专题7第22讲分类与整合思想和转化与化归思想课件大纲人教版课件

两个定点的距离之和为定值却是一个熟悉的结论,即动点的轨迹是椭圆,而动点 P 是两条直线的交点,这又是一个熟悉的问题,因此,本题就转化为,两条直线交点 的轨迹是否为椭圆的问题.解题的方向明确了.求出直线方程,再求交点的轨迹,然 后判断这一轨迹是否为椭圆,其焦点是否为定点.
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,

例3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意
x≤-1或x≥0
a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为
.
解析 ∵f(x)在R上是增函数,
∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a),
得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].
∴a(x-1)+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.
用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正、余弦定理实现边
角关系的相互转化.
(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简
单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交
汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言
解析 设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则当 x=1 时,f(p)=0.所以 x≠1.
(0) > 0,
f(p)在 0≤p≤4 上恒正,等价于
(4) > 0,
(-3)(-1) > 0,
即 2
解得 x>3 或 x<-1.
-1 > 0,
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
∴-4<2C-4 <
2].
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-10-
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
命题热点二
命题热点三
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-11-
命题热点四
题后反思在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有

解 (1)由已知可得ac22＝a2－a2b2＝12， 所以 a2＝2b2， 又点 M( 2，1)在椭圆 C 上，所以a22＋b12＝1，联立方程组aa222＋＝b212b＝2，1， 解得ab22＝ ＝42， . 故椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1. (2)(ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时，则 k1k2＝4－3 2×4＋3 2＝34；
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在

专题 7 │ 考情分析预测
纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的 考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之 中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见．预 测 2011 年数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答 题中以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方 法，对数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加 重视．
第 19 讲 │ 要点热点探究
(1){2}
【解析】 由 logax＋logay＝c，
ac－ 1 ac － 1 得 y＝ (x∈[a,2a])，则当 x∈[a,2a]时，y∈ ，ac . x 2 2 又对于任意的 x∈[a,2a]，都有 y∈[a，a ]，
－ ac 1 ≥a， 2 因此 ac－ 1≤a2，
第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 准确认识函数关系中的主从变量，解决有关问题 → → → 例 2 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，向量OA，OB，OC 探究点二
→ → → 满足：OA－[y＋2f′(1)]OB＋ln(x＋1)OC＝0. (1)求函数 y＝f(x)的表达式； 2x (2)若 x>0，证明：f(x)> ； x＋2 1 2 (3)若不等式 x ≤f(x2)＋m2－2bm－3 时，x∈[－1,1]及 b 2 ∈[－1,1]都恒成立，求实数 m 的取值范围．
2
第 19 讲 │ 要点热点探究
3 1 B 【解析】 原问题⇔a＝ － 3有且仅有一个正实数解． x x 1 令 ＝t(t≠0)，则 a＝－t3＋3t. x 令 f(t)＝－t3＋3t(t≠0)，f′(t)＝－3t2＋3， 由 f′(t)＝0，得 t＝1 或 t＝－1.又 t∈(－1,1)且 t≠0 时， f′(t)>0；t∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f′(t)<0. 所以 f(t)极大值 ＝f(1)＝2.又 t→－∞，f(t)→＋∞； t→＋∞，f(t)→－∞. 结合三次函数图象即可得到答案．

经验证 f(x)＝xsin 2πx 满足题意，则 f52＝0.
答案
4 (1)5
(2)0
热点分类突破
专题八 第4讲
类型二 相等与不等的转化
例 2 若关于 x 的方程 9x＋(4＋a)·3x＋4＝0 有解，则实数 a 的
取值范围是________．
本
讲 栏
可采用换元法，令t＝3x，将问题转化为关于t
目 开
本 讲 栏
对任意实数 x 都有 xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则 f52＝________.
目 开
解析
(1)根据题意，所求数值是一个定值，
关 故可利用满足条件的直角三角形进行计算．
令 a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC 为直角三角形， 且 cos A＝45，cos C＝0，
热点分类突破
专题八 第4讲
栏 目
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，
开 关
达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明
特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于
解决的问题．
思想方法概述
专题八 第4讲
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转
本
讲 成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，
栏
目 因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情
开
关 形的问题中．
热点分类突破
专题八 第4讲
若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区 间[－1,1]内至少存在一个值 c 使得 f(c)>0，求实数 p 的取值范 围．

第23讲 │ 要点热点探究
x≥0， 设 x，y 满足约束条件y≥x，
4x＋3y≤12，
则x＋x＋2y＋2,6]
C．[3,10]
D．[3,11]
第23讲 │ 要点热点探究
D 【解析】 目标的几何意义不明显，可以变换为 1＋2·xy＋＋11，其中xy＋＋11的
第23讲 │ 要点热点探究
fnf＋n1＝1＋131＋2n15＋…11＋＋12n1＋1×
1＋131＋152n…＋11＋2n1－1＝
2n＋1 4n＋12－1>
24nn＋＋112＝1，
即 f(n＋1)>f(n)，即函数 f(n)单调递增，所以 f(n)>f(2)．
4
f(2)＝
3＝ 5
16 45>
1664＝12，故 f(n)>12，
第23讲 │ 要点热点探究
n∈N，n>1.求证：1＋131＋15…1＋2n1－1>
2n＋1 2.
【解答】 证明：问题等价于证明 1＋131＋152n…＋11＋2n1－1>12， 构造函数 f(n)＝1＋131＋152n…＋11＋2n1－1，通过函数的单调性解 决问题． 设 f(n)＝1＋131＋152…n＋1＋1 2n1－1(n≥2)，则
(1)若 0<a<12，则 x2>x1.当 0<x<1 或者 x>1a－1 时，f′(x)<0；当 1<x<1a－1 时，f′(x)>0.故此时函数 f(x)的单调递减区间是(0,1)，a1－1，＋∞，单调递 增区间是1，1a－1.
(2)若 a＝12时，x1＝x2，此时 f′(x)≤0 恒成立，且仅在 x＝12处等于零，故 此时函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；

1.化繁为简原则 2.化生为熟原则
3.等价性原则
4.正难则反的原则
5.形象具体化原则
第2讲 分类整合思想、化归与转化思想
—— 体验高考 ——
【例1】（2013年.新课标全国卷2改编） 已知P是双曲线y2 x2 1上的一点，它到直线y x的距离为 2 ，
2 则P点的坐标为___________ .
数学思想方法
第2讲 分类整合思想、转化与化 归思想
第2讲 分类整合思想、化归与转化思想
分类与整合思想
当对象不能进行统一研究时，需要从研究对象按某个 标准进行分类，然后对其进行单独分类，并给出结论，最 后整合到整个问题的答案。其实质就是“化整为零，各个 击破，再集零为整”的数学思想。
化归与转化思想的五大原则
针对训练
(2013.北京卷) 设直线l为曲线C : y ln x 在点(1,0)出的切线。
x （1）求直线l的切线方程 （2）证明：除了点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方。命来自题立意
追
溯
课堂小结
第2讲 分类整合思想、化归与转化思想
核
—— 体验高考 ——
心
知
识 【例2】（2013.新课标全国1卷改编）
聚
焦 已知直线l与圆M : (x 1)2 y2 1和圆P：(x 2)2 y2 4都相切，
则直线l与椭圆 x2 y2 1相交所截的弦长| AB | _______. 43
第2讲 分类整合思想、化归与转化思想

D 【解析】 ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625,59 ＝1953125,510＝9765625，…，
∴5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周 期为 4，记 5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数为 f(n)，则 f(2011)＝f(501×4 ＋7)＝f(7)，∴52011 与 57 的末四位数相同，均为 8125.故选 D. Nhomakorabea()
A.145
B.13
C.25
D.23
【分析】 从研究所有作成的平行四边形的个数和面积不超过 4 的平行四边形的个数进行思考．
第22讲│ 要点热点探究
【解析】 B 因为当O→P＝(a1，a2)，O→Q＝(b1，b2)，则以O→P， O→Q为邻边的四边形的面积 S＝|O→P||O→Q|sin∠POQ＝|O→P||O→Q
A．2009 B．2011 C．2010 D．1
第22讲│ 要点热点探究
x
B
【解答】
依题意得 f1(x)＝1＋x x，f2(x)＝f11＋x x＝1＋1＋1＋xx x＝
x 1＋x2x，f3(x)＝f21＋x x＝1＋12＋·1x＋x x＝1＋x3x，…，由此可归纳得出 fn(x)
＝1＋xnx.注意到 f(1)＋f1(1)＝12＋12＝1，f(2)＋f2(1)＝23＋13＝1，f(3)＋f3(1)
第22讲│ 要点热点探究
一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复 出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其 中出现“○”和出现“×”的概率均为12.若第 k 次出现“○”，则 ak＝1；出现“×”，则 ak＝－1.令 Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．

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• 题目改成什么样的时候又不能用上述方法 呢？
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• 若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切 0≤x≤4均成立，试求实数p的取值范围.
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练 7、多习 元向少元转化
已(知 x2)22y21,则 2y23x的最大 __值 _ ． _是 _
A
●
●D
B ● ●C
→x+y=3 →x+y=1
30
• 目标函数又可转化为 y 1 x u 22
•
利处用有图最像 小知 值在 答点 案是A A 54
,
11 5
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31
8.其它形式的转化
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则a的值为
A．-2
B．-4
C．-8
D．不能确定
动手就是希望！
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3. 正面与反面的转化
在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时 用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
例 3．若二f次 (x)函 4x2数 2(p2)x2p2p1在区
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化归思维模式：问题→新问题→解决新问题 →解决原问题.
化归的五原则：(1)熟悉化原则; (2)简单化原则; (3)和谐化原则; (4)直观化原则; (5)正难则反原则
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3．化归与转化应遵循的基本原则：

物理中的应用实例
分类讨论思想
在物理学中，分类讨论思想同样有着广泛的应用。例如，在研究物体的运动时， 可以根据物体的运动状态（静止、匀速直线运动、变速运动）进行分类讨论；在 研究电路时，可以根据电路的连接方式（串联、并联）进行分类讨论。
转化与化归思想
在物理学中，转化与化归思想的应用也很多。例如，在研究能量守恒定律时，可 以将复杂的能量转化过程转化为简单的能量计算；在研究力学问题时，可以将复 杂的受力分析转化为简单的力矩平衡问题。
在分类讨论中，需要明确分类的标准 和原则，将问题划分为具有相同性质 的子问题，然后逐一分析、解决。
分类讨论思想的重要性
分类讨论思想能够使问题更加清 晰、具体，有助于深入理解问题
的本质。
通过分类讨论，可以将复杂问题 分解为简单问题，降低问题的难
度，提高解决问题的效率。
分类讨论有助于发现新的解题思 路和方法，促进数学思维的发展
在物理、化学等学科中，转化与化归思想同样适用，如将复杂物理现象转化为数学 模型，化学反应方程式的配平等。
在生活中，转化与化归思想也有很多应用，如将复杂问题分解为多个简单问题，将 繁琐事务整理为有序的工作流程等。
如何培养转化与化归思想
培养转化与化归思想需要多做练习， 通过不断尝试和总结，提高自己的思 维能力和解决问题的能力。
04 分类讨论思想与转化与化 归思想的综合应用
综合应用的步骤和方法
明确问题
首先需要明确问题的类型和涉 及的知识点，确定是否需要采 用分类讨论或转化与化归思想
。
制定策略
根据问题的特点，制定合适的 分类标准或转化途径，将复杂 问题分解为若干个简单问题或 等价问题。
实施解决
对分类后的子问题进行逐一解 决，或对转化后的等价问题进 行求解，注意保持逻辑严密和 推理准确。