河北省石家庄市2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学试卷(含详细答案)

数学试卷（理数）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数，，则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若，则全为”的逆否命题是“若全不为0，则”D.一个命题的否命题为假，则它的逆命题一定为假4.若，，，，则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明：(1)当时，左边，右边，所以等式成立；(2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数等式都成立．经判断以上评述A.命题，推理都正确B.命题正确，推理不正确C.命题不正确，推理正确D.命题，推理都不正确6.椭圆的一个焦点是，那么等于A.B.C.D.7.设函数（其中为自然对数的底数），则的值为A. B. C. D.8.直线（为参数）被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进步，然后再后退步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以步的距离为个单位长，令表示第秒时机器狗所在位置的坐标．且，那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小5分，满分20分）13.若，则__________.14.在三角形ABC中，若三个顶点坐标分别为，则AB边上的中线CD的长是__________．15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，M为AF1中点，N为AF2中点，O为坐标原点，则的最大值为__________．16.已知函数，过点作函数图象的切线，则切线的方程为。

2016-2017学年河北省石家庄二中高二（下）期末数学试卷（理科）一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）如图所示的韦恩图中，全集U＝R，若A＝{x|0≤x＜2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x≥2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．（5分）不等式1＜|x+1|＜3的解集为（）A．（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，4）C．（﹣4，0）D．（﹣4，﹣2）∪（0，2）5．（5分）直线（t为参数）的倾斜角为（）A．70°B．20°C．160°D．110°6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）设函数f（x）＝g（x）+x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4B．﹣C．2D．﹣8．（5分）函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]9．（5分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）＝log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，又g （x）＝a x+，则下列选项正确的（）A．g（﹣2）＜g（1）＜g（3）B．g（1）＜g（﹣2）＜g（3）C．g（3）＜g（﹣2）＜g（1）D．g（﹣2）＜g（3）＜g（1）10．（5分）已知函数f（x）＝，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）＝f （x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．﹣2＜a＜2D．a＞2或a＜﹣2 11．（5分）将函数y＝﹣x2+x（x∈[0，1]）图象绕点（1，0）顺时针旋转θ角（0＜θ＜）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图象，则θ的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是．14．（5分）设直线y＝x+b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f （x）＞x的解集为．16．（5分）设函数f（x）＝﹣e x﹣x图象上任意一点处的切线为l1，函数g（x）＝ax+2cos x 的图象上总存在一条切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分）：17．（10分）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）（Ⅰ）若a＝2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：（1）写出2×2列联表；（2）判断产品是否合格与设备改造是否有关，说明理由．附：K2＝，数据支持：（65×49﹣36×30）2＝4431025 101×79×85×95＝64430825．19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若P（﹣2，﹣4），线段MN的中点为Q，求P点到Q点距离|PQ|．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．21．（12分）设f（x）＝﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（1）求f（x）的单调区间（2）若x＞0时，＞恒成立，求a的范围．2016-2017学年河北省石家庄二中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）如图所示的韦恩图中，全集U＝R，若A＝{x|0≤x＜2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x≥2}【解答】解：阴影部分表示的集合为B∩∁U A，∵A＝{x|0≤x≤2），B＝{x|x＞1}，∴∁U A＝{x|x≥2或x＜0}，则B∩∁U A＝{x|≥2}，故选：D．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵，∴对应点的坐标是（﹣2，2）∴对应的点位于第二象限，故选：B．3．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．4．（5分）不等式1＜|x+1|＜3的解集为（）A．（0，2）B．（﹣2，0）∪（2，4）C．（﹣4，0）D．（﹣4，﹣2）∪（0，2）【解答】解：1＜|x+1|＜3⇔1＜|x+1|2＜9即即，解得，即x∈（﹣4，﹣2）∪（0，2）解法二：1＜|x+1|＜3⇔⇔解得x∈（﹣4，﹣2）∪（0，2）故选：D．5．（5分）直线（t为参数）的倾斜角为（）A．70°B．20°C．160°D．110°【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，直线的参数方程为，则直线的普通方程为：y﹣2＝tan20°（x﹣1），则有tanθ＝tan20°，且0°≤θ＜180°，则直线的倾斜角为20°，故选：B．6．（5分）若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A满足上述条件，B存在f′（x′）＞f′（x″），C对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）＝f′（x″），D对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选：A．7．（5分）设函数f（x）＝g（x）+x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y ＝2x+1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．4B．﹣C．2D．﹣【解答】解：f′（x）＝g′（x）+2x．∵y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝2x+1，∴g′（1）＝2，∴f′（1）＝g′（1）+2×1＝2+2＝4，∴y＝f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．故选：A．8．（5分）函数f（x）＝，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【解答】解：由于f（x）＝，则当x＝0时，f（0）＝a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x++a，x＞0恒成立，由x+≥2＝2，当且仅当x＝1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故选：D．9．（5分）已知实数a＞0，且a≠1，函数f（x）＝log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，又g （x）＝a x+，则下列选项正确的（）A．g（﹣2）＜g（1）＜g（3）B．g（1）＜g（﹣2）＜g（3）C．g（3）＜g（﹣2）＜g（1）D．g（﹣2）＜g（3）＜g（1）【解答】解：根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝log a|x|＝log a（﹣x），若函数f（x）＝log a|x|在（﹣∞，0）上是减函数，即log a（﹣x）在在（﹣∞，0）上是减函数，则有a＞1，又g（x）＝a x+，有g（﹣x）＝a﹣x+＝a x+＝g（x），即g（x）＝g（﹣x），则函数g（x）为偶函数，则有g（﹣2）＝g（2），当x＞0时，g′（x）＝a x lna﹣lna＝lna（a x﹣）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）为增函数，则g（1）＜g（2）＝g（﹣2）＜g（3）；故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）＝f （x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．﹣2＜a＜2D．a＞2或a＜﹣2【解答】解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调①当a＝0时，f（x）＝，其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y＝﹣x2+ax的对称轴x＝＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y＝﹣x2+ax的对称轴x＝＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x＝∴a＜2综上可得，a＜2故选：A．11．（5分）将函数y＝﹣x2+x（x∈[0，1]）图象绕点（1，0）顺时针旋转θ角（0＜θ＜）得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图象，则θ的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，函数图象如图所示，函数在[0，]上为增函数，在[，1]上为减函数．设函数在x＝1处，切线斜率为k，则k＝f'（1）∵f'（x）＝﹣2x+1，∴∴k＝f'（1）＝﹣1，可得切线的倾斜角为135°，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90°，也就是说，最大旋转角为135°﹣90°＝45°，即θ的最大值为45°即．故选：B．12．（5分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（）A．B．C．D．【解答】解：∵f′（x）＝lnx+1﹣2ax，（x＞0）令f′（x）＝0，由题意可得lnx＝2ax﹣1有两个解x1，x2⇔函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点⇔g′（x）在（0，+∞）上的唯一的极值不等于0．．①当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，应舍去．②当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x＝，∵x，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴x＝是函数g（x）的极大值点，则＞0，即＞0，∴ln（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．故当0＜a＜时，g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，∴x1＜1＜＜x2，从而可知函数f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．∴f（x1）＜f（1）＝﹣a＜0，f（x2）＞f（1）＝﹣a＞﹣．故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）若关于x的不等式|x﹣2|+|x+4|＜a的解集是空集，则实数a的取值范围是（﹣∞，6]．【解答】解析：不等式|x﹣2|+|x+4|＜a的解集为∅，又∵|x﹣2|+|x+4|≥|x﹣2﹣（x+4）|＝6．∴|x﹣2|+|x+4|的最小值为6，故a∈（﹣∞，6]．故答案为：（﹣∞，6]．14．（5分）设直线y＝x+b是曲线y＝lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为ln2﹣1．【解答】解：y′＝（lnx）′＝，令＝得x＝2，∴切点为（2，ln2），代入直线方程y＝x+b，∴ln2＝×2+b，∴b＝ln2﹣1．故答案为：ln2﹣115．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，则不等式f （x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）＝x2﹣4x，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）＝x2+4x，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）＝x2+4x＝﹣f（x），则f（x）＝﹣x2﹣4x，x＜0，当x＞0时，不等式f（x）＞x等价为x2﹣4x＞x即x2﹣5x＞0，得x＞5或x＜0，此时x＞5，当x＜0时，不等式f（x）＞x等价为﹣x2﹣4x＞x即x2+5x＜0，得﹣5＜x＜0，当x＝0时，不等式f（x）＞x等价为0＞0不成立，综上，不等式的解为x＞5或﹣5＜x＜0，故不等式的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）16．（5分）设函数f（x）＝﹣e x﹣x图象上任意一点处的切线为l1，函数g（x）＝ax+2cos x 的图象上总存在一条切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]．【解答】解：由f（x）＝﹣e x﹣x，得f′（x）＝﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）＝ax+2cos x，得g′（x）＝a﹣2sin x，又﹣2sin x∈[﹣2，2]，∴a﹣2sin x∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）＝﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝ax+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．三、解答题（共70分）：17．（10分）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0）（Ⅰ）若a＝2时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若不等式f（x）≤4对一切x∈[a，2]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（a＞0），若a＝2时，则不等式f（x）≤4 即|x+1|+|x﹣2|≤4．而由绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣2和2对应点的距离之和，而﹣和应点到﹣2和2对应点的距离之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集为[﹣，]．（Ⅱ）当x∈[a，2]，不等式即x+1+x﹣a≤4，解得a≥2x﹣3．由于2x﹣3的最大值为2×2﹣3＝1，∴a≥1，故1≤a≤2，实数a的取值范围为[1，2]．18．（12分）某企业为了更好地了解设备改造前后与生产合格品的关系，随机抽取了180件产品进行分析，其中设备改造前的合格品有36件，不合格品有49件，设备改造后生产的合格品有65件，不合格品有30件．根据所给数据：（1）写出2×2列联表；（2）判断产品是否合格与设备改造是否有关，说明理由．附：K2＝，数据支持：（65×49﹣36×30）2＝4431025 101×79×85×95＝64430825．【解答】解：（1）由题意，填写列联表如下；﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（2）根据列联表中的数据，计算K2的观测值为k＝≈12.38，﹣﹣﹣﹣﹣8分由于12.38＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为产品是否合格与设备改造有关．﹣﹣﹣12分．19．（12分）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交于M，N两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若P（﹣2，﹣4），线段MN的中点为Q，求P点到Q点距离|PQ|．【解答】解：（1）曲线C：y2＝4x直线l：x﹣y﹣2＝0．（2）可知P在直线l上，将代入y2＝4x得，设M、N对应的参数分别为t 1，t2可得，∴．20．（12分）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即又由f（1）＝﹣f（﹣1）知．所以a＝2，b＝1．经检验a＝2，b＝1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）＝f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k＜﹣．21．（12分）设f（x）＝﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）≥0在有解∵f′（x）＝﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴f′（x）≤f′（）＝+2a，由0≤+2a，解得a≥﹣．检验a＝﹣时，f（x）的增区间为（，），故不成立．故a＞﹣．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）＝0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x＝1时，f（1）＝2a+；当x＝4时，f（4）＝8a＜f（1）当x＝4时最小∴＝解得a＝1所以当x＝时最大为22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（1）求f（x）的单调区间（2）若x＞0时，＞恒成立，求a的范围．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣，令g（x）＝x2+2（1﹣a）x+1，△＝4a（a﹣2）．当0≤a≤2时，x∈（0，+∞），f′（x）≥0，函数f（x）单调递增．当a＜0时，x∈（0，+∞），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．当a＞2时，f′（x）＝0两根为x1＝a﹣1﹣，x2＝a﹣1+，x∈（0，x1），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（x2，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增；x∈（x1，x2），f′（x）＜0，f（x）单调递减．综上当a≤2时，单调递增区间为（0，+∞）．当a＞2时，单调递增区间为：，；单调递减区间为：（a﹣1﹣，a﹣1+）．（2）x＞0时，＞恒成立，即证整理得＞0，即证x＞1时，lnx+﹣a＞0；即证0＜x＜1时，lnx+﹣a＜0．令h（x）＝lnx+﹣a，h′（x）＝．当a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）单调递增，h（1）＝0．x＞1时，h（x）＝lnx+﹣a＞h（1）＝0．0＜x＜1时，h（x）＝lnx+﹣a＜h（1）＝0．当a＞2时，（x）＜0．0＜x＜1时，h（x）＝lnx+﹣a＞h（1）＝0，不合题意，舍去．综上：a≤2．。

2017-2018学年度期末试题高二数学理科答案一、选择题1-5CAACA 6-10CDBDD 11-12CB二 、填空题13. 0.36 14. 66015. 243 16. 1三 、解答题17.解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ............................3分 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[](a 2－10)＋(2a －5)i ＝a －13(a －1)(a ＋5)＋(a 2＋2a －15)i….........................6分 ∵z －1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3，………9分由于a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.………12分18解: (1)设A 表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1,.............................................2分故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05....................................................4分=0.55.………………6分(2)设B 表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15..........................................8分又P(AB)=P(B),........................................10分……………………….12分19.解： (1)由已知条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此算出a 2＝6，a 3＝12，a 4＝20，………2分b 2＝9，b 3＝16，b 4＝25…………..4分(2)由(1)的计算可以猜想a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2……6分下面用数学归纳法证明：故P (B|A )=P (AB )P (A )=P (B )P (A )=0.150.55=311. 因此所求概率为311.①当n ＝1时，由已知a 1＝2，b 1＝4可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2...........................................8分那么，当n ＝k ＋1时a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＝(k ＋1)(k ＋2)，...........................10分b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋1)2(k ＋2)2(k ＋1)2＝(k ＋2)2， 因此当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①和②知对一切n ∈N *，都有a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2成立．……12分20.解：..............................4分K 2的观测值k=300×(120×15-60×105)2180×120×225×75≈16.667>10.828,所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关……………6分(2)①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,其中P (X=0)= 35 4;P (X=1)=C 41 25 353; P (X=2)=C 42 25 2 35 2;P (X=3)=C 43 25 3 35 1;P (X=4)=C 44 25 4 35 0, X 的分布列为:…………8分②由于X~B 4,25 ,..................................10分则E （X ）=4×25=85,D （X ）=4×25× 1-25 =2425…………..12分 21解: (1)f'(x)=ln x+1,所以切线斜率k=f'(1)=1.又f(1)=0,∴曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1由 y =-x 2+ax -2,y =x -1,得x 2+(1-a )x+1=0.……….3分由Δ=221-)423(1)(3)a a a a a -=--=+-（可得当Δ>0时,即a<-1或a>3时,有两个公共点;当Δ=0时,即a=-1或a=3时,有一个公共点;当Δ<0时,即-1<a<3时,没有公共点……….6分22解：(1)由ρ=5,可知ρ2=25,得x 2+y 2=25,即曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=25…………4分(2)设直线l 的参数方程为 x =-3+t cos α,y =-32+t sin α(t 为参数),①将参数方程①代入圆的方程x 2+y 2=25,得4t 2-12(2cos α+sin α)t-55=0,………6分∴Δ=16[9(2cos α+sin α)2+55]>0,上述方程有两个相异的实数根,设为t 1,t 2, ∴|AB|=|t 1-t 2|= 9(2cos α+sin α)2+55=8,………….8分化简有3cos 2α+4sin αcos α=0,解得cos α=0或tan α=-34,从而可得直线l 的直角坐标方程为x+3=0或3x+4y+15=0………….10分 23解：(1)f (0)=f (1),即-a=a+1-a ,则a=-1,……..1分∴f (x )=-x 2+x+1,∴不等式化为|-x 2+x|<-x+34,① 当-1≤x<0时,不等式化为x 2-x<-x+34,∴- 32<x<0;……….②当0≤x ≤1时,不等式化为-x 2+x<-x+34,∴0≤x<12. (2)y=f (x )-g (x )=x 2-ax+2+x ln x ,由y=0,得a=x+2x +ln x ……….8分令h (x )=x+2x +ln x ,则h'(x )=(x -1)(x +2)x 2.当x ∈ 1e ,e 时,由h'(x )=0,得x=1.所以h (x )在 1e ,1 上单调递减,在[1,e]上单调递增,因此h (x )min =h (1)=3…………10分由h 1e =1e +2e -1,h (e)=e +2e +1,比较可知h 1e >h (e),所以,结合函数图象可得,当3<a ≤e +2e +1时,函数y=f (x )-g (x )有两个零点……….12分综上,原不等式的解集为 x-32<x<12……………6分(2)证明：由已知x∈[-1,1],∴|x|≤1.又|a|≤1,则|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-|x|-122+54≤54…10分。

2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数的除法法则求解可得结果．详解：∵，∴．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，解题时根据法则求解即可，属于容易题．2.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.3.3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为，构成首项为，公差为的等差数列，所以第个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.5.5.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像6.6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．7.7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项. 详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．8.8.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.9.9.设复数，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10.10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．11.11.已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12.12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．【答案】0.36【解析】.14.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.15.的展开式中的系数是__________．【答案】243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．16.16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于__________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.17.复数，，若是实数，求实数的值.【答案】【解析】分析：由题意求得，进而得到的代数形式，然后根据是实数可求得实数的值．详解：.∵是实数，∴，解得或，∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的有关概念，解题的关键是求出的代数形式，然后根据该复数的实部不为零虚部为零得到关于实数的方程可得所求，解题时不要忽视分母不为零的限制条件．18.18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.【答案】（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．19.19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.（1）求，，及，，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，，，，， (2) 猜想，，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中，，成等差数列，，，成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的计算可以猜想，，下面用数学归纳法证明：①当时，由已知，可得结论成立.②假设当（且）时猜想成立，即，.则当时，，，因此当时，结论也成立.由①②知，对一切都有，成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．20.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人. （1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②，【解析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．21.21.已知函数，（为自然对数的底数，）.（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴.又，∴曲线在点处的切线方程为．由得.故，所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；当，即或时，切线与曲线有一个公共点；当，即时，切线与曲线没有公共点.（2）由题意得，由，得，设，则.又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以.又，，结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，故当时，函数有两个零点．点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.【答案】(1) (2) 直线的直角坐标方程为或【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．23.23.已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．详解：（1），即，则，∴，∴不等式化为．①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得.综上可得．∴原不等式的解集为.（2）证明：∵，∴.又，∴.点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。