广东省深圳市三校联考2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)

2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4} B．{4，6} C．{6，8} D．{2，8}2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣33．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A． B．C． D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A． B． C． D．26．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4π B．πh2 C．π（2﹣h）2 D．π（4﹣h）27．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A．ac＞bc B．a c＞b cC．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c） D．＞9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．33810．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A． B．2 C．3 D．411．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B． C． D．12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=．14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为（用数字作答）．15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=．16．已知数列{a n}满足na n﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1对∀n+2∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(12分) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．18．(12分) 如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．20．(12分) 已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．21．(12分) 已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．2017年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}，则A∩B=（）A．{2，4}B．{4，6}C．{6，8}D．{2，8}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={2，4，6，8}，B={x|x2﹣9x+18≤0}={x|（x﹣3）（x﹣6）≤0}={x|3≤x ≤6}，∴A∩B={4，6}，故选：B．2．若复数（a∈R）为纯虚数，其中i为虚数单位，则a=（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解： ==，∵复数（a∈R）为纯虚数，∴，解得：a=﹣2．故选：C．3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．【解答】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选：B．4．等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，则=（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列{a n}的前n项和求出前3项，由此能求出利用等比数列{a n}中，，能求出．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n=a•3n﹣1+b，∴a1=S1=a+b，a2=S2﹣S1=3a+b﹣a﹣b=2a，a3=S3﹣S2=9a+b﹣3a﹣b=6a，∵等比数列{a n}中，，∴（2a）2=（a+b）×6a，解得=﹣3．故选：A．5．直线l：kx+y+4=0（k∈R）是圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0的一条对称轴，过点A（0，k）作斜率为1的直线m，则直线m被圆C所截得的弦长为（）A．B． C． D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），求得k的值，可得点A的坐标，求出圆心到直线的距离，即可得出结论．【解答】解：∵圆C：x2+y2+4x﹣4y+6=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =2，表示以C（﹣2，2）为圆心、半径等于的圆．由题意可得，直线l：kx+y+4=0经过圆C的圆心（﹣2，2），故有﹣2k+2+4=0，∴k=3，点A（0，3）．直线m：y=x+3，圆心到直线的距离d==，∴直线m被圆C所截得的弦长为2=．故选：C．6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h）2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，设截面的圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆的面积为πh2；故选B．7．函数f（x）=•cosx的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值，问题得以解决．【解答】解：f（﹣x）=•cos（﹣x）=•cosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，当x∈（0，）时，cosx＞0，＞0，∴f（x）＞0在（0，）上恒成立，故选：C8．已知a＞b＞0，c＜0，下列不等关系中正确的是（）A．ac＞bc B．a c＞b cC．log a（a﹣c）＞log b（b﹣c）D．＞【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质求出a（b﹣c）＞b（a﹣c）以及a﹣c＞b﹣c＞0，从而求出答案．【解答】解：∵a＞b＞0，c＜0，﹣c＞0，∴a﹣c＞b﹣c＞0，ac＜bc，故a（b﹣c）＞b（a﹣c），故＞，故选：D．9．执行如图所示的程序框图，若输入p=2017，则输出i的值为（）A．335 B．336 C．337 D．338【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出i的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是统计1到2017这些数中能同时被2和3整除的数的个数i，由于：2017=336×6+1，故程序框图输出的i的值为336．故选：B．10．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A． B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．11．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径，即可求出平面ACB1截此球所得的截面的面积．【解答】解：由题意，球心与B的距离为=，B到平面ACB1的距离为=，球的半径为1，球心到平面ACB1的距离为﹣=，∴平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为=，∴平面ACB1截此球所得的截面的面积为=，故选A．12．已知函数f（x）=，x≠0，e为自然对数的底数，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A．（0，） B．（2，+∞）C．（e+，+∞）D．（+，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，即可得出结论．【解答】解：由题意，f′（x）=，∴x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数单调递减，0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=2时，函数取得极大值，关于x的方程+﹣λ=0有四个相异实根，则t+﹣λ=0的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴，∴λ＞e+，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．已知向量=（1，2），=（x，3），若⊥，则|+|=5．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】⊥，可得=0，解得x．再利用向量模的计算公式即可得出．【解答】解：∵⊥，∴=x+6=0，解得x=﹣6．∴=（﹣5，5）．∴|+|==5．故答案为：5．14．（﹣）5的二项展开式中，含x的一次项的系数为﹣5（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于1求得r值，则答案可求．【解答】解：（﹣）5的二项展开式中，通项公式为：T r=••=（﹣1）r••，+1令=1，得r=1；∴二项式（﹣）5的展开式中含x的一次项系数为：﹣1•=﹣5．故答案为：﹣5．15．若实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，则实数k=3．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，得到角点坐标．利用k与0的大小，分类讨论，结合目标函数的最值求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组的可行域如图：得：A（1，3），B（1，﹣2），C（4，0）．①当k=0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，不满足题意．②当k＞0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y过C（4，0）时，Z取得最大值12．当直线z=kx﹣y过A（3，1）时，Z取得最小值0．可得k=3，满足题意．③当k＜0时，目标函数z=kx﹣y的最大值为12，最小值为0，当直线z=kx﹣y过C（4，0）时，Z取得最大值12．可得k=﹣3，当直线z=kx﹣y过，B（1，﹣2）时，Z取得最小值0．可得k=﹣2，无解．综上k=3故答案为：3．16．已知数列{a n}满足na n﹣（n+2）a n=λ（n2+2n），其中a1=1，a2=2，若a n＜a n+1对∀n+2∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是[0，+∞）．【考点】数列递推式．【分析】把已知递推式变形，可得数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，分类求其通项公式，代入a n＜a n+1，分离参数λ求解．【解答】解：由na n﹣（n+2）a n=λ（n2+2n）=λn（n+2），+2得，∴数列{}的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，∵a1=1，a2=2，∴当n为奇数时，，∴；当n为偶数时，，∴．当n为奇数时，由a n＜a n+1，得＜，即λ（n﹣1）＞﹣2．若n=1，λ∈R，若n＞1则λ＞，∴λ≥0；当n为偶数时，由a n＜a n+1，得＜，即3nλ＞﹣2，∴λ＞，即λ≥0．综上，λ的取值范围为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a=csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c=，求△ABC的面积S的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣）=1，结合C的范围，可得C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式可求△ABC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a=csinA﹣acosC，∴由正弦定理可得：2sinA=sinCsinA﹣sinAcosC，…2分∵sinA≠0，∴可得：2=sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣）=1，∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），∴C﹣=，可得：C=．…6分（2）∵由（1）可得：cosC=﹣，∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（当且仅当b=a时取等号）…8分=absinC=ab≤，可得△ABC面积的最大值为．…12分∴S△ABC18．如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACEF为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB=BD=2，AE=，∠EAD=∠EAB．（1）证明：平面ACEF⊥平面ABCD；（2）若AE与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接EG，由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，可证△EAD≌△EAB，进一步证明BD⊥平面ACEF，则平面ACEF⊥平面ABCD；（2）法一、过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，可得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，得到EF⊥平面BDM，可得∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，在△DMB中，由余弦定理求得∠BMD的余弦值，进一步得到二面角B﹣EF﹣D的余弦值；法二、在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，得MG⊥平面ABCD，则直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，分别求出平面BEF与平面DEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣EF﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：连接EG，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，BD⊥AC，DG=GB，在△EAD和△EAB中，AD=AB，AE=AE，∠EAD=∠EAB，∴△EAD≌△EAB，∴ED=EB，则BD⊥EG，又AC∩EG=G，∴BD⊥平面ACEF，∵BD⊂平面ABCD，∴平面ACEF⊥平面ABCD；（2）解法一：过G作EF的垂线，垂足为M，连接MB，MG，MD，易得∠EAC为AE与面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，∵EF⊥GM，EF⊥BD，∴EF⊥平面BDM，∴∠DMB为二面角B﹣EF﹣D的平面角，可求得MG=，DM=BM=，在△DMB中，由余弦定理可得：cos∠BMD=，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为；解法二：如图，在平面ABCD内，过G作AC的垂线，交EF于M点，由（1）可知，平面ACEF⊥平面ABCD，∵MG⊥平面ABCD，∴直线GM、GA、GB两两互相垂直，分别以GA、GB、GM为x、y、z轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，可得∠EAC为AE与平面ABCD所成的角，∴∠EAC=60°，则D（0，﹣1，0），B（0，1，0），E（），F（），，，设平面BEF的一个法向量为，则，取z=2，可得平面BEF的一个法向量为，同理可求得平面DEF的一个法向量为，∴cos＜＞==，∴二面角B﹣EF﹣D的余弦值为．19．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．20．已成椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B2/B1，左右焦点分别为F1、F2，其中长轴长为4，且圆O：x2+y2=为菱形A1B1A2B2的内切圆．（1）求椭圆C的方程；（2）点N（n，0）为x轴正半轴上一点，过点N作椭圆C的切线l，记右焦点F2在l上的射影为H，若△F1HN的面积不小于n2，求n的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意求得a，直线A2B2的方程为，利用点到直线的距离公式，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由△=0，求得m和n的关系，利用三角形的面积公式，求得m的取值范围，代入即可求得n的取值范围．【解答】解：（1）由题意知2a=4，所以a=2，所以A1（﹣2，0），A2（2，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），则直线A2B2的方程为，即bx+2y﹣2b=0，所以=，解得b2=3，故椭圆C的方程为；（2）由题意，可设直线l的方程为x=my+n，m≠0，联立，消去x得（3m2+4）y2+6mny+3（n2﹣4）=0，（*）由直线l与椭圆C相切，得△=（6mn）2﹣4×3×（3m2+4）（n2﹣4）=0，化简得3m2﹣n2+4=0，设点H（mt+n，t），由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0），则•=﹣1，解得：t=﹣，所以△F1HN的面积=（n+1）丨﹣丨=，代入3m2﹣n2+4=0，消去n化简得=丨m丨，所以丨m丨≥n2=（3m2+4），解得≤丨m丨≤2，即≤m2≤4，从而≤≤4，又n＞0，所以≤n≤4，故n的取值范围为[，4]．21．已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1，x2，求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣2）和f（e﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出λ的值即可；（3）记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，求出h（x）的最小值，得到a=﹣1=f（x2）≥x2﹣1，得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣，从而证出结论．【解答】解（1）对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1，又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2），即y=﹣x﹣e﹣2；（2）记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0，由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，下面求函数g（x）的最小值，对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ，令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：x（0，eλ﹣1）eλ﹣1（eλ﹣1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）递减极小值递增∴g（x）min=g（x）极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1，∴λ﹣eλ﹣1≥0，记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1，令G′（λ）=0，得λ=1，当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：λ（0，1）1（1，+∞）G′（λ）+0﹣G（λ）递增极大值递减∴G（λ）max=G（λ）极大值=G（1）=0，故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号，又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1；（3）先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2，令h′（x）=0，得x=e﹣2，当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：x（0，e﹣2）e﹣2（e﹣2，+∞）h′（x）﹣0+h（x）递减极小值递增∴h（x）min=h（x）极小值=h（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0，h（x）≥0恒成立，即f（x）≥﹣x﹣e﹣2，记直线y=﹣x﹣e﹣2，y=x﹣1分别与y=a交于（，a），（，a），不妨设x1＜x2，则a=﹣﹣e﹣2=f（x1）≥﹣x1﹣e﹣2，从而＜x1，当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号，由（2）知，f（x）≥x﹣1，则a=﹣1=f（x2）≥x2﹣1，从而x2≤，当且仅当a=0时取等号，故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤﹣=（a+1）﹣（﹣a﹣e﹣2）=2a+1+e﹣2，因等号成立的条件不能同时满足，故|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系中xOy中，已知曲线E经过点P（1，），其参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线l交E于点A、B，且OA⊥OB，求证： +为定值，并求出这个定值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）将点P（1，），代入曲线E的方程，求出a2=3，可得曲线E的普通方程，即可求曲线E的极坐标方程；（2）利用点的极坐标，代入极坐标方程，化简，即可证明结论．【解答】解：（1）将点P（1，），代入曲线E的方程：，解得a2=3，所以曲线E的普通方程为=1，极坐标方程为=1；（2）不妨设点A，B的极坐标分别为A（ρ1，θ），B（ρ2，），则代入曲线E的极坐标方程，可得+==，即+为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；（2）若[﹣1，1]⊆M，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）将x=a﹣3代入不等式，解关于a的不等式即可；（2）得到|x+a|＜3恒成立，即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，求出a的范围即可．【解答】解：（1）依题意有：|2a﹣3|＜|a|﹣（a﹣3），若a≥，则2a﹣3＜3，∴≤a＜3，若0≤a＜，则3﹣2a＜3，∴0＜a＜，若a≤0，则3﹣2a＜﹣a﹣（a﹣3），无解，综上所述，a的取值范围为（0，3）；（2）由题意可知，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜g（x）恒成立，∴|x+a|＜3恒成立，即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，∴﹣2＜a＜2．。

2016-2017学年广东省深圳市宝安区高三(上）摸底数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合P=｛x｜x2﹣2x≥0}，Q=｛x｜1＜x≤2}，则(∁R P）∩Q=()A．［0，1）B．（0，2]C．（1,2）D．[1，2］2．若复数（1+ai)2﹣2i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣13．点M（x，y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0恒成立，则的取m值范围是(）A．m≥3﹣2B．m≥3 C．m≥0 D．m≥1﹣24．某几何体的正（主)视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．15．将函数y=sin(x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍(纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．(﹣，）D．(﹣，）6．根据如图所示程序框图，若输入m=42,n=30，则输出m的值为(）A．0 B．3 C．6 D．127．如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D，若AB=4，且，则AD的长为（）A． B． C． D．8．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C,AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC 的体积是（）A．60B．50C．60D．509．若α∈（，π）且3cos2α=4sin（﹣α）,则sin2α的值为(）A．B．﹣C．﹣D．10．如果对于任意实数x，［x]表示不超过x的最大整数．例如［3。

27］=3，［0。

6]=0．那么“［x］=［y］”是“｜x﹣y|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A．3 B．C．2 D．12．定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0,且当x＞0时，不等式f（x)＞﹣xf′(x）恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（)A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）13．二项式（x﹣）6展开式中的常数项是．14．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a)=f（1+a)，则a的值为．15．过点（3，2)的直线与圆x2+y2﹣2x﹣3=0相切，且与直线kx+y+1=0垂直,则k的值为．16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边,且c=asinC﹣ccosA（Ⅰ）求A;（Ⅱ）若a=2,△ABC的面积为,求b,c．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．已知等差数列｛a n｝的首项a1=3，且公差d≠0，其前n项和为S n，且a1，a4,a13分别是等比数列｛b n｝的b2，b3，b4．（Ⅰ)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；（Ⅱ）证明．18．高考数学试题中共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分．”某考生每道题都给出了一个答案，已确定有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出两个选项是错误的,有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜,试求出该考生：(Ⅰ）得50分的概率；(Ⅱ）得多少分的可能性最大；(Ⅲ）所得分数ξ的数学期望．19．如图所示，已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB，点C为圆O上一点,且BC=AC．点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=DB．（1)求证：PA⊥CD；（2）求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．20．已知椭圆M：: +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点．（Ⅰ）求椭圆方程;(Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求｜S1﹣S2｜的最大值．21．设函数f（x）=ln(x+a）+x2（Ⅰ）若当x=﹣1时，f（x）取得极值，求a的值,并讨论f（x)的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4—1：几何证明选讲]22．如图,AB是⊙O的切线,ADE是⊙O的割线，AC=AB，连接CD、CE,分别与⊙O交于点F，点G．（1)求证：△ADC～△ACE；(2）求证：FG∥AC．［选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m(m∈R)．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知|x﹣1｜≤1,｜y﹣2｜≤1．(1）求y的取值范围；(2）若对任意实数x，y，｜x﹣2y+2a﹣1|≤3成立,求实数a的值．2016—2017学年广东省深圳市宝安区高三（上）摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合P=｛x｜x2﹣2x≥0}，Q={x｜1＜x≤2｝，则（∁R P)∩Q=（）A．［0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．［1，2］【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出P中不等式的解集确定出P，求出P补集与Q的交集即可．【解答】解：由P中不等式变形得:x(x﹣2）≥0,解得：x≤0或x≥2，即P=（﹣∞,0]∪［2，+∞），∴∁R P=（0，2），∵Q=（1，2],∴(∁R P）∩Q=（1，2），故选：C．2．若复数（1+ai）2﹣2i（i为虚数单位）是纯虚数,则实数a=（）A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：（1+ai)2﹣2i=1﹣a2+2ai﹣2i，∵（1+ai)2﹣2i是纯虚数，∴，即a=﹣1．故选：D．3．点M(x，y)是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x﹣y+m≥0恒成立,则的取m值范围是（)A．m≥3﹣2B．m≥3 C．m≥0 D．m≥1﹣2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将不等式恒成立转化为求最值问题，即可得到结论．【解答】解：若2x﹣y+m≥0总成立⇔m≥y﹣2x总成立即可,设z=y﹣2x，即求出z的最大值即可，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y﹣2x得y=2x+z,平移直线y=2x+z,由图象可知当直线经过点C（0，3）时，直线的截距最大,此时z最大，此时z=3﹣0=3,∴m≥3，故选：B．4．某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则该几何体的体积不可能是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据已知中的正视图和侧视图,可得当底面面面最大值，底面为正方形，求出几何体体积的最大值,可得结论．【解答】解：当底面面面最大值，底面为正方形，此时V=×1×1×2=,1＞，故该几何体的体积不可能是1，故选:D5．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍(纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．（﹣，）B．（﹣，)C．(﹣，）D．（﹣，）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换规律求得g（x)的解析式,再利用正弦函数的增区间，求得y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得函数g(x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，当k=0时，可得函数在区间（﹣，）单调递增．故选：A．6．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30,则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12,不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后，r=6,m=12,n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；7．如图，△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线交BC于D,若AB=4，且，则AD的长为（）A． B． C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用已知和向量的平行四边形法则可得四边形AEDF是菱形，再利用平行线分线段成比例定理可得ED，再利用向量的三角形法则可得，利用数量积的性质即可得出．【解答】解:如图所示．∵∠A的平分线交BC于D，且,∴四边形AEDF是菱形．∵，∴．∵DE∥AB，∴，∵AB=4，∴ED=3．又∠FAE=60°，,∴=32+32+2×3×3×cos60°=27．∴．故选：B．8．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C,AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC 的体积是(）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积,即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣,∴∠ACB=120°,∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，==36，∵S△ABC∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．9．若α∈（，π)且3cos2α=4sin（﹣α）,则sin2α的值为(）A．B．﹣C．﹣D．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件化简可得3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=,从而解得sin2α的值．【解答】解:∵α∈(，π),且3cos2α=4sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=4（cosα﹣sinα），化简可得：3（cosα+sinα）=2，平方可得1+sin2α=，解得：sin2α=﹣,故答案为:C．10．如果对于任意实数x，[x］表示不超过x的最大整数．例如[3。

广东省深圳市富源学校2017届高三第一次考试（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.复数512i-（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2- D ．22.已知集合{|A x y ==，2{|20}B x x x =-<，则A ∩B =( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(,2]-∞D ．(2,)+∞3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．()2x f x = B ．()sin f x x x = C ．1()f x x =D ．()||f x x x =-4.设双曲线2214y x -=上的点P 到点的距离为6，则P 点到(0,的距离是（ ） A ．2或10 B ．10C ．2D ．4或85.下列有关命题说法正确的是（ ） A ． 命题p ：“sin +cos =x x x ∃∈R ，”，则⌝p 是真命题B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ∃∈++<R “使得”的否定是：“210x x x ∀∈++<R ，” D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件 6.已知函数()2,1,1,1,1x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩则()()2f f -的值为( )A ．12 B ．15C ．15-D ．12-7.2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（ ）A ．130 B ．115C ．110D ．158.执行如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（ ）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1110.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+11.=∠=⋅==∆C B ABC 则中在,60,68（ ） A ．︒60 B ．︒30 C ．︒150D ．︒120 12.形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数2()log (1)a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最小值，则当,c b 的值分别为方程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．6二、填空题（每题4分，共20分。

深圳市2017届高三年级第一次调研考试数学（理科）本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、 不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则A B =（ ）A ． {}2,4B ．{}4,6C ．{}6,8D ．{}2,82．若复数()12a i a R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． 2 B ． 3 C ．-2 D ．-33．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）A ．14 B ．12 C ．13 D ． 234．等比数列{}n a 的前n 项和为,31b a S n n +⋅=-则a b = （ ） A ．-3 B ． -1 C. 1 D ．35．直线():40l kx y k R ++=∈是圆22:4460C x y x y ++-+=的一条对称轴，过点()0,A k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 （ ）A ．22B ．2 C. 6 D ．266．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h πC. ()22h π- D ．()24h π- 7．函数x x f x x cos 1212)(⋅-+=的图象大致是（ ）8．已知0,0a b c >><，下列不等关系中正确的是 （ ）A ．ac bc >B ．c c a b >C. ()()log log a b a c b c ->- D ．a b a c b c>-- 9．执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ）A ． 335B ．336 C. 337 D ．33810．已知F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，线段PF 与E 相交于点Q ，记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ，若2FP d =，则该双曲线的离心率是（ ）A 2B ．2 C. 3 D ．411．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ）A ．83π B ．53π C. 43π D ．23π 12．已知函数()2,0,x x f x x e e=≠为自然对数的底数，关于x 的方程()()20f x f x λ+=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ） A ．），（e 20 B ．),22(+∞ C.),2(+∞+ee D ．),42(22+∞+e e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（文科）、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.(5 分)已知集合 M ={x|x 2 =x}, N ={x| --0}，则 M 「］N=() x _11 1 （5 分）“ x ：：：0 ”是 “ In （x 1） ：：：0 ”（1 ）、f （卜，所得出的正确结果可能是（（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是1. A ..一B . {0}C . {1}D . {0 , 1}2. A .充分不必要条件B •必要不充分条件 3. 4.C .充分必要2 +i（5分）复数 ---- 的共轭复数是（ 1 -2i A . -3i5 3(5分)对于函数 f(x)二atanx • bx cx(a 、 D .既不充分也不必要条件 C . -ib 、c • R ），选取b 、c 的一组值计算f2和-1D . 2 和-26. （ 5分）将函数y=2sin （2x；）的图象向左平移丄7 1丄个周期后, 4所得图象对应的函数为7 . 9 .A. y =2si n(2x 兰)3B . y=2si n(2x 乞)12C. y =2sin(2 x D . y=2sin(2 x _—)12(5 分)已知当x d 时，f (x) =(2 _a)x • 1 ;当x-1 时，f(x)=a x(a.O 且a=1).若对任意X! =X2，都有f(x1)—f(x2)o成立，则a的取值范围是()X i -X2A . (1,2)3B .(1,R C.(5分)已知A. -35(5分)已知A. 58510. (5 分) .：j是第一象限角，满sin:- —cos tB . _35C.[|,2)，贝U cos2:=( 545(0 , 1)- (2，:-)x2+33 f(x) 一一(x・N )，贝U f(x)在定义域上的最小值为(B . 23 C. 33 D. 2 33y满足约束条件y..・Xx y--1 则z =3x • 4y的最小值为(2x 3y・・3C.215b , c满足(C.12 .( 5分)x (0,；)，都有f [f (x) -log 2 x] =3，则方程f(x)-f(x)=2的解所在的区间是(1 A. (O’？1B.(2，1)C. (1,2) D . (2,3)11. (5 分)设函数A. a b cB. a cb Xf(x)=家的图象如图，则二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.(5 分)已知平面向量 a =(1,2) , £ =(2, _m)，且 a _b ，则 |a - b.x14. _________________________________________________ (5分)曲线y 二sinx e 在点(0,1)处的切线方程为 ___________________________________________ . 15. ____________________________________________________________________ (5分)设当x =：•时，函数f(x) =3si nx cosx 取得最大值，则 tan2 ：• = _____________________. 216 . (5分)若定义在R 上的函数f(x)满足f (x) f (x) ：：:1且f(0)=3，则不等式f(x) x 1e(其中e 为自然对数的底数)的解集为 ________ . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤117 . (12 分)在：ABC 中，A , B , C 为的 a 、b 、c 所对的角，若 cosBcosC -sin Bsin C 2(1 )求 A ; (2)若 a =2..3, b=4，求 ABC 的面积.2 *{a n }前 n 项和为 S ，且 S n = n c(n • N ).(I)求 c , a n；a(n) 若b nn，求数列｛b n ｝前n 项和T n .219. ( 12分)某气象站观测点记录的连续 4天里，AQI 指数M 与当天的空气水平可见度 y (单)设喘，根据表的数据，求出y 关于x 的回归方程;n乞XiW - nxy y=bx a ；其中 i?==- 2 2j X i 〜nxi =1(2)小张开了一家洗车店， 经统计，当M 不高于200时，洗车店平均每天亏损约 18. (12分)已知等差数列(参考公a - t?x)2000 元;4000元；当M大于400时，洗车店平均当M在200至400时，洗车店平均每天收入约每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入.2第5页(共18页)220. (12分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x —2x_3(x . 0).(I)若函数g(x)#f(x)|』有4个零点，求实数a的取值范围；(n)求| f(x 1)|, 4的解集.221. (12 分)已知函数f(x) =1 nx-ax(a・ R)(I) 讨论f (x)的单调性；(n) 若对于x・(0, ；) , f(x), a -1恒成立，求实数a的取值范围.［选修4-1:几何证明选讲］22. (10分)选修4 _1 ：平面几何如图AB是L O的直径，弦BD , CA的延长线相交于点E , EF垂直BA的延长线于点F .(I)求证：.DEA=/DFA ;(II )若.EBA =30 , EF = 3 , EA =2AC，求AF 的长.［选修4-4 :坐标系与参数方程］23. 在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系.设曲线C :《x —仪为参数)；直线丨：p(c°s B +sin日)=4 .y 二sin •.<(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(n)求曲线C上的点到直线l的最大距离.［选修4-5:不等式选讲］24. 设函数f (x) =|2x • 1| _|x _2| .(1 )求不等式f(x) .2的解集；(2)-x・R，使f(x)-t2 -^t，求实数t的取值范围.第5页（共18页）2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合M ={x|x?二x}, N ={x|—--0}，贝U M D N=（）x _1 ||A . .一B . {0} C. {1} D. {0 , 1}【解答】解：•.•集合M ={x|x? =x}, N ={x|—-0},x —1.M ={0 , 1} , N ={x|x, 0 或x 1},M p|N 二{0}.故选：B .2. （5 分）“ x ：：：0 ”是“ ln（x 1）：：：0 ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件【解答】解：；x：：：0,. x・1：：：1，当x 1 0 时，In （x・1）：：：0 ;Tin（x 1）：：0 , 0 ：：： x 1 ：：1 , - 1 ：： x ：： 0 , x ：： 0 ,“ x ：：： 0 ”是In （x 1）：： 0的必要不充分条件.故选：B .3. （5分）复数务的共轭复数是（A . -3i【解答】解：复数B.3i52 - i (2 i)(1 2i)C. -i1_2i (1_2i)(1 2i)，它的共轭复数为: _,i .故选：C .34. ( 5 分)对于函数f(x) =atanx bx cx(a、 c • R），选取a、b、c的一组值计算f（1 ）、f （卜，所得出的正确结果可能是（C. 2 和-1 D . 2 和-2第5页（共18页）第5页（共18页）于原点对称，【解答】解：根据题意，对于函数3f （X ）二atanx bx cx ，其定义域为 {x|x=k二石}，第9页(共18页)3又由 f(「x)=Jatanx 亠bx 亠cx) = _f(x),故函数f(x)为奇函数, 必有—f (1) = f(_1)，即f (1 )、f& 的值互为相反数; 分析选项可得：只有 D 的2个数互为相反数; 故选：D .5. ( 5分)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是C .【解答】 解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出由于S =丄1X2故选: 丄的值. 6 71 1 1—"T -———2 2 3第8页（共18页）2 — y =2sin(2 x )3ny=2s "(2^3)【解答】解：函数y =2sin(2 x )的周期T,6 2分)将函数y =2sin(2x)的图象向左平移 6-个周期后，所得图象对应的函数为(4y 二 2sin(2 x —)12 厂2s in(2xpx第11页(共18页)3 .2sin 「cos 二5.sin -：：「cos ： = (sin 二、cos -：i )2 = 1 2sin -i cos ： =2 10, 5 22I i2(10 -贝 U cos2 ： -cos ■- -sin : - (cos ：£ 亠 sin 、：)L(cos ： - sin 、：)10、 4)= 5 5故选：C .x 2 +33 一 *9. ( 5分)已知f(x)(x ・N )，贝U f(x)在定义域上的最小值为(将函数y =2si n(2x)的图象向左平移1个周期，即向左平移 二个单位,64 4.平移后所得图象对应的函数为 y =2sin[2( x 匸)•三]=2sin(2 x —).4 63故选：A .7.( 5 分)已知当 x <1 时，f (x^(2 -a)x 1 ;当 xT 时，f(x)=a x (a.O 且 a").若对任意X i =X 2，都有f(xi)一仏)o 成立，则a 的取值范围是()X i —X 233A . (1,2)B . (1q]C . [-,2)D . (0, 1)- (2，:：)【解答】解：对任意為-x 2，都有f (x1)- f(x 2)0成立，X 1 — X 2即为f (x)在R 上单调递增，由当 x ：：；1 时，f(x) =(2 _a)x 1，可得 解得a ：：：2 ;① 又当 x--1 时，f(x)二 a x (a 0 且 a 厂1),又f(x)在R 上单调递增，可得32 —a +1, a ，解得a …？③3由①②③可得-,a <2 ,2故选：C .2 -a 0 ,& ( 5分)已知：丄是第一象限角，满sin : - cos 、；C .105 4，则 cos2 -(【解答】解: •是第一象限角，-10 510.1 —2sin 一：：cos 二25第8页（共18页）:x^N* 0 ,x■ 33…2、4J 33 =2・、33，当且仅当x 二33时取等号•但x. N*，故x =5或x =6 ,当 x =5 时，f (x)：5当 x =6 时，f (x)二23故选：B ."•••X10. （5分）若x , y 满足约束条件 x y--1 则z =3x 4y 的最小值为（）2x 3厂3C . 4【解答】解：先根据约束条件 x y--1 画出可行域， 2x 3y ・・・323C . .33D . 2、33【解答】解：由f （x ）=—次竺,xx故得f （x ）在定义域上的最小值为 23221 ~5设z =3x 4y ,将最大值转化为y轴上的截距，（x：：；'y =1 当直线z =3x 4y经过点B时，z最大，由丫可得B（0,0）|2x 3y =3最大值是：3 0 ^ 4 1=4 .故选：C .x第13页(共18页)。

2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则M∩N=（）A．∅B．{0}C．{1}D．{0，1}2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i4．（5分）对于函数f（x）=atanx+bx3+cx（a、b、c∈R），选取a、b、c的一组值计算f（1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1 B．2和0 C．2和﹣1 D．2和﹣25．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（5分）将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．B．C． D．7．（5分）已知当x＜1时，f（x）=（2﹣a）x+1；当x≥1时，f（x）=a x（a＞0且a≠1）．若对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．（0，1）∪（2，+∞）8．（5分）已知α是第一象限角，满足，则cos2α=（）A．﹣ B．C．D．9．（5分）已知，则f（x）在定义域上的最小值为（）A．B．C． D．10．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x+4y的最小值为（）A．3 B．C．4 D．11．（5分）设函数f（x）=的图象如图，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a12．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知平面向量=（1，2），=（2，﹣m），且，则=．14．（5分）曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程为．15．（5分）设当x=α时，函数f（x）=3sinx+cosx取得最大值，则tan2α=．16．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）＜1且f（0）=3，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，A，B，C为的a、b、c所对的角，若．（1）求A；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n ，且（n∈N*）．（Ⅰ）求c，a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}前n项和T n．19．（12分）某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：（1）设x=，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；（参考公式：；其中，）（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．20．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于x∈（0，+∞），f（x）≤a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C：（α为参数）；直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．2017年广东省深圳市三校联考高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则M∩N=（）A．∅B．{0}C．{1}D．{0，1}【分析】先求出集合M，N，利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合，∴M={0，1}，N={x|x≤0或x＞1}，∴M∩N={0}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．4．（5分）对于函数f（x）=atanx+bx3+cx（a、b、c∈R），选取a、b、c的一组值计算f（1）、f（﹣1），所得出的正确结果可能是（）A．2和1 B．2和0 C．2和﹣1 D．2和﹣2【分析】根据题意，由奇函数的定义分析可得函数f（x）为奇函数，进而分析可得f（1）、f（﹣1）的值互为相反数；据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f（x）=atanx+bx3+cx，其定义域为{x|x≠kπ+}，关于原点对称，又由f（﹣x）=﹣（atanx+bx3+cx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，必有﹣f（1）=f（﹣1），即f（1）、f（﹣1）的值互为相反数；分析选项可得：只有D的2个数互为相反数；故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，关键是分析得到函数f（x）为奇函数．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=+ +…+的值，由裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=++…+的值．由于S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了裂项法求数列的和，属于基础题．6．（5分）将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．B．C． D．【分析】由已知函数解析式求得函数周期，再结合三角函数的图象平移得答案．【解答】解：函数的周期T=，将函数的图象向左平移个周期，即向左平移个单位，∴平移后所得图象对应的函数为y==．故选：A．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的图象平移，是基础题．7．（5分）已知当x＜1时，f（x）=（2﹣a）x+1；当x≥1时，f（x）=a x（a＞0且a≠1）．若对任意x1≠x2，都有成立，则a的取值范围是（）A．（1，2） B． C． D．（0，1）∪（2，+∞）【分析】由题意可得f（x）在R上单调递增，分别运用一次函数和指数函数的单调性，以及单调性的定义，得到a的不等式，求交集，即可得到所求范围．【解答】解：对任意x1≠x2，都有成立，即为f（x）在R上单调递增，由当x＜1时，f（x）=（2﹣a）x+1，可得2﹣a＞0，解得a＜2；①又当x≥1时，f（x）=a x（a＞0且a≠1），可得a＞1；②又f（x）在R上单调递增，可得2﹣a+1≤a，解得a≥③由①②③可得≤a＜2，故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及单调性的定义，考查运算能力，属于中档题和易错题．8．（5分）已知α是第一象限角，满足，则cos2α=（）A．﹣ B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sinα+cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【解答】解：∵α是第一象限角，满足，∴1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=，∴sinα+cosα===，则cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=•（﹣）=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．9．（5分）已知，则f（x）在定义域上的最小值为（）A．B．C． D．【分析】先分离常数，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由f（x）==x+，∵x∈N*＞0，∴x+≥=2，当且仅当x=时取等号．但x∈N*，故x=5或x=6，当x=5时，f（x）=，当x=6时，f（x）=，故得f（x）在定义域上的最小值为．故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x+4y的最小值为（）A．3 B．C．4 D．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+4y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+4y过可行域内的点A时，从而得到z值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+4y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=3x+4y经过点B时，z最大，由可得B（0，0）最大值是：3×0+4×1=4．故选：C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．（5分）设函数f（x）=的图象如图，则a，b，c满足（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】先观察函数的对称性知其是偶函数，得出a值，再结合图象的最高点得出函数的最大值求得，最后依据函数的定义域即可得出c的符号，从而问题解决．【解答】解：∵函数的图象关于y轴对称，故它是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）∴a=0．又由图知，当x=0时，函数取得最大值，且最大值是一个大于1的实数∴，依图得，其定义域为R，∴c＞0，∴b＞c＞0．故选：D．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．12．（5分）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2） D．（2，3）【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x为定值，可以设t=f （x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）；将f（x）与f′（x）代入f（x）﹣f′（x）=2，变形化简可得log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：C．【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知平面向量=（1，2），=（2，﹣m），且，则=．【分析】根据便可得出，从而求出m=1，进而可求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：∵；∴；∴m=1；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量坐标的加法运算，根据向量坐标求向量长度的公式．14．（5分）曲线y=sinx+e x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．【分析】求出函数y=sinx+e x的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程．【解答】解：y=sinx+e x的导数为y′=cosx+e x，在点（0，1）处的切线斜率为k=cos0+e0=2，即有在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．故答案为：y=2x+1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键．15．（5分）设当x=α时，函数f（x）=3sinx+cosx取得最大值，则tan2α=．【分析】利用辅助角公式化简求解f（x）取得最大值的α的关系式．利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．【解答】解：函数f（x）=3sinx+cosx=sin（x+φ），tanφ=，∴cotφ=3，当x=α时，函数f（x）取得最大值，即α+φ=，可得：α=2kπ+（﹣φ），那么：tanα=tan（2kπ+φ）=tan（﹣φ）=cotφ=3，则tan2α=．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的性质和辅助角的灵活运用能力．属于中档题．16．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）＜1且f（0）=3，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（﹣∞，0）．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＜1，∴f（x）+f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵e x f（x）＞e x+2，∴g（x）＞2，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=3﹣1=2，∴g（x）＞g（0），∴x＜0故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，A，B，C为的a、b、c所对的角，若．（1）求A；（2）若，求△ABC的面积．【分析】（1）利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，即可求出A的度数；（2）利用余弦定理和完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再利用三角形面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，又A+B+C=π，∴A=；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，解得bc=4，则△ABC的面积为S=bc•sinA=×4×=．【点评】本题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解题的关键．18．（12分）已知等差数列{a n}前n项和为S n，且（n∈N*）．（Ⅰ）求c，a n；（Ⅱ）若，求数列{b n}前n项和T n．【分析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴a1=S1=1+c，a2=S2﹣S1=（4+c）﹣（1+c）=3，a3=S3﹣S2=5…（2分）又∵{a n}等差数列，∴6+c=6，c=0；…（3分）d=3﹣1=2；a1=S1=1+c=1，…（4分）∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1…（5分）（2）…（6分）…①…（7分）…②…（8分）①﹣②得…（9分）…（10分）…1（1分）…（12分）【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）某气象站观测点记录的连续4天里，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位cm）的情况如下表1：哈尔滨市某月AQI指数频数分布如下表2：（1）设x=，根据表1的数据，求出y关于x的回归方程；（参考公式：；其中，）（2）小张开了一家洗车店，经统计，当M不高于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当M在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当M大于400时，洗车店平均每天收入约7000元；根据表2估计小张的洗车店该月份平均每天的收入．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可求得线性回归方程；（2）确定每月的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望．【解答】解：（1）=（9+7+3+1）=5，=（0.5+3.5+6.5+9.5）=5，则==﹣1.05，=5﹣（﹣1.05）×5=10.25，故．（2）由表2知AQI指数不高于200的频率为=0.1，AQI指数在200至400的频率为=0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．设每月的收入为X，则X的分布列为则X的数学期望为E（X）=﹣2000×0.1+4000×0.2+7000×0.7=5500，即小张的洗车店该月份平均每天的收入为5500．【点评】本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0）．（Ⅰ）若函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求|f（x+1）|≤4的解集．【分析】（Ⅰ）利用f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象，利用函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣2x﹣3（x＞0），则．…（2分）从而可得函数y=f（x）与y=|f（x）|的图象分别如下图所示．…（4分）因为函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点，则题设可等价转化为函数y=|f（x）|与函数y=a的图象有4个交点．…（5分）由右上图可知，a=4或0＜a≤3，…（6分）即：当a=4或0＜a≤3时，函数g（x）=|f（x）|﹣a有4个零点．…（7分）（Ⅱ）令f（x）=4得，或﹣1，…（8分）因为f（x）是定义在R上的奇函数，当f（x）=﹣4时，解得或1…（9分）结合左上图可知，，…（10分）即：．…（11分）所以所求解集为．…（12分）【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若对于x∈（0，+∞），f（x）≤a﹣1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立．求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．因为，…（1分）所以：（i）当a≤0时，f'（x）＞0对∀x∈（0，+∞）恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（2分）（ii）当a＞0时，令或（舍）．…（3分）当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减．…（4分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a+1=lnx﹣ax2﹣a+1（x＞0）则依题意，g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0对∀x∈（0，+∞）恒成立．…（5分）由于，所以由（1）可知：当a≤0时，g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，g（x）在上单调递增；在上单调递减．此时，g（x）在处取得最大值．…（6分）若a≤0，因为g（1）=﹣2a+1＞0，显然与题设相矛盾；…（7分）若a＞0，则题设等价于（*），…（8分）不妨设，则．所以（*）式等价转化为（t＞0）．…（9分）记，则F（1）=0．因为，所以F（t）在（0，+∞）上单调递增．…（10分）所以F（t）≤0⇔0＜t≤1，…（11分）即：，解得，．所以所求的实数a的取值范围为．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）选修4﹣1：平面几何如图AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．（I）求证：∠DEA=∠DFA；（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的长．【分析】（Ⅰ）连接AD，BC，证明A，D，E，F四点共圆，可得结论；（Ⅱ）证明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，从而可求AF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接AD，BC．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，故A，D，E，F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA；（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，所以△EFA∽△BCA，所以所以AF×AB=AC×AE设AF=a，则AB=3﹣a，所以a（3﹣a）=，所以a2﹣2a+1=0，解得a=1所以AF的长为1．【点评】本题考查四点共圆，考查三角形的相似，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系．设曲线C：（α为参数）；直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离．【分析】（Ⅰ）先根据sin2α+cos2α=1消去α将C转化普通方程，然后利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将l转化为直角坐标方程即可；（Ⅱ）先在曲线C上任取一点，然后利用点到直线的距离公式建立函数关系，最后利用辅助角公式求出最值．【解答】解：（Ⅰ）根据sin2α+cos2α=1将C转化普通方程为：利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，将l转化为直角坐标方程为：x+y﹣4=0（Ⅱ）在上任取一点A（cosα，sinα），则点A到直线的距离为d==，它的最大值为3．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，以及点到直线的距离公式的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．【点评】考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分类讨论的数学思想，属中档题．。

2017年3月广东省高考模拟考试数学第Ⅰ卷（选择题共60分）x x④ycosA ．π3B ．2π3C ．5π6D ．4π39．在长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，直线A 1C 与平面BC 1D 交于点M ，则M 为1BC D △的（ ） A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心10．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关义在R 于直线1x =对称，且当01<≤x 时，3()log f x x =，则方程3(x)1(0)f f +=在区间(2012,2014)内所有实根之和为（ ） A ．4 022B ．4 024C ．4 026D ．4 02811．双曲线22221x y a b+=(0)a >的右焦点0(,)F c ，方程220+-=ax bx c 的两根为2，l x x ,则点12(,)P x x 可能在（ ）A ．圆222+=x y 上B ．圆223+=x y 上C ．圆224+=x y 上D ．圆225+=x y 上12．已知函数()=f x 1,x 00,x 0x x ⎧+≠⎪⎨⎪=⎩，则关于x 的方程20(x)(x)f bf c ++=有5个不同实数解的充要条件是（ ）A ．2b <-且c >0B ．2b >-且c <0C ．2b <-且c =0D ．2b ≥-且c =0第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数()lg f x x =，若33()()3f a f b +=，则ab 的值为_______．14．执行右边的框图所描述的算法程序，记输出的一列数为12,,,n a a a ⋯,n ∈*N .若输人2λ=，则8a =_______．15．若直线1 1=+y k x 与直线21y k x =-的交点在椭圆2221x y +=上，则12k k 的值为______．16．如图，O 为ΔABC 的外心，4, 2AB AC ==,ABC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO 的值为______．三、解答题：解答应在答卷（答题卡）的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，且cos cos +=+cosB a b cA C． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若角B 是ΔABC 的最大内角，求sin cos B B -的取值范围．BAC ∠18．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为C 1C 、DB 的中点. （Ⅰ）求证：A 1F 丄平面EDB ;（Ⅱ）若AB =2，求点B 到平面A 1DE 的距离.19．（本小题满分12分）若空气质量分为1、2、3三个等级．某市7天的空气质量等级相应的天数如图所示． （Ⅰ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级一样的概率；（Ⅱ）从7天中任选2天，求这2天空气质量等级数之差的绝对值为1的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为12，焦点F 在直线:10l x my ++=上．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）设直线L 与椭圆相交于M 、N 两点，自M N 、向直线x a =作垂线，垂足分别是11M N 、.记1111FMM FM N FNN ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，若123,14,S S S 成等比数列，求m 的值． 21．（本小题满分12分）已知函数2() ln(1)f x x x ax =+-+．（Ⅰ）若12a =，求证当0,()0x f x ≥≥时；（Ⅱ）当0≤a 时，求证：曲线 ()y f x =上任意一点P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点P ．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答卷（答题卡）上把所选题目的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ΔABO 三边上的点C 、D 、E 都在O 上，已知AB DE ∥，AC CB =． （Ⅰ）求证:直线AB 是O 的切线；（Ⅱ）若2AD =，且tan 1tan 2ACD ∠=，求O 的半径r 的长． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin p θ=． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)P 的直线2与圆C 交于A ，B 两点． PA PB 是定值．2017年3月广东省高考模拟考试数 学·答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1~5．BDABA6~10．BDDDC11~12．DC二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．1014．78 15．2- 16．5三、解答题（共6小题，共70分） 17．解：（Ⅰ）由cosA cos cos a b c B C +=+及正弦定理，得sin sin sin cosA cos cos A B CB C+=+，即 sin cos sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C -=-，故sin()sin()A B C A -=-∵π,,(0,)2A B C ∈，∴ππππ,2222A B C A -<-<-<-<，∴A B C A -=- 又πA B C ++=，∴π3A =； …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知π3A =，故2π3B C +=，而π02C <<，B 是ABC △的最大内角，故ππ32B ≤<，∴πππππsin cos 2sin()[2sin(),2sin())43424B B B -=-∈--即31sin cos (,1)B B --∈ …12分18．解：（Ⅰ）连接1A B 、EF ，设此正方体的棱长为2a ，则1122A D A B a ==，F 为DB 的中点，∴1A F DB ⊥． 在1Rt A FD △中，2222116A F A D DF a =-=． 在Rt ECB △中，22225EB EC BC a =+=， 在Rt EFB △中，22223EF EB FB a =-=．在11Rt AC E 中，222211119A E AC C E a =+=，故22211A E A F FE =+，即1A F EF ⊥．又,DB EF ⊂平面EDB ，DBEF F =，故1A F ⊥平面EDB ； …6分（Ⅱ）由2AB =知，122A D =，13A E =，5DE =，∴222111112cos 2A D A E DE DA E A D A E +-∠==，∴1π4DA E ∠=，11111sin 32A DE S A D A E DA E =∠=△． 在等腰EDB △中，EF ，162EDBSEF DB ==． 在1Rt A AF △中，12,A A AF ==，故1A F =，由（Ⅰ）知1A F ⊥平面EDB 设点B 到平面1A DE 的距离为h ，∵111133A DE EDB S h S A F =△△，解得2h =． 故点B 到平面1A DE 的距离为2． …12分19．解：由题意知空气质量为1级的有2天，2级的有3天，3级的有2天．记空气质量为1级的天数为12,A A ，2级的天数为123,,B B B ，3级的天数为12,C C ． 从7天中任选2天，共有121112131112(,),(,),(,),(,),(,C ),(,C )A A A B A B A B A A ，2122232122(,B ),(,),(,),(,C ),(,C )A A B A B A A ，121311(,B ),(,),(,C )B B B B 12231122313212(,C ),(,),(,C ),(,C ),(,C ),(,C ),(,)B B B B B B B C C 等21种情形．（Ⅰ）记事件A 为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级一样”，有1212(,),(,B )A A B132312(,),(,),(,)B B B B C C 5种情形，故5()21P A =； …6分 （Ⅱ）记事件B 为“从7天中任选2天，这2天空气质量等级数之差的绝对值为1”，有111213212223111221(,),(,),(,),(,B ),(,),(,),(,C ),(,C ),(,),A B A B A B A A B A B B B B C223132(,C ),(,C ),(,C )B B B 12种情形，故124()217P B ==． …12分 20．解：（Ⅰ）由题意知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为(,0),(,0)c c -，0c >，直线l ：10x my ++=过焦点F ，可知F 为左焦点且1c =，又12c a =，解得24a =，23b =，于是所求椭圆的方程为22143x y +=； …4分（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =--，则11(2,)M y ，11(2,)N y 由221143x my x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=，故122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1311221212111(2)(2)(3)(3)224S S x y x y my my y y =--=++， 21212121[()3()9]4m y y m y y y y =+++2281(34)m =+． 2222212121222111981(1)()(3)[()4]4162644(34)m S y y y y y y m +=-=+-=+．由1S ，214S ，3S 成等比数列，得22131()4S S S =，即2222281(1)814(34)(34)m m m +=++ 解得3m =±． …12分21．解：（Ⅰ）当12a =时，2()ln(1)2x f x x x =+-+，则21()111x f x x x x '=-+=++， 当0x ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在0x ≥时为增函数．故当0x ≥时，()(0)0f x f ≥=，∴对0x ∀≥时，()0f x ≥成立； …4分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y x x f x f x '=-+，令000()()()()()g x f x x x f x f x '=---．曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有这一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点． 因为()0g x =，且0001()()()()[2](1)(1)g x f x f x x x a x x '''=-=--++．当0a ≤时，若01x x ≥>-，有()0g x '≤，∴0()()0g x g x ≤=； 若01x x -<<，有()0g x '>，即0()()0g x g x <=．所以曲线()y f x =上任意一点P 处的切线与该曲线有且仅有这一个公共点P ．…12分 22．解：（Ⅰ）∵AB DE ∥，∴OA OBOD OE=，又OD OE r ==，得OA OB =． 连结OC ，∵AC CB =．∴OC AB ⊥．又点C 在O 上，∴AB 是O 的切线； …5分（Ⅱ）延长DO 交o 于F ，连结FC ．由（Ⅰ）AB 是O 的切线，∴弦切角ACD F ∠=∠，于是A ACD FC ∽△△．而90DCF ∠=︒，又∵1tan tan 2ACD F ∠=∠=，∴12CD FC =． ∴12AD CD AC FC ==,而2AD =，得4AC =． 又222(22)4AC AD AF r =⇒+=，于是3r =． …10分23．解：（Ⅰ）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，即2240x y y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为2240x y y +-=． …5分（Ⅱ）过点(1,1)P 的参数方程为()1cos 1sin x t y t t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数，将其代入圆C 的方程2240x y y +-=，得22(cos sin )20t t θθ+--=．∴122t t =，故2PA PB =． …10分24．解：（Ⅰ）由()2f x x ≤+得，201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩，或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩，或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩，解之，得02x ≤≤，∴()2f x x ≤+的解集为{02}x x ≤≤； …5分（Ⅱ）∵1211111121232a a aa a a+--=+--≤++-= （当且仅当11(1)(2)0a a+-≤，上式取等号） 由不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得，113x x -++≥，解此不等式，得32x ≤-，或32x ≥． …10分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0:11,,60,.22B B =∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130 答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130, D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为 . '5'0:530:5,5,35,530.x x x y y e y y x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= . 51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ，（1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 55233:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin coscos sin )3(sin()cos cos()sin )4444323cos sin 6cos 426cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CDDE CF CP EF DCDE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴=⋅======⋅∴====为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠==12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,19||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为，离心率为3，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--∴++-><->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-+++<--<<-<-∴-<-<-<--+∴=-∞------+---+-+∞==-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-+∞+>+++>+>∴<-∞------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴-<----<<--+-+--+<+->∴><+<<-+++<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii xx x x x kx x k k kg x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<<--+<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f --<<-+<-++<∴<>+->∴<++-+<---⋃--⋃-+⋃-+-+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试（一模）(理)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}22,4,,6,8,B |9180A x x x ==-+≤，则A B =（ ）A ． {}2,4B ．{}4,6C ．{}6,8D ．{}2,82.若复数()12a i a R i+∈+为纯虚数，其中i 为虚数单位，则a = （ ） A ． 2 B ． 3 C ．-2 D ．-33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）A ．14 B ．12 C ．13 D ． 234.等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a b -=+，则a b = （ ） A ．-3 B ． -1 C. 1 D ．35.直线():40l kx y k R ++=∈是圆22:4460C x y x y ++-+=的一条对称轴，过点()0,A k 作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为 （ ）A ．2B C. D ．6.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为()02h h <<的平面截该几何体，则截面面积为 （ ）A ．4πB ．2h π C. ()22h π- D ．()24h π- 7. 函数()21cos 21x x f x x +=-的图象大致是（ ） A ． B ．C. D ．8.已知0,0a b c >><，下列不等关系中正确的是 （ ）A ．ac bc >B ．c c a b > C. ()()log log a b a c b c ->-D ．a b a c b c>-- 9. 执行如图所示的程序框图，若输入2017p =，则输出i 的值为（ ）A ． 335B ．336 C. 337 D ．33810.已知F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，过点F 作E 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，线段PF 与E 相交于点Q ，记点Q 到E 的两条渐近线的距离之积为2d ，若2FP d =，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．2 C. 3 D ．411. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，球O 与该正方体的各个面相切，则平面1ACB 截此球所得的截面的面积为（ ）A ． 83πB ．53π C. 43π D ．23π 12. 已知函数()2,0,x x f x x e e=≠为自然对数的底数，关于x 的方程0λ-=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（ ）A ．20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()+∞ C. 2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D ．224,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量()()1,2,,3p q x ==，若p q ⊥，则p q += ．14. 51x ⎫⎪⎭的二项展开式中，含x 的一次项的系数为 ．（用数字作答） 15.若实数,x y 满足不等式组4023801x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k = ．16.已知数列{}n a 满足()()2222n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对*n N ∀∈恒成立，则实数λ的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知2sin cos a A a C =-．（1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积S 的最大值．18. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACEF 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G，2,AB BD AE EAD EAB ===∠=∠．（1）证明：平面ACEF ⊥平面ABCD ；（2）若AE 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角B EF D --的余弦值．19. 某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求,a b 的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．20. 已成椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为12A A 、，上下顶点分别为21B B 、，左右焦点分别为12F F 、，其中长轴长为4，且圆2212:7O x y +=为菱形1122A B A B 的内切圆．（1）求椭圆C 的方程；（2）点(),0N n 为x 轴正半轴上一点，过点N 作椭圆C 的切线l ，记右焦点2F 在l 上的射影为H ，若1F HN ∆的面积不小于2316n ，求n 的取值范围． 21. 已知函数()ln ,f x x x e =为自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程；（2）关于x 的不等式()()1f x x λ≥-在()0,+∞上恒成立，求实数λ的值；（3）关于x 的方程()f x a =有两个实根12,x x ，求证：21221x x a e --<++． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，已知曲线E经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，其参数方程为cos x a y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A B 、，且O A O B ⊥，求证：2211OA OB +为定值，并求出这个定值．23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-，记关于x 的不等式()()f x g x <的解集为M ．（1）若3a M -∈，求实数a 的取值范围；（2）若[]1,1M -⊆，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题1-5: BCBAC 6-10: DCDCB 11、12：BC二、填空题13. 14. -5 15. 3 16. [)0,+∞三、解答题17.解:（1）由已知及正弦定理可得2sin sin sin cos A C A A C =-，在ABC ∆中，sin 0A >，∴2cosC C =-，1cos 12C C -=， 从而sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0C π<<， ∴5666C πππ-<-<， ∴62C ππ-=， ∴23C π=；（2）解法：由（1）知23C π=，∴sin C =，∵12sin 2S ab C =，∴S =， ∵222cos 2a b c C ab+-=， ∴223a b ab +=-，∵222a b ab +≥，∴1ab ≤（当且仅当1a b ==时等号成立），∴S =≤； 解法二：由正弦定理可知2sinA sin sin a b c B C ===， ∵1sin 2S ab C =，∴sin S A B =，∴sin 3S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴26S A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵03A π<<， ∴52666A πππ<+<，∴当262A ππ+=，即6A π=时，S 18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=，在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆，∴ED EB =，∴BD EG ⊥，∵AC EG G =，∴BD ⊥平面ACFE ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：过G 作EF 垂线，垂足为M ，连接,,MB MG MD ，易得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角，∴060EAC ∠=，∵,EF GM EF BD ⊥⊥，∴EF ⊥平面BDM ，∴DMB ∠为二面角B EF D --的平面角，可求得3,2MG DM BM ===， 在DMB ∆中由余弦定理可得：5cos 13BMD ∠=， ∴二面角B EF D --的余弦值为513；解法二：如图，在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点，由（1）可知，平面ACFE ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥平面ABCD ，∴直线,,GM GA GB 两两互相垂直，分别GA GB GM 、、为,,x y z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，易得EAC ∠为AE 与平面ABCD 所成的角，∴060EAC ∠=，则()()330,1,0,0,1,0,E ,22D B F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333323,0,0,,1,,,1,2222FE BE DE ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面BEF的一个法向量为(),,n x y z =，则0n FE =且0n BE =，∴0x =，且302x y z -+= 取2z =，可得平面BEF 的一个法向量为()0,3,2n =，同理可求得平面DEF 的一个法向量为()0,3,2m =-，∴5cos ,13n m =， ∴二面角B EF D --的余弦值为513． 19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-，当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩， ∴0.0015,0.0020a b ==；（3）由题意可知X 可取50，150，250，350，450，550.当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==，当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==，当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故Y 的概率分布列为：所以随机变量X 的数学期望250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意知24a =，所以2a =， 所以()()()()12122,0,2,0,0,,0,A A B b B b --，则 直线22A B 的方程为12x yb+=，即220bx y b +-=， =23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由题意，可设直线l 的方程为,0x my n m =+≠，联立223412x my n x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()()222346340m y mny n +++-=，（*） 由直线l 与椭圆C 相切，得()()()2226433440mn m n ∆=-⨯+-=，化简得22340m n -+=，设点(),H mt n t +，由（1）知()()121,0,1,0F F -，则 ()0111t mt n m-=-+-，解得()211m n t m -=-+，所以1F HN ∆的面积()()()1222111112121F HNm n m n S n m m∆---=+=++， 代入22340m n -+=消去n 化简得132F HN S m ∆=，所以()223333421616m n m ≥=+，解得223m ≤≤，即2449m ≤≤，从而244493n -≤≤，又0n >4n ≤≤，故n 的取值范围为,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.解（1）对函数()f x 求导得()1ln ln 1f x x x x x'=+=+， ∴()22ln 11f e e --'=+=-， 又()2222ln 2f e e e e ----==-，∴曲线()y f x =在2x e -=处的切线方程为()()222y e x e ----=--，即2y x e -=--；（2）记()()()()1ln 1g x f x x x x x λλ=--=--，其中0x >， 由题意知()0g x ≥在()0,+∞上恒成立，下求函数()g x 的最小值， 对()g x 求导得()ln 1g x x λ'=+-， 令()0g x '=，得1x e λ-=，当x 变化时，()(),g x g x '变化情况列表如下：∴()()()()()1111min 11g x g x g e e e e λλλλλλλ----===---=-极小， ∴10e λλ--≥， 记()1G eλλλ-=-，则()11G eλλ-'=-，令()0G λ'=，得1λ=．当λ变化时，()(),G G λλ'变化情况列表如下：∴()()()max 10G G G λλ===极大， 故10e λλ--≤当且仅当1λ=时取等号， 又10e λλ--≥，从而得到1λ=； （3）先证()2f x x e -≥--，记()()()22ln h x f x x e x x x e --=---=++，则()ln 2h x x '=+， 令()0h x '=，得2x e -=，当x 变化时，()(),h x h x '变化情况列表如下：∴()()()22222min ln 0h x h x h e e e e e -----===++=极小，()0h x ≥恒成立，即()2f x x e -≥--，记直线2,1y x e y x -=--=-分别与y a =交于()()12,,,x a x a ''，不妨设12x x <，则()22111a x ef x x e --'=--=≥--，从而11x x '<，当且仅当22a e -=-时取等号，由（2）知，()1f x x ≥-，则()22211a x f x x '=-=≥-， 从而22x x '≤，当且仅当0a =时取等号，故()()22122121121x x x x x x a a ea e--''-=-≤-=+---=++，因等号成立的条件不能同时满足，故21221x x a e --<++．22.解：（1）将点P ⎛ ⎝⎭代入曲线E的方程：1cos a αα-⎧=， 解得23a =，所以曲线E 的普通方程为22132x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 132ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， （2）不妨设点,A B 的极坐标分别为()1212,,,,0,02A B πρθρθρρ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭， 则()()2211222211cos sin 13211cos sin 13222ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 即22212222111cos sin 32111sin cos 32θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴22121156ρρ+=， 即221156OAOB +=， 所以2211OAOB+为定值56． 23.解：（1）依题意有：()233a a a -<--， 若32a ≥，则233a -<，∴332a ≤<，若302a ≤<，则323a -<，∴302a <<， 若0a ≤，则()323a a a -<---，无解， 综上所述，a 的取值范围为()0,3；（2）由题意可知，当[]1,1x ∈-时，()()f x g x <恒成立， ∴3x a +<恒成立，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴22a -<<．安徽省江南十校2017年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，则|z|=（）A．B．1 C．5 D．252．设集合A={x∈Z||x|≤2}，，则A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2}C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}3．已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m=（）A．B．C．D．4．已知，则sinα（sinα﹣cosα）=（）A．B．C．D．5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）A．B．C．D．7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20 B．22 C．24 D．269．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，则的值为（）A．B．C．D．10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．B．C．D．11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f（x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是．14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x 的次数为1的项的系数为．15．已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=k sin x cos x（k ＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；（2）求数列{S n}的前n项和T n．18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：②记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，DE=BF= CG．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得GH=CG．（1）求证：PH⊥平面AEF；（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+ln x，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题1．B【解析】==，则|z|==1．故选：B．2．C【解析】A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥或x＜0}，故A∩B={﹣2，﹣1，2}，故选：C．3．D【解析】根据题意，向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），则；若（+）∥（﹣），（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1）解可得：；故选：D．4．A【解析】，故选：A．5．D【解析】模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．6．B【解析】质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．基本事件总数N=42=16，记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含听基本事件有：（1，1），（0，1），（1，0），共3个，∴事件A发生的概率为．故选：B．7．D【解析】由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：D．8．C【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．9．D【解析】在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，∴A=45°，B=60°，C=75°，那么△ABC的面积为S1=ac sin B=a2=a2外接圆面积为S2=πR2，R=，∴=．故选D．10．B【解析】由题意，x=0，y＜0，排除A，0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，D选项中，f（﹣2）=5，f（﹣3）=，不符合，排除D．故选：B．11．D【解析】∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，其体积为=，同理，故棱锥S﹣ABC的体积为．故选：D．12．C【解析】令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，经计算可得k P A=5，k PB=10，k PO=﹣1，k PC=﹣，∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．故选：C二、填空题13．5【解答】5 由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由解得M（﹣1，3），由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，故答案为：5．14．﹣7【解析】（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，令x=y=1，得23×（a+1）5=256，解得a=1，所以（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数为：．故答案为：﹣7．15．133【解析】双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，不妨设点P（x，y）在右支上，由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，即为=9，且﹣=1，解出x=2，y=±9，则x2+y2=52+81=133．故答案为：133．16．2+【解析】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x ﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，根据所得图象与y=k sin x cos x=sin2x（k＞0）的图象关于对称，设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，故有，求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，则k+m的最小正值为2+．三、解答题17．（1）证明：当n=1时，a1=S1，S1﹣2a1=1﹣4，可得a1=3，S n﹣2a n=n﹣4转化为：S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4（n≥2），即S n=2S n﹣1﹣n+4，所以S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]注意到S1﹣1+2=4，所以{S n﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：，所以，于是==．18．解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，P（X=100）==0.2，P（X=106）==0.3，P（X=118）==0.4，P（X=130）==0.1，∴X的分布列为：E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．故推荐小明去美团外卖应聘．19．证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，∴OP∥DE，∴OP⊥面ABCD．∴∠P AO为AP与面ABCD所成角，∵AP与平面ABCD所成角为60°，∴∠P AO=60°．在Rt△AOP中，．Rt△AHC中，．梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2，∴AP⊥PH，又EH=FH，∴PH⊥EF，又AP∩EF=P，∴PH⊥面AEF．解：（2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，∴如图所示建立空间直角坐标系．G（0，0，），E（，0，），F（0，，），H（0，0，），P（，，），=（﹣，，0），=（﹣，0，），，∵PH⊥面AEF，∴面AEF的法向量为，设面EFG法向量为，则，取x=，得，设二面角A﹣EF﹣G的平面角为θ，由题意θ为钝角，则cosθ=﹣=﹣．故二面角A﹣EF﹣G的余弦值为．20．解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，将与联立，消去y得：，因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，所以实数m的范围组成的集合M是；（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，即k P A+k PB=0，令，所以，整理得：，由（1）知x1，x2是的两个根，所以，代入（*）化简得，由题意解得或所以定点P的坐标为或，经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，坐标为或．21．解：（Ⅰ）设曲线y=f（x）在Q（x1，y1）点处切线是y=x，则由于所以x1=1，y1=1，由题意知：，于是a=0．（Ⅱ）证明：令，当x∈（0，1）时，0＜e x﹣1＜1，所以，即，当x∈（1，+∞）时，1＜e x﹣1，所以，即，于是F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣ln x在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）﹣g（x）≥1，于是原不等式成立．（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣ln x﹣ax+a（x＞0），则函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）等价于函数G（x）有且只有一个零点x0，，注意到为（0，+∞）上的增函数且值域为R，这个世界能轻而易举、毫不费劲做到的，只有贫穷和衰老，其它的都需要努力所以在（0，+∞）上有唯一零点x1，且G'（x）在（0，x1）上为负，（x1，+∞）上为正，所以G（x1）为极小值，又函数G（x）有唯一零点x0，结合G（x）的单调性知x1=x0，所以，即，即，即．令，显然，x0是H（x）的零点，，H'（x）在（0，1）上为正，（1，+∞）上为负，于是H（x）在（1，+∞）上单调递减，注意到，所以H（x）在（1，2）内有一个零点，在[2，+∞）内无零点，所以H（x）的零点一定小于2，从而函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）时一定有x0＜2．22．解：由条件：．设点，点P到C2之距离当你的才华还撑不起你的野心时，那你就应该静下心来学习。