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离散数学期末考试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个选项不是集合的基本运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 幂集2. 命题逻辑中，下列哪个命题不是合取命题？A. (p ∧ q)B. (p ∨ q)C. (p → q)D. (p ↔ q)3. 关系R在集合A上是自反的，这意味着：A. 对于所有a∈A，(a, a)∈RB. R是对称的C. R是传递的D. R是反对称的4. 在图论中，下列哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 矩阵5. 布尔代数中，下列哪个操作不是基本操作？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 模（MOD）6. 函数f: A → B，下列哪个条件不是函数的一一对应的必要条件？A. 对于A中不同的元素，它们的函数值不同B. 对于B中的每个元素，A中至少有一个元素映射到它C. 对于A中的每个元素，B中只有一个元素映射到它D. A和B的元素数量相同7. 在组合数学中，下列哪个是排列的定义？A. 从n个不同元素中取出r个元素的所有可能组合B. 从n个不同元素中取出r个元素的所有可能排列C. 从n个元素中取出r个元素的所有可能组合，不考虑顺序D. 从n个元素中取出r个元素的所有可能排列，考虑顺序8. 逻辑等价是指两个命题：A. 总是同时为真或同时为假B. 在所有可能的真值分配下都具有相同的真值C. 只有在某些真值分配下具有相同的真值D. 至少在一个真值分配下具有相同的真值9. 递归函数的特点是：A. 只能通过迭代来实现B. 必须有一个或多个基本情况C. 只能通过递归调用自身来实现D. 不能包含任何循环结构10. 在证明中，归纳法的基本步骤是：A. 基础步骤和归纳步骤B. 假设步骤和证明步骤C. 假设步骤和归纳步骤D. 基础步骤和假设步骤二、填空题（每空2分，共20分）11. 集合{1, 2, 3}的幂集包含元素个数为______。
离散数学试题（A 卷答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q 乙：⌝Q ∧P 丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R ) ⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R ) ⇔⌝P ∧Q ∧⌝R ⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ）))()((x Mortal x M x →?（D ）))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集）（D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ）乘法（B ）减法（C ）加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则N b a ∈?,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（）（A ）无回路的连通图（B ）有n 个结点n-1条边的连通图（C ）每对结点间都有通路的图（D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）（A ）P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,（）不是群。
--北京工商大学离散数学试卷(A)答案及评分标准题号 一 二三 四 五 六 七总分得分一、（30分）设A ={1,2,3,4}，给定A 上二元关系R 如下：R ={<1,1>, <1,2>, <2,3>, <3,3>, <4,4>}请回答以下各问题：1.写出R 的关系矩阵. （3分）2.画出R 的关系图. （3分）3.求包含R 的最小的等价关系，并写出由其确定的划分. （6分）4.分别用关系矩阵表示出R 的自反闭包r (R )、对称闭包s (R ). （6分）5.求传递闭包t (R ).（写出计算步骤）（6分）6.求R 2的关系矩阵. （3分）7.集合A 上最多可以确定多少个不同的二元关系？说明理由。
（3分）[解] (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010001000011R M 。
……（3分）（2） ……（3分）(3)法一：直接由等价关系与划分之间的一一对应可知，包含R 的最小等价关系为: {<1, 2>, <1, 3>, <2, 1>,<2, 3>, <3, 1> <3, 2>}∪I A , ……（3分） 对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法二：包含R 的最小的等价关系就是tsr (R ), 计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=100001000110001110000100001000011000010001000011)(E M M R R r,100001100111001110000110001100011000010001100011][)()()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=T R r R r R sr M M M ,3,10001110111011110000110011100111000011001110011)]([)()()]([2≥=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=k M M M M k R sr R sr R sr R sr 从而,10000111011101111000011101110111100001110111011110000111011101111000011001110011432)]([)]([)]([)()(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=R sr R sr R sr R sr R tsr M M M M M即}2,3,1,3,3,2,1,2,3,1,2,1{)(><><><><><><⋃=A I R tsr =包含R 的最小的等价关系， ……（3分） 故其对应的划分为{{1, 2, 3},{4}}. ……（6分） 法三：由于4=A ，包含R 的最小的等价关系就是4131211)()()()()()(----⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃⋃==R R R R R R R R I R rts R tsr A ,计算过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃100001100101001110000110000100011000010001000011][1TR R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=-⋃10000111011101111000011001010011)][(22)(21T R R R R M M M412131)()(33)(10000111011101111000011001010011)][(---⋃⋃⋃==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=R R R R T R R R R M M M M M 考试纪律承诺本人自愿遵守学校考试纪律，保证以诚信认真的态度作答试卷。
《离散数学》试卷（A 卷）一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分）1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕⋃)(为(C )。
A 、{1,2}B 、{2,3}C 、{1,4,5}D 、{1,2,3}2、下列语句中哪个是真命题 ( A )A 、如果1+2=3，则4+5=9；B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。
C 、如果1+2=3，则4+5≠9；D 、1+2=3仅当4+5≠9。
3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。
A 、)*(y y x y x =∀∀B 、)4*(=∃∀y x y xC 、)*(x y x x =∃D 、)2*(=∃∃y x y x4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。
A 、自反性B 、反自反性C 、对称性D 、传递性5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。
A 、单射函数B 、满射函数C 、既不单射也不满射D 、双射函数二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分）1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ⋃B)|=128，则|A ⋂B|=ˍˍ2ˍˍˍ.2、公式)(Q P Q ⌝∨∧的主合取式为 。
3、对于公式))()((x Q x P x ∨∃，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为ˍˍˍ1ˍˍˍ。
4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有ˍˍˍ15ˍˍˍˍ个等价关系。
5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。
三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分）1、“这个语句是真的”是真命题。
（ F ）2、“刚和小强是同桌。
”是复合命题。
（ F ）3、))(()(r q q p p ∧⌝∧→⌝∨是矛盾式。
（ T ）4、)(T S R T R S R ⋂⋅⊆⋅⋃⋅。
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：A BC* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。
10．下图所示的偏序集中，是格的为 。
二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。
4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
离散数学考试试题(A 卷及答案）一、证明题（10分） 1) (P ∧Q ∧AC )∧(A P ∨Q ∨C ) (A ∧(P Q ))C 。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p ）证明: (P ∧Q ∧A C )∧(A P ∨Q ∨C ) (P ∨Q ∨A ∨C )∧(A ∨P ∨Q ∨C )((P ∨Q ∨A )∧(A ∨P ∨Q ))∨C 反用分配律 ((P ∧Q ∧A )∨(A ∧P ∧Q ))∨C( A ∧((P ∧Q )∨(P ∧Q )))∨C 再反用分配律( A ∧(PQ ))∨C(A ∧(P Q ))C 2) (PQ)PQ 。
证明：(P Q)((P ∧Q))(P ∨Q))PQ 。
二、分别用真值表法和公式法求(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由 析取范式经等值演算法算得。
证明：公式法：因为(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))(P ∨Q ∨R )∧(P ∨(Q ∧R )∨(Q ∧R ))(P ∨Q ∨R )∧(((P ∨Q )∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )∧(P ∨R ∨Q )∧(P ∨R ∨R )(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨R )4M ∧5M ∧6M 使（非P 析取Q 析取R ）为0所赋真值，即100，二进制为4 0m ∨1m ∨2m ∨3m ∨7m所以，公式(P (Q ∨R ))∧(P ∨(Q R ))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q RQRP(Q∨R)P∨(Q R)(P(Q∨R))∧(P∨(Q R ))0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 1111111111111111111111为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
离散数学考试试题(A 卷及答案)一、 (10 分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)？1)((P Q)∧Q)一 ((Q∨R)∧Q) 2)((Q P)∨P)∧ (P∨R)3)((P∨Q)R)((P∧Q)∨R)解： 1)永真式； 2) 永假式； 3)可满足式。
二、 (8 分) 个体域为{1， 2}，求x3y (x+y=4)的真值。
解：x3y (x+y=4) 一 x ((x+1=4)∨(x+2=4))一((1+1=4)∨(1+2=4))∧((2+1=4)∨(2+1=4))一(0∨0)∧(0∨1)一1∧1一0三、 (8 分) 已知集合 A 和 B 且|A|=n， |B|=m，求 A 到 B 的二元关系数是多少？ A 到 B 的函数数是多少？解：因为|P(A×B) |=2|A×B|=2|A| |B|=2mn，所以 A 到 B 的二元关系有 2mn 个。
因为|BA|= |B| |A|=mn，所以 A 到 B 的函数 mn 个。
四、 (10 分) 已知 A={1,2,3,4,5}和 R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求 r(R) 、s(R)和 t(R)。
解： r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、 (10 分) 75 个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20 人这三种东西都乘过，其中 55 人至少乘坐过其中的两种。
离散数学（A）卷讲解⼀、单项选择题(本⼤题共15⼩题，每⼩题1分，共15分)在每⼩题列出的四个选项中只有⼀个选项是符合题⽬要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.⼀个连通的⽆向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有⼀条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平⾯图，G中有11个顶点5个⾯，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，?是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},?>是群，下列是G的⼦群是( )A.<{1},?>B.〈{-1},?〉C.〈{i},?〉D.〈{-i},?〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z，〉，Z是整数集，定义为∈ZD.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A={1,2,3}，A上⼆元关系R的关系图如下：R具有的性质是D.反⾃反性8.设A={a,b,c}，A上⼆元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪IAB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩IA9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式⼦正确的是( )A. ∈∈11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):xA.( x)( y)( z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( x)A(f(a,x),a)C.( x)( y)（A(f(x,y),x))D.( x)( y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式( x)(A(x)→B)等价于( )A.( x)A(x)→BB.( x)A(x)→BC.A(x)→BD.( x)A(x)→( x)B13.谓词公式( x)(P(x,y))→( z)Q(x,z)∧( y)R(x,y)中变元x( )A.是⾃由变元但不是约束变元B.既不是⾃由变元⼜不是约束变元C.既是⾃由变元⼜是约束变元D.是约束变元但不是⾃由变元14.若P：他聪明；Q：他⽤功；则“他虽聪明，但不⽤功”，可符号化为( )D.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)⼆、填空题(每空1分，共20分)16.在⼀棵根树中，仅有⼀个结点的⼊度为______，称为树根，其余结点的⼊度均为______。
离散数学期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于（）。
A. {1,2}B. {2,3}C. {3,4}D. {4,5}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤1，则x≤0B. 若x≤1，则x<0C. 若x≤0，则x≤1D. 若x<1，则x≤0答案：D3. 在图论中，一个连通图的最小生成树包含的边数是（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：A4. 布尔代数中，A+0的结果是（）。
A. 0B. AC. 1D. A+1答案：B5. 函数f: X→Y是双射的，当且仅当（）。
A. f是单射且满射B. f是单射或满射C. f是单射且非满射D. f是非单射且满射答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 若A={1,2,3}，B={4,5,6}，则A∪B的元素个数为 6 。
7. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是“若 x>1 ，则x>0”。
8. 在一个有n个顶点的完全图中，边的总数为 n(n-1)/2 。
9. 布尔代数中，A·1的结果是 A 。
10. 函数f: X→Y是单射的，当且仅当对于任意的x1, x2∈X，若f(x1)=f(x2)，则 x1=x2 。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 证明：若A和B是等价关系，则A∩B=A=B。
证明：由于A和B是等价关系，根据等价关系的性质，A和B都是自反的、对称的和传递的。
因此，A∩B也是自反的、对称的和传递的，所以A∩B是等价关系。
又因为A和B是等价关系，它们包含相同的元素，所以A∩B=A=B。
12. 给定一个有向图G，其中包含5个顶点和7条边，请构造一个包含所有顶点的最小路径覆盖。
解答：由于题目没有给出具体的图G，我们无法给出一个具体的最小路径覆盖。
但是，根据最小路径覆盖的定义，我们需要找到一组边，使得图中的每个顶点至少与这组边中的一条边相关联，且这组边的数量尽可能少。
离散数学期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=（）。
A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案：B2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤0，则x≤1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤1，则x≤0答案：B3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A5. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A6. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C7. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B，则（）。
A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案：A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等？（）。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案：A9. 命题p:“x>0”，则￢p为（）。
A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案：A10. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是（）。
A. 若x>0，则x>1B. 若x≤1，则x≤0C. 若x>1，则x>0D. 若x≤0，则x≤1答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______。
答案：{1,2,3,4}2. 命题“若x>0，则x>1”的逆否命题是：若x≤1，则x≤0。
安徽大学2006-2007学年第1学期《离散数学》期末考试试卷（A 卷）（时间120分钟）开课院（系、部） 姓名 学号 .一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（ ）A 、42=+x ；B 、我们要努力学习；C 、如果ab 为奇数，那么a 是奇数，或b 是偶数；D 、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。
2．下列命题公式中，永真式的是（ ）A 、P Q P →→)(；B 、P P Q ∧→⌝)(；C 、Q P P ↔⌝∧)(；D 、)(Q P P ∨→。
3．在谓词逻辑中，令)(x F 表示x 是火车；)(y G 表示y 是汽车；),(y x L 表示x 比y 快。
命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的？（ ） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧∀⌝∀ II.)),()()((y x L y G x F y x ⌝∧∧∃∃III. )),()()((y x L y G x F y x ⌝→∧∃∃A 、仅I ；B 、仅III ；C 、I 和II ；D 、都不对。
4．下列结论正确的是：（ ）A 、若C AB A =，则C B =； B 、若B A B A ⊆，则B A =；C 、若C A B A =，则C B =；D 、若B A ⊂且D C ⊂，则D B C A ⊂。
5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ⊆； C 、24A A ⊆； D 、34A A ∈。
6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系，},,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。
下列哪些命题为真？（ ） I.R R ⋅是对称的 II. R R ⋅是自反的 III. R R ⋅不是传递的A 、仅I ；B 、仅II ；C 、I 和II ；D 、全真。
考试时间：90分钟满分：100分一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于集合的描述，正确的是（）A. 集合是具有相同性质的一组对象的集合B. 集合是具有不同性质的一组对象的集合C. 集合是具有相同性质的一组数字的集合D. 集合是具有不同性质的一组数字的集合2. 下列关于关系的描述，正确的是（）A. 关系是集合中元素之间的对应关系B. 关系是集合中元素之间的相等关系C. 关系是集合中元素之间的包含关系D. 关系是集合中元素之间的顺序关系3. 下列关于函数的描述，正确的是（）A. 函数是集合中元素之间的对应关系B. 函数是集合中元素之间的相等关系C. 函数是集合中元素之间的包含关系D. 函数是集合中元素之间的顺序关系4. 下列关于图的描述，正确的是（）A. 图是由顶点和边组成的数学结构B. 图是由顶点和边组成的几何结构C. 图是由顶点和边组成的物理结构D. 图是由顶点和边组成的化学结构5. 下列关于图的类型的描述，正确的是（）A. 无向图是顶点之间没有方向的图B. 有向图是顶点之间有方向的图C. 无向图是顶点之间有方向的图D. 有向图是顶点之间没有方向的图6. 下列关于图的性质的描述，正确的是（）A. 图的顶点数等于边的数量B. 图的边数等于顶点的数量C. 图的顶点数可能大于边的数量D. 图的边数可能大于顶点的数量7. 下列关于图的路径的描述，正确的是（）A. 路径是图中顶点之间的连续序列B. 路径是图中边之间的连续序列C. 路径是图中顶点和边之间的连续序列D. 路径是图中顶点和边之间的任意序列8. 下列关于图的连通性的描述，正确的是（）A. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都有路径B. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都没有路径C. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都有至少一条边D. 图是连通的，当且仅当任意两个顶点之间都没有至少一条边9. 下列关于图的树的描述，正确的是（）A. 树是连通且无环的图B. 树是连通且有环的图C. 树是连通且可能有环的图D. 树是连通且可能有环的图10. 下列关于图的颜色的描述，正确的是（）A. 图的颜色是顶点之间的颜色关系B. 图的颜色是边之间的颜色关系C. 图的颜色是顶点和边之间的颜色关系D. 图的颜色是顶点和边之间的任意颜色关系二、填空题（每题2分，共20分）11. 集合是______的一组对象的集合。
《离散数学A》试题及答案西南科技大学2010-2011-2学期《离散数学A》本科期末考试试卷（B卷）参考答案及评分细则一、判断题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）将每小题的判断结果写在答题纸上，正确的写“正确”，错误的写“错误”。
1. “3+3=6”,不是命题。
（错误）2. 命题公式（P Q Q）是偶然式。
（正确）3. 若B中不含有x，则x（A(x)B）xA(x)B。
（错误）4. 如果论述域是{a，b}，则xR(x) R(a)R(b)。
（错误）5. 若集合A的基数|A|=5，则A的幂集的基数|(A)|=32。
（正确）6. 设A是一个集合，则A A=。
（错误）7. 设R是非空集合A上的二元关系，则R的传递闭包t(R)=R R0。
（错误）8. 所有欧拉图的顶点次（度）数一定是偶数。
（正确）9. 无向图G是二部图当且仅当G中所有回路的长度均为偶数。
（正确）10. K5、K3,3都是非平面图。
（正确）二、简单计算题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）将每小题的计算结果写在答题纸上。
1. 设P：我有时间；Q：我去镇上，用逻辑符合写出命题“只有我有时间，我才去镇上。
”。
答案：Q P2. 对命题公式：P（Q R）P Q化为仅含和的等价表达式。
答案：（P Q）3. 设S(x)：x是火车，L(x)：x是卡车，F(x,y)：x比y快。
在谓词逻辑中符号化命题“所有火车都比所有卡车快”。
答案：?x(S(x)→?y(L(y) ∧F（x , y）)4. 求谓词公式xP(x)xQ(x)的前束范式。
答案：x y(P(x)Q(x))5. 在一个班级50个学生中，有26人在第一次考试中得到A，21人在第二次考试中得到A，假如17人两次考试都没有得到A，问有多少学生在两次考试中都得到A？答案：14人。
6. 假设A是n个元素的有限集合，有多少个元素在A上的最小等价关系中？答案：n个。
7. 二元关系的关系图如下图所示，则R具有哪些特性（性质）？答案：R是反自反的、对称的。
