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第04章 随机变量的数字特征

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Ling Xueling
§4-1 数学期望
四、数学期望的性质
e.g. 设 ξ 与 η 相互独立，分布列如下所示。求 E (ξ▪ η)
解1：
解2：
Ling Xueling
§4-1 数学期望
五、二维随机向量的数学期望 —— 本质上是一维 r.v. 数学期望的计算：
对二维随机向量 ( ξ, η )，定义 e.g. 设 ( ξ, η ) 联合密度如下所示，求 Eξ
设备货量是 y ≤ξ 3 y y 则η＝f (ξ ) = y >ξ 3ξ − 1( y − ξ ) y 4000 4000 1 1 Eη = ∫ f ( x ) dx = [ ( 4 x − y ) dx + ∫ 3 ydx ] y 2000 2000 2000 ∫2000 1 = ( − y 2 + 7000 y − 4 × 10 6 ) Eη max = Eη (3500) = 8,250,000 1000
Ling Xueling
§4-1 数学期望
四、数学期望的性质
1、对任意实数 C EC = C 2、对任意实数 C E ( C ξ ) = C Eξ 3、对任意 r.v. ξ，η E ( ξ + η ) = Eξ + Eη 4、若 r.v. ξ 与 η 独立，则 E ( ξ • η ) = Eξ • Eη （性质 3 可推广至有限和情形） e.g. （二项分布）设 r.v. ξ ～ B ( n, p )，求 ξ 的数学期望 e.g. 袋中 6 只红球 4 只白球，从中任取一只记录颜色然后放 回。连续取 4 次，记 ξ 为取得白球的次数，求 e.g. 设 ξ ~ B ( n, p )，求 E ( 5ξ － 1 ) = 5np － 1
Ling Xueling
§4-1 数学期望
二、离散型随机变量的数学期望
2、定义（当绝对收敛时） 3、应用
e.g. （两点分布）设 ，求
需要记住结论！
e.g. （Poisson 分布）设
，求
e.g. （几何分布）对某一目标进行射击直至击中为止。 如果每次命中率都是 p，求射击次数 ξ 的数学期望
Ling Xueling
第四章 随机变量的数字特征
本章重点
求随机变量的数学期望、方差、协方差和相关系数
本章难点
切比雪夫不等式的含义、协方差和相关系数的意义
Ling Xueling
§4-1 数学期望
一、数学期望的意义
利用 r.v. 的分布（分布列、分布密度、分布函数）可 以方便地计算出有关随机事件的概率，但由于 r.v. 取 值并不确Байду номын сангаас，其“中心”是什么？“最可能取值”是 什么？“巨量取值后的平均值”是什么？ 数学期望 —— 是一种概率意义鲜明，关注随机变量 “均值”特征且计算简便的数字表达形式
概率密度是 则
Ling Xueling
§4-1 数学期望
六、随机变量的函数的数学期望 为什么是平均收益？
2、应用
e.g.设 r.v. ξ ～ P ( λ )，求 E( 2ξ － 1 ) 的数学期望 e.g. 假定在国际市场上每年对我国某公司茶叶的需求量 ξ 服 从 U [ 2000, 4000 ] （单位：吨），又假定：每售出 1 吨茶叶 可获利 3 万美元，但若当年无法售出每吨损失 1 万美元。问： 该公司应如何组织货源可使平均收益 η 最大化？
1）离散型 若 ξ 的分布列是： ξ pi x1 p1 x2 p2 …. …. ？？
例
若 且 概率分布是 则
Ling Xueling
§4-1 数学期望
六、随机变量的函数的数学期望
1、定义
2）连续型
设 ξ 的密度函数是 pξ ( x), η = f (ξ ) 则
若
Eη = ∫
且
+∞
−∞
f ( x) pξ ( x)dx （当绝对收敛时）
Ling Xueling
§4-1 数学期望
二、离散型随机变量的数学期望
1、引例 设有甲、乙两位射手，射击技术根据历史数据分别 整理成下表：
击中环数（r.v.） 甲 乙 Pr. Pr. 8 0.3 0.2 9 0.1 0.5 10 0.6 0.3
问：谁的技术较好？评判标准根据目的可以是： （1）平均环数（9.3 vs 9.1） 或 （2）稳定性？
Ling Xueling
§4-1 数学期望
四、数学期望的性质
e.g. 一民航班车载有 20 名旅客自机场开出。沿途有 10 个固定车站（设每人在各站下车是等可能的），若 到达一个车站没有人下车就不停车。若以 ξ 表示停 车次数，求 Eξ
9 20 Eξ = E (∑ξi ) = (∑ Eξi ) = 10 ⋅ [1 − ( ) ] ≈ 9 10 1 1
Ling Xueling
第四章 随机变量的数字特征
本章要求
理解数学期望和方差的概念；重点掌握二项分布和正 态分布的数学期望和方差的计算方法，能利用标准正 态分布表计算正态分布的概率。初步了解二元随机变 量以及协方差和相关系数概念，能计算离散型随机变 量的协方差和相关系数并解释含义
Ling Xueling
第四章 随机变量的数字特征
本章意义
所谓数字特征，是以数字的形式表述出 r.v. 在概率分 布方面的某个具体的特征。例如：某随机变量取值的 “平均值”之特征是多少？波动的大小（或集中度） 之特征如何？等等 —— 对应股票指数来说，均线？ 波动率？ 进一步地，如何用数字的形式表述出多个 r.v. 之间相 互数量关系之特征？
解：因为 所以
Ling Xueling
§4-1 数学期望
五、二维随机向量的数学期望 —— 本质上是一维 r.v. 数学期望的计算：
对二维随机向量 ( ξ, η )，定义 e.g. 设向量 ( ξ, η ) 分布表如下，求
Ling Xueling
§4-1 数学期望
六、随机变量的函数的数学期望
1、定义
§4-1 数学期望
三、连续型随机变量的数学期望
1、定义（当绝对收敛时） e.g. （Cauchy 分布）若 r.v. ξ 的概率密度函数是：
试求
（不存在）
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§4-1 数学期望
2、应用 需要记住结论！ e.g. （均匀分布）设 r.v. ξ ～ U [ a, b ]，求 ξ 的数学 期望 e.g. （指数分布）设 r.v. ξ ～ E（λ），求 ξ 的数学 期望 e.g. （正态分布）设 r.v. ξ ～ N ( µ, σ 2 )，求 ξ 的数 学期望

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最新第四章-随机变量的数字特征总结

最新第四章-随机变量的数字特征总结

第四章 随机变量的数字特征㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义(1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为{}⎪⎩⎪⎨⎧==⎰∑∞∞- d )( )()( ，，连续型离散型x x xf x X x X kk k P E其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望1、离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量的概率分布为，若，则称级数为随机变量的数学期望（或称为均值），记为, 即2、两点分布的数学期望设服从0—1分布，则有，根据定义，的数学期望为.3、二项分布的数学期望设服从以为参数的二项分布，，则。

4、泊松分布的数学期望设随机变量服从参数为的泊松分布，即，从而有。

①常见的连续型随机变量的数学期望1)均匀分布设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a ，b ] (a <b ),它的概率密度函数为:= 则=∴ E (ξ)=(a+b )/2． 即数学期望位于区间的中点．2)正态分布设随机变量ξ服从正态分布，ξ～N(μ,σ2)，它的概率密度函数为:(σ>0，- <μ<+ )则令得∴ E(ξ)=μ .3)指数分布设随机变量服从参数为的指数分布，的密度函数为，则.(2) 随机变量的函数的数学期望设)(xgy=为连续函数或分段连续函数，而X是任一随机变量，则随机变量)(XgY=的数学期望可以通过随机变量X的概率分布直接来求，而不必先求出Y的概率分布再求其数学期望；对于二元函数),(YXgZ=，有类似的公式：(){}⎪⎩⎪⎨⎧===⎰∑∞∞．；（连续型）离散型－d)()()()(xxfxgxXxgXgY kkkPEE()(){}()()()()⎪⎩⎪⎨⎧====⎰⎰∑∑∞∞-∞∞-．；连续型离散型dd,,,,,yxyxfyxgyYxXyxgYXgZi jjijiPEE设(,)X Y为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ijP X a Y b p i j====如果级数(,)i j ijj ig a b p∑∑绝对收敛，则(,)X Y的函数(,)g X Y的数学期望为[(,)](,)i j ijj iE g X Y g a b p=∑∑；特别地();()i ij j iji i j iE X a p E Y b p==∑∑∑∑.设X为连续型随机变量，其概率密度为()f x，如果广义积分()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X的函数()g X的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰； 特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰,()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.注：求E(X,Y)是无意义的，比如说二维（身高，胖瘦）的数学期望是无意义的，但是二维随机变量函数Z= E(X,Y)是有意义的，他表示的是函数下的另一个一维意义。

高等数学(第2版)课件：随机变量的数字特征

高等数学(第2版)课件：随机变量的数字特征


2π
2π
例8. 设随机变量 X ~ N (, 2 )，求 E( X ), D( X ).
解：由 X Z, E( X ) E( Z ) μ. D( X ) D( Z ) D(Z ) 2D(Z ) σ 2 .
4
于是 E( X ) E( Xi ) 4 3.5 14 即为所求. i 1
二、随机变量的方差
1. 方差的概念
定义 设 X 是一个随机变量, 若 E{[ X E( X )]2 }
存在,记为 D( X ) 或 Var( X ), 即
D( X ) Var(X ) E{[X E( X )]2}. 在应用上还引入量 D( X )，记为σ( X ), 称为标
表明，如果在商场内搞，可获得经济收益3万元， 在商场外搞，如果不遇雨天可获得经济收益12万元， 遇到雨天会带来经济损失5万元.若前一天的天气 预报称当天有雨的概率为40%，则商场应该如何 选择促销方式？ 解： 平均效益为 E( X ) 12 0.6 5 0.4 5.2(万元)
与商场内促销活动相比，商场应该选择在户外促销.
P{|
X
|
}
1
2 2
或者
P{|
X
|
}
2 2
例7. 设随机变量 X ~ b(n, p)，求 E( X ), D( X ).
解： X 表示n重贝努里试验中事件 A发生的次数，若记
1 , A在第i 次试验发生 Xi 0 , A在第i 次试验不发生 (i 1, 2, 3, , n)
n
则 X Xi , 其中 Xi 服从(0 1)分布.
P{ X xk } pk , k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛,
k 1
则称级数 xk pk 的和为随机变量 X 的 数学期望,
概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征

概率论与数理统计课件：随机变量的数字特征

随机变量的数字特征
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例7 （正态分布的数学期望）设 X ~ N( μ, σ 2 ), 求E(X).
解:
E(X) =
+
-
xf ( x )dx =
+
-
1
x
e
2πσ
( x - μ )2
2σ 2
dx
x-μ
, 则
令 t=
σ
E(X) =
+
-
t2
2
t2
+ 2
-
1
μ
( μ + t σ)
+
若级数 | g( xk ) | pk < + , 则 Y = g( X ) 的数学期望为
k =1
+
E(Y ) = E(g( X )) = g( xk ) pk
k =1
随机变量的数字特征
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定理4.2 (连续型随机变量函数的数学期望) 设连续型随
机变量X的概率密度函数为f(x),若
随机变量的数字特征
第一节 随机变量的数学期望
第二节 方差
第三节 协方差和相关系数
第四节 R实验
随机变量的数字特征
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第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量数学期望
二、连续型随机变量数学期望
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质
随机变量的数字特征
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§4.1随机变量的数学期望
P{X = xi } = pi , i = 1,2,
如果
+
| x
i
.
| pi < +
随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

随机变量的数字特征随机变量是概率论中的重要概念，描述了在一定概率分布下可能取得的不同取值。

在实际问题中，我们常常需要对随机变量的数字特征进行分析，以揭示其分布规律和潜在规律。

本文将介绍随机变量的数字特征及其应用。

1. 期望值期望值是描述随机变量平均取值的一个重要数字特征。

对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\sum_{i} x_i \\cdot P(X = x_i) $$其中，X表示随机变量，x i为X可能取得的值，P(X=x i)为X取值为x i的概率。

对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：$$ E[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x \\cdot f(x) dx $$其中，f(x)为X的概率密度函数。

2. 方差方差是描述随机变量取值分散程度的数字特征。

对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var[X]=E[(X−E[X])2]对应连续型随机变量的方差计算公式为：$$ Var[X] = \\int_{-\\infty}^{\\infty} (x - E[X])^2 \\cdot f(x) dx $$3. 协方差协方差描述了两个随机变量之间的线性相关性。

对于两个随机变量X和Y，其协方差的计算公式为：Cov[X,Y]=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]协方差的正负值表示了两个随机变量的相关性程度，当协方差为正时，表示两个随机变量正相关，为负时表示负相关。

4. 相关系数相关系数是协方差标准化后的结果，用以衡量两个随机变量之间的线性相关性强弱。

相关系数的计算公式为：$$ \\rho_{X,Y} = \\frac{Cov[X,Y]}{\\sigma_X \\cdot \\sigma_Y} $$其中，$\\sigma_X$和$\\sigma_Y$分别为X和Y的标准差。

相关系数的取值范围在-1到1之间，绝对值越接近1表示相关性越强。

5. 大数定律大数定律是概率论中的一个重要定理，指出在独立重复试验中，随着试验次数的增多，样本平均值将趋近于总体期望值。