2016年河南省普通高中高考数学适应性试卷(理科)(1)(解析版)
- 格式：doc
- 大小：760.00 KB
- 文档页数：22
2016年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）（1）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．32．如果复数（b∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为（）A．1 B．﹣6 C．3 D．﹣93．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣24．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．25．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若命题P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．137．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A．=2 B．=C．=D．=8．六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（）A．B．C．D．9．已知正数x，y满足x+4y=4，则的最小值为（）A．B．24 C．20 D．1810．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．2711．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣312．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知不等式组表示的平面区域的面积为25，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为______．14．（2x+﹣4）9的展开式中，不含x的各项系数之和为______．15．四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，则该球的表面积为______．16．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n+1=a n+，a1=，S n为数列{a n}的前n项和，若对于任意的n∈N*，不等式≥2n﹣3恒成立，则实数k的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若点D为边AB上一点，且满足=，||=，c=2，求△ABC的面积．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=•x+；（Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式：=，=﹣•；参考数据：x i=540，y i=420）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=4．（Ⅰ）若点P为AA1的中点，求证：平面B1CP⊥平面B1C1P；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°？若存在，求出|AP|的值；若不存在，说明理由．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅱ）（i）若函数g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，其中p为常数，试判断函数g（x）的单调性；（ii）若f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1+x2＜3e a﹣1﹣1．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．2016年河南省普通高中高考数学适应性试卷（理科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．已知集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∪B中的元素个数为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={y|y=2x，x∈A}，∴B={0，2，4}；∴A∪B={0，1，2，4}；∴A∪B中的元素个数为4．故选：C．2．如果复数（b∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则b的值为（）A．1 B．﹣6 C．3 D．﹣9【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部和虚部相等求得b的值．【解答】解：∵=的实部和虚部相等，∴6﹣b=﹣（2b+3），解得：b=﹣9．故选：D．3．已知tan（α﹣）=，则的值为（）A．B．2 C．2D．﹣2【考点】三角函数的化简求值．【分析】由tan（α﹣）=，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除以cosα，然后代入即可求出表达式的值．【解答】解：由tan（α﹣）==，得tanα=3．则=．故选：B．4．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2=3相切，可得圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：取双曲线的渐近线y=x，即bx﹣ay=0．∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与（x﹣2）2+y2=1相切，∴圆心（2，0）到渐近线的距离d=r，∴=，化为2b=c，两边平方得3c2=4b2=4（c2﹣a2），化为c2=4a2．∴e==2．故选：C．5．给出下列四个结论：①已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）=0.2；②若命题P：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈（﹣∞，1），x2﹣x﹣1≥0；③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据正态分布的性质进行判断，②根据含有量词的命题的否定进行判断．③根据直线垂直的等价条件进行判断．④根据回归直线的性质进行判断．【解答】解：①若ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.6，则P（ξ＞2）===0.2，故①正确，②若命题p：∃x0∈[1，+∞），x﹣x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈[1，+∞），x2﹣x﹣1≥0；故②错误③当b≠0时，两直线的斜率分别为，，由•（）==﹣1，即a=﹣3b，当b=0，a=0时，两直线分别为l1：3y﹣1=0，l2：x+1=0，满足l1⊥l2，故l1⊥l2的充要条件是错误，故③错误，④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．故④错误，故正确是①，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】绘制结构图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，S=2，k=2，不满足退出循环的条件，第2次执行循环体后，S=6，k=3，不满足退出循环的条件，第3次执行循环体后，S=14，k=4，不满足退出循环的条件，第4次执行循环体后，S=30，k=5，不满足退出循环的条件，第5次执行循环体后，S=62，k=6，不满足退出循环的条件，第6次执行循环体后，S=126，k=7，不满足退出循环的条件，第7次执行循环体后，S=510，k=8，不满足退出循环的条件，第8次执行循环体后，S=1022，k=9，不满足退出循环的条件，第9次执行循环体后，S=2046，k=10，满足退出循环的条件，故输出的k值为10，故选：A7．等差数列{a n}的前n项和为S n，若=，则下列结论中正确的是（）A ． =2B ． =C ． =D ． =【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的求和公式和性质可得=3•=2，解方程可得．【解答】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且=，∴==2，由等差数列的求和公式和性质可得：===3•=2，∴ =故选：C8．六个人站成一排照相，则甲、乙两人之间恰好站两人的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】六个人站成一排照相，先求出基本事件总数，再求出甲、乙两人之间恰好站两人包含基本事件个数，由此能求出甲、乙两人之间恰好站两人的概率．【解答】解：六个人站成一排照相，基本事件总数n==720，甲、乙两人之间恰好站两人包含基本事件个数m==144，∴甲、乙两人之间恰好站两人的概率p===． 故选：B ．9．已知正数x ，y 满足x +4y=4，则的最小值为（ ）A ．B ．24C ．20D ．18 【考点】基本不等式．【分析】根据已知可将，化为，利用基本不等式可得≥2=8xy ，从而原式：≥=18．【解答】解：∵x+4y=4，可得：=1，∴====，∵≥2=8xy，∴≥=18．故选：D．10．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．9 B．C．18 D．27【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图和正方体可得该几何体一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥A﹣BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为6、3、3的长方体，∴几何体的体积V==9，故选：A．11．已知函数f（x）=ln（2x+）﹣，若f（a）=1，则f（﹣a）=（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【考点】函数的值．【分析】易知f（a）=ln（2a+）﹣=1，化简f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣，从而求得．【解答】解：由题意知，f（a）=ln（2a+）﹣=1，故f（﹣a）=ln（﹣2a+）﹣=ln（）﹣=﹣ln（2a+）﹣2+=﹣（ln（2a+）﹣）﹣2=﹣3，故选：D．12．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知不等式组表示的平面区域的面积为25，点P（x，y）在所给平面区域内，则z=2x+y的最大值为17．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合可行域的面积求得a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（4，4），联立，解得A（a，a），联立，解得B（8﹣a，a），∴，即a=﹣1，∴B（9，﹣1），化目标函数z=2x +y 为y=﹣2x +z ，由图可知，当直线y=﹣2x +z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为17． 故答案为：17．14．（2x +﹣4）9的展开式中，不含x 的各项系数之和为 ﹣1 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】先将问题转化为二项展开式的各项系数和问题，再利用赋值法求出各项系数和．【解答】解：（2x +﹣4）9的展开式中，不含x 的各项系数之和，即（﹣4）9的各项系数之和．令y=1，可得（﹣4）9的各项系数之和为（﹣1）9=﹣1，故答案为：﹣1．15．四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA ⊥平面ABCD ，PA=5，则该球的表面积为 50π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】把四棱锥补成长方体，根据长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，∵长方体的对角线长等于球的直径，∴2R==5，∴R=，外接球的表面积S=4πR 2=50π．故答案为：50π．16．已知各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式≥2n ﹣3恒成立，则实数k 的取值范围为 ． 【考点】数列递推式．【分析】各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，变形为：a n +1﹣=（a n ﹣），a 1﹣=3，利用等比数列的通项公式可得：a n =3×+，可得S n ．不等式≥2n ﹣3化为：k ≥．再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵各项均为正数的数列{a n }满足a n +1=a n +，a 1=，∴a n﹣=（a n﹣），a1﹣=3，+1∴数列是等比数列，首项为3，公比为．∴a n﹣=3×，即a n=3×+，∴S n=+=+．不等式≥2n﹣3化为：k≥．令f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=﹣=．则n≤2，a1＜a2＜a3．n≥3，a3＞a4＞a5＞…．∴f（3）最大为．对于任意的n∈N*，不等式≥2n﹣3恒成立，∴k≥．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若点D为边AB上一点，且满足=，||=，c=2，求△ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则计算列出关系式，根据二倍角的余弦函数公式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosC的值，（Ⅱ）利用向量的几何意义和向量的模的计算以及余弦定理和三角形的面积公式即可求出．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（cosB，2cos2﹣1），=（c，b﹣2a），且•=0，∴c•cosB+（b﹣2a）cosC=0，由正弦定理可得，sinCcosB+（sinB﹣2sinA）cosC=0，∴sinA﹣2sinAcosC=0，∵sinA ≠0，∴cosC ﹣，∵C ∈（0，π），∴C=，（Ⅱ）=，||=，c=2，∴=﹣，∴2=+，两边平方得4||2=b 2+a 2+2accosC=b 2+a 2+ac=28，（1），∵c 2=b 2+a 2﹣2accosC=b 2+a 2﹣ac=12，（2），由（1），（2）可得ab=8，∴S △ABC =absinC=2．18．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y 关于x 的线性回归方程=•x +； （Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少？（参考公式： =， =﹣•；参考数据： x i =540， y i =420）【考点】线性回归方程．【分析】（I ）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II ）将x=200代入回归方程计算．【解答】解：（Ⅰ）×=108，（78+80+84+88+90）=84．=（﹣8）×（﹣6）+（﹣6）×（﹣4）+0+6×4+8×6=144，=（﹣8）2+（﹣6）2+0+62+82=200．∴=，=84﹣0.72×108=6.24．∴y关于x的线性回归方程为=0.72x+6.24．（II）当x=200时，=0.72×200+6.24=150.24．∴此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=4．（Ⅰ）若点P为AA1的中点，求证：平面B1CP⊥平面B1C1P；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°？若存在，求出|AP|的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1，从而B1C1⊥平面ACC1A1，进而B1C1⊥CP，再求出CP⊥C1P，从而CP⊥平面B1C1P，由此能证明平面B1CP⊥平面B1C1P．（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱AA1上存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，且|AP|=2【解答】证明：（Ⅰ）∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，∴B1C1⊥A1C1，由直三棱锥性质得B1C1⊥CC1，且A1C1∩CC1=C1，∴B1C1⊥平面ACC1A1，∵CP⊂平面ACC1A1，∴B1C1⊥CP，由A1A=BC=2AC=4，P为A1A中点，知CP=C1P=2，∴=，即CP⊥C1P，B1C1∩C1P=C1，∴CP⊥平面B1C1P，∵CP⊂平面B1CP，∴平面B1CP⊥平面B1C1P．解：（Ⅱ）如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设|AP|=a，P（2，0，a），C（0，0，0），B1（0，4，4），B（0，4，0），=（2，0，a），=（0，4，4），设平面B1CP的法向量为=（x，y，z），则，取z=﹣1，得=（），平面C1CP的一个法向量=（0，4，0），∵二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，∴cos60°===，解得a=2，∴在棱AA1上存在一点P，使得二面角B1﹣CP﹣C1的大小为60°，且|AP|=220．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x2+y2=b2相切于点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由圆O的方程为x2+y2=4，设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，求出t=﹣2；当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），则直线OQ：y=﹣，由|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，能求出点Q的纵坐标的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（，1），∴，解得a2=8，b2=4，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆O的方程为x2+y2=4，①设点Q的纵坐标为t，则Q（2，t），当MP⊥x轴时，∵点P在椭圆C上，且在第一象限内，∴P（2，），∵，解得t=﹣2．②当PM不垂直于x轴时，设直线OP：y=kx（k＞0，x＞0），∴直线OQ：y=﹣，则P（x0，kx0），Q（﹣tx，t），在△OPQ中，|OP|•|OQ|=|PQ|•|OM|，∴=2，即=4[（x0+kt）2+（kx0﹣t）2]，，∴，∴，又由，∴，又由，∴，∴，∴=0，∴t2=8，解得t=．∴点Q的纵坐标的值为．21．已知函数f（x）=a﹣﹣lnx，其中a为常数．（Ⅰ）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；（Ⅱ）（i）若函数g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，其中p为常数，试判断函数g（x）的单调性；（ii）若f（x）恰有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：x1+x2＜3e a﹣1﹣1．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得单调区间，由单调性，即可判断函数的零点个数；（Ⅱ）（i）求出g（x）的导数，从而判断出g（x）的单调性，（ii）要证x1+x2＜3e a﹣1﹣1，可知知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数m（x）=lnx﹣﹣lnp，通过导数判断单调性，整理，变形，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减，f（x）max=f（1）=a﹣1，①当f（x）max=0，解得：a=1，此时最大值点唯一，符合题意，②当f（x）max＜0，即a＜1时，f（x）＜0恒成立，不符合题意，③当f（x）max＞0，即a＞1时，e a＞1，f（e a）=﹣＜0，e﹣a＜1，∴f（e﹣a）=2a﹣e a≤2a﹣ea＜0，（易证e x≥ex），∴f（x）有2个零点，不符合题意，综上：a=1；（Ⅱ）（i）由g（x）=a﹣﹣﹣f（x）﹣lnp，得：g（x）=lnx﹣﹣lnp，函数g（x）的定义域是（0，+∞），且p＞0，∵g′（x）=≥0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增；（ii）f（x）=0⇔h（x）=ax﹣1﹣xlnx=0，故x1，x2也是h（x）=0的两个零点．由h′（x）=a﹣1﹣ln x=0，得x=e a﹣1（记p=e a﹣1）．可知，p是h（x）的唯一最大值点，故有，作函数m（x）=lnx﹣﹣lnp，则m′（x）=≥0，故m（x）单调递增．当x＞p时，h（x）＞h（p）=0；当0＜x＜p时，h（x）＜0．于是，ax1﹣1=x1ln x1＜+x1lnp．整理，得（2+lnp﹣a）x12﹣（2p+ap﹣plnp﹣1）x1+p＞0，即x12﹣（3e a﹣1﹣1）x1+e a﹣1＞0．同理x22﹣（3e a﹣1﹣1）x2+e a﹣1＜0．故x22﹣（3e a﹣1﹣1）x2+e a﹣1＜x12﹣（3e a﹣1﹣1）x1+e a﹣1，即（x2+x1）（x2﹣x1）＜（3e a﹣1﹣1）（x2﹣x1），于是x1+x2＜3e a﹣1﹣1．四、请考在第22、23、24三题中任选一题作答：注意：只能做所选定的题目：如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．如图，直线AB经过圆O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交直线OB于点E、D，连接EC、CD．（Ⅰ）求证：直线AB是圆O的切线；（Ⅱ）若tan∠CED=，圆O的半径为2，求OA的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（I）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；（II）利用圆的性质可得=．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是==．设BD=x，BC=3x，利用切割线定理可得BC2=BD•BE，代入解出即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（Ⅱ）解：∵ED是直径，∴∠ECD=90°，在Rt△BCD中，∵tan∠CED=，∴=．∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD=∠E．又∵∠CBD=∠EBC，∴△CBD∽△EBC，∴==．设BD=x，BC=3x，又BC2=BD•BE，∴（3x）2=x•（x+4）．解得：x1=0，x2=，∵BD=x＞0，∴BD=．∴OA=OB=BD+OD=．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P的直角坐标为（1，0），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l方程与圆C的方程联立方程组，求得A、B两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得3x+y﹣3=0．圆C的方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，即x2+=3．（Ⅱ）由求得，或，故可得A（，﹣）、B（﹣， +）．∵点P（1，0），∴|PA|+|PB|=+=（2﹣）+（2+）=4．24．已知函数f（x）=|x﹣2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+5）≥9；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求证：f（ab+3）＞f（a+b+2）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的复合函数形式，通过讨论x的范围，求出各个阶段上的x的范围，从而求出不等式的解集；（Ⅱ）问题转化为：|ab+1|＞|a+b|，通过作差法证明即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣1≥9，解得：x＜﹣5，当﹣3≤x≤2时，f（x）≥9不成立，当x＞2时，由2x+1≥9，解得：x≥4，∴不等式的解集是{x|x≤﹣5或x≥4}；（Ⅱ）证明：f（ab+3）＞f（a+b+2）即|ab+1|＞|a+b|，∵|a|＜1，|b|＜1，∴（ab+1）2﹣（a+b）2=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∴|ab+1|＞|a+b|，故所证不等式成立．2016年10月4日。
