【高中数学】秒杀秘诀---直线系和圆系方程

高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。

在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。

下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。

1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。

一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。

而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。

直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。

斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。

2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。

标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。

圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。

3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。

- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。

- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。

- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。

直径的长度等于圆的半径的两倍。

4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。

- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。

5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。

在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。

直线系方程1、过定点的直线系方程在解题中的应用过定点（0x ，0y ）的直线系方程：00()()0A x x B y y -+-=（A ,B 不同时为0）.例1：求过点(14)P -，且与圆22(2)(3)1x y -+-=相切的直线方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A x B y ++-=（其中A B ，不全为零），则整理有40Ax By A B ++-=，∵直线l 与圆相切，∴圆心(23)C ，到直线l 的距离等于半径1，故222341A B A B A B ++-=+，整理，得(43)0A A B -=，即0A =（这时0B ≠），或304A B =≠．故所求直线l 的方程为4y =或34130x y +-=．点评：对求过定点(0x ,0y )的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l ：1110A x B y C ++=（11,A B 不同时为0）与m ：2220A x B y C ++=（22,A B 不同时为0）的交点的直线系方程为：111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（R λ∈，λ为参数）.例2：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0x y x y λ+++-+=，当直线过原点时，则1λ+=0，则λ=－1，此时所求直线方程为：20x y -=；当所求直线不过原点时，令x =0，解得y =12λλ+-，令y =0，解得x =121λλ+-+，由题意得，12λλ+-=121λλ+-+，解得13λ=，此时，所求直线方程为：5540x y ++=.综上所述，所求直线方程为：20x y -=或5540x y ++=.3、垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）垂直的直线系方程为：0Bx Ay C '-+=.例3：已知直线l 是曲线21y x =+的一条切线且与直线250x y -+=垂直，求直线l 的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l ：20x y c ++=，由2120y x x y c ⎧=+⎨++=⎩消去y 得，2210x x c +++=，由l 与曲线21y x =+相切得，∆=224(1)c -+=0，解得c =0，∴l ：20x y +=.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用与直线：0Ax By C ++=（A ,B 不同时为0）平行的直线系方程为：0Ax By C '++=（C C '≠）.例4：直线l 平行于两平行直线3x +4y －10=0和3x +4y －35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线l 的方程.解：设l ：3x +4y +m =0(－35<m <－10)，35|10|25|10|=+=+m m 或由，解得m =－20或m =-25，故所求直线l 的方程为：3x +4y －20=0或3x +4y －25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。

第13讲 巧用直线系、圆系方程解题曲线系也叫曲线族或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合,曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线,其中最简单的是具有某种性质的直线方程和圆系方程,介绍如下.1直线系方程(1)与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程为0(Ax By λλ++=为参数).(2)与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程为0(Bx Ay λλ-+=为参数).(3)过直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为 ()()1112220A x B y C A x B y C λ+++++=(不含2,l λ为参数).2圆系方程(1)过圆22:0O x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为()220(x y Dx Ey F Ax By C λλ+++++++=为参数).(2)过圆221111:0O x y D x E y F ++++=与圆222222:0O x y D x E y F ++++=的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不包括圆2,O λ为参数．当1λ=一时,为一条直线(根轴,即过两圆交点的直线).(3)若()00,x y 表示圆22:0C x y Dx Ey F ++++=上任意一点,则曲线系方程:()()()2222000(x y Dx Ey F x x y y λλ⎡⎤+++++-+-=⎣⎦为参数)表示与C 相切于点()00,x y 的所有圆.巧用直线系、圆系方程解题的关键是由题设条件确定参数的值,从而求出需求的结果.典型例题【例1】(1)经过点()3,2的一条动直线分别交x 轴、y 轴于M N 、两点,设Q 为MN 的中点,联结OQ 并延长到P ,使2OP OQ =,求点P 的轨迹方程;(2)求过直线1:5230l x y +-=和2:3580l x y --=的交点P ,且与直线470x y +-=垂直的直线l 的方程.【例2】(1)求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点,且面积最小的圆的方程;(2)求过两圆与22640x y x ++-=与226280x y y ++-=的交点的直线方程和圆心在直线40x y --=上的圆的方程;(3)求圆心在直线0x y +=上,且过两圆2222210240,2280x y x y x y x y +-+-=+++-=交点的圆的方程;(4)求与圆2248150x y x y +--+=切于点()3,6A ,且过点()5,6B 的圆的方程.【例3】(1)判断方程()22241010200(x y kx k y k k ++++++=为参数,1k ≠-表示何种曲线?找出通过定点的坐标;(2)直线系():3cos sin 2A x y αα-+=,直线系A 中能组成正三角形的面积等于 .强化训练1.(1)求经过两直线231,322x y x y -=+=的交点,且平行于直线30y x +=的直线方程;(2)求经过两圆2220x y x y +-+-=与225x y +=的交点,且圆心在直线3410x y +-=上的圆的方程.2.(1)在四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,在CD 上取一点,E BE 与AC 相交于F ,延长DF 交BC 于G .求证:GAC EAC ∠∠=;(2)已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问:是否存在斜率为1的直线l ,使直线l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l 的方程;若不存在,说明理由.。

高中直线与圆的方程知识点总结直线与圆的方程在高中数学里就像两颗璀璨的星星，各自闪耀又相互关联。

咱先说说直线的方程吧。

直线在平面直角坐标系里那可是千变万化的。

最常见的斜截式方程y = kx + b，这里的k就像是直线的“坡度”，如果k 越大，直线就越陡峭，就好像爬山的时候，坡度大的路爬起来更费劲呢。

b 呢，是直线在y轴上的截距，就好比是直线这个小火车在y轴这个站台的起始位置。

那要是k = 0呢，直线就变成了一马平川的平地，也就是平行于x 轴的直线了。

还有点斜式方程，知道直线上一点的坐标和它的斜率就能确定这条直线的方程，这就像你知道一个人的起点和他前进的方向，就能知道他的路线一样。

再看看直线之间的关系。

平行的直线啊，它们的斜率相等，就像两条同向行驶而且速度一样的铁轨，永远不会相交。

而垂直的直线呢，它们斜率的乘积是 - 1，这就好比是两个互相制约的力量，一个向上一个向下，形成了一种完美的平衡关系。

说到圆的方程，标准方程(x - a)²+(y - b)² = r²，这里的(a,b)就是圆心的坐标，圆心就像圆这个大家庭的家长，r就是半径，半径就像是这个家庭的活动范围，在这个范围内的点都属于这个圆家族。

圆是一个特别对称的图形，关于圆心对称，不管从哪个方向看，都是那么圆润、和谐。

直线和圆的位置关系可有趣了。

有相交、相切和相离三种情况。

相交的时候，直线就像一个调皮的小孩，闯进了圆的领地，和圆有两个交点，就像小孩在圆里踩了两个脚印。

相切的时候呢，直线就像是圆的守护神，刚好和圆亲密接触于一点，这一点就是切点，多像两个好朋友轻轻地碰了一下手。

相离就比较惨了，直线和圆就像两个互不相干的陌生人，远远地分开，谁也不挨着谁。

那怎么判断直线和圆的位置关系呢？我们可以用圆心到直线的距离d和半径r来比较。

如果d < r，那就是相交，就好像一个小蚂蚁距离一个圆形的蛋糕中心的距离小于蛋糕的半径，那这个小蚂蚁肯定是在蛋糕上啦。

2、 过 两 圆Ci : x 2 y2 Di x Ei y Fi 0 ( i 1,2 ) 交点的圆系方程
x2 y2 D1 x E1 y F1 ( x2 y2 D2 x E2 y F2 ) 0 ( 1 )
圆系方程
常见的圆系方程：
3、 过 直 线 与 圆 的 交 点 的圆 系 方 程 直线 l : Ax By C 0 圆 C : x2 y2 Dx Ey F 0
(3) 过两圆交点的圆系：若两圆 x 2 + y 2 + D1x + E1y + F1 = 0 和 x 2 + y 2 + D2x + E2y + F2 = 0 相 交，则过这两圆交点的圆系方程为
_x_2___y_2___D__x____E__y___F_____(_x__2 __y__2 __D__x____E y F ) 0
此方程不包括直线 l2 m( A1 x B1 y C1 ) n( A2 x B2 y C2 ) 0
此方程包括所有过两直线交点的直线。
【典型例题】
1.已知直线 l :(1 m)x (2 m) y (1 m) 0 ， 求证：无论m取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标。
解: 整理该方程得： (x 2y 1) m(x y 1) 0
o
x
过定点的直线系方程
• 如何表示经过两条相交直线交点的直线系方程？
已知直线 l1 : A1x B1y C1 0 ( A12 B12 0) 和直线 l2 : A2x B2 y C2 0 (A22 B22 0) 相交，则过该交点的 直线系方程：
( A1 x B1 y C1 ) ( A2 x B2 y C2 ) 0
x2 y2 Dx Ey F＋ ( Ax By C ) 0

专题：直线系方程一、直线系方程的概念：具有某种共同性质的所有直线的集合，它们的方程叫直线系方程二、直线系方程1.过定点的直线系：过定点),(00y x P 的直线系方程为：0)()(00=-+-y y B x x A （B A ,为待定系数）或)(00x x k y y -=-（k 为待定系数）注：方程0)()(00=-+-y y B x x A （B A ,为待定系数）包括过点),(00y x P 的所有直线，而方程)(00x x k y y -=-（k 为待定系数）不包括直线0x x =，所以设直线的点斜式方程时要先对直线的斜率存不存在进行讨论2.平行直线系：与直线l ：0=++C By Ax 平行的直线系方程为：0=++m By Ax （其中m 为待定系数，C m ≠）例1.求与直线0143=++y x 平行且过点)2,1(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 平行横纵截距之和为37的直线l 的方程3.垂直直线系：与直线l ：0=++C By Ax定系数）例2.求与直线0102=-+y x 垂直且过点)1,2(A 的直线l 的方程练习：求与直线0143=++y x 垂直横纵截距之和为1的直的直线l 的方程4.过交点的直线系：若直线1l ：0111=++C y B x A 与直线2l ：0222=++C y B x A 相交于点为),(00y x P 表示过两直线的交点P 的直线系方程，它包括，但不包括直线2l注：过交点P 的直线系方程也可以用方程0)()(222111=+++++C y B x A C y B x A μλ（μλ,为待定系数），它包括过交点P 的所有直线，但此时方程中有两个参数μλ,例3.求过直线1l ：042=+-y x 与直线2l ：02=-+y x 的交点且满足下列条件的直线l 方程（1）过点)1,2(-P ；（2）与直线062=+-y x 平行；（3）与直线0543=+-y x 垂直例4.已知直线l ：0)1()2()1(=++-+-m y m x m ，求证：无论m 取何实数,直线l 恒过定点,并求出定点坐标例5.已知直线l ：0355=+--a y ax ，（1）求证：无论a 为何值，直线l 总过第一象限，（2）求证：为使直不过第二象限，求a 的取值范围专题：圆系方程一、圆系方程的概念：具有某种共同性质的所有圆叫圆系，它们的方程叫圆系方程二、圆系方程1.同心圆系：以定点),(b a C 为圆心的圆系方程为222)()(r b y a x =-+-（r 为参数，0>r ）2.过直线和圆交点的圆系：已知直线l ：0=++C By Ax 和圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，则（1）若直线l 与圆C 相交，则方程0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ（r 为参数）表示过直线l 与圆C 的交点的圆系方程（2）若直线l 与圆C 相切于点P ，22参数）表示表示与直线l 和圆C 都相切于点P 的圆系方程例1.已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 交于Q P ,两点，且以PQ 为直径的圆过原点，求m 的值练习：求过直线l ：042=++y x 与圆C ：014222=+-++y x y x 的交点且满足下列条件的圆的方程（1）面积最小（2）圆心在直线012=++y x 上3.与已知圆切于圆上一点的圆系方程：已知点),(b a P 为圆C ：022=++++F Ey Dx y x 上一点，则与圆C 切于点P 的圆系方程为0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数，1-≠λ）若1-=λ，则方程0])()[(2222=-+-+++++b y a x F Ey Dx y x λ（λ为参数）表示圆C 在点P 处的切线方程例2.求过点)1,4(-且与圆C ：056222=+-++y x y x 切于点)2,1(B 的圆的方程4.过两圆交点的圆系方程：已知圆1C ：011122=++++F y E x D y x 和圆2C ：022222=++++F y E x D y x ，则（1）若圆1C 与圆2C 相交于B A ,两点，则方程x D y x F y E x D y x 22211122(+++++++λ 0)22=++F y E （λ为参数，1-≠λ）表示过两圆交点B A ,的圆系方程，它包括圆1C （0=λ时），但不包括圆2C ，当1-=λ时，方程变为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ，表示两圆的公共弦AB 所在的直线方程（2）若圆1C 与圆2C 相切与点P ，则方程y E x D y x F y E x D y x 222211122(++++++++λ 0)2=+F （λ为参数，1-≠λ）表示与圆1C 和圆2C 都相切于点P 的圆系方程，它包括圆1C （0=λ时），但不包括圆2C ，当1-=λ时，方程变为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ，公切线）（3）若圆1C 与圆2C 相离，则方程0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 表示某条与两圆连心线垂直的直线方程例3.求过圆1C ：04622=-++x y x 与圆2C ：028622=-++y y x 的交点且圆心在直线l ： 04=--y x 上的圆C 的方程例 4.已知过圆1C ：016222=+-++y x y x ，圆2C ：0112422=-+-+y x y x ，求两圆的公共弦所在的直线方程例5.已知圆C ：422=+y x 及点)4,3(P ，过P 作圆C 的两条切线PB PA ,，B A ,为切点，求弦AB 所在的直线方程。

高一直线和圆的方程知识点在高中数学课程中，直线和圆是两个基本的几何图形。

了解和掌握直线和圆的方程知识点，对于解决几何问题和理解数学概念都非常重要。

本文将介绍高一直线和圆的方程知识点，并通过具体的例子来说明。

一、直线的方程直线是平面上一组点的集合，可以通过不同的方式来表示其方程。

在高一数学中，主要学习两种直线方程：截距式和一般式。

1. 截距式方程截距式方程由直线在坐标轴上的截距表示。

这个方程的形式为：x/a + y/b = 1。

其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。

通过截距式方程，我们可以直观地了解直线在坐标轴上的截距情况，进而确定直线的位置。

例如，一条直线在x轴上截距为2，在y轴上截距为3，那么它的截距式方程为x/2 + y/3 = 1。

通过这个方程，我们可以知道直线与x轴和y轴的交点分别为(2,0)和(0,3)，并且研究直线的斜率等性质。

2. 一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式。

它的一般形式为Ax + By + C = 0。

其中A、B和C是常数，A和B不能同时为0。

通过一般式方程，我们可以进行一些直线的运算和性质的验证。

例如，一条直线的一般式方程为2x - 3y + 4 = 0。

通过这个方程，可以得到直线的斜率为2/3，根据斜率的正负以及与坐标轴的交点可以判断直线在平面上的位置。

二、圆的方程圆是平面上一组等距离于圆心的点的集合，圆的方程也有多种形式。

在高一数学中，主要学习直径式和一般式两种圆的方程。

1. 直径式方程直径式方程是圆的一种直观表示方法，通过圆心和半径来表达圆的性质和位置。

直径式方程的一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²。

其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

例如，一个以坐标原点为圆心，半径为5的圆的直径式方程为：x²+ y² = 25。

通过这个方程，可以得知圆与坐标轴的交点和圆在平面上的位置。

直线与圆的方程近些年，高等数学在数学领域中发挥着越来越重要的作用。

其中，直线与圆的方程是高等数学的重要知识点之一。

圆的方程和直线的方程都是用来表示几何图形的。

理解这两个方程，以及如何从一个表达式推导出另一个表达式，对于高等数学的学习都是十分重要的。

一、直线的方程直线是数学中最基本的几何图形，由两个不同的点组成，连接这两个点，即可形成一条直线。

直线的方程一般可以用一元一次方程的形式来表示：y=kx+b。

其中，K是直线斜率，B是截距。

给定任意一个点（x，y）可以推算出斜率K与截距B的值，从而确定直线的方程式。

此外，还可以使用参数方程的形式来表示直线的方程，如：x=at+b，y=ct+d，表示一条直线。

在此方程中，a,b,c,d定了这条直线的方向，t是参数。

二、圆的方程圆是由一系列的点的集合的闭合曲线组成的，其中心点（X0，Y0），是整个圆的中心点，其半径为R。

根据中心点坐标及半径，可以用极坐标系来表示一个圆，即：x = X0 + R*cosθy = Y0 + R*sinθ其中R是圆的半径，θ是弧度，一个圆上任一点坐标都可以用这个方程来表示。

此外，还可以使用标准的圆的方程来表示：(x-X0)+(y-Y0)=R在这个方程中，(X0,Y0)是圆心，R是半径，X,Y是圆上的一点，当X,Y给定时，可以求出该点到圆心的距离，从而确定该点是否在圆上。

三、直线与圆的相交在实际的计算中，有时需要求解直线与圆之间是否相交，以及相交的位置。

这里可以利用直线方程和圆方程来分析，首先用直线方程带入圆方程，并展开来求解。

（x-X0） + (kx+b-Y0) = R令a=k+1，b=2（b-Y0）k-2X0,c=X0+(b-Y0)-R，令f（x）= ax+bx+c，可以得到f（x） = 0解f（x）= 0，可以得到x1和x2，此时，（x1，y1）和（x2，y2）就是直线与圆的交点。

四、总结以上是关于直线与圆方程的介绍，主要介绍了用一元一次方程和参数方程表示直线，用极坐标系和标准圆的方程表示圆，以及求解直线与圆的交点的方法。

高中数学直线与圆解题技巧在高中数学中，直线与圆是常见的几何图形，解题时需要掌握一些技巧。

本文将围绕直线与圆的解题技巧展开讨论，并通过具体题目举例，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。

1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况：直线与圆相切、直线与圆相交和直线与圆相离。

解题时，首先要确定直线与圆的位置关系，然后根据不同情况选择合适的方法解题。

例如，已知直线L的方程为y = 2x + 1，圆C的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，求直线L与圆C的位置关系。

解题思路：首先，我们可以将直线L的方程代入圆C的方程，得到一个关于x的二次方程。

如果二次方程有两个不相等的实根，则直线与圆相交；如果二次方程有两个相等的实根，则直线与圆相切；如果二次方程无实根，则直线与圆相离。

将直线L的方程代入圆C的方程：(x - 2)^2 + (2x + 1 - 3)^2 = 4化简得：5x^2 - 8x - 12 = 0解二次方程5x^2 - 8x - 12 = 0，得到两个实根x1 = -1，x2 = 2.4。

由于二次方程有两个不相等的实根，所以直线L与圆C相交。

2. 直线与圆的切线直线与圆相切时，我们需要求直线的斜率和切点坐标。

通过求解切线方程，可以得到直线与圆的切点和切线斜率，从而解题。

例如，已知圆C的方程为(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9，求过点P(2, 1)的直线与圆C 的切点和切线方程。

解题思路：首先，我们可以计算点P到圆C的距离，如果点P到圆C的距离等于圆C的半径，则点P在圆C上，直线与圆C相切。

计算点P到圆C的距离：d = √[(2 - 3)^2 + (1 - 4)^2] = √10由于点P到圆C的距离等于圆C的半径3，所以点P在圆C上，直线与圆C 相切。

接下来，我们需要求直线的斜率和切点坐标。

直线的斜率可以通过点P和圆心的连线来求解。

直线的斜率：k = (1 - 4) / (2 - 3) = 3切点坐标可以通过直线的斜率和圆的方程来求解。

高中数学：直线和圆的方程知识点总结1. 引言高中数学中，直线和圆的方程是重要的知识点。

理解直线和圆的方程能够帮助我们准确描述和解决几何问题。

本文将总结和介绍直线和圆的方程的相关知识点。

2. 直线的方程2.1. 点斜式方程直线的点斜式方程是直线方程的一种常见形式。

给定直线上一点P (x₁, y₁) 和直线的斜率 k，点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y) 表示直线上任意一点。

点斜式方程可以方便地描述直线的位置和方向。

2.2. 截距式方程直线的截距式方程是直线方程的另一种常见形式。

给定直线与x轴和y轴的截距分别为 a 和 b，截距式方程可以表示为：x/a + y/b = 1截距式方程可以直观地描述直线与坐标轴的交点。

2.3. 一般式方程直线的一般式方程是直线方程的一种标准形式。

给定直线上任意一点的坐标 (x, y) 和直线的系数 A、B、C，一般式方程可以表示为：Ax + By + C = 0一般式方程可以用于判断两条直线的位置关系。

3. 圆的方程3.1. 标准方程圆的标准方程是圆的方程的常见形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，标准方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²标准方程可以方便地描述圆的位置和形状。

3.2. 参数方程圆的参数方程是圆的方程的另一种常见形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，参数方程可以表示为：x = h + rcosθy = k + rsinθ其中，θ 是圆上任意一点的极角。

参数方程可以用于描述圆上的点的坐标。

3.3. 一般方程圆的一般方程是圆的方程的一种一般形式。

给定圆心坐标 (h, k) 和半径 r，一般方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F 是圆的参数。

一般方程可以用于推导标准方程或参数方程。

4. 总结直线和圆的方程是高中数学中的重要知识点。

几种常见的直线系方程：（1）过已知点P （x 0，y 0）的直线系方程y －y 0＝k （x －x 0）（k 为参数）（2）斜率为k 的直线系方程y ＝kx ＋b （b 是参数）（3）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程Ax ＋By ＋λ＝0（λ为参数）（4）与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程Bx －Ay ＋λ＝0（λ为参数）（5）过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ（A 2x ＋B 2y ＋C 2）＝0（λ为参数）例1：已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0与l 2：2x －3y －3＝0，求经过的交点且与已知直线3x ＋y －1＝0平行的直线分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，①即⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-+=-+4y 9x 05y x 01y 2x 解得，∴直线过定点P （9，－4）例3：求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.概念：具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。

几种常见的圆系方程：（1）同心圆系：（x －x 0）2＋（y －y 0）2＝r 2，x 0、y 0为常数，r 为参数。

（2）过两已知圆C 1：f 1（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0。

和C 2：f 2（x ，y ）＝x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ（x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2）＝0（λ≠－1）若λ＝－1时，变为（D 1－D 2）x ＋（E 1－E 2）y ＋F 1－F 2＝0，则表示过两圆的交点的直线。

高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

直线系与圆系方程1 直线系方程(1) 过点(x 0 ,y 0)的直线系方程为A (x −x 0)+B (y −y 0)=0(其中A ,B 不全为零)(2) 平行于直线Ax +By +C =0的直线系方程Ax +By +C 0=0(C ≠C 0)； (3) 垂直于直线Ax +By +C =0的直线系方程Bx −Ay +C 0=0；(4) 过两条已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0和l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R , 这个直线系下不包括直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，解题时注意检验l 2是否满足题意)【例】写出与直线x −2y +1=0平行、垂直的直线系方程.2 圆系方程(1) 以(a ,b)为圆心的同心圆圆系方程：(x −a )2+(y −b )2=λ(λ>0)；(2) 与圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0同心圆的圆系方程为x 2+y 2+Dx +Ey +λ=0；(3) 过直线Ax +By +C =0与圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0交点的圆系方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C)=0(λ∈R)；(4) 过两圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠−1 , 此圆系不含C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0)特别地，当λ=−1时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.【例】直线l:x −2y +1=0，圆C 1:x 2+y 2+2x −2y +1=0，圆C 2:x 2+y 2+x +y =0，写出过直线l 与圆C 1交点的圆系方程，过圆C 1与圆C 2交点的曲线方程，过圆C 1与圆C 2交点的公共弦方程.3 过圆上一点的切线方程过圆上一点P(x 0 ,y 0)作圆⨀M:(x −a )2+(y −b )2=r 2的切线l 方程为(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2证明 向量法 向量PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x 0 ,b −y 0)，设切线上任意一点B(x ,y)，∵l ⊥PM ，∴PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴(a −x 0 ,b −y 0)(x −x 0 ,y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0即切线l 方程为(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0.∵(a −x 0)(x −x 0)+(b −y 0)(y −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a +a −x 0)+(b −y 0)(y −b +b −y 0)=0⇒(a −x 0)(x −a )+(a −x 0)2+(b −y 0)(y −y 0)+(b −y 0)2=0⇒(a −x 0)(x −a )+(b −y 0)(y −y 0)+r 2=0⇒(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2∴切线l 方程也可以写成(x 0−a)(x −a)+(y 0−b)(y −b)=r 2.【例】 求过点(1,−2)作圆(x +2)2+(y +1)2=1的切线方程.【题型一】直线系方程【典题1】求过两条直线y =2x +3与3x −y +2=0的交点，且分别满足下列条件的直线方程：(1)斜率为−12； (2)过点P(2,3)； (3)平行于直线3x +y =1．【巩固练习】1.求过两直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点P，且分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点(2 ,1)；(2)和直线3x−4y+5=0垂直．【题型2】过圆上一点的切线方程【典题1】求过点P(−1 ,4)，圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线l的方程．【巩固练习】1.求过点P(1 ,3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．2. 求过点P(0,√3)且与圆(x+1)2+y2=4的相切的直线l的方程．【题型3】圆系方程【典题1】经过直线2x−y+3=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是．【典题2】已知圆C1：x2+y2=10与圆C2：x2+y2+2x+2y−14=0．(1)求证：圆C1与圆C2相交；(2)求两圆公共弦所在直线的方程；(3)求经过两圆交点，且圆心在直线x+y−6=0上的圆的方程．【巩固练习】1.求经过原点，且过圆x2+y2+8x－6y+21=0和直线x－y+7=0的两个交点的圆的方程．2.求经过圆x2+y2+8x－6y+21=0与直线x－y+5=0的交点且在y轴上的弦长为2√33的圆的方程．3.求经过两圆x2+y2+6x−4=0和x2+y2+6y−28=0的交点，并且圆心在直线x−y−4=0上的圆的方程．4.已知圆C1：x2+y2−3x−3y+3=0，圆C2：x2+y2−2x−2y=0．(1)求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．(2)求过两圆交点且面积最小的圆的方程．【A组---基础题】1.求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线的方程：l1：x−2y+2=0，l2：2x−y−2=0；2.已知直线x+2y=0与圆x2+y2−2x=0的交点为A、B，(1)求弦长AB；(2)求过A、B两点且面积最小的圆的方程．3.求圆心在直线3x+4y−1=0上，且过两圆x2+y2−x+y－2=0与x2+y2=5交点的圆的方程．4.过圆x2+y2=4内一点A(1 ,1)作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，求点P的轨迹方程.5.已知点M(2,－2)，圆O：x2+y2=3(O为坐标原点)．(1)求经过M，以及圆O与圆x2+y2+3x=0交点的圆的方程；(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A,B，求直线AB的方程．6.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x−3y−3=0截得的弦长为2√3．(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P ,C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．【B组---提高题】1.已知圆C：x2+y2=1，直线l：x+y+2=0，P为直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB过定点()A．(−12,−12)B．(−1,−1)C．(−12,12)D．(12,−12)2.已知圆C的方程为(x+2)2+y2=4，点M在圆C上运动，点N的坐标是(2,0)．(1)若线段MN的中点形成的轨迹为G，求轨迹G的方程；(2)点P在直线x=8上，过P点引轨迹G的两条切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点．【C组---拓展题】1.已知直线l：y=kx−2，M(−2 ,0) ,N(−1 ,0)，O为坐标原点，动点Q满足|QM||QN|=√2，动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=2交于不同的两点A ,B，当∠AOB=π2时，求k的值；(3)若k=12，P是直线l上的动点，过点P作曲线C的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点。

高中数学直线与圆的方程知识点总结公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学之直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。

2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。

3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在） 特例----垂直时：<1>0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。

②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。

③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可；②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可；⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-=②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121yy x x ++ 靠近A 的三分点坐标)32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

直线与圆的方程怎么解详细过程在解析几何中，直线和圆是常见的几何图形。

掌握直线和圆的方程求解方法对于解决几何问题和代数问题非常重要。

下面将详细介绍直线与圆的方程解法。

直线的方程解法直线一般可以表示为y=mx+b的形式，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。

我们可以利用不同的条件来确定直线的方程。

通过两点确定直线方程给定直线上的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，我们可以通过以下步骤确定直线的方程：1.计算直线的斜率m，公式为 $m = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$2.确定直线上的一个点，可以选择其中任意一个点，例如选取(x1,y1)3.使用截距公式b=y−mx，将选取的点代入，得到b=y1−mx14.得到直线的方程为y=mx+b通过斜率和一点求解直线方程给定直线上的一个点(x1,y1)，以及直线的斜率m，我们可以通过以下步骤确定直线的方程：1.使用截距公式b=y−mx，将给定的点代入，得到b=y1−mx12.得到直线的方程为y=mx+b圆的方程解法圆的方程一般表示为(x−ℎ)2+(y−k)2=r2，其中(ℎ,k)是圆心坐标，r是半径长度。

我们可以通过不同的条件来确定圆的方程。

已知圆心和半径求解圆方程给定圆心(ℎ,k)和半径r，我们可以直接确定圆的方程：圆的方程为(x−ℎ)2+(y−k)2=r2已知圆上一点和半径求解圆方程给定圆上的一个点(x1,y1)和半径r，我们可以通过以下步骤确定圆的方程：1.将圆的方程(x−ℎ)2+(y−k)2=r2中的x替换为x1，y替换为y1，得到(x1−ℎ)2+(y1−k)2=r22.对方程进行展开计算，得到x12−2x1ℎ+ℎ2+y12−2y1k+k2=r23.化简上式，得到x12+y12−2x1ℎ−2y1k+ℎ2+k2−r2=04.得到圆的方程为x2+y2−2xℎ−2yk+ℎ2+k2−r2=0总结直线与圆的方程的求解方法通过具体的条件来确定相应的方程。

考点58 直线系方程与圆系方程1．与直线l:A x+B y+C=0平行的直线系方程为A x+B y+m=0；2．与直线l:A x+B y+C=0平行的直线系方程为B x–A y+m=0；3．过定点（x，y）的直线系方程：00()()0A x xB y y-+-=（A,B不同时为0）；4．过直线n：111A xB y C++=（11,A B不同时为0）与m：222A xB y C++=（22,A B不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0A xB yC A x B y Cλ+++++=（Rλ∈，λ为参数）；5．过直线A x+B y+C=0与圆x2+ y2+D x + E y +F= 0 的交点的圆系方程x2+ y2+D x + E y +F+λ（A x+B y+C）=0；6．过和交点的圆系方程为．【例】求过两圆x2+ y2－4x + 2y = 0 和x2+ y2－2y－4 = 0 的交点，且圆心在直线 2x + 4y = 1上的圆方程_____________，此时圆心到x轴的距离_____________．【答案】x2+ y2－3x + y－1 = 0，12【解题技巧】在遇到过圆与圆交点的圆有关问题时，灵活应用圆系方程，可简化繁杂的解题过程．要点阐述典型例题小试牛刀1．已知点()00,y x P 是直线0:=++C By Ax l 外一点，则方程()000=+++++C By Ax C By Ax 表示（ ）A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线【答案】D 【解析】2．求经过点)03(，B ，且与直线052=-+y x 垂直的直线的方程_____________．【答案】032=--y x ．【解析】设与直线052=-+y x 垂直的直线系方程为02=+-n y x ，因为经过点)03(，B ，所以3-=n ，故所求直线方程为032=--y x ．【解题技巧】对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算．3．不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k +3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是_____________．【答案】)3,2( 【解析】4．设直线l 经过2x –3y +2=0和3x –4y –2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l 的方程_____________．【答案】x –y –4=0,或x +y –24=0．【解析】设所求的直线方程为(2x –3y +2)+λ(3x –4y –2)=0, 整理得(2+3λ)x –(4λ+3)y –2λ+2=0,由题意,得2334λλ++=±1,解得λ=–1,或λ=–57．所以所求的直线方程为x –y –4=0,或x +y –24=0．【易错易混】对求过定点（0x ，0y ）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0A x x B y y -+-=，注意的此方程表示的是过点00()P x y ，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．5．求经过两直线1240l x y -+=：和220l x y +-=：的交点P ，且与直线33450l x y -+=：垂直的直线l 的方程_____________． 【答案】4360x y +-=1．已知直线53)2(:1=++y x a l 与直线62)1(:2=+-y x a l 平行，则直线1l 在x 轴上的截距为（ ）A ．1-B ．95C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得2(2)3(1)a a +=-，得7a =，则直线1l 在x 轴上的截距为59,故选B ． 2．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ）A ．052=+-y x 或052=--y xB ．052=++y x 或052=-+y xC ．052=+-y x 或052=--y xD ．052=++y x 或052=-+y x 【答案】D【解析】依题可设所求切线方程为20x y c ++=，则有2200521c ++=+5c =±，所以所求切线的直考题速递线方程为250x y ++=或250x y +-=，故选D ．3．过直线 2x + y + 4 = 0 和圆 x 2 + y 2+ 2x －4y + 1 = 0 的交点，面积最小的圆方程_____________，圆的面积为_____________．【答案】5x 2 + 5y 2+ 26x －12y + 37 = 04．已知平行四边形两边所在直线的方程为x +y +2=0和3x –y +3=0,对角线的交点是(3,4),求其他两边所在直线的方程． 【解析】由20330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得一顶点为53(,)44-．因对角线交点是(3,4),则已知顶点的相对顶点为2935(,)44． 设与x +y +2=0平行的对边所在直线方程为x +y +m =0, 因为该直线过2935(,)44, 所以m =–16．设与3x –y +3=0平行的对边所在直线方程为 3x –y +n=0, 同理可知过点2935(,)44, 得n=–13．故所求直线的方程为x +y –16=0和3x –y –13=0．平行直线系数学文化两条平行的直线永远不会有交集。