2019-2020学年北京市通州区高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年北京市通州区高一(下)期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 复数𝑧=21−𝑖(𝑖为虚数单位)，则z的共轭复数𝑧为( )

A. 1−𝑖 B. 1+𝑖 C. 3−𝑖 D. 3+𝑖

2. 在四边形ABCD中，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−6,3)，则该四边形的面积为( )

A. 3√5 B. 2√5 C. 5 D. 15

3. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos𝐴𝑎+cos𝐵𝑏=sin𝐶𝑐，𝑏2+𝑐2−𝑎2=65𝑏𝑐，则𝑡𝑎𝑛𝐵=( )

A. 4 B. 14 C. 65 D. 56

4. 在贵阳市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对我校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5，6，7，8，9，10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为( )

A. ； B. ； C. ； D. ．

5. 某研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的养老模式主要有A，B，C，D，E五种，抽样调查的统计结果如图，那么下列说法不正确的是( )

A. 选择A型养老的频率是130

B. 选择养老模式E的人数最多

C. 估计当地30000个老年人中有8000人选择C型养老

D. 样本容量是1500

6. 已知一组数据a、b、9、10、11的平均数为10，方差为2，则|𝑎−𝑏|=( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 12

7. 已知小明需从几门课程中选择一门作为自己的特长课程来学习，小明选完课后，同寝室的其他3位同学根据小明的兴趣爱好对小明选择的课程猜测如下：

甲说：“小明选的不是篮球，选的是排球”；

乙说：“小明选的不是排球，选的是书法”；

丙说：“小明选的不是排球，选的也不是现代舞”．

已知3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另1人说的全不对，由此可推测小明选择的( )

A. 可能是书法 B. 可能是现代舞 C. 一定是排球 D. 可能是篮球

8. 8.下列命题为真命题的是

A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件

B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件

C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且 //， //，则 //

D. ，使成立

9. 给出下列命题：①函数𝑓(𝑥)=4𝑐𝑜𝑠(2𝑥+𝜋3)+1的一个对称中心为(−5𝜋12,0)；②函数𝑦=𝑓(1−𝑥)与𝑦=𝑓(𝑥−1)的图象关于𝑥=0对称；③命题“∀𝑥>0，𝑥2+2𝑥−3>0”的否定是“∃𝑥≤0，𝑥2+2𝑥−3≤0”；④若𝛼，𝛽均为第一象限角，且𝛼>𝛽，则𝑠𝑖𝑛𝛼>𝑠𝑖𝑛𝛽，其中正确命题的个数为( )

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

10. 设x为实数，命题p：∀𝑥∈𝑅，𝑥2≥0，则命题p的否定是( )

A. ￢𝑝：∀𝑥∈𝑅，𝑥2≤0 B. ￢𝑝：∃𝑥0∈𝑅，𝑥02≤0

C. ￢𝑝：∀𝑥∈𝑅，𝑥2<0 D. ￢𝑝：∃𝑥0∈𝑅，𝑥02<0

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 已知在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，点P、Q、R分别是表面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1、𝐵𝐶𝐶1𝐵1、𝐴𝐵𝐵1𝐴1的中心，给出下列四个结论：

①𝑃𝑅与BQ是异面直线；

②𝑅𝑄⊥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1； ③平面𝑃𝑄𝑅//平面𝐷1𝐴𝐶；

④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为√2的等边三角形．

以上结论中正确的是______

.(写出所有正确结论的序号)

12. 若△ ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于__________．

13. 下列四个命题

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；

②从含有2008个个体的总体中抽取一个容量为100的样本，现采用系统抽样的方法应先剔除8人，则每个个体被抽到的概率均为120；

③从总体中抽取的样本数据共有m个a，n个b，p个c，则总体的平均数𝑥的估计值为𝑚𝑎+𝑛𝑏+𝑝𝑐𝑚+𝑛+𝑝；

④某中学采用系统抽样的方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497～512这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001～016中随机抽到的学生编号是007．

其中真命题的个数是_________．

14. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，则x的值为______．

三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）

15. 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 (1) ；众数是 (2) ．

四、解答题（本大题共6小题，共85.0分） 16. 已知平面向量𝑎⃗ =(3,4),𝑏⃗ =(9,𝑥),𝑐⃗ =(4,𝑦)且𝑎⃗ //𝑏⃗ , 𝑏⃗ ⊥𝑐⃗ ，求向量𝑏⃗ 与𝑐⃗ ．

17. 锐角△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量𝑚⃗⃗⃗ =(𝑎,√3𝑏)与𝑛⃗ =(𝑐𝑜𝑠𝐴,𝑠𝑖𝑛𝐵)平行．

(1)求角A；

(2)若𝑎=√2，求△𝐴𝐵𝐶周长的取值范围．

18. 中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注，我校对高一600名学生进行了一次“钓鱼岛”

知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本，绘制了下面尚未完成的频率分布表和

频率分布直方图．

(1)填写答题卡频率分布表中的空格，补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数据；

(2)试估计该年段成绩在段的有多少人；

(3)请你估算该年级的平均分．

19. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位：台)，并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．

(Ⅰ)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；

(Ⅱ)若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求𝑎>𝑏的概率；

(Ⅲ)若𝑎=1，记乙型号电视机销售量的方差为𝑠2，根据茎叶图推断b为何值时，𝑠2达到最小值．(只需写出结论) (注：方差𝑠2=1𝑛[(𝑥1−𝑥.)2+(𝑥2−𝑥.)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥.)2]，其中𝑥.为𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛的平均数)

20. 如图，长方体中，，点为的中点．

(1)求证：直线平面；

(2)求证：平面平面；

(3)求与平面所成的角大小．

21. 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的底面ABCD是平行四边形，𝑃𝐴⊥底面ABCD，𝑃𝐴=3，𝐴𝐷=2，𝐴𝐵=4，∠𝐴𝐵𝐶=60°．

(1)求证：𝐴𝐷⊥𝑃𝐶；

(2)𝐸是侧棱PB上一点，记𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =𝜆𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，是否存在实数𝜆，使𝑃𝐶⊥平面ADE？若存在，求𝜆的值；若不存在，说明理由．

【答案与解析】

1.答案：A

解析：解：𝑧=21−𝑖=2(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=2(1+𝑖)2=1+𝑖，

则z的共轭复数𝑧=1−𝑖，

故选：A

根据复数的有关概念，即可得到结论．

本题主要考查复数的基本概念，比较基础．

2.答案：D

解析：解：∵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(−6)+4×3=0，∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即𝐴𝐶⊥𝐵𝐷．

∴该四边形的面积𝑆=12|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√22+42×√(−6)2+32=15．

故选：D．

由于𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .进而得出该四边形的面积𝑆=12|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．

本题考查了向量垂直与数量积的关系、对角线相互垂直的平行四边形的面积计算，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

3.答案：A

解析：解：在△𝐴𝐵𝐶中，由cos𝐴𝑎+cos𝐵𝑏=sin𝐶𝑐，利用正弦定理可得：cos𝐴sin𝐴+cos𝐵sin𝐵=sin𝐵cos𝐴+cos𝐵sin𝐴sin𝐴sin𝐵=1，∴𝑡𝑎𝑛𝐵+𝑡𝑎𝑛𝐴=𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵．

由𝑏2+𝑐2−𝑎2=65𝑏𝑐，∴2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴=65𝑏𝑐，化为𝑐𝑜𝑠𝐴=35，∴𝑠𝑖𝑛𝐴=45，𝑡𝑎𝑛𝐴=43．

代入可得：𝑡𝑎𝑛𝐵+43=43𝑡𝑎𝑛𝐵，则𝑡𝑎𝑛𝐵=4．

故选：A．

由cos𝐴𝑎+cos𝐵𝑏=𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐，利用正弦定理可得：cos𝐴sin𝐴+cos𝐵sin𝐵=1，可得𝑡𝑎𝑛𝐵+𝑡𝑎𝑛𝐴=𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵.由𝑏2+𝑐2−𝑎2=65𝑏𝑐，利用余弦定理可得𝑐𝑜𝑠𝐴=35，tanA，进而得出tanB的值．

本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4.答案：C

解析：试题分析：总体平均数为， 设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果，

事件A包含的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果，所以所求的概率为．

考点：平均数；古典概型．

5.答案：C

解析：解析：解：A、选择A型养老的频率是501500=130，此选项说法正确；B、选择养老模式E的人数最多，此选项说法正确；𝐶.可以估计当地30000个老年人中选择C型养老的人数为30000×2001500=4000人，此选项说法错误；D、样本容量是1500，此选项说法正确；故选：C．

根据频率定义、样本估计总体、样本容量和总体的概念逐一判断可得．本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

6.答案：B

解析：

本题考查数据方差、平均数的计算，关键是求出a、b的值．根据题意，可得𝑎+𝑏=20，①以及(𝑎−10)2+(𝑏−10)2=8，②；解可得a、b的值，计算可得|𝑎−𝑏|的值，即可得答案．