湖北省应城市第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

2020学年度第二学期期中联考高一数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知是锐角，那么2是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 小于的正角D. 第一象限或第二象限【答案】C【解析】是锐角,∴，∴是小于的正角2.下列三角函数的值大于零的是（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的定义来判断符号。

【详解】因为在第三象限，所以；因为在第一象限，所以；因为在第四象限，所以；因为，所以选B选项。

【点睛】先确定角的终边所在象限，再根据三角函数的定义或一全正，二正弦，三正切，四余弦即可判断正负。

3.下列命题成立的是（）A. 若是第二象限角，则B. 若是第三象限角，则C. 若是第四象限角，则D. 若是第三象限角，则【答案】D【解析】【分析】先确定角终边所在象限，再根据三角函数的定义判断角的正弦、余弦、正切的符号，即可得出答案。

【详解】若是第二象限角，因为，，所以，故A错误；若是第三象限角，因为，，所以，故B错误；若是第四象限角，因为，，所以，故C错误；若是第三象限角，因为，，所以，故选D选项。

【点睛】角的正弦、余弦、正切的正负可以用三角函数的定义或一全正，二正弦，三正切，四余弦来判断。

4.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式即可判断。

详解】由诱导公式可知，故选C选项【点睛】在用诱导公式时，先要将负角化为正角，再把大角化小角。

注意判断角的三角函数的正负。

5.下列定义在上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由周期公式即可判断。

【详解】的周期；的周期；的周期；的周期；故选A选项。

【点睛】函数、的周期。

6.下列关于函数的单调性的叙述，正确的是（）A. 在上是增函数，在上是减函数B. 在上是增函数，在和上是减函数C. 在上是增函数，在上是减函数D. 在上是增函数，在上是减函数【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的单调性进行求解即可。

姓名，年级：时间：应城一中合教中心高一年级复学摸底测试数学试卷考试时间：2020年7月13日 下午15:40-17：40 试卷满分：150分 一．选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x ｜2≤x+1＜5},B ＝{x ∈N ｜x≤2｝,则A∩B＝（ )A ．{x ｜1≤x≤2｝B ．{1,2｝C ．{0，1}D ．｛0,1，2}2．总体由编号01，02， ,19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是随机数表从第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为 （ ） 7806651208026314070243129728019832049234493582003623486969387481A ．12B ．04C ．02D ．013．已知角α的终边上一点的坐标为（sin ，cos)，则角α的最小正值为( ）A ．B ．C ．D ．4．《周易》是我国古代典籍，用“卦"描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从中任取一卦，恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．81B ．41C ．83D ．215．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4),AB =(1,3)AC =，则DA =( ）学校 考号 姓名班级A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(1,1)--6．设2121log ln 2log 3a ebc ===,，，则c b a ,,的大小关系是（ ) A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 7．函数()f x 的定义域为R,对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数,则（ )A.)3()2()1(f f f <-< B 。

应城一中2019-2020学年度下学期期中考试高一数学试卷 第Ⅰ卷 （选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式2560x x --<的解集是（ ） A. {}|32x x -<< B. {}|16x x -<< C. {| 1 x x <-或 6}x > D. {| 3 x x <-或2}x >【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】()()256061016x x x x x --<⇒-+<⇒-<<，所以不等式的解集为{}|16x x -<<. 故选：B【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，337, 12a S ==，则10a =（ ） A. 25 B. 28C. 31D. 32【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式以及前n 项和公式可得1127323122a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，求出1a 、d ，从而可求出10a .【详解】由337, 12a S ==，可得1127323122a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a =，3d =， 所以101912728a a d =+=+=. 故选：B【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式基本量的运算，需熟记公式，属于基础题.3.已知实数x y ，满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）.A. 221111x y >++ B. ()()22ln 1ln 1x y +>+C. sin sin x y >D. 33x y >【答案】D 【解析】 【分析】由(01)x y a a a <<<可知x y >,对于A,B,C 分别举反例即可否定，对于D ，由3y x =在R 上递增即可判断正误. 【详解】实数x y ，满足(01)xya a a <<<,∴ x y >对于A ，取2,1x y ==，不成立；对于B,取1,1x y ==-，不成立；对于C,取,x y ππ==-，不成立；对于D ，由于3y x =在R 上递增，故正确.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，推理能力，属于容易题. 4.sin70cos40cos130sin20︒︒+︒︒=（ ） A. 3 B.32C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】高考资源网（ ） 您身边的高考专家利用诱导公式以及两角和的余弦公式的逆应用即可求解.【详解】sin70cos40cos130sin20cos20cos40cos40sin20︒︒+︒︒=︒︒-︒︒()20401cos cos602==︒+=. 故选：C【点睛】本题考查了诱导公式、两角和的余弦公式，需熟记公式，属于基础题. 5.已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A .12B.1432【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+， =1cos 232111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6.已知{}n a 为等比数列，5849-3, 18a a a a +==-，则211a a +=（ ） A. 9 B. 9-或212C.212D. 214-【答案】C【解析】 【分析】利用等比数列的性质可得5818a a =-，进而可得等比数列的公比，再利用等比数列的性质即可求出211a a +. 【详解】4958+=+，495818a a a a ∴==-，即58,a a 为方程23180x x +-=的两个根，解得5863a a =-⎧⎨=⎩或5836a a =⎧⎨=-⎩，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则当5863a a =-⎧⎨=⎩时，38512a q a ==-， 所以3521183612131222a a a a q q -⎛⎫+=+=+⨯-= ⎪⎝⎭-， 当5836a a =⎧⎨=-⎩时，3852a q a ==-， 所以()()35211833216222a a a a q q +=+=+-⨯-=-. 故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的性质以及应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题.7.已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A.34B.56C.710D.23【答案】A 【解析】 【分析】设三边依次是1,,1x x x -+，其中x 是自然数，且2x ≥，令三角形的最小角为A ，则最大角为2A ，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦公式化简表示出cos A ，再利用余弦定理表示出cos A ，两者相等求出x 的值，确定出三边长，即可求出最小值的余弦值. 【详解】设三边依次是1,,1x x x -+，其中x 是自然数，且2x ≥， 令三角形的最小角为A ，则最大角为2A ， 由正弦定理可得：111sin sin 22sin cos x x x A A A A-++==， ()1cos 21x A x +∴=-，由余弦定理可得：()()()22211cos 21x x x A x x ++--=+，即2214411x x x x x x x x +++==-++，、 整理得：()()()2114x x x +=-+， 解得：5x =， 三边长为4,5,6，则2225643cos 2564A +-==⨯⨯.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式，属于基础题. 8.已知函数()sin 3f x x x ωω=+(0)>ω的图象的相邻对称轴间的距离为2π，把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A. 函数()g x 是奇函数B. 其图象关于直线4x π=对称C. 在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2,0]- D. 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，由题意求得ω，利用函数图象平移求得()g x ，再由sin()y A x ωϕ=+型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案. 【详解】()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为()f x 的图象的相邻对称轴间的距离为2π， 故()f x 的最小正周期为T π=， 所以22Tπω==， 于是2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()2sin 2123g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2cos2x =， 故()g x 为偶函数，并在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以A ，D 错误；04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以B 错误； 因为243x ππ≤≤， 所以42,23x ππ≤≤2cos 2[2,0]x ∈-， 所以C 正确. 故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象平移变换，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的性质，考查计算能力，属于常考题.9. 已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4C.92D.112【答案】B 【解析】【详解】解析：考察均值不等式2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin()4sin 2C A B B +-=.若3C π=，则ab =（ ） A. 14B. 4C.12或4 D. 4或14【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理与诱导公式，可得()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入题中等式并利用三角恒等变换化简、整理得()cos sin 4sin 0B A B -=，可得cos 0B =或sin 4sin A B =，再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得ab的值.【详解】A B C π+=-，∴()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，又()sin sin cos cos sin A B A B A B -=-，sin sin()4sin 2C A B B -=∴+，即(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )8sin cos A B A B A B A B B B ++-=， 化简得2sin cos 8sin cos A B B B =， 即cos (sin 4sin )0B A B -=， 解之得cos 0B =或sin 4sin A B =， （1）若cos 0B =，则2B π=，由3C π=，根据三角形的内角和定理可得6A π=，所以sin 1cos 2a Ab B ==； （2）若sin 4sin A B =，由正弦定理可得：4a b =所以4ab=. 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和与差的正弦公式，属于基础题. 11.在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为32，那么b =（ ） A.132 B. 13 C.223+ D. 23【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得22222cos ()22cos b a c c B a c ac ac B =+-=+--，又面积1sin 2ABC S ac B ∆=13642ac ac ==⇒=，因为a b c ，，成等差数列，所以2a c b +=，代入上式可得2241263b b =--，整理得2423b =+，解得13b =，故选B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式． 12.已知3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12sin 413πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos()αβ+=（ ） A.1665B. 5665-C.6365D. 3365-【答案】D 【解析】 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出94sin 14255πα⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭，1445cos 1416913πβ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，由cos()cos 44ππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】因为3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以,042ππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 故94sin 14255πα⎛⎫-=--=-⎪⎝⎭，因为0,4πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,442πππβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以1445cos 1416913πβ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭，所以cos()cos 44ππαββα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 4444ππππβαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭531241548331351356565-⎛⎫=⨯+⨯-==- ⎪⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，掌握公式是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上）13.当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数1()sin 2sin f x x x =+的最小值为____________.2【解析】 【分析】令sin t x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()0,1t ∈，利用基本不等式即可求解.【详解】令sin t x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()0,1t ∈， 所以()11222f x t t t t=+≥⋅=，当且仅当12tt=，即2t=，4xπ=时，等号成立，故答案为：2【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.14.若(0,)2πα∈，且25cos2sin()4παα=+，则tanα=__________．【答案】13【解析】原式等于()2210cos sin cos sin5αααα-=+，解得：10cos sin5αα-=①，两边平方后可得32sin cos5αα=，那么()28cos sin12sin cos5αααα+=+=，即210cos sinαα+=②，由①②解得1010{31010sincosαα==，那么tanα=13.15.如图，某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30，乙山山顶B的仰角为60︒，APB∠的大小为30，山脚P到山顶A的直线距离为4km，在A处测得山顶B的仰角为30，则乙山的高度为_____________.【答案】3【解析】【分析】根据山顶的仰角可得2AC=，33BP BD=，过A向乙山作垂线，则()21AB BD=-，在ABP△中利用余弦定理列方程解出BD.【详解】假设甲山底部为C，乙山底部为D，过A作AE BD⊥于E，由题意可知30APC∠=，60BPD∠=，4AP=，sin 302AC AP ∴=⋅=，2DE AC ==，设BD h =，则3DP h =，2BE h =-，23BP h =， 30BAE ∠=，224AB BE h ∴==-，在ABP △中，由余弦定理得：()222224162433cos30222324h h AP BP AB AP BP h+--+-===⋅⨯⨯，解得3h =，所以乙山的高度为3km故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理在生活中的应用，需熟记余弦定理的内容，属于基础题.16.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有()*1,n n n N >∈个点，相应的图案中总的点数记为n a ，则233445202020219999a a a a a a a a +++⋯+=_____________.【答案】20192020【解析】 【分析】根据题意，可得()23321a ==⨯-，()36331a ==⨯-，()49341a ==⨯-，()512351a ==⨯-，，()31n a n =-，数列{}n a 是以3为首项，以3为公差的等差数列，通项为()31n a n =-()2n ≥，从而1111191n n a a n n -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，据此解答即可. 【详解】根据分析可得，()23321a ==⨯-，()36331a ==⨯-，()49341a ==⨯-， ()512351a ==⨯-，，()31n a n =-，数列{}n a 是以3为首项，以3为公差的等差数列， 所以通项为()31n a n =-()2n ≥，所以()11111131391n n a a n n n n -⎛⎫==- ⎪-⋅-⎝⎭， 则23344520202021999911111191922320192020a a a a a a a a ⎛⎫+++⋯+=⨯-+-++- ⎪⎝⎭12019120202020=-=. 故答案为：20192020【点睛】本题考查了由图形写出数列的通项公式、裂项求和法，属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin 4α=.（1）求sin 2α的值；（2）若3sin()5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值. 【答案】（1）15 （23154+.【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出cos α，再利用二倍角的正弦公式即可求解. （2）利用同角三角函数的基本关系求出()cos αβ+，根据sin sin[()]βαβα=+-，利用两角差的正弦公式展开即可求解.【详解】（1）由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2115sin ,cos 1sin 4ααα=∴=--=， 11515sin 22sin cos 24ααα⎛∴==⋅⋅= ⎝⎭（2）33sin(),0,,,,,5222πππαββαπαβπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-∈∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，24cos()1sin ()5αβαβ∴+=--+=-，sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα∴=+-=+-+31541554⎛⎛⎫=-⋅--⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 3154=+. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角差的正弦公式，熟记公式是关键，属于基础题.18.（1）已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比2q ，若存在两项m a ，n a 18m n a a a =，求19m n+得最小值. 【答案】（1）20m <<； （2）2. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质可得()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，解不等式组即可.（2）利用等比数列的通项公式可得8m n +=，由19119()8m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意可得()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即22210230m m m ⎧-<⎨+<⎩，得22302m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，所以20m <<（218m n a a a ，则2164m n a a a ⋅=，所以11211164m n a q a q a --⋅=，由2q，所以262642m n +-==所以8m n +=()*0,0. ,m n m n N >>∈或故19119191()10(106)2888n m m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤+=++=++≥+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当且仅当8m n +=且3n m =，即2m =，6n =时上式取等号. 故19m n+得最小值为2. 【点睛】本题考查了二次函数的性质、等比数列的通项公式、基本不等式求最值，属于基础题.19.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且29n n S a =-， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项n T . 【答案】（1）213n n a -=；（2）11213124n n n T --=+⋅. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得1129n n S a --=-，利用n S 与n a 的关系可得13n n a a -=，从而可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解. （2）由（1）可知23n n nnb n a -==⋅，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）11,3n a == 112,29n n n S a --≥=-11122,3n n n n n n S S a a a a ---∴-=-={}n a ∴是以3为首项，13为公比的等比数列，1211333n n n a --⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭（2）23n n nnb n a -==⋅ 10132132333(1)33n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅++-+⋅ 022********(1)33n n n T n n --=⋅+⋅+⋅++-+⋅102123333n n n T n ----=++⋯⋯+-⋅()11133313n n n --=-⋅-11213124n n n T --∴=+⋅ 【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式、错位相减法求和，属于中档题. 20.如图，在ABC ∆中，2AC =，3A π∠=，点D 在线段AB 上.（1）若1cos 3CDB ∠=-，求CD 的长；（2）若2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠，求ABC ∆的面积.【答案】（1）36CD =（233【解析】 【分析】（1）先根据平方关系求出sin CDA ∠,再根据正弦定理即可求出CD ；（2）分别在ADC ∆和BDC ∆中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出CB ，再根据余弦定理求出AB ，即可根据1sin 2S AC AB A =⋅⋅求出ABC ∆的面积． 【详解】（1）由1cos 3CDB ∠=-，得1cos 3CDA ∠=，所以22sin 3CDA ∠=. 由正弦定理得，sin sin CD AC A CDA =∠32223=364CD =. （2）由正弦定理，在ADC ∆中，sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，①在BDC ∆中，sin sin DB CBBCD BDC=∠∠，②又sin sin ADC BDC ∠=∠，2AD DB =，sin 7ACD BCD ∠=∠，由①②得7CB = 由余弦定理得2222cos CB AC AB AC AB A =+-⋅， 即2742AB AB =+-，解得3AB =，所以ABC ∆的面积133sin 2S AC AB A =⋅⋅=【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）()163601y m m m =--≥+； （2）2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意0m =时，2x =，求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解.（2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件），则24k =-，解得2k =，241x m ∴=-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2018年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（2）当0m ≥时，10m +>，16(128116)m m ∴++≥+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【点睛】本题考查了常见函数的模型（分式型）、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.22.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(3)n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立. （1）证明2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求实数λ的取值范围； （3）设22n nn c n a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）见解析，(1)2nn a n =+⋅； （2）218λ<； （3）1112(1)2n n +-+⋅. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得1122nn n S a --=-，利用n S 与n a 的关系可得122n n n a a -=+，再利用等差数列的定义即可证出，进一步利用等差数列的通项公式可求n a .（2）将不等式转化为223233(1)22n n n n n n λ---->=+，记232n n n b -=，判断{}n b 的单调性，求出n b 的最大值，从而求出λ的取值范围. （3）由11211(1)22(1)2n n nn n c n n n n +++==-+⋅+⋅，利用裂项求和法即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1112 4S a a =-=，得14a =.当2n ≥时，1122nn n S a --=-，又122n n n S a +=-，两式相减，得：1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=，又122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)112nn a n n ∴=+-⋅=+，即(1)2n n a n =+⋅； （2）因为0n a >，故不等式223(3)n n n a λ--<-等价于223233(1)22n nn n n n λ---->=+.记232n nn b -=，则111212352222n nn n n n n nb b +++----=-= 当1n =时，21210, b b b b ->>；当2n =时，32320, b b b b ->>，从而321b b b >>； 当3n ≥时，110,n n n n b b b b ++-<>，即345b b b >>>⋅⋅⋅综上，()33max 8n b b ==，所以338λ->，即218λ<.（3）11211(1)22(1)2n n n n n c n n n n +++==-+⋅+⋅，所以22231111111111122222322(1)22(1)2n n n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等差数列的定义、等差数列的通项公式、数列的单调性以及裂项求和法，属于基础题.。

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知α是锐角，那么2α是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 小于π的正角D. 第一象限或第二象限2.下列三角函数的值大于零的是（）A. cos250°B. tan（-672°）C.D. tan3π3.下列命题成立的是（）A. 若θ是第二象限角，则cosθ•tanθ＜0B. 若θ是第三象限角，则cosθ•tanθ＞0C. 若θ是第四象限角，则sinθ•tanθ＜0D. 若θ是第三象限角，则sinθ•cosθ＞04.下列等式成立的是（）A. B.C. D.5.下列定义在R上的四个函数与其对应的周期T不正确的一组是（）A. B.C. D.6.下列关于函数y=4sin x，x∈[-π，π]的单调性的叙述，正确的是（）A. 在[-π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B. 在[-，]上是增函数，在[-π，-]和[，π]上都是减函数C. 在[0，π]上是增函数，在[-π，0]上是减函数D. 在[，π]和[-π，-]上是增函数，在[-，]上是减函数7.下列不等式中，正确的是（）①②③A. ①③B. ①②C. ②③D. ①②③8.为了得到的图象，只需把余弦曲线y=cos x上的所有点（）A. 向左平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向右平行移动个单位长度9.若，是夹角为的两个单位向量，则=2+和=-3+2的夹角为（）A. B. C. D.10.已知tanα=，tan（α-β）=-，那么tan（β-2α）的值是（）A. -B.C.D.11.函数的递增区间是（）A. B.C. D.12.在△ABC中，，则∠B的解的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 不能确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若||=1，||=，（-）•=0，则与的夹角为______．14.在△ABC中，B=，C=，c=1，则最短边长等于______．15.等腰三角形一个底角的余弦为，那么顶角的余弦值为______．16.已知13sinα+5cosβ=9，13cosα+5sinβ=15，那么sin（α+β）的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在△ABC中，已知BA=a，AC=b，AB=c，边BC和AC所夹的角为C．（1）关系式a2+b2-c2=2ab cos C是否成立；（2）证明或者说明（1）中你的结论18.设函数f（x）=sin x+sin（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变化得到．19.已知f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x-3．（1）请通过降幂化简f（x）；（2）求函数f（x）在[，]上的最小值并求当f（x）取最小值时x的值．20.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cos(B+C)=1.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin B sin C的值.21.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（2，1），A（1，0），B（cosθ，t）．（1）若∥，且||=||，求向量的坐标；（2）若，求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值．22.如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离SA按米处理）．（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若α是锐角，则0°＜α＜90°，则0°＜2α＜180°，则2α是小于π的正角，故选：C．根据锐角的范围，求出2α的范围进行判断即可．本题主要考查象限角的判断，结合锐角的定义求出对应点的范围是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：250°是第二象限角，则cos250°＜0，-672°=-720°+48°，48°角位于第一象限，则tan（-672°）＞0，-是第四象限角，则sin（-）＜0，tan3π=tan0=0，故满足条件的是B，故选：B．根据三角函数符号关系判断角所在的象限即可．本题主要考查三角函数符号的判断，结合角的象限与符号之间的关系是解决本题的关键．3.【答案】D【解析】解：若θ是第二象限角，则cosθ＜0，tanθ＜0，则cosθ•tanθ＞0，故A错误，若θ是第三象限角，则cosθ＜0，tanθ＞0，则cosθ•tanθ＜0，故B错误，若θ是第四象限角，则sinθ＜0，tanθ＜0，则sinθ•tanθ＞0，故C错误，若θ是第三象限角，则si nθ＜0，cosθ＜0，则sinθ•cosθ＞0，故D正确，故选：D．根据角所在的象限判断三角函数值的符号进行判断即可．本题主要考查三角函数值符号的判断，结合角的象限与三角函数值符号的关系是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：对于A，cos（-）=cos=，-cos=-，故错误；对于B，sin（-）=sin=，-sin=-，故错误；对于C，cos（-）=cos（π+）=-cos，故正确；对于D，tan=-tan=-，tan=，故错误．故选：C．逐项利用诱导公式化简即可得解．本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：对于y=sin x，它的周期T==，与其对应的周期T不正确；对y=cos4x，它的周期T==，与其对应的周期T正确；对于y=cos x，它的周期T==2π，与其对应的周期T正确；对于y=sin（+），它的周期T==6π，与其对应的周期T正确，故选：A．根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期为，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：y=4sin x的单调递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z，单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，∵x∈[-π，π]，∴在[-，]上是增函数，在[-π，-]和[，π]上都是减函数，故选：B．根据三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查函数单调性的判断和求解，根据正弦函数的单调性是解决本题的关键．7.【答案】A【解析】解：①cos（-）=cos（-4π-）=cos=-cos，cos（-）=cos（-6π+）=cos=-cos，∵0＜＜＜，∴cos＞cos，∴-cos＜-cos，即成立，故①正确，②∵y=tan x在（-，）上单调递增，∴tan（-）＞tan（-），故②错误③∵y=sin x在（-，）上单调递增，∴成立，故③正确，故正确的是①③，故选：A．利用三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性分别进行判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，结合三角函数的诱导公式以及三角函数的单调性进行转化是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：把余弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度，可得函数的图象，故选：C．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】C【解析】【分析】考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角余弦的计算公式，以及已知三角函数求角，清楚向量夹角的范围．由条件可以得到，，然后进行数量积的运算便可求出，，从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出，这样便可得出向量的夹角．【解答】解：根据条件，，；∴==，，；∴；又，∴的夹角为．故选：C．10.【答案】B【解析】【分析】此题考查学生灵活运用两角差的正切函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的灵活变换．先把所求的式子中的角β-2α变为（β-α）-α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，把已知的tanα和tan（β-α）的值代入即可求出值．【解答】解:∵tan，∴tan（β-2α）=-tan（2α-β）=-tan[（α-β）+α]=-=-=-．故选B．11.【答案】D【解析】解：∵==cos（2x+）∴2x+∈[2kπ-π，2kπ]，∴故选：D．首先利用诱导公式和二倍角公式整理，变化成一个逆用两角和的余弦公式的形式，写出最简形式，根据余弦函数的单调减区间写出结果．本题考查三角函数的恒等变化和单调性，本题解题的关键是对于三角函数式的整理，注意公式的逆用．12.【答案】C【解析】解：在△ABC中，，可得，可得sin B==，因为b＞a，所以B＞A，所以∠B的解的个数为：2．故选：C．直接利用正弦定理转化求解即可．本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，是基本知识的考查．13.【答案】【解析】解：||=1，||=，（-）•=0，则，所以所以与的夹角的余弦值为：cosθ==；所以θ=；故答案为：．通过已知求出与的数量积，在由数量积的定义解答．本题考查了向量的数量积公式的运用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由于△ABC中，B=，C=，根据三角形内角和公式可得A=π-B-C=，再根据大角对大边可得b为最小边．由c=1，再根据正弦定理可得：，即：=，解得：b=．故答案为：．由三角形内角和公式可得A=，再根据大角对大边可得b为最小边，再根据正弦定理求得b的值．本题主要考查正弦定理的应用，以及大角对大边，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设等腰三角形ABC的底角为B，C，则cos B=，则顶角A=π-B-C=π-2B，则cos A=cos（π-2B）=-cos2B=-（2cos2B-1）=1-2×（）2=1-=，故答案为：根据三角函数的诱导公式以及倍角公式进行化简求解即可．本题主要考查三角函数值的求解，结合三角函数的诱导公式以及倍角公式进行转化是解决本题的关键．16.【答案】【解析】解：∵13sinα+5cosβ=9，13cosα+5sinβ=15两式平方相加得194+130sinαcosβ+130cosαsinβ=306即∴故答案为将已知条件中的两个等式平方相加，利用三角函数的平方关系及两角和的正弦公式求出sin（α+β）的值解决三角函数中的给值求值题，一般通过观察，从整体上处理；一般利用三角函数的诱导公式、倍角公式、两角和、差公式．17.【答案】（本小题满分10分）解：（1）关系式a2+b2-c2=2ab cos C是成立的．……………………………………（3分）（2）证明：如图，设=b，=a，=c，……………（5分）则c=a-b，……………………………………（6分）|c|2=c•c=（a-b）•（a-b）=a2+b2-2a•b=a2+b2-2ab cos C，…………………（9分）∴a2+b2-c2=2ab cos C．…………………（10分）【解析】（1）关系式a2+b2-c2=2ab cos C是成立的．（2）设=b，=a，=c，可求c=a-b，由|c|2=a2+b2-2a•b利用平面向量数量积的运算即可证明．本题主要考查了平面向量的运算，考查了转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x=sin（x+），∴当x+=2kπ-（k∈Z），即x=2kπ-（x∈Z）时，f（x）取得最小值-，此时x的取值集合为{x|x=2kπ-（k∈Z）}；（Ⅱ）先由y=sin x的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y=sin x的图象；再由y=sin x的图象上的所有点向左平移个单位，得到y=f（x）的图象．【解析】（Ⅰ）f（x）解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出满足题意x的集合；（Ⅱ）根据变换及平移规律即可得到结果．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及函数y=A sin （ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．19.【答案】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=2sin4x+2cos4x+cos22x-3=2（）2+2（）2+cos22x-3…………………………（2分）=（2+2cos22x）+cos22x-3……………………………………………（4分）=cos4x-1．…………………………………………………………………（8分）（2）∵f（x）=cos4x-1，由x∈[，]，得4x∈[，]，∴当4x=，即x=时，f（x）的最小值为-．……………（12分）【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用即可化简得解函数解析式；（2）由已知可求得4x∈[，]，根据余弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由cos2A-3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cos A-2=0，即（2cos A-1）（cos A+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21，故．又由正弦定理得．【解析】（I）利用倍角公式和诱导公式即可得出；（II）由三角形的面积公式即可得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21，即可得出a．又由正弦定理得即可得到即可得出．熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定理是解题的关键．21.【答案】解：（1）=（cosθ-1，t）．∵∥，且||=||，∴，化为cosθ=0，t=-．∴．（2）∵，∴cosθ-1-2t=0．∴cosθ=1+2t∈[-1，1]，解得t∈[-1，0]．∴y=cos2θ-cosθ+t2=（1+2t）2-（1+2t）+t2=5t2+2t=，∵t∈[-1，0]，∴当t=-时，y取得最小值-．【解析】（1）利用向量共线定理、模的计算公式即可得出；（2）利用向量共线定理、二次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、模的计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．22.【答案】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又，故在Rt△SAB中，可求得，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中，又，故，即立柱的高度为米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知．…（8分）故，，∵•=（cosα-3）（-cosα-3）+（sinα+）（-sinα+）=11（10分）==由α∈[0，2π）知…（12分）所以，易知∠MSN为锐角，故当视角∠MSN取最大值时，．…（13分）另解：∵cos∠MOS=-cos∠NOS∴于是得SM2+SN2=26从而【解析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知．，利用向量的数量积的坐标表示可求，结合余弦函数的性质可求另解：由题意可得cos∠MOS=-cos∠NOS，结合余弦定理可得，则有SM2+SN2=26可求cosθ范围本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．。

应城一中2019-2020学年度下学期期中考试高一数学试卷考试时间：2019年4月21日上午8:00～10:15 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式的解集是A． B．C． D．2.已知等差数列的前项和为，，，则A. 25B. 28C. 31D. 323.已知实数，满足，则下列关系式恒成立的是A．B．C．D．4.A. B. C. D.5. 已知函数，则的最小值为A. B. C. D.6. 已知为等比数列，，，则A. 9B.C.D.7.已知的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为A. B. C. D.8. 已知函数的图象的相邻对称轴的距离为，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，关于函数，下列说法正确的是A.函数是奇函数B.其图象关于直线对称C. 在上的值域为D. 在上是增函数 9. 已知，则的最小值为A. 3B. 4C.D. 10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，.若,则A. B.4 C.或4 D.4或11. 在中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，，的面积为，则b 等于A.B.C.D.12.已知，则A ．B ．C ．D ．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.当时，函数 的最小值为______ ． 14. 若，且，则______．15.如图,某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°,乙山山顶B 的仰角为60°,∠APB 的大小为30°,山脚P 到山顶A 的直线距离为4km,在A 处测得山顶B 的仰角为30°,则乙山的高度为________ km. 16. 如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有个点，a，则________相应的图案中总的点数记为n三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本题满分10分）已知，且．求的值；若，，求的值．18. （本题满分12分）(1)已知函数,若对于任意 ,都有恒成立,求实数的取值范围；（2）已知各项均为正数的等比数列中，公比，若存在两项使得，求的最小值。