1
a22 x2
第一章 线性代数方程组
数值解法
Chapter 1 The Numerical Methods for Solving Linear Equations
1
本章主要内容
• §1.1 Gauss消元法与列主元消元法 • §1.2 三角矩阵分解法 • §1.3 解线性方程组的迭代法
2
本章研究对象：
线性代数方程组
a (2) nn
xn
b(2) n
a1(11)
x1
a (1) 12
x2
a
(2) 22
x
2
a (1) 13
x3
a (2) 23
x3
a
(3) 33
x
3
a
(3) n3
x
3
a (1) 1n
x
n
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a (3) 3n
xn
b(3) 3
a (3) nn
xn
b(3) n
A(2) X b(2)
xn
b(k) n
若
a(k) kk
0
m(k) i
a(k) ik
a(k) kk
a(k ij
1)
a(k) ij
mi(
k
a) (k kj
)
,
i, j k 1, k 2,
,n
bi( k 1)
b( k ) i
mi(
k
b) (k k
)
,
计算量分析 (只计算乘除法): (n-k+2)(n-k)次乘除法
14
a (3) 33
2
a（an1n）nnxxn nb（bn1n）
AA（1X）Xb b（1）
行乘数
第2行减去第1行乘以非零常系数
m (1) 2
：
(a（211）
m
a ) (1) （1）
2 11
x1
(a（212）
m
a ) (1) （1）
2 12
x2
(a（21n）
m
a ) (1) （1）
2 1n
x
n
b（21）
m b (1) （1） 21
10
1.1.1.1 Gauss消元法的计算过程
(1-3)
aa（（121111a））axx211111xx11
a（121a）1x2 2x2 a（2a12）2x2 x2 2
a（1a1n）1nxxn nb（b111） a（a21n）2nxxn nb（b212）
a（n1a1）nx11x1
a（na12）nx2 x2
x1
X
x2
xn
b
bb12
bn
线性代数方程组的分类：
1、稠密方程(零元素<80%)和稀疏方程；
2、高阶方程(n1000)和低阶方程；
3、对称正定、三对角、对角占优等。
4
线性代数方程组的解法分类： 1、直接法； 2、迭代法。
2020年10月9日1时19分5
什么是直接解法?
• 在没有舍入误差的情况下，经过有限步 运算能求得方程组精确解的方法。
a
(1) i1
x1
a (1) i2
x2
a (1) i3
x3
a
(1) n1
x1
a (1) n2
x2
a (1) n3
x3
a (1) 1n
xn
b(1) 1
a (2) 2n
xn
b(2) 2
a (1) in
xn
b(1) i
a (1) nn
xn
b(1) n
用
(
i
)
(1)
m
(1) i
,得到新的行乘数：
m (1) i