新人教版高中数学必修第一册：课时跟踪检测(四十一) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

课时素养评价五十三　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)已知cos α=-,则tan=( )A.-B.-7C.D.7【解析】选C、D.因为cos α=-,所以sin α=±=±,所以tan α=±.当tan α=时,tan==;当tan α=-时,tan==7.2.（2019·全国卷Ⅰ）tan 255°=( )A.-2-B.-2+C.2-D.2+【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)=3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于( )A. B. C.π D.【解析】选C.因为tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-1,所以2α=-+kπ(k∈Z),所以α=-+(k∈Z).又因为α为锐角,所以α=-=.4.已知sin α=2cosα,则tan=( )A.-3B.3C.-2D.2【解析】选A.由sin α=2cosα,得tan α=2,所以tan===-3.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知tan α=2,tanβ=-3,其中0°<α<90°,90°<β<180°,则=______,α-β=______.【解析】==-7.因为tan(α-β)==-1,又0°<α<90°,90°<β<180°,所以-180°<α-β<0°,所以α-β=-45°.答案:-7　-45°6.若tan=,则tan α=________.【解析】方法一:tan α=tan===.方法二:因为tan===,所以tan α=.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)已知α,β∈,且tan α,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,求α+β.【解析】因为tan α,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,所以tan α+tanβ=-3,tan αtanβ=4,所以tan(α+β)===.因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数.又α,β∈,所以α,β∈,所以α+β∈(-π,0),故α+β=-.8.(14分)已知A,B,C是△ABC的三内角,sin A=1+cos A.(1)求角A.(2)若tan=-3,求tan C.【解析】(1)因为sin A=1+cos A,即sin A-cos A=1,2sin=1.所以sin=.因为0<A<π,所以-<A-<,所以A-=,即A=.(2)由tan==-3,解得tan B=2.又A=,所以tan A=.所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=-=.【加练·固】已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值.(2)求tan β的值.【解析】(1)因为tan(π+α)=-,所以tan α=-,因为tan(α+β)======,所以tan(α+β)==.(2)因为tan β=tan[(α+β)-α]=,所以tan β==.(15分钟·30分)1.(4分)(1+tan 17°)(1+tan 18°)(1+tan 27°)(1+tan 28°)的值是( )A.2B.4C.8D.16【解析】选B.(1+tan 17°)(1+tan 28°)=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28°,①又tan 45°=tan(17°+28°)=,所以①式=1+(1-tan 17°tan 28°)+tan 17°tan 28°=2.同理(1+tan 18°)(1+tan 27°)=2.所以原式=4.2.(4分)tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°的值是( ) A.2 B. C. D.【解析】选C.因为tan 60°=tan(20°+40°)=,所以(1-tan 20°tan 40°)=tan 20°+tan 40°,所以原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.3.(4分)tan 20°tan 30°+tan 30°tan 40°+tan 40°tan 20°=________.【解析】原式=(tan 20°+tan 40°)+tan 40°tan 20°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)+tan 40°tan 20°=1-tan 20°tan 40°+tan 40°tan 20°=1.答案:14.(4分)已知tan=,tan=-,则tan=________.【解析】tan=tan==.答案:5.(14分)在△ABC中,tan B+tan C+tan Btan C=且tan A+tan B+1 =tan Atan B,判断△ABC的形状.【解析】由tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)===-,而0°<A<180°,所以A=120°.由tan C=tan[π-(A+B)]===,而0°<C<180°,所以C=30°,所以B=30°,所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.1.在△ABC中,角C=60°,且tan+tan=1,则sin sin=________.【解析】因为角C=60°,所以+=60°,所以tan 60°==tan ,即=,所以=,解得tan tan =.即=,①又cos 60°=cos=cos cos-sin sin=,②由①②得:sin sin=.答案:2.是否存在锐角α,β,使得(1)α+2β=,(2)tan tan β=2-同时成立?若存在,求出锐角α,β的值;若不存在,请说明理由.【解析】假设存在锐角α,β使得(1)α+2β=,(2)tan tan β=2-同时成立.由(1)得+β=,所以tan ==.又tan tan β=2-,所以tan +tan β=3-,因此tan ,tan β可以看成是方程x2-(3-)x+2-=0的两个根,解得:x1=1,x2=2-.若tan =1,则α=,这与α为锐角矛盾,所以tan =2-,tan β=1,所以α=,β=,所以满足条件的α,β存在,且α=,β=.。

课时跟踪训练(二十六)(时间45分钟) 题型对点练(时间20分钟)题组一 给角求值问题1．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1[解析] ∵cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β＝kπ＋π2，k ∈Z ，∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1 [答案] D2．已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，si n15°)，那么|a －b |等于( ) A.12 B.22 C.32 D ．1 [解析] |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a 2·b ＋b 2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°) ＝2－2cos (75°－15°)＝ 2－2×12＝1.[答案] D3．sin 7π18cos 2π9－sin π9sin 2π9的值是________．[解析] 原式＝sin 7π18cos 2π9－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－7π18·sin 2π9＝sin 7π18·cos 2π9－cos 7π18sin 2π9＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π18－2π9＝sin π6＝12.[答案] 12题组二 给值求值问题4．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( )A ．0B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425[解析] ∵0<α<π2<β<π，∴π2α＋β<3π2，∵sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35. 当sin(α＋β)＝35时，∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425.当sin(α＋β)＝－35时，同理sin β＝0.∵π2<β<π，∴sin β＝2425. [答案] C5．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )A.4＋3310 B.4－3310 C.4＋335D.4－334[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝4－3310，故选B.[答案] B6．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝________.[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cos β＝－45，∵450°<β<540°，∴sin β＝35，∴sin(60°－β)＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－12×35＝－3＋4310. [答案] －3＋4310题组三 给值求角问题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝32，其中π4<α<π2，π4<β<π2，则角α＋β的值为________．[解析] ∵π4<α<π2，π4<β<π2，∴－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝32，∴π4－α＝－π6， π4＋β＝23π. ∴α＝512π，β＝512π，∴α＋β＝56π.[答案] 56π8．定义运算||a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，||sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于________． [解析] 由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝3314，∴sin(α－β)＝3314.∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2∴cos(α－β)＝1－27196＝1314. 又cos α＝17，得sin α＝437.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.[答案]π39．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α.[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin β＝－210，∴cos β＝7210.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π4.题组四 辅助角公式10．3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是( )A ．－π6 B.π6 C ．－5π6 D.5π6[解析] 3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x＝23⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝23sin(x ＋φ)． ∵φ∈(－π，π)，∴φ＝－π6.[答案] A11.12sin15°－32cos15°的值为( ) A.22B ．－22C.12 D ．－12[解析] 原式＝sin30°·sin15°－cos30°·cos15°＝－(cos30°·cos15°－sin30°·sin15°) ＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－22. [答案] B12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α的值为( )A ．－14 B.12C ．2D ．－1[解析] 由cos α＋3sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2×14＝12.[答案] B综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．已知在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A.1665或5665 B.1665C.5665D ．－1665或－5665[解析] 若角A 为钝角，∵sin A ＝35<32＝sin 2π3，∴A >2π3，∵cos B ＝513<12＝cos π3，∴B >π3.则A ＋B >π，则不成立．故A 为锐角，cos A ＝45，又cos B ＝513，∴sin B ＝1213.∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－45×513＋35×1213＝1665.[答案] B2．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED 等于( )A.31010 B.1010 C.510D.515 [解析] 由题意知sin ∠BEC ＝15，cos ∠BEC ＝25，又∠CED ＝π4－∠BEC ，∴sin ∠CED ＝sin π4cos ∠BEC －cos π4sin ∠BEC＝22×25－22×15＝1010. [答案] B3．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝( ) A ．±1 B．1 C ．－1 D ．0[解析] 原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)＝－32cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋ cos(θ＋45°)＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0. [答案] D 二、填空题 4.sin27°＋cos45°sin18°cos27°－sin45°sin18°＝________.[解析] 原式＝sin (45°－18°)＋cos45°sin18°cos (45°－18°)－sin45°sin18°＝sin45°cos18°－cos45°sin18°＋cos45°sin18°cos45°cos18°＋sin45°sin18°－cos45°sin18°＝tan45°＝1. [答案] 15．函数f (x )＝3sin(20°＋x )＋5sin(x ＋80°)的值域为________． [解析] ∵sin(x ＋80°)＝sin[(x ＋20°)＋60°]＝12sin(20°＋x )＋32cos(20°＋x )， ∴f (x )＝3sin(20°＋x )＋5sin(x ＋80°)＝3sin(20°＋x )＋52sin(20°＋x )＋532·cos(20°＋x )＝112sin(20°＋x )＋532cos(20°＋x ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322sin(20°＋x ＋φ) ＝7sin(20°＋x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝5311.∴f (x )∈[－7,7]． [答案] [－7,7] 三、解答题6．已知sin αcos β＝14，求t ＝cos αsin β的取值范围．[解] 由于sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝14＋t ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝14－t ，又sin(α＋β)∈[－1,1]，sin(α－β)∈[－1,1]，故有⎩⎨⎧－1≤14＋t ≤1，－1≤14－t ≤1，解得－34≤t ≤34.即t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34.7．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.[解] (1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π3＝A sin 3π4＝A 22＝322，可得A ＝3.(2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝3，3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝3，∴sin θ＝33. ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝63，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.。

【优化指导】高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）课时跟踪检测 新人教A 版必修4知识点及角度 难易度及题号基础 中档 稍难 三角函数式的化简求值1、5 10 条件求值问题 4 6、7、8 综合问题2、39、11 121．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1解析：由于sin (α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，所以sin α＝0. 所以α＝k π，k ∈Z .当k 为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin 2β－sin 2β＝0， 当k 为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin 2β＋sin 2β＝0. 综上可知，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝0. 答案：C2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形解析：2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B )＝0. 又A 、B 是△ABC 的内角，∴A －B ＝0，即A ＝B .故选C. 答案：C3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x ，y 的大小关系是( ) A ．x ≤y B ．x <y C ．x ≥yD ．x >y解析：∵π>A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0.即cos A cos B －sin A sin B <0，亦即y －x <0， ∴x >y . 答案：D4．若α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos α的值等于( ) A.26－16 B.－26－16 C.26＋16D.－26－16解析：∵α为锐角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223.∴cos α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32－13×12＝26－16. 答案：A5．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的结果是______．解析：原式＝12cos α＋32sin α＋12cos α－32 sin α＝cos α.答案：cos α6．设角θ的终边经过点(3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为______．解析：由三角函数定义可知， sin θ＝－432＋－42＝－45， cos θ＝332＋－42＝35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×75＝7210.答案：72107．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，求tan αtan β的值．解：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴sin αcos β＝1330，cos αsin β＝730.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 8．已知α，β都为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝5314，求sin β与cos β的值．解：由于α，β都为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝5314，则cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝1114×437－5314×17＝39398. 故sin β＝39398，利用同角关系式，得cos β＝7198.9．函数f (x )＝cos x (1＋3tan x )的最小正周期为( ) A ．2π B ．π C.32π D.12π 解析：f (x )＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x ＝cos x ·cos x ＋3sin xcos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3＋sin x sin π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， ∴T ＝2π. 答案：A10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝453， 即32cos α＋32sin α＝453， 从而12cos α＋32sin α＝45，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－4511．若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，求α＋β的值． 解：∵α、β均为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 又∵α、β为锐角， ∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝π4.12．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，且sin β＝－513，求sin α的值．解：(1)∵a ＝(cos a ，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， ∴a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)． 又∵|a －b |＝255，∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，cos(α－β)＝35.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0，∴0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝35，sin β＝－513，∴sin(α－β)＝45，cos β＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β＝45×1213＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝3365.1．运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差．在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能地利用已知条件进行化简或求值．2．灵活运用公式的关键在于观察分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题．。

【优化指导】高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）课时跟踪检测 新人教A 版必修4知识点及角度 难易度及题号 基础 中档 稍难 两角和与差正切公式的运用1、3、6 7、9 给值求值(角)问题2、4、510、11 综合问题8 121．与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( )A ．tan 66°B ．tan 24°C ．tan 42°D ．tan 21°解析：原式＝tan 45°－tan 21°1＋tan45°tan 21°＝tan(45°－21°)＝tan 24°.答案：B2．若tan 28°·tan 32°＝m ，则tan 28°＋tan 32°＝( ) A.3m B.3(1－m ) C.3(m －1)D.3(m ＋1)解析：tan(28°＋32°)＝tan 28°＋tan 32°1－tan 28°tan 32°＝tan 60°＝3，又tan 28°·tan 32°＝m ， ∴tan 28°＋tan 32°＝3(1－m )． 答案：B 3.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°的值应是( )A ．－1B ．1 C. 3D ．－ 3解析：∵tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝－tan 60°＝－ 3. 答案：D4．已知α＋β＝34π，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：∵－1＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β.∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 答案：A5．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝______. 解析：∵(tan α－1)(tan β－1)＝2， ∴1＋tan αtan β－(tan α＋tan β)＝2. ∴－(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴α＋β＝k π＋3π4，k ∈Z .答案：k π＋3π4(k ∈Z )6．计算：cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝______.解析：原式＝cos 15°cos 15°－sin 15°cos 15°cos 15°cos 15°＋sin 15°cos 15°＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：337．化简：tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]． 解：∵tan[(18°－x )＋(12°＋x )] ＝tan 18°－x ＋tan 12°＋x1－tan 18°－x ·tan 12°＋x＝tan 30°＝33， ∴tan(18°－x )＋tan(12°＋x )＝33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]．∴原式＝tan(18°－x )tan(12°＋x)＋3×33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.8．锐角△ABC中，tan A tan B的值( )A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于1解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tan A，tan B，tan C均为正数．∴tan C>0.∴tan[180°－(A＋B)]>0.∴tan(A＋B)<0，即tan A＋tan B1－tan A tan B<0.而tan A>0，tan B>0，∴1－tan A tan B<0，即tan A tan B>1.答案：D9．化简tanα＋β－tan α－tan βtan αtanα＋β的结果为______．解析：原式＝tan a＋tan β1－tan αtan β－tan α－tan βtan α·tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan αtan βtan α＋tan βtan α＝tan β.答案：tan β10．已知α，β均为锐角，有tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，求tan(α＋β)的值．解：tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，因为α，β均为锐角．所以－π4<π4－α<π4，0<β<π2.又y＝tan x在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是单调函数，所以β＝π4－α，即α＋β＝π4，tan(α＋β)＝1.11．已知tan α，tan β是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求α＋β的值．解：由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4. ∴tan α<0，tan β<0.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又－π2<α<π2，－π2<β<π2，且tan α<0，tan β<0，∴－π<α＋β<0.∴α＋β＝－2π3.12．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解：假设存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立．由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3.又tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－ 3.因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根．解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾．所以tan α2＝2－3，tan β＝1.所以α＝π6，β＝π4.所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.1．两角和与差的正切公式变形较多，这样变式在解决某些问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它们．例如，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)等．2．在三角函数题目中，有时，也对一些特殊的常数进行代换，例如1＝tan 45°，3＝tan π3，33＝tan π6等．这样做的前提是识别出公式结构，凑出相应公式.。

课时跟踪检测（四十二） 两角和与差的正弦、余弦、正切公式A 级——学考水平达标练1．计算sin 47°cos 17°＋cos 47°cos 107°的结果等于( ) A.－12B.32C.22D.12解析：选D sin 47°cos 17°＋cos 47°cos(90°＋17°)＝sin 47°cos 17°＋cos 47°(－sin 17°)＝sin(47°－17°)＝si n 30°＝12.2．sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋4π3的值为( ) A ．0 B ．12 C ．1D ．2解析：选A 原式＝sin θ＋sin θcos 2π3＋cos θsin 2π3＋sin θcos 4π3＋cos θsin4π3＝sin θ－12sin θ＋32cos θ－12sin θ－32cos θ＝0.3．若α是锐角,且满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13,则cos α的值为( )A.26＋16 B.26－16 C.23＋14D.23－14解析：选B 因为α是锐角,且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13＞0, 所以α－π6也为锐角,所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－19＝223, cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32－13×12＝26－16. 4．已知tan(α＋β)＝3,tan(α－β)＝5,则tan 2α的值为( )A ．－47B ．47C ．18D ．－18解析：选 A tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)·tan (α－β)＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.5．已知tan α,tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根,且－π2＜α＜π2,－π2＜β＜π2,则α＋β的值为( )A.π3B ．－2π3C.π3或－2π3D ．－π3或2π3解析：选B 由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－33,tan α·tan β＝4,∴tan α＜0,tan β＜0.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.又∵－π2＜α＜π2,－π2＜β＜π2,且tan α＜0,tan β＜0,∴－π＜α＋β＜0,∴α＋β＝－2π3.6.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________.解析：原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3.答案：2－ 37．已知sin α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝435,则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________． 解析：sin α＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin α＋cos αcos π6＋sin α·sin π6＝32sin α＋32cos α＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos π6＋cos αsin π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案：－458．设tan α＝17,tan β＝13,α,β均为锐角,则α＋2β＝________.解析：因为tan β＝13,所以tan 2β＝tan(β＋β)＝tan β＋tan β1－tan 2β＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34, 又因为tan α＝17,所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝17＋341－17×34＝1.因为0＜α＜π4,0＜β＜π4,所以0＜α＋2β＜3π4,故α＋2β＝π4.答案：π49．求下列各式的值．(1)sin 41°＋cos 60°sin 19°cos 41°－sin 60°sin 19°； (2)2sin 80°－sin 20°cos 20°；(3)tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°. 解：(1)原式＝sin (60°－19°)＋cos 60°sin 19°cos (60°－19°)－sin 60°sin 19°＝sin 60°cos 19°－cos 60°sin 19°＋cos 60°sin 19°cos 60°cos 19°＋sin 60°sin 19°－sin 60°sin 19°＝sin 60°cos 19°cos 60°cos 19°＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝2sin (60°＋20°)－sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°＋2cos 60°sin 20°－sin 20°cos 20°＝2sin 60°cos 20°cos 20°＝ 3.(3)由tan(25°＋35°)＝tan 25°＋tan 35°1－tan 25°tan 35°＝3,可得tan 25°＋tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°), 即tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°＝ 3. 10．已知cos α＝55,cos β＝35,其中α,β都是锐角．求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α－β)的值．解：(1)因为α,β都是锐角,所以sin α＝1－cos 2α＝255,sin β＝1－cos 2β＝45,所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝255×35－55×45＝2525. (2)因为tan α＝sin αcos α＝2,tan β＝sin βcos β＝43,所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝211.B 级——高考水平高分练1．在△ABC 中,如果sin A ＝2sin C cos B ,那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形解析：选C ∵A ＋B ＋C ＝π,∴A ＝π－(B ＋C )． 由已知可得sin(B ＋C )＝2sin C cos B ⇒sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin C cos B ⇒sin B cos C －cos B sin C ＝0⇒sin(B －C )＝0. ∵0＜B ＜π,0＜C ＜π,∴－π＜B －C ＜π. ∴B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．2．若tan α＝2tan π5,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝sin αcos αcos π5＋sinπ5sin αcos αcos π5－sinπ5＝2·sinπ5cos π5cos π5＋sinπ52·sin π5cosπ5cos π5－sinπ5＝3sinπ5sinπ5＝3.答案：33．已知cos α＝55,sin(α－β)＝1010,且α,β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值； (2)β的值．解：(1)因为α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.又因为sin(α－β)＝1010＞0,所以0＜α－β＜π2. 所以sin α＝1－cos 2α＝255,cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010.所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22, 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以β＝π4.4．已知tan α,tan β是方程x 2＋p (x ＋1)＋1＝0的两根,α＋β∈(0,π)． (1)求α＋β； (2)若cos(θ－α－β)＝210,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4,求sin θ.解：(1)由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－p ,tan α·tan β＝p ＋1,所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－p1－(p ＋1)＝1,因为α＋β∈(0,π),所以α＋β＝π4.(2)cos(θ－α－β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210.由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4, 得θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210.sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫7210＋210＝45.5.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝a ,BC ＝2a ,在BC 上取一点P ,使得AB ＋BP ＝PD ,求tan ∠APD 的值．解：由AB ＋BP ＝PD ,得a ＋BP ＝a 2＋(2a －BP )2, 解得BP ＝23a ,设∠APB ＝α,∠DPC ＝β,则tan α＝AB BP ＝32,tan β＝CD PC ＝34,∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－18,又∠APD ＋α＋β＝π,∴tan ∠APD ＝18.。