交叉熵损失函数的导数

cross-entropy 损失函数
交叉熵损失函数（cross-entropy loss function）是一种用于衡量两个概率分布之间差异的函数。

在深度学习中，常用于衡量预测的概率分布与真实标签的概率分布之间的差异。

假设有一个分类问题，待预测的标签有多个类别，每个类别有一个对应的概率。

交叉熵损失函数可以用来衡量预测结果与真实标签之间的差异。

设预测结果为p(x)，真实标签为q(x)，对于一个样本x，交叉熵损失函数的计算公式为：
cross_entropy = -Σq(x) * log(p(x))
其中，log为自然对数。

这个公式可以理解为，对于真实标签
q(x)为1的类别，只有对应的预测概率p(x)越接近于1，损失越低；对于真实标签q(x)为0的类别，只要对应的预测概率p(x)不为1，损失都会增加。

交叉熵损失函数具有很好的性质，可以推动模型对正确类别的概率予以高度自信，同时对于错误类别的概率保持低值，从而提高分类准确率。

在深度学习中，交叉熵损失函数常用于多分类问题的模型训练中，例如神经网络的softmax回归和多层感知机等。

损失函数 cross entropy loss一、概述在深度学习中，损失函数是非常重要的一个概念。

它是用来衡量模型输出与真实标签之间差异的函数，也是模型优化的目标函数。

本文将介绍一种常用的损失函数——交叉熵损失（cross entropy loss）。

二、交叉熵损失交叉熵是信息论中的一个概念，表示两个概率分布之间的距离。

在深度学习中，我们通常使用交叉熵来衡量模型输出与真实标签之间的差异。

1. 二分类问题对于二分类问题，交叉熵损失可以定义为：$$L=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i\log(\hat{y_i})+(1-y_i)\log(1-\hat{y_i}))$$其中 $n$ 表示样本数，$y_i$ 表示第 $i$ 个样本的真实标签（0 或1），$\hat{y_i}$ 表示模型预测第 $i$ 个样本为正例的概率。

2. 多分类问题对于多分类问题，交叉熵损失可以定义为：$$L=-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}y_{ij}\log(\hat{y_{ij}})$$其中 $n$ 表示样本数，$k$ 表示类别数，$y_{ij}$ 表示第 $i$ 个样本的真实标签为第 $j$ 类的概率（one-hot 编码），$\hat{y_{ij}}$ 表示模型预测第 $i$ 个样本为第 $j$ 类的概率。

三、交叉熵损失的优点1. 梯度下降更快交叉熵损失对于错误分类的惩罚更加严格，因此在训练过程中可以更快地找到全局最优解。

2. 避免梯度消失在 sigmoid 函数中，当预测值与真实值相差很大时，梯度会变得非常小，导致训练变得非常缓慢。

而交叉熵损失可以避免这种情况的发生。

3. 可以处理多分类问题交叉熵损失可以很好地处理多分类问题，并且具有良好的数学性质。

四、代码实现下面是使用PyTorch 实现二分类问题和多分类问题交叉熵损失的代码：```pythonimport torchimport torch.nn as nn# 二分类问题criterion = nn.BCELoss()# 多分类问题criterion = nn.CrossEntropyLoss()```在 PyTorch 中，我们可以使用 `nn.BCELoss()` 实现二分类问题交叉熵损失，使用 `nn.CrossEntropyLoss()` 实现多分类问题交叉熵损失。

【深度学习】softmax回归——原理、one-hot编码、结构和运算、交叉熵损失1. softmax回归是分类问题 回归（Regression）是⽤于预测某个值为“多少”的问题，如房屋的价格、患者住院的天数等。

分类（Classification）不是问“多少”，⽽是问“哪⼀个”，⽤于预测某个事物属于哪个类别，如该电⼦邮件是否是垃圾邮件、该图像是猫还是狗、该⽤户接下来最有可能看哪部电影等。

分类问题也有些许差别：（1）我们只对样本的硬性类别感兴趣，即属于哪个类别；（2）我们希望得到软性类别，即每个类别的概率是多少。

这两者的界限往往很模糊，我们通常使⽤软性类别的模型来进⾏硬性分类。

这也是softmax模型的原理。

2. 如何表⽰分类问题——独热编码（one-hot encoding） 我们需要在分类问题中表⽰类别（标签）。

最直接的想法是选择y\in \left\{1,2,3 \right\}，其中的整数分别代表每个类别，如果类别之间有⼀些⾃然顺序，⽐如\left\{\text{婴⼉},\text{⼉童},\text{青少年},\text{年青⼈},\text{中年⼈},\text{⽼年⼈}\right\}，那么将这个问题转变为回归问题并保留这种格式是有意义的。

但是，⼀般的分类问题并不与类别之间的⾃然顺序有关。

对此，我们使⽤⼀种简单的表⽰⽅法：独热编码（one-hot encoding）。

独热编码是⼀个向量，它的分量和类别数⽬⼀样多，类别对应的分类设置为1，其他所有分量设置为0。

例如，⼀个图像分类问题，输⼊图像是⼀个2\times 2的灰度图像，可以⽤⼀个标量表⽰每个像素值，每个图像对应四个特征x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}。

输⼊图像被分类为“猫”、“狗”、“鸡”，那么标签y就是⼀个三维向量，其中\left(1,0,0\right)对应于“猫”，\left(0,1,0\right)对应于“狗”，\left(0,0,1\right)对应于“鸡”：y\in\left\{\left(1,0,0\right),\left(0,1,0\right),\left(0,0,1\right)\right\}3. ⽹络结构 为了获得所有可能类别的概率，我们需要⼀个多输出的模型，每个类别对应⼀个输出。

交叉熵推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：交叉熵（Cross Entropy）是一种在信息论和机器学习中经常使用的指标，用于衡量两个概率分布之间的差异性。

在机器学习中，交叉熵通常被用作损失函数，用于衡量模型输出的概率分布与真实标签之间的差异，从而指导模型参数的优化。

在本文中，我们将介绍交叉熵的定义，推导过程以及在机器学习中的应用。

让我们定义两个概率分布P和Q，它们分别表示模型输出的概率分布和真实标签的概率分布。

交叉熵的定义如下：\[H(P, Q) = - \sum_x p(x) \log q(x)\]x表示样本，p(x)和q(x)分别表示样本x在分布P和Q下的概率。

交叉熵可以理解为模型输出概率分布和真实标签概率分布之间的不匹配程度。

如果两个概率分布完全相同，那么交叉熵的值将为0，表示两者完全一致；而如果两个概率分布差异很大，那么交叉熵的值将会很大，表明它们之间存在很大的不匹配。

接下来，让我们来推导交叉熵的表达式。

根据交叉熵的定义，我们可以将其展开为：将概率分布Q表示为模型输出概率分布的形式，即q(x) = f(x)，其中f(x)表示模型输出的概率分布。

我们可以得到：对上式进行求和，得到交叉熵的总体表达式为：我们将交叉熵写成更通用的形式，即交叉熵损失函数为：\[\mathrm L = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{K} y_k^{(i)} \log(\hat{y}^{(i)}_k)\]m表示样本数目，K表示类别数目，y_k^{(i)}表示第i个样本的真实标签的第k个类别的概率，\hat{y}_k^{(i)}表示模型输出的第i个样本在第k个类别上的预测概率。

通过最小化交叉熵损失函数，我们能够使模型的输出概率分布接近于真实标签的概率分布，从而提高模型的准确性。

在实际应用中，交叉熵通常与Softmax函数结合使用。

Softmax 函数能够将模型输出的原始分数转化为概率分布，使得输出值在0到1之间，并且所有输出值的总和等于1。

损失函数｜交叉熵损失函数1 交叉熵(Cross Entropy) 考虑⼀种情况，对于⼀个样本集，存在两个概率分布 $p(x)$ 和 $q(x)$，其中 $p(x)$ 为真实分布，$q(x)$ 为⾮真实分布。

基于真实分布 $p(x)$ 我们可以计算这个样本集的信息熵也就是编码长度的期望为： $H(p)=-\sum \limits_{x}p(x)log \ p(x)$ 回顾⼀下负对数项表征了所含的信息量，如果我们⽤⾮真实分布 $q(x)$ 来代表样本集的信息量的话，那么： $H(p,q)=-\sum \limits_{x}p(x)log \ q(x)$ 因为其中表⽰信息量的项来⾃于⾮真实分布 $q(x)$ ，⽽对其期望值的计算采⽤的是真实分布 $p(x)$，所以称其为交叉熵 。

Cross Entropy损失函数常⽤于分类问题中，但是为什么它会在分类问题中这么有效呢？先从⼀个简单的分类例⼦来⼊⼿。

2 预测政治倾向例⼦ 我们希望根据⼀个⼈的年龄、性别、年收⼊等相互独⽴的特征，来预测⼀个⼈的政治倾向，有三种可预测结果：民主党、共和党、其他党。

假设我们当前有两个逻辑回归模型（参数不同），这两个模型都是通过 Sigmoid 的⽅式得到对于每个预测结果的概率值： 模型1 模型1对于样本1和样本2以⾮常微弱的优势判断正确，对于样本3的判断则彻底错误。

模型2 模型2对于样本1和样本2判断⾮常准确，对于样本3判断错误，但是相对来说没有错得太离谱。

有了模型之后，需要通过定义损失函数来判断模型在样本上的表现，那么可以定义哪些损失函数呢？3 损失函数3.1 分类错误率(Classification Error） 分类错误率是最为直接的损失函数，定义为： ${\large classification \quad error=\frac{count \quad of \quad error \quad items}{count\quad of\quad all\quad items }} $ 模型 1：${\large \text { classification error }=\frac{1}{3}} $ 模型 2：${\large \text { classification error }=\frac{1}{3}} $ 模型 1 和模型 2 虽然都是预测错了 1 个，但是相对来说模型 2 表现得更好，损失函数值照理来说应该更⼩。

交叉熵的求导交叉熵（CrossEntropy）是机器学习领域中非常重要的概念，它可以用来衡量概率分布与真实分布之间的差距。

它也被广泛应用于神经网络优化中，用来衡量拟合程度，甚至在更加深入的计算机视觉领域中，例如图像识别、自然语言处理等，也用交叉熵来衡量正确率。

那么，关于交叉熵，我们一般都知道它的定义，即：交叉熵（Cross Entropy）是描述两个概率分布之间的距离的度量，它可以用来衡量真实分布p和预计分布q之间的差距。

式：H(p,q)=-∑p(x)logq(x)交叉熵的求导本身也非常重要，交叉熵求导的具体定义是：交叉熵的求导是通过求交叉熵函数H(p,q)关于参数q的偏导来计算，其表达式为：H(p,q)/q(x)=-p(x)/q(x)其实，当真实分布为概率分布时，交叉熵函数H(p,q)就可以看作指定变量的取值的条件概率的负的期望值，而求导可以认为是按照该条件概率计算变量的取值的条件期望值。

如果将上面的求导公式改写成预测变量期望值条件下的求导，就可以得到：H(p,q)/q(x)=E[-p(x)/q(x)]q(x)这就是交叉熵函数关于概率分布q的求导式，因此，可以得出交叉熵函数的求导结果是：H(p,q)/q(x)=-E[p(x)]交叉熵的求导有两种情况：首先，如果训练数据中的分布是服从某种特定统计模型的概率分布的话，就可以使用上述的求导公式求出该模型的概率分布式来表示；其次，在一般情况下，求交叉熵的求导就要考虑到总体的样本分布，也就是整个数据集的分布，因此，就要先求出期望值，然后根据概率分布式求出求导公式。

到此，我们就从理论上介绍了交叉熵和交叉熵求导的具体定义，应用到实践中，交叉熵可以用来衡量拟合程度和正确率，而交叉熵求导反过来可以用来优化神经网络模型。

比如说，在深度学习（Deep Learning）领域中，使用交叉熵来衡量分类器的拟合程度，而交叉熵求导就可以用来优化模型的参数，可以用梯度下降法等优化方法求出最优的参数值，从而进一步提升神经网络模型的性能。

交叉熵损失函数交叉熵损失函数（Cross-entropy Loss Function）是深度学习中一种常用的损失函数，通常用于分类问题中。

1. 什么是交叉熵？在概率论和信息论中，交叉熵是用于度量两个概率分布之间的差异性的一种指标。

假设有两个概率分布p和q，那么p和q之间的交叉熵可以表示为：$$H(p,q)=-\sum_{i=1}^{n}p(x_{i})log(q(x_{i}))$$其中，n表示分布的种类数；p(xi)是真实概率分布；q(xi)是模型预测的概率分布。

2. 交叉熵损失函数的定义在深度学习中，我们需要将交叉熵应用到分类问题中。

假设有m 个样本数据，每个样本有n个类别，那么一个分类模型的交叉熵损失函数可以表示为：$$L(y,\hat y)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}y_{ij}log(\hat y_{ij}) $$其中，y表示真实标签的one-hot编码，$\hat y$表示模型预测的分类结果。

3. 交叉熵损失函数的含义交叉熵损失函数的含义是用来度量模型的输出结果与真实标签的差异性。

因为交叉熵的取值范围是非负数，当模型的预测结果越准确时，交叉熵的取值越小，反之亦然。

4. 交叉熵损失函数和softmax函数的关系在分类问题中，我们通常会使用softmax函数来将模型的输出结果转化为一个概率分布。

softmax函数可以将模型输出的原始分数转换为[0,1]之间的概率分布，因此可用于多分类模型。

交叉熵损失函数的使用是为了最小化预测结果与真实结果之间的误差，因此通常与softmax函数一起使用。

我们可以将交叉熵损失函数看作是对softmax函数的一种优化。

5. 交叉熵的一些应用场景- 多分类问题：交叉熵损失函数通常用于多分类问题中。

在这种情况下，我们需要将模型预测的结果转换成概率分布，并计算与真实标签之间的交叉熵损失。

- 神经网络训练：在神经网络训练中，交叉熵损失函数通常被用来指导模型的优化。

交叉熵损失（Cross Entropy Loss）1. 介绍交叉熵损失（Cross Entropy Loss）是一种常用的损失函数，广泛应用于分类问题中。

在机器学习和深度学习中，我们通常需要训练一个模型来对输入数据进行分类，而交叉熵损失可以帮助我们衡量模型的预测结果与真实标签之间的差异，并通过反向传播算法来更新模型的参数，从而使模型能够更好地进行分类任务。

2. 信息论基础在理解交叉熵损失之前，我们先来了解一些信息论的基础知识。

信息熵（Entropy）是信息论中的一个概念，用来衡量一个随机变量的不确定性。

对于一个离散型随机变量X，其概率分布为P(X)，则其信息熵定义如下：%20=%20-%20_{i=1}^{n}P(X=i))其中，n表示随机变量X的取值个数。

信息熵越大，表示随机变量的不确定性越高。

交叉熵（Cross Entropy）则是用来衡量两个概率分布之间的差异，特别是在分类问题中，我们可以将模型的预测结果看作是一个概率分布，真实标签也可以看作是一个概率分布。

交叉熵定义如下：%20=%20-%20_{i=1}^{n}P(i))其中，P表示真实标签的概率分布，Q表示模型的预测结果的概率分布。

交叉熵越小，表示模型的预测结果与真实标签之间的差异越小。

3. 交叉熵损失函数在分类问题中，我们通常使用交叉熵损失函数来衡量模型的预测结果与真实标签之间的差异。

对于一个具有n个类别的分类问题，真实标签可以表示为一个n维的向量，其中只有一个元素为1，其余元素为0。

假设模型的预测结果为一个n维的向量，表示各个类别的预测概率，我们可以使用交叉熵损失函数来计算模型的损失。

交叉熵损失函数的定义如下：%20=%20-_{i=1}^{n}P(i))其中，P表示真实标签，Q表示模型的预测结果。

交叉熵损失越小，表示模型的预测结果与真实标签之间的差异越小。

4. 交叉熵损失的优势交叉熵损失在分类问题中具有以下几个优势：4.1. 反映模型的不确定性交叉熵损失可以反映模型的不确定性，当模型的预测结果与真实标签之间的差异较大时，交叉熵损失会较大，反之亦然。

损失函数计算公式
损失函数是用来衡量我们模型预测结果与真实结果之间差距的函数，常见的损失函数有均方误差、交叉熵、对数损失等。

以下是常见损失函数的计算公式：
1. 均方误差（Mean Squared Error，MSE）:
$$
MSE(y, \hat{y}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(y_i-\hat{y}_i)^2 $$
其中，y为真实结果，$\hat{y}$为模型预测结果，n为数据集样本数量。

2. 交叉熵（Cross-Entropy）:
$$
Cross\_Entropy(y, \hat{y}) = -
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[y_i\log\hat{y}_i+(1-y_i)\log(1-
\hat{y}_i)]
$$
其中，y为真实结果，$\hat{y}$为模型预测结果，n为数据集样本数量。

3. 对数损失（Logarithmic Loss）:
$$
Log\_Loss(y, \hat{y}) = -
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n[y_i\log\hat{y}_i+(1-y_i)\log(1-
\hat{y}_i)]
$$
其中，y为真实结果，$\hat{y}$为模型预测结果，n为数据集样本数量。

以上是常见的三种损失函数的计算公式，实际应用中也有其他类型的损失函数。

交叉熵损失函数的导数在深度学习中，交叉熵损失函数通常使用以下公式表示：C = -sum(y * log(y_hat))为了计算交叉熵损失函数的导数，我们需要将公式中的log函数展开，并使用链式法则求导。

首先，让我们展开交叉熵损失函数：C = -sum(y * log(y_hat))= -sum(y * (log(y_hat_1) + log(y_hat_2) + ... +log(y_hat_n)))接下来，我们对每个y_hat_i进行求导：∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (∂log(y_hat_1) + ∂log(y_hat_2) + ... + ∂log(y_hat_n)))为了计算导数，我们需要对log函数进行求导。

根据链式法则，我们有：∂log(y_hat_i)/∂y_hat_i = 1/y_hat_i因此，继续推导交叉熵损失函数的导数：∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... +1/y_hat_n))= -sum(y/y_hat_1 + y/y_hat_2 + ... + y/y_hat_n)= -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... + 1/y_hat_n))= -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... + 1/y_hat_n))综上所述，交叉熵损失函数相对于y_hat_i的导数可以表示为：∂C/∂y_hat_i = -sum(y * (1/y_hat_1 + 1/y_hat_2 + ... +1/y_hat_n))这是交叉熵损失函数的导数公式，它对于深度学习中模型训练的反向传播非常重要。

在实际应用中，这个导数用于计算模型参数的梯度，然后使用梯度下降算法来更新模型的参数，以最小化损失函数。

需要注意的是，在实际计算中，为了避免除以零的情况，通常会在log函数中增加一个极小的正数ϵ，即log(y_hat_i + ϵ)。