2．1.2演绎推理明目标、知重点 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．1．演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推理．2．演绎推理的特征当前提为真时，结论必然为真．3．三段论推理，三段论的一般表示M是P，S是M；所以，S是P.[情境导学]小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中．由于每月的零花钱不够用，便向亲戚邻人要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财．但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？如果你是法官，你会如何判决呢？小明到底是不是犯罪呢？探究点一演绎推理与三段论思考1分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.答思考1中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．思考2演绎推理有什么特点？演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理是从一般到特殊的推理．演绎推理的前提是一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实．在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，结论必定是正确的．思考3演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．例1将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；(3)通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解(1)平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论(2)等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的底角，小前提∠A＝∠B.结论(3)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1把下列推断写成三段论的形式：(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线；(3)y＝sin x(x∈R)是周期函数．解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提△ABC三边的长依次为3,4,5，而32＋42＝52，小前提△ABC是直角三角形．结论(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，大前提函数y＝2x＋5是一次函数，小前提函数y＝2x＋5的图象是一条直线．结论(3)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．结论探究点二 三段论推理中的易错点例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，大前提－3是整数，小前提－3是自然数．结论(2)常数函数的导函数为0，大前提函数f (x )的导函数为0，小前提f (x )为常数函数．结论(3)无限不循环小数是无理数，大前提13(0.333 33…)是无限不循环小数，小前提 13是无理数．结论 解 (1)结论是错误的，原因是大前提错误．自然数是非负整数．(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．(3)结论是错误的，原因是小前提错误.13(0.333 33…)是循环小数而不是无限不循环小数． 反思与感悟 演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确． 跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以北京大学分布在中国各地．结论(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提所以菱形是正多边形．结论解 (1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，而小前提中M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理形式错误．(2)结论是错误的，原因是大前提错误．因为所有边长都相等，内角也都相等的凸多边形才是正多边形．探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，小前提所以△ABD 是直角三角形．结论同理，△AEB 也是直角三角形．(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提因为DM 是直角三角形ABD 斜边上的中线，小前提所以DM ＝12AB .结论 同理EM ＝12AB . 所以DM ＝EM .反思与感悟 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．如果大前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示，求证：EF ∥平面BCD .证明 三角形的中位线平行于底边，大前提点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，小前提所以EF ∥BD .结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ，小前提EF ∥平面BCD .结论1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D．在数列{a n}中a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式答案 A解析A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理．2．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是__________________．答案正方形的对角线相等解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；小前提：____________；结论：____________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4.如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD.证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD, ②于是∠ACD>∠BCD. ③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．[呈重点、现规律]1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提．。
教学目标：1．了解归纳推理的概念和归纳推理的作用，了解演绎推理与合情推理的区别与联系．2．掌握归纳推理的一般步骤．3．能利用归纳进行一些简单的推理．教学重点：了解演绎推理的含义，能利用演绎推理进行简单的推理．教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学过程：一、创设情境在数学学习中，除了合情推理，我们更多使用的是一种由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．例如，在案例3中，“铜能导电”的结论就是通过如下推理得到的：所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能导电．我们再看一个类似的推理案例．在学习整数时，有下面的推理：个位数字是0或5的正整数必是5的倍数，2375的个位数字是5，所以，2375是5的倍数．二、构建新知像这样的推理通常称为演绎推理（deductive inference）．三段论式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：M —P（M是P）S — M （S 是M ）S — P （S 是P ）三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P ．三、数学运用例1 △ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，//DE BA ，求证：AF ED =．分析 （1）同位角相等，两直线平行， （大前提）BFD ∠与A ∠是同位角，且BFD A ∠∠＝， （小前提）所以，EA DF //．（结 论）（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形， （大前提）BA DE //，且EA DF //， （小前提）所以，四边形AFDE 为平行四边形． （结 论）（3） 平行四边形的对边相等，（大前提）ED 和AF 为平等四边形的对边， （小前提） 所以，ED AF ＝． （结 论）上面的证明通常简略地表述为：////BFD A DF EA DE BA ∠∠⇒⎫⇒⎬⎭＝四边形AFDE 是平行四边形ED AF ⇒＝． 例2 已知a ，b ，m 均为正实数，b a ＜，求证：b b m a a m＋＜＋．分析 0b a mb ma m ⎫⇒⎬⎭＜＜＞ ab mb ab ma ⇒＋＜＋ 又()()()0b a m a b m a a m ⇒⎫⎬⎭＋＜＋＋＞()()()()b a m a b m a a m a a m ⇒＋＋＜＋＋b b m a a m ⇒＋＜＋． 证明过程包含了几个三段论？例3 在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．分析 （1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 ——大前提在△ABC 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90° ——小前提所以△ABD 是直角三角形 ——结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ——大前提因为 DM 是直角三角形斜边上的中线 ——小前提所以 DM ＝21AB ——结论 同理 EM ＝AB ，所以 DM ＝EM ．四、学生探究1．下列表述正确的是 ．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．2．把下列演绎推理写成“三段论”的形式．（1）三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数．（2）一切奇数都不能被 2 整除，（2100＋1）是奇数，所以（2100＋1）不能被2整除．五、课堂总结1．演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．2．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．3．演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．六、课后作业教材第72页练习3，5．。
