高二数学异面直线及其夹角

9.2空间的平行直线与异面直线
异面直空间的平行直线与异面直线
新课
定义：在空间中,不同在任何一个平面内的两条直线叫 异面直线，此时两条异面直线即不相交也不平行。 异面直线的判定： 连结平面内一点与平面外一点的直 线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。 例：正方体 ABCD—A1B1C1D1 的 12 条棱中，有 16 组 异面直线，那些棱与对角线AC1是异面直线。 异面直线所成的角： BC、CD、A1B1、A1D1、BB1、DD1 过空间中任意一点作与两条异面直线ａ、ｂ分别平行 且相交的两条直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异 面直线所成的角（或夹角）。当两条异成直线所成的角 是直角时，这两条异面直线互相垂直，记为ａ⊥ｂ。
9.2空间的平行直线与异面直线
练习与作业
[小结]：了解异面直线的意义及异面直线的判定； 理解异面直线所成角的定义及空间两条直线垂直的 意义；熟练运用平移的方法求两条异面直线所成角 的大小。 练习：P14，练习：1——4 作业：P15，习题9.2：5、7
9.2空间的平行直线与异面直线
新课
练习： 1 、在棱长为 2a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E 、 F 分别是棱CC1、A1B1的中点。 （1）与棱AB异面且垂直的棱有那些？ （2）求异面直线A1B与DC所成的角； （2）45º （3）求异面直线A1B与AC所成的角； （3）60º （4）求异面直线D1E与AC所成的角；D1 C1 （5）求异面直线D1E与BF所成的角。 F B1 E （1）CC1、DD1、A1D1、B1C1 A1 D C 10 4 (4)arccos (5)arccos 5 5 A B

异面直线教案【篇一：异面直线及其夹角(教案与反思)】课题：异面直线及其夹角温江中学许桃教学目标：1、知识与技能(1)理解异面直线及其夹角的概念，会画空间两条异面直线的图形，能在空间几何体，中判断两直线是否为异面直线.能在具体几何体中求出一些较简单的异面直线所成的角.(2)初步培养学生由图到物，由物到图的观察想像力;把空间中的角转化为平面上的角的降维能力;根据图形特征选择恰当的平移方式求异面直线所夹角的动手实践能力.2、过程与方法努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的探究过程, 体会类比的数学思想．3、情感目标让学生领悟数学思想观点；体会数学来源于实际又服务于实际，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题和解决问题教学重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角教学难点：如何依托载体选择恰当的点将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角教学过程：一、复习引入，问题呈现，导入主题（1）创设情境，感知异面教师活动：创设情境，感知异面学生活动：小实验:请用手中的两支笔当着直线,在空间能摆出两条直线有哪几种位置关系?设计意图：通过简单的动手操作让学生发现问题，培养学生思维的主动性（2）总结概括完善认知教师活动：从公共点个数与是否共面概括空间中两条直线的位置关系学生活动：填写表格（3）问题引导，剖析定义教师活动：例举教室中的两直线是否异面，从大梁和讲台下方的两条直线位置关系的分析中引导学生得出异面直线的定义学生活动：分析问题设计意图：剖析异面直线的定义二、合作交流，探究发现，共论主题（1）例举实例，感知异面直线教师活动：让学生例举生活中的异面直线，展示生活中的异面直线学生活动：例举生活中的异面直线设计意图：从生活实例中感知异面直线（2）异面直线的判定定理教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。

平行、相交、异面.
（1）从公共点的数目来看，可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两直线平行 ②没有公共点则
两直线为异面直线 （2）从是否共面来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内则两直线为异面直线

在空间四边形ABCD中，点E、F分别为CD、
异面直线 BC的中点，则直线AB和EF是两条________

2
].
4、如果两条异面直线a、b所成角是直角，那么 我们就说两条直线互相垂直，仍记作a⊥b.
六、求解异面直线所成角的思维方法 以及步骤：
1、作（找）角：平移相交，体现了空间 到平面的化归思想. 2、求角：灵活构建角所在三角形，求 解三角形.
七、小结：
1. 异面直线的概念. 2. 空间两直线的位置关系. 3. 异面直线的判定定理. 4. 异面直线所成的角. 5. 求解异面直线所成角的思维方法以及步骤.
八、课后作业： 1、做好复习；
2、查阅书籍或上网查找关于异面直线的判 定定理的证明，参考网址：
F
B
则∠FB1C(或其补角)即为异面直线 C AE与B1C所成的角. 连接FC， 在Δ FB1C中, FB1=FC= 22 12 5, B1C= 22 22 2 2, 由余弦定理得
10 即异面直线AE与B1C所成角的余弦值为 5
FB12 +B1C2 -FC 2 10 cos FB1C= 2FB1 B1C 5

直线A1C1和BD1的位置关系是什么？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
四、异面直线的画法
b
b

b a

a

在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计领域，异面直线夹角可以用于确定建筑物的外观、结构等，以确保建筑物的稳定性和美观 性。
机械设计
在机械设计领域，异面直线夹角可以用于确定机械零件的形状、尺寸等，以确保机械零件的准确性和 可靠性。
04
异面直线夹角的特殊情况
异面直线夹角为直角的情况
总结词
当两条异面直线之间的夹角为直角时，它们之间的夹角是确定的，即90度。
利用向量的数量积求异面直线夹角
总结词
通过向量的数量积，可以计算出异面直线之间的夹角的余弦 值。
详细描述
首先分别求出两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方 向向量的数量积。数量积的绝对值等于两向量的模的乘积与 两向量夹角的余弦值的乘积，由此可以求出夹角的余弦值。
利用空间几何的性质求异面直线夹角
总结词
利用空间几何的性质，通过观察空间几何图形，可以直观地求出异面直线之间的 夹角。
详细描述
首先根据异面直线的位置关系，构建一个空间几何图形。然后利用空间几何图形 的性质，如平行线之间的夹角、三角形中的角度关系等，可以求出异面直线之间 的夹角。
03
异面直线夹角的应用
在几何图形中的应用
确定几何形状
异面直线夹角可以用于确定几何图形 的形状和大小，例如在三维建模、建 筑设计等领域。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角是两条异面直线在同一 平面内投影所形成的角度，因此不会 超过$90^circ$。
异面直线夹角的大小与两条异面直线 的方向向量有关，方向向量之间的夹 角等于异面直线夹角的补角。
异面直线夹角的取值范围
1
异面直线夹角的取值范围是$0^circ$到 $90^circ$，不包括$0^circ$和$90^circ$。