高中数学人教B版必修5 3.2 素材 《3.2均值不等式》基本不等式的几何意义(人教B)

[再练一题] 1.设 a>0，b>0，试比较a＋2 b， ab，
a2＋2 b2，1a＋2 1b的大小，并说明理由. 【导学号：18082044】
【解】
∵a>0，b>0，∴1a＋1b≥
2， ab
即 ab≥1a＋2 1b(当且仅当 a＝b 时取等号)，
又a＋2 b2＝a2＋24ab＋b2 ≤a2＋b2＋4 a2＋b2＝a2＋2 b2，
(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件.
【自主解答】 (1)∵a，b，c 互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac). 即 a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即 p>q.
(2)只有当 x>0 时，才能由均值不等式得到 x＋1x≥2 x·1x＝2，故①错误；当 a>0，b>0 时，lg a∈R，lg b∈R，不一定有 lg a>0，lg b>0，故 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b
2.均值不等式 ab≤a＋2 b (1)均值不等式成立的条件：_a_>_0_，__b_>_0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b__时取等号. 3.算术平均数与几何平均数 (1)设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平均数为__a_b_； (2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不__小__于__它们的几何平均数.
阶
阶
段
段
一
三
3.2 均值不等式
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解均值不等式的证明过程. 2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点) 3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)

2019/9/14
最新中小学教学课件
10
谢谢欣赏！
2019/9/14
最新中小学教学课件
11
4
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
1
2
6
变式1、求函数 f (x)
相x应的
x4x值2 2。(x

0)的最大值以及
解：
x2
1
1
f (x)
x4
2

x2
2 x2

2
2
2 4
x 4 2, f (x)max
2 4
变式2、求函数 f (x) x2 x 4 (x 1)
的最大值以
x x1
及相应的 值。
求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x

2,
y

4,
xy

32，求
log2
x 2
log2
y 4
的最大值，以及相应的 x, y值。

均值不等式的几何意义
均值不等式是一种描述数列平均值参差不齐程度的数学工具，它具有重要的几何意义。

在二维平面上，均值不等式可以表示为：对于任意两个实数a、b，它们的算数平均数和几何平均数之间的关系为a+b/2≥√ab。

其中，a+b/2表示a和b的算数平均数，√ab表示a和b的几何平均数。

这个不等式的几何意义就是：对于一个二维平面上的点集，它们的算数平均值代表了点集的中心位置，而几何平均值则反应了点集的紧密程度。

因此，均值不等式可以解释为：一个点集的中心位置越靠近原点，点集的紧密程度就越大，反之亦然。

在高维空间中，均值不等式的几何意义同样能够解释为多维点集的中心位置和紧密程度之间的关系。

这使得均值不等式成为了研究多维数据分析和信息检索等领域的重要工具。

总之，均值不等式具有重要的几何意义，它可以帮助我们更好地理解多维数据或点集的中心位置和紧密程度之间的关系，为我们在科学研究领域中探索新的问题提供了有力的支持。

解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b