广东省深圳市第二高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析
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广东省深圳市第二高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一般来说，一个班级的学生学号是从1 开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（ ）
A. 39人 B. 49人 C. 59人 D. 超过59人
参考答案：
A
【分析】
根据随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，得到每十个个体被抽到的机会也是均等的，结合题中数据，即可估计出结果.
【详解】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，
所以，，，，….，每组抽取的人数，理论上应均等；
又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使，，，四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右；
故选A
【点睛】本题主要考查简单随机抽样，熟记随机抽样的特征即可，属于基础题型.
2. （ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 3
参考答案：
A
分析：直接利用排列组合的公式计算.
详解：由题得.故答案为：A.
点睛：（1）本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 排列数公式 ：== (，∈，且)．组合数公式：===(∈，，且)
3. 某程序框图如图所示，若输出的S=120，则判断框内应填入（ ）
A．k＞4？ B．k＞5？ C．k＞6？ D．k＞7？
参考答案：
B
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：当k=1，s=1进入循环，
第一次循环后，k=2．s=4≠120，
第二次循环后，k=3．s=11≠120，
第三次循环后，k=4．s=26≠120，
第四次循环后，k=5．s=57≠120，
第五次循环后，k=6．s=120，满足条件，
应跳出循环，故判断框内应填写“k＞5？”．
故选：B．
4. 已知两个实数，满足，命题;命题。则下面命题正确的是（ ）
A.真假 B.假真 C. 真真 D. 假假
参考答案：
B
构造函数，求导画图分析得到必须均小于0而且一个比-1大一个比-1小，所以答案选B
5. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c，若asinA+bsinB=2sinC,则cosC的最小值为 Word文档下载后（可任意编辑）
A. B. C. D. -
参考答案：
C
由 可得，，故选C．
6. 某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，若生产7吨产品，预计相应的生产能耗为（ ）吨．
A．5.25 B．5.15 C．5.5 D．9.5
参考答案：
A
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】由表中数据，计算、，利用线性回归方程过样本中心点（，）求出a的值，写出线性回归方程，计算x=7时的值即可．
【解答】解：由表中数据，计算得
=×（3+4+5+6）=4.5， =×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
且线性回归方程=0.7x+a过样本中心点（，），
即3.5=0.7×4.5+a，
解得a=0.35，
∴x、y的线性回归方程是=0.7x+0.35，
当x=7时，估计生产7吨产品的生产能耗为
=0.7×7+0.35=5.25（吨）．
故选：A．
【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题目． 7. 要得到函数的图像，只需将函数的图象上（ ）
A．各点向左平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的。
B．各点向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的。
C．各点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所得函数图象上各点向右平移个单位。
D．各点的横坐标缩短为原来的，再把所得函数图象上各点向左平移个单位。 参考答案： D 略 8.
已知函数在一个周期内的图像如图所示，其中P，Q分别是这段图像的最高点和最低点，M，N是图像与x轴的交点，且，则A的值为（ ） A．2 B．1 C. D．
参考答案：
C
9. 设函数f（x）=sin（2）+cos（2），且其图象关于直线x=0对称，则
A．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数 Word文档下载后（可任意编辑）
B．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数
C．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数
D．y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数
参考答案：
【知识点】三角函数的图像与性质 C3
C由题意已知函数为，因为其图象关于直线x=0对称，所以，又因为，所以，即函数为，所以的最小正周期为，且在上为减函数，故选择C.
【思路点拨】根据其图象关于直线x=0对称以及的范围，可得，即可求得.
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，a2=b2+1，则acosB=（ ）
A． B． C． D．5
参考答案：
B
【考点】余弦定理．
【分析】根据题意，利用余弦定理表示出cosB，即可求出运算结果．
【解答】解：△ABC中，c=2，a2=b2+1，
则acosB=a?
=
= =．
故选：B．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若，则a1的值为_____________。
参考答案：
1
【分析】
根据等比数列的性质求出a3，再根据S3＝a2+4a1，求得公比，根据通项公式即可求出a1的值
【详解】由已知，S3＝，则，所以.
又，所以，.
故答案为1.
【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
12. 双曲线的离心率为
.
参考答案：
【知识点】双曲线的几何性质
解析：因为双曲线，所以，
所以离心率，故答案为。
【思路点拨】根据双曲线的标准方程，可得a，b，c，从而可求双曲线的离心率．
13. ①函数y= sin在[0，]上是减函数；
②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x－y=0的两侧；
③数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值； Word文档下载后（可任意编辑）
④定义运算，则函数f（x）=
的图象在点（1，）处的切线方程是6x－3y－5=0．
其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．
参考答案：
略
14. 若实数满足,且,则的取值范围是________.
参考答案：
画出条件,且的可行域,由可行域知的取值范围是。
15. 已知的取值如下表：
从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为 ．
参考答案：
16. 的展开式中的常数项是___________
参考答案：
220
略
17. 如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且，,若与圆相切,则线段的长为 ．
参考答案：
设，则，由得。又
得
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 近年来，手机已经成为人们日常生活中不可缺少的产品，手机的功能也日趋完善，已延伸到了各个领域，如拍照，聊天，阅读，缴费，购物，理财，娱乐，办公等等，手机的价格差距也很大，为分析人们购买手机的消费情况，现对某小区随机抽取了200人进行手机价格的调查，统计如下：
年龄 价格 5000元及以上 3000元﹣4999元 1000元﹣2999元 1000元以下
45岁及以下 12 28 66 4
45岁以上 3 17 46 24
（Ⅰ）完成关于人们使用手机的价格和年龄的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关？
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从样本手机价格在5000元及以上的人群中选择5人调查他的收入状况，再从这5人中选3人，求3人的年龄都在45岁及以下的概率．
附K2=
P（K2≥k） 0.05 0.025 0.010 0.001
k 3.841 5.024 6.635 10.828
参考答案：
【考点】独立性检验．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）由题中数据可得2×2列联表，计算K2，从而与临界值比较，即可得到结论； Word文档下载后（可任意编辑）
（Ⅱ）样本手机价格在5000元及以上的人共15人，用分层抽样的方法选择5人，45岁及以下的抽取4人，45岁以上的抽取1人，从这5人中选3人，有=10种情况，3人的年龄都在45岁及以下，有4种情况，即可求出3人的年龄都在45岁及以下的概率．
【解答】解：（Ⅰ）2×2列联表
3000元及以上 3000元以下 合计
45岁及以下 40 70 110
45岁以上 20 70 90
合计 60 140 200
∴K2=≈4.714＜5.024，
∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为人们使用手机的价格和年龄有关；
（Ⅱ）样本手机价格在5000元及以上的人共15人，用分层抽样的方法选择5人，45岁及以下的抽取4人，45岁以上的抽取1人，从这5人中选3人，有=10种情况，3人的年龄都在45岁及以下，有4种情况，∴3人的年龄都在45岁及以下的概率为=．
【点评】本题考查概率的计算，考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
19. (2) (本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，
曲线、相交于点A，B。
（Ⅰ）将曲线、的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求弦AB的长。
参考答案：
解：（Ⅰ）y=x, x2+y2=6x ……………4分 （Ⅱ）圆心到直线的距离d=, r=3, 弦长AB=3 ………………7分 20.
（本题15分）如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点,且，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.
参考答案：
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．H8
【答案解析】（1）；（2）。
解析：（1）如图建系，设椭圆方程为,则
又∵即
∴ 故椭圆方程为 ……5分
