2020-2021学年天津市河西区八年级(上)期中数学试卷 (解析版)

天津市河西区2019-2020学年八年级上期中数学模拟试卷含解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有（）A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P一定是△ABC（）A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条中线的交点4．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．30°B．80°或20°C．80°或50°D．20°5．如图，把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上点E处，那么折痕AD是△ABC的（）A．角平分线B．中线C．高线D．角平分线6．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是（）A．28°B．31°C．39°D．42°7．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度数为（）A．62°B．152°C．208°D．236°8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β9．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）A．全部正确B．仅①和③正确C．仅①正确D．仅①和②正确11．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则（）A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC12．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处二、填空题：13．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 度．14．如图，若△ABC≌△ADE，且∠B=65°，则∠BAD= ．15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是．16．如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是；（2）在△AEC中，AE边上的高是；（3）在△FEC中，EC边上的高是；（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S= ，CE= ，BE= ．△ACE17．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的取值范围为．18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为64和42，则△EDF的面积为．19．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．20．如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，…，以此类推，若∠B=20°，则∠A= ．三、综合题：21．如图，∠AOB=30°，OA表示草地边，OB表示河边，点P表示家且在∠AOB内．某人要从家里出发先到草地边给马喂草，然后到河边喂水，最后回到家里．（1）请用尺规在图上画出此人行走的最短路线图（保留作图痕迹，不写作法和理由）．（2）若OP=30米，求此人行走的最短路线的长度．22．如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．证明：△ADB≌△EBC．24．如图，△ABC 中，AD 平分∠CAB ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ．求证：AE=BE ．25．如图，OC 是∠AOB 平分线，点P 为OC 上一点，若∠PDO+∠PEO=180°，试判断PD 和PE 大小关系，并说明理由．26．已知△ABC 中，∠A=50°．（1）如图①，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= °．（2）如图②，∠ABC 、∠ACB 的三等分线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= °．（3）如图③，∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1（内部有n ﹣1个点），求∠BO n ﹣1C （用n 的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1，若∠BO n ﹣1C=60°，求n 的值．27．已知△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 的中点．（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE=AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE=AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．28．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，BD与CE相交于O．（1）求证：BD=CE；（2）OA平分∠BOE吗？说明理由．-学年河八年级（上）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．下列说法：①能够完全重合的图形叫做全等形；②全等三角形的对应边相等、对应角相等；③全等三角形的周长相等、面积相等；④所有的等边三角形都全等；⑤面积相等的三角形全等．其中正确的说法有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】理清全等形以及全等三角形的判定及性质，即可熟练求解此题．【解答】解：①中能够完全重合的图形叫做全等形，正确；②中全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确；③全等三角形的周长相等、面积相等，也正确；④中所有的等边三角形角都是60°，但由于边不相等，所以不能说其全等，④错误；⑤中面积相等的三角形并不一定是全等三角形，⑤中说法错误；故题中①②③说法正确，④⑤说法错误，此题选C．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．3．在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P一定是△ABC（）A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条中线的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，可判定点P在AB，BC，AC的垂直平分线上，则可求得答案．【解答】解：∵在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，∴点P一定是△ABC三边垂直平分线的交点．故选B．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．4．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．30°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【考点】等腰三角形的性质．【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．5．如图，把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上点E处，那么折痕AD是△ABC的（）A．角平分线B．中线C．高线D．角平分线【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据折叠的性质即可得到结论．【解答】解：∵把△ABC沿AD折叠得到△ADE，∴△ACD≌△AED，∴∠CAD=∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．故选A．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，正确理解折叠的性质是本题的关键．6．如图，∠CBD、∠ADE为△ABD的两个外角，∠CBD=70°，∠ADE=149°，则∠A的度数是（）A．28°B．31°C．39°D．42°【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角．【专题】计算题．【分析】根据平角的定义求出∠ABD，根据三角形的外角性质得出∠ADE=∠ABD+∠A，代入即可求出答案．【解答】解：∵∠ABD+∠CBD=180°，∠CBD=70°，∴∠AB D=110°，∵∠ADE=∠ABD+∠A，∠ADE=149°，∴∠A=39°．故选C．【点评】本题主要考查对三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键．7．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F 的度数为（）A．62°B．152°C．208°D．236°【考点】三角形内角和定理．【分析】首先求出∠F+∠B=∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，最后结合题干∠D=28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数．【解答】解：∵如图可知∠BED=∠F+∠B，∠CGE=∠C+∠A，又∵∠BED=∠D+∠EGD，∴∠F+∠B=∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD=180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，又∵∠D=28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F=180°+28°=208°，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解答本题的关键是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此题难度不大．8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β【考点】三角形的外角性质．【分析】根据β为角x和α的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．【解答】解：如图，∵α=∠1，∴β=x+∠1整理得：x=β﹣α．故选B．【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．9．如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据邻补角的定义求出∠AED，再根据全等三角形对应边相等可得AD=AE，然后利用等腰三角形的两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AEC=110°，∴∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣110°=70°，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∴∠DAE=180°﹣2×70°=180°﹣140°=40°．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．如图所示，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS中（）A．全部正确B．仅①和③正确C．仅①正确D．仅①和②正确【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】易证RT△APR≌RT△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠1，再根据AQ=PQ，可得∠1=∠2，即可求得QP∥AB，即可解题．【解答】解：如图，在RT△APR和RT△APS中，，∴RT△APR≌RT△APS（HL），∴∠AR=AS，①正确；∠BAP=∠1，∵AQ=PQ，∴∠1=∠2，∴∠BAP=∠2，∴QP∥AB，②正确，∵△BRP和△QSP中，只有一个条件PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△QSP，故③错误．故选：D．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定和性质求解．11．如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则（）A．∠1=∠EFD B．BE=EC C．BF=DF=CD D．FD∥BC【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据题中的条件可证明出△ADF≌△ABF，由全等三角形的性质可的∠ADF=∠ABF，再由条件证明出∠ABF=∠C，由角的传递性可得∠ADF=∠C，根据平行线的判定定理可证出FD∥BC．【解答】解：在△AFD和△AFB中，∵AF=AF，∠1=∠2，AD=AB，∴△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF．∵AB⊥BC，BE⊥AC，即：∠BAC+∠C=∠BAC+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠C，即：∠ADF=∠ABF=∠C，∴FD∥BC，故选D．【点评】本题主要考查全等三角形的性质，涉及到的知识点还有平行线的判定定理，关键在于运用全等三角形的性质证明出角与角之间的关系．12．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处【考点】角平分线的性质．【专题】作图题．【分析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．【解答】解：满足条件的点有一个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．故选A．【点评】此题考查学生对角平分线的性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握角平分线性质定理．二、填空题：13．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF= 75 度．【考点】三角形内角和定理．【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．【解答】解：∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠ACB=35°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．故答案为：75．【点评】本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键14．如图，若△ABC≌△ADE，且∠B=65°，则∠BAD= 50°．【考点】全等三角形的性质．【分析】由全等三角形的性质可知AB=AD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到答案．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵∠B=65°，∴∠BAD=180°﹣2×65°=50°，故答案为50°．【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质：对应角相等，仔细读图，利用图形上的关系做题时比较好的一种方法．15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是45°或135°．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义求较小的夹角，由邻补角定义即可求得较大夹角的度数．【解答】解：直角三角形的两个锐角的平分线所交成的锐角是×90°=45°，则直角三角形的两个锐角的平分线所交成的钝角是180°﹣45°=135°．故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，注意两条直线相交所成的角有两个不同度数的角．16．如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB ；（2）在△AEC中，AE边上的高是CD ；（3）在△FEC中，EC边上的高是EF ；= 3cm2，CE= 3cm ，BE= cm ．（4）若AB=CD=2cm，AE=3cm，则S△ACE【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据三角形高的定义和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；（2）在△AEC中，AE边上的高是CD；（3）在△FEC中，EC边上的高是EF；（4）∵CD⊥AE，=AE•CD=3×2=3cm2，∴S△ACE在△ABE与△CDE中，，∴△ABE≌△CDE，∴CE=AE=3，∴BE==，故答案为：AB，CD，EF，3cm2，3cm， cm．【点评】本题考查了三角形的中线，高，角平分线，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键．17．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD=2，则PQ的取值范围为PQ≥2 ．【考点】角平分线的性质．【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ=PD．【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，∴PQ=PD=2，即线段PQ的最小值是2．∴PQ的取值范围为PQ≥2，故答案为PQ≥2．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出PN与OB垂直时PN的值最小是解题的关键．18．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为64和42，则△EDF 的面积为 9 ．【考点】角平分线的性质．【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH ，再利用“HL”证明Rt △ADF 和Rt △ADH 全等，Rt △DEF 和Rt △DGH 全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．【解答】解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，∴DF=DH ，在Rt △ADF 和Rt △ADH 中，，∴Rt △ADF ≌Rt △ADH （HL ），∴S Rt △ADF =S Rt △ADH ，在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，， ∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ），∴S Rt △DEF =S Rt △DGH ，∵△ADG 和△AED 的面积分别为64和42，∴42+S Rt △DEF =64﹣S Rt △DGH ，∴S Rt △DEF =9．故答案为：9．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．19．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB 的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，分情况进行讨论是解决本题的关键．20．如图，已知AB=A1B，A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，…，以此类推，若∠B=20°，则∠A= ．【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n 的度数．【解答】解：∵在△ABA 1中，∠B=20°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A==80°，∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1==40°；同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴∠A n =．故答案为：．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．三、综合题：21．如图，∠AOB=30°，OA 表示草地边，OB 表示河边，点P 表示家且在∠AOB 内．某人要从家里出发先到草地边给马喂草，然后到河边喂水，最后回到家里．（1）请用尺规在图上画出此人行走的最短路线图（保留作图痕迹，不写作法和理由）．（2）若OP=30米，求此人行走的最短路线的长度．【考点】作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）利用轴对称最短路线求法得出P点关于OA，OB的对称点，进而得出行走路线；（2）利用等边三角形的判定方法以及其性质得出此人行走的最短路线长为P′P″进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：此人行走的最短路线为：PC→CD→DP；（2）连接OP′，OP″，由题意可得：OP′=OP″，∠P′OP″=60°，则△P′OP″是等边三角形，∵OP=30米，∴PC+CD+DP=P′P″=30（m），答；此人行走的最短路线的长度为30m．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最值问题，得出最短行走路径是解题关键．22．如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知）∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）．又∵AD平分∠BAC（己知），∴∠BAD=21°，∴∠ADE=∠ABC+∠BAD=59°（三角形的外角性质）．又∵AE是BC边上的高，即∠E=90°，∴∠DAE=90°﹣59°=31°．【点评】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．23．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=∠BCD，点E是线段BD上一点，且BE=AD．证明：△ADB≌△EBC．【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】利用平行线的性质得出∠ADB=∠CBE，进而利用等腰三角形的性质得出BD=BC，再利用SAS得出△ADB≌△EBC．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBE，∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（SAS）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．24．如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC．求证：AE=BE．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由AD平分∠CAB，DE∥AC可证得∠DAE=∠ADE，得到AE=DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB=∠EBD，得到ED=EB，从而可得出结论．【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=ED，∵BD⊥AD，∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，又∠ADE=∠DAB，∴∠EDB=∠ABD，∴DE=BE，∴AE=BE．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE=DE，BE=DE是解题的关键．25．如图，OC是∠AOB平分线，点P为OC上一点，若∠PDO+∠PEO=180°，试判断PD和PE大小关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】先过点P作PM⊥OA，PN⊥OE，证明△PMD≌△PNE，根据全等三角形的性质即可解决问题．【解答】解：PD=PE．理由：如图，过点P作PM⊥OA，PN⊥OE；∵OC平分∠AOB，∴PM=PN；∵∠OEP+∠ODP=180°，∠ODP+∠PDM=180°，∴∠OEP=∠PDM，在△PMD与△PNE中，，∴△PMD≌△PNE（AAS），∴PD=PE．【点评】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及其性质等知识点的应用，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．已知△ABC中，∠A=50°．（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= 115 °．（2）如图②，∠ABC 、∠ACB 的三等分线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C= °．（3）如图③，∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1（内部有n ﹣1个点），求∠BO n ﹣1C （用n 的代数式表示）．（4）如图③，已知∠ABC 、∠ACB 的n 等分线分别对应交于O 1、O 2…O n ﹣1，若∠BO n ﹣1C=60°，求n 的值．【考点】三角形内角和定理．【分析】（1）△ABC 中，已知∠A 即可得到∠ABC 与∠ACB 的和，而BO 、CO 是∠ABC ，∠ACB 的两条角平分线，即可求得∠OBC 与∠OCB 的度数，根据三角形的内角和定理即可求解；（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB ，再根据三等分线的定义求得∠O 2BC+∠O 2CB ，即可求出∠BO 2C ；（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB ，再根据n 等分线的定义求得∠O n ﹣1BC+∠O n ﹣1CB ，即可求出∠BO n ﹣1C ．（4）依据（3）的结论即可求出n 的值．【解答】解：（1）∵△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，BO 、CO 是∠ABC ，∠ACB 的两条角平分线．∴∠OBC=∠ABC ，∠OCB=∠ACB ，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB ）=65°，∴△OBC 中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB ）=115°．故答案为：115°；（2）∵点O 2是∠ABC 与∠ACB 的三等分线的交点，∴∠O 2BC+∠O 2CB=（∠ABC+∠ACB ）=×130°=（）°，∴∠BO 2C=180°﹣（）°=（）°．故答案为：； （3）∵点O n ﹣1是∠ABC 与∠ACB 的n 等分线的交点，∴∠O n ﹣1BC+∠O n ﹣1CB=（∠ABC+∠ACB ）=×130°，∴∠BO n ﹣1C=180°﹣×130°；（4）∵∠BO n ﹣1C=60°，∴180°﹣×130°=60°，解得n=13． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．27．已知△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 的中点．（1）如图，若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE=AF ．求证：△DEF 为等腰直角三角形；（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE=AF ，其他条件不变，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【考点】等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线．【分析】1）题要通过构建全等三角形来求解．连接AD ，可通过证△ADF 和△BDE 全等来求本题的结论．（2）与（1）题的思路和解法一样．【解答】解：（1）证明：连接AD∵AB=AC ，∠A=90°，D 为BC 中点∴AD==BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45°在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90°∴∠ADF+∠ADE=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF=DE，∠ADF=∠BDE∵∠ADF+∠FDB=90°∴∠BDE+∠FDB=90°即：∠EDF=90°∴△EDF为等腰直角三角形．【点评】本题综合考查了等腰三角形的性质及判定、全等三角形的判定和性质等知识，难度较大．28．（秋•自贡期末）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，BD与CE相交于O．（1）求证：BD=CE；（2）OA平分∠BOE吗？说明理由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，则易得∠BAD=∠CAE，根据“SAS”有△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质即可得到结论；（2）作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，由△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质有AF=AG，再根据角平分线的判定定理即可得到OA平分∠BOE．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；（2）OA平分∠BOE．理由如下：作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，如图，∵AF、AG恰好是两个全等三角形△BAD与△CAE对应边上的高，∴AF=AG，∴OA平分∠BOE．【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三条边相等，三个角相等，都为60°；也考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定方法．31 / 31。

2020-2021学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题《（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填入下面的表格中）
1．（3分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）如图各图中，正确画出AC边上的高的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）由下列长度组成的各组线段中，能组成三角形的是（）
A．1cm，3cm，3cm B．2cm，5cm，7cm
C．8cm，4cm，2cm D．14cm，7cm，7cm
4．（3分）如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）
A．∠M＝∠N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN
5．（3分）等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
6．（3分）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）
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八年级第一学期数学期中考试（二）一、单选题（本大题共6题，每题3分，共18分)1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣5x=0．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小题正确；②ax2+bx+c=0，a≠0时是一元二次方程，故本小题错误；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小题错误；④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小题错误．故选A．2．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A14B48C abD44a+【答案】A【解析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.那么，这个根式叫做最简二次根式.只有A符合定义.故答案选A3．实数24b b ac±-是方程的根（）A．20ax bx c++=B．20ax bx c-+= C．20ax bx c--=D．20ax bx c+-=【答案】B【解析】A方程20ax bx c++=的根为24b b acx-±-=，故A错误B 方程20ax bx c -+=的根为242b b ac x a ±-=，故B 正确C 方程20ax bx c --=的根为242b b ac x a +±=，故C 错误 D 方程20ax bx c +-=的根为24b b ac x +-±=，故D 错误 4．下列变形正确的是（ ）A ．(16)(25)1625--=-⨯-B ．111161642442=⨯=⨯=C ．2()a b +＝|a +b |D ．222524-＝25﹣24＝1 【答案】C【解析】A 、()()1625162516254520-⨯-=⨯=⨯=⨯=，故本选项不符合题意；B 、1656516==442，故本选项不符合题意； C 、2(a b)+=|a+b|，故本选项符合题意；D 、()()222524?2524252449-=+⨯-==7，故本选项不符合题意； 故选C ．5．已知k 1＜0＜k 2，则函数y=k 1x 和2k y x=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ． 【答案】D【解析】试题分析：：∵k 1＜0＜k 2，∴直线过二、四象限，并且经过原点；双曲线位于一、三象限．故选D ．6．定义：如果一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知20(a 0)++=≠ax bx c 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）．A ．a c =B ．a b =C ．a b =D ．a b c ==【答案】A【解析】 ∵一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根∴△=b 2−4ac=0，又a+b+c=0，即b=−a−c ，代入b 2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0，即(a+c)2−4ac=a 2+2ac+c 2−4ac=a 2−2ac+c 2=(a−c)2=0，∴a=c故选：A二、填空题(本大题共12题，每题3分，共36分)73的有理化因式是____________+3【解析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子3 +3+38．化简201920202)2)⨯的结果为_________．【答案】2．【解析】201920202)2)⨯=20192)2)]2)⋅2019(34)2)=-⋅=2．故答案为：2．9．在实数范围内因式分解2243=x x +- _____________.【答案】2x x ⎛++ ⎝⎭⎝⎭ 【解析】2x 2+4x-3=0的解是x 1，x 2，所以可分解为2x 2+4x-3=2（）（）．即: 2x 2+4x-3=22222x x ⎛⎫⎛+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为: 2x x ⎛+⎝⎭⎝⎭. 10．若一个等腰三角形的三边长均满足方程x 2-6x +8=0，则此三角形的周长为______．【答案】6或12或10【解析】解：∵2680x x -+=，∴()()240x x --=，解得：2x =或4x =，∵等腰三角形的底和腰是方程2680x x -+=的两根，∴当2是等腰三角形的腰时，2＋2＝4，不能组成三角形，舍去；当4是等腰三角形的腰时，2＋4＞4，则这个三角形的周长为2＋4＋4＝10． 当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2＋2＋2＝6．当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4＋4＋4＝12．∴这个三角形的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．11．计算: =_________.2【解析】因为2<22==212．已知a ，b ，c 为三角形三边，则++．【答案】a b c ++【解析】由三角形的三边关系定理得：,,a b c a c b b c a +>+>+>0,0,0a b c b a c b c a ∴+->--<+->++a b c a c b b c a =+-++-++-a b c =++故答案为：a b c ++．13．方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程，则m=_____． 【答案】-2【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得22022m m -≠⎧⎨-=⎩，可求得m=-2. 故答案为：-214．对于圆的周长公式c=2πr ，其中自变量是______，因变量是______．【答案】r c【解析】试题解析：∵圆的周长随着圆的半径的变化而变化，∴对于圆的周长公式2πC r =，其中自变量是r ，因变量是C .故答案为,.r C15．如图，点M 是反比例函数k y x=（0k >）的图像上一点，MP x ⊥轴，垂足为点P ，如果MOP △的面积为7，那么k 的值是___________．【答案】14【解析】∵M 是反比例函数k y x =（0k >）的图像上一点 设M 横坐标x a =∴,k M a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵MP x ⊥轴，垂足为点P∴P 点横坐标等于M 点横坐标∴(),0P a∴=a OP ，k MP a= 又∵MP x ⊥轴，垂足为点P∴=90MPO ∠∴MOP △为直角三角形∴11222k k S OP MP a a =⨯=⨯=△MOP ∵7S =△MOP∴=72k ∴14k =故答案为：14．16．若关于x 的一元二次方程2124102x mx m --+=有两个相等的实数根，则2(2)2(1)m m m ---的值为__．【答案】72【解析】由题意可知：△＝4m 2−2（1−4m ）＝4m 2＋8m−2＝0，∴m2＋2m＝12，∴（m−2）2−2m（m−1）＝−m2−2m＋4＝−12＋4=72，故答案为7 2 .17．若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线12yx=上，点B在直线3y x上，设点A的坐标为（a,b）,则a bb a+=________________．【答案】16【解析】试题解析：∵点A的坐标为（a，b），A、B两点关于y轴对称，∴B（-a，b），∵点A在双曲线y=-12x上，点B在直线y=x+3上，∴a b=-12，-a+3=b，即ab=-12，a+b=3，∴原式=2()2a b abab+-=16.18．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为_____．【答案】（10+x）（500﹣10x）＝8000【解析】设水果单价涨了x元，则每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克；由题意可列方程（10+x）（500﹣10x）=8000．故答案为：（10+x）（500﹣10x）=8000．三、解答题(本大题共7题，19-22每题5分，23-24每题8分，25题10分，共46分)．19．计算：（1181224÷3（2）（13（3）+（3）2．【答案】（1）2；（2）3．【解析】解：（1）原式＝＝﹣＝；（2）原式＝1﹣＝．20．解方程：（1）2230x x --=（2）23(1)24x -=（3）23250x x +-=【答案】（1）13x =,21x =-；（2）1211x x ==-，；（3）153x =-,21x = 【解析】解：（1）2230x x --=， (3)(1)0x x -+=，∴13x =,21x =-．（2）()23124x -=， 2(1)8x -=，1x -=±∴1211x x ==-，．（3）23250x x +-=，(35)(1)0x x +-=， ∴153x =-,21x =． 21．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【答案】(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m 为非负整数，0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：112x =-，212x =+，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m 的值是1.22．如图，平面直角坐标系xOy 中，点(),1A a 在双曲线3y x=上，函数y kx b =+的图象经过点A ，与y 轴上交点()0,2B -．（1）求直线AB 的解析式；（2）设直线AB 交x 轴于点C ，求三角形OAC 的面积．【答案】（1）2y x =-；（2）1．【解析】（1）将(),1A a 代入3y x =得31a=，解得3a = ()3,1A ∴将()3,1A ，()0,2B -代入y kx b =+得312k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得12k b =⎧⎨=-⎩故直线AB 的解析式为2y x =-；（2）如图，过点A 作AH OC ⊥由点A 的坐标得：1AH =对于2y x =-当0y =时，20x -=，解得2x =()2,0C ∴ 2OC ∴= 则1121122OAC S OC AH =⋅=⨯⨯=．23．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一式子的平方，如243(13)+=+,然后小明以进行了以下探索： 设23(3)a m +=+（其中a ，b ，m ，n 均为整数），则有223323a b m n mn +=++,所以223a m n =+，2b mn =，这样小明找到了一种类似3a b +请仿照小明的方法探索解决下列问题：（1）当a ，b ，m ，n 均为整数时，若25(5)a b m n ++,则a=_____,b=_______; （2）请找一组正整数，填空：5（____+______）2； （3）若245(5)a m +=+，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．【答案】（1）225m n +，2mn ；（2）5（答案不唯一）；（3）9或21.【解析】解：（1）∵(255a m +=+ = 2m 5mn + 25n , ∴a=225m n +，b=2mn .（2）令m=2，n=1，则a=22+5×12=9，b=2×2×1=4，∴（）2；故答案为；（3）由题意，得22542a m nmn ⎧=+⎨=⎩∵42mn=，且m，n为正整数∴m=2，n=1或m=1，n=2∴222519a=+⨯=或2215221a=+⨯=.24．某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克．()1若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？()2在利润不变的情况下，为了让利于顾客，单价应定为多少？【答案】（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．()2因为让利于顾客，所以定价定为8元．【解析】解：（1）若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，设单价应为x元，由题意得：（x-5）[160-20（x-7）]=420，化简得，x2-20x+96=0，解得x1=8，x2=12．答：若该水果店每天销售这种水果所得利润是420元，则单价应为8元或12元．（2）因为让利于顾客，所以定价定为8元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.25．如图，正方形OAPB、ADFE的顶点A、D．B在坐标轴上，点B在AP上，点P、F在函数kyx＝上,已知正方形OAPB的面积是9.(1)求k 的值和直线OP 的解析式;(2)求正方形ADFE 的边长(3)函数k y x ＝在第三象限的图像上是否存在一点Q ，使得△ABQ 的面积为10.5？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）9y x ＝；直线OP 的解析式为y=x ；（2）正方形ADFE 的边长为得3352-+；（3）不存在.【解析】分析： （1）利用正方形的性质得到P 点坐标为（3，3），再把P 点坐标代入k y x ＝即可得到k 的值；然后利用待定系数法求直线OP 的解析式；（2）设正方形ADFE 的边长为a ，利用正方形的性质易表示F 点的坐标为（a+3，a ），然后把F （a+3，a ）代入9y x ＝，再解关于a 的一元二次方程即可得到正方形ADFE 的边长；（3）如图，连接QA ，QB ，QO ，AB ，设Q （x ，y ）(x ＜0），利用S △ABQ =S △AOQ + S △BOQ + S △ABO =10.5列出关于x 的方程求解即可.解：（1）∵正方形OAPB 的面积为9，∴PA=PB=3，∴P 点坐标为（3，3），把P （3，3）代入k y x ＝得，k=3×3=9， 即9y x＝；设直线OP 的解析式为y=k 1x ，把P （3，3）代入y=k 1x 得，k 1=1，∴直线OP 的解析式为y=x ；（2）设正方形ADFE 的边长为a ，则F 点的坐标为（a+3，a ），把F（a+3，a）代入9yx＝得，a（a+3）=9，解得a1=3352-+，a2=3352--，∴正方形ADFE的边长为得335 -+；（3）∵P（3，3）且四边形AOBP是正方形，∴AO=BO=3，设Q（x，9x）（x＜0），连接QO，QB，QA，AB，如图所示，假定△ABQ的面积为10.5，则有，S△BOQ+S△AOQ+S△AOB=10.5即，11913||3||3310.5 222xx⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∵x＜0∴方程整理得，2490x x++=∵△=2244419200b ac-=-⨯⨯=-＜∴此方程无实数解，故函数9yx＝在第三象限的图像上不存在一点Q，使得△ABQ的面积为10.5。

2021-2022学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在平面直角坐标系中，点(5,2)关于x轴对称的点的坐标为( )A. (5,−2)B. (−5,2)C. (2,5)D. (2,−5)2.如图所示冬奥会图标中，是轴对称图形的是( )A. B.C. D.3.如所示图形中具有稳定性的是( )A. B. C. D.4.如图所示四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是( )A. B.C. D.5.下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是( )A. 3cm，4cm，8cmB. 8cm，7cm，15cmC. 5cm，5cm，11cmD. 13cm，12cm，20cm6.下列说法错误的是( )A. 三边分别相等的两个三角形全等B. 三角分别相等的两个三角形全等C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等D. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等7.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS8.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是( )A. BD=DCB. BE⊥ACC. FA=FBD. 点F到三角形三边的距离都相等9.若一个多边形的每一个内角均为120°，则下列说法错误的是( )A. 这个多边形的内角和为720°B. 这个多边形的边数为6C. 这个多边形一定是正多边形D. 这个多边形的外角和为360°10.在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°.将纸片的一角对折，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，则∠2的度数为( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如图中的x的值为______．12.图中与标号“1”的三角形成轴对称的三角形的个数为______．13.如图，以正方形ABCD的中心O为原点建立平面直角坐标系，若点A的坐标为(−2,−2)，则点C的坐标是______．14.如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段______．15.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD=3，BE=1，则DE的长是___________．16.如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是______．三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。