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九年级数学下册 第27章 相似 专题七 相似三角形的证明课件 (新版)新人教版

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九年级数学下册 第27章 相似 专题七 相似三角形的证明 新人教版

九年级数学下册 第27章 相似 专题七 相似三角形的证明 新人教版
AB、AC上.
求证：EF2=BE·CF.
证明:∵DEFG为正方形， ∴∠DEB=∠GFC=90°,
又∠B与∠C互余，∠FGC与∠C互余， ∴∠B=∠FGC， ∴Rt△BED∽Rt△GFC, ∴ BE GE ,即DE·GF=BE·CF，
DE FC 又∵DE=GF=EF，∴EF2=BE·CF.
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E 在边BA的延长线上，CE交AD于F， ∠ECA=∠D. 求证：AC·BE=CE·AD. 证明:∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△ABF∽△CBE, ∴ AB AF .
BC CE
2.如图，在 ABCD中，AM⊥ BC于M，AN⊥CD于N， 求证：AC·AM=MN·AB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°， ∴△ABM∽△ADN, ∴
AM AN
AB AD
又∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDA，
∴
DF BD AF AD
，∴
AB AC
DF FA
.
9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在
边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE.
求证：（1）△DEF∽△BDE;
（2）DG·DF=DB·EF.
解:（1）∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,
8.如图，在△ABC中，∠CAB=90°， AD⊥BC，AE=EC，ED交AB的延长线于F. 求证：AB∶AC=DF∶FA.
解:∵∠CAB=90°，AD⊥BC,
∴∠BAD=∠C,∴△BDA∽△ADC.∴
AB AC
BD A, D
又∵AE=EC，∴DE=EC，∴∠CDE=∠C，

新人教版九年级下册第二十七章相似2.72《相似三角形的性质》教学课件(共15张PPT)

新人教版九年级下册第二十七章相似2.72《相似三角形的性质》教学课件(共15张PPT)
第二十七章 相似
27.2.2 相似三角形的性质
探究思考
如果两个三角形相似,它们对应的高、中线、角 平分线、周长之间有什么关系? 两个相似多边形呢?
相似三角形 对应中线的比,对 应角平分线的比 都等于相似比吗?
你能证明吗?
同理我们也可得到相似三角形它们对应中线、角平分线 的比也为K（相似比）.
相似三角形对应高的比，对应中线的比， 对应角平分线的比都等于相似比.
∵△ABC的边BC上的高为6,面积是 12 5
∴△DEF的边EF上的高为 1 6 3,
面积为
1 2
2
12
2 5 3
5
归纳
对应角相等
相 似
对应边成比例
三 相似比等于对应边的比
角 形 的
对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比.
性 质
周长的比等于相似比
面积的比等于相似比的平方
课堂练习
由此我们得到: 相似三角形的周长的比等于相似比.
用类似的方法,还可以得出: 相似多边形周长的比等于相似比.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
继续探究
K1
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1921.9.19Sunday, September 19, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。01:25:3001:25:3001:259/19/2021 1:25:30 AM
•
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1901:25:3001:25Sep-2119-Sep-21

2022春九年级数学下册第27章相似三角形的性质授课课件新版新人教版ppt

2022春九年级数学下册第27章相似三角形的性质授课课件新版新人教版ppt

解得x=6．∴HG＝6 cm，EH＝12 cm.
∴矩形EFGH的周长为36 cm.
感悟新知
感悟新知
总结
知1－讲
相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中 “对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中 线，对应角的平分线．
感悟新知
知1－练
1 如图，△ABC 与△A′B′C′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证 AD BE .
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边， 由此可确定相似比，进而根据已知条件，解 以一个三角形周长为未知数的方程即可．
感悟新知
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC中的最短边 知2－练
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则 AC 9 3 ,
A1C1 6 2
∴△ABC和△A1B1C1的相似比为
∴△ ABD ∽ △A′B′D′.
∴ AD AB k. AD AB
类似地，可以证明相似三角形对应中 线的比、
对应角平分线的比也等于 k.
感悟新知
总结
知1－讲
这样，我们得到： 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应 角平分线的比都等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比.
1 △ABC与△DEF的相似比为1∶4，则
△ABC与△DEF的周长比为( C )
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶16
感悟新知
知2－练
感悟新知 问题
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
知2－讲
如图，由前面的结论，我们有
1
S△ABC
BC AD 2
BC AD k k k2 .

新课标人教版 第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定(共13张PPT)

新课标人教版 第二十七章相似27.2.1相似三角形的判定(共13张PPT)
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_1_：__4_。
A
D E F
B
G H I
C
拓展延伸
X型
如图：平行于三角形一边的直线和其他两边的 延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似吗？
D
E
即：
如果DE∥BC，
A
那么△ADE∽△ABC
你能证明吗？
B
C
本节课你学习了什么知识？
AB : DE = BC : EF= CA: FD = k 时， 则△ABC 与△DEF相似， 记作△ABC ∽ △DEF
回顾
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例.
A DE
ED A
B
C
“A”型
B
C
“X”型
？ 思考
如图,在△ABC 中,DE//BC, DE分别交AB,AC 于点D,E, △ADE与△ABC有什么关系?
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950.
（2）∵ △ADE∽△ABC
∴ AE DE ,即 50 DE . AC BC 50 30 70
（3） 8:5
所以, DE 50 70 43.75(cm). 50 30
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形；
直觉告诉我们, △ADE与△ABC相似,我们通 过相似的定义证明这个结论. 先证明两个三角形的对应角相等.
在△ADE与△ABC中, ∠A=∠A, ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
再证明两个三角形的对应边的比相等.
过E作EF//AB,EF交BC于F点.

人教版数学九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(2) 课件

人教版数学九年级下册 27.2.1相似三角形的判定(2) 课件

C'
2 .直角三角形相似的判定
斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
如图，在∆Rt和∆Rt′′′中，∠ = ∠ ′ = 90°,


=
.求证Rt∆∽Rt∆′′′.
′ ′ ′ ′
A'
A
B
C
B'
C'
证明： 设 = = , 则, = ′′ , = ′ ′ .
C
于点,则图中相似三角形共有（ ）
A. 1对 B. 2对
C. 3对
D. 4对
分析： ∵ ∠ + ∠1 = 90°，∠ + ∠ = 90°,
∴ ∠1 = ∠
2
A
1
D
∠2 + ∠1 = 90°，
∠2 = ∠ .
又∵ ∠ = ∠ = ∠ = 90°,
∴Rt∆∽Rt∆ , Rt∆∽Rt∆ ,
∴∆∽∆ ,

即6=
10−
10
，
∴


解得 =
15
所以⊙的半径为 4 .
=
15
.
4


A
，
O
F
B
∵∥， ∴ ∠ = ∠.
∵=O， ∴ ∠ = ∠.
∴ ∠ = ∠.
∵F是⊙的直径， ∴ ∠ = ∠ = 90°.
∴∆ADC∽∆ . ∴ = .
D
连接，已知∠ = ∠， = 6， = 4，
求线段的长.
B
分析： ∠ = ∠，∠ = ∠
∆∽∆

=

求出
= −
C
A
【例题2】如图，是 ∆ 的边上一点，

2024九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形1相似三角形的判定课件新版新人教版

2024九年级数学下册第27章相似27.2相似三角形1相似三角形的判定课件新版新人教版

作业 提升
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边成 比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
数学表达式：
知1－讲
如图 27.2-1，在△ ABC 和△ A′ B′ C′中，
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， ⇔
AB A′ B′
=
BC B′ C′
=
AC A′ C′
=k，
△ ABC∽△A′B′ C′.
感悟新知
知1－讲
2.相似三角形的表示方法： 相似用符号“∽”表示，读作 “相似于” . 如图 27.2-1，△ ABC 与△ A′ B′ C′相似，记 作 “△ ABC∽△ A′ B′ C′”，读作“△ ABC相似于 △ A′ B′ C′” .
△ ABC 与△ A′ B′ C′的相似比为 k，那么△ A′ B′ C′与 △ ABC 的相似比为1k.
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 相似三角形具有传递性，即若△ ABC ∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△ A ″ B ″ C ″， 则△ABC∽△ A″ B″ C″ . 2. 相似三角形属于特殊的相似多边形，同样具有“对应
知3－讲
感悟新知
知3－讲
特别提醒 ●书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大
写字母写在对应的位置上 .
感悟新知
●根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都 有BC ∥ DE， 图 27.2-8①②很像大写字母 A，故 我们称之为“A”型相似；图 27.2-8 ③很像大写 字母X，故我们称之为“X”型相似( 也像阿拉伯 数字“8”).
感悟新知
知4－练

初中数学人教九年级下册第二十七章 相似 相似三角形的判定-PPT

复习回顾
如何判断两三角形是否相似?
1.定义法:两三角形对应角相等，对应边的比相等的
两个三角形相似。 2.预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或
两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角 形相似。
D
B
A型
A
D
E
CB
X型
E
A
∵ DE∥BC
∴ △ ADE ∽ △ ABC
C
相似的判定定理： 两角分别相等的两三角形 相似。
。
A
A'
B
几何语言：
C B'
C'
ABC ∽A' B'C'
例1： 根据下列条件，判断ABC和A' B'C'是 否相似，并说明理由。
AB 3, BC 5, AC 6,
A' B' 6, B'C' 10, A'C' 12.
解：∵
AB 3 1 , BC 5 1 , A' B' 6 2 B'C' 10 2
AB=7， AC=14， ∠A＝60° A’B’＝3，A’C’＝6， ∠A’＝ 60°
解 ∵ AB/A’B’=7/3 AC/A’C’=14/6=7/3
∴ AB/A’B’= AC/A’C’ 又 ∠A＝ ∠A’＝60°
∴ △ABC∽△A`B`C`
变 AB=7， AC=14， ∠A＝60° 式 A’B’＝6，A’C’＝3， ∠A’＝ 60°B相似 Nhomakorabea6
A
C5 E 10 3
E
2
3
4
相似
不相似
不相似
6
9

人教版九年级下27.2.3相似三角形的性质课件(共14张PPT)

复习回顾
相似三角形的判定方法
1、定义法： 三个角对应相等
三边对应成比例
2、 预备定理（平行得“A”型，“X”型 相 似） 3、 三边对应成比例的两三角形相似.
4、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似
5、两角分别相等的两个三角形相似
6、斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
2.相似三角形有哪些性质？
相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
三角形中还有哪些其他重要元素?
探究1：
如图，已知△ABC∽△A'B'C', 相似比是k，其
中AD、A'D'分别是B∠CBA、CB、'C∠'边B'A上'C的'的 中高角线平，分线，
此时AD 、 A'D'的比是多少呢？
A
A A
AA''
A'
B
B B
D DD
CCC
BB'' B' DDD''' CCC' '
形
的
对应角平分线
性
质
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
6..如图，在 ABCD中，E是BC上一点，AC 与DE相交于F，若AE:EB=1:2，求∆AEF与∆CDF 的相似比。若∆AEF的面积为5平方厘米，求 ∆CDF的面积。
D
F A
E
C B
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月27日星期日2022/2/272022/2/272022/2/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/272022/2/272022/2/272/27/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/272022/2/27February 27, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/272022/2/272022/2/272022/2/27

新人教版九年级下数学27.2.1相似三角形的判定课件


情感态度与价值观
• 培养学生积极的思考、动手、观察的能力， 使学生感悟几何知识在生活中的价值．
2021/10/10
15
教学重难点
• 会应用相似三角形的两个判定方法。 • 怎样选择合格的判定方法来判定两个 三角形相似。 • 抓住判定方法的条件，通过已知条件 的分析，把握图形的结构特点。
2021/10/10
∴ △ADE∽△EFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）
2021/10/10
38
相似三角形对应高的比等于相似比 A1
A
B
D C B1
证明：∵△ ABC∽ △ A1B1C1
D1 C1
∴∠B = ∠B1
又∵∠ADB = ∠ A1D1B1 =900
∴△ ADB∽△ A1D1B1（角角）
∴ AD AB k
A1B1 B1C1 A1C1
又 A A 1B B1B B 1C C1A A 1C C1,A1DAB
∴ DEBC, A1EAC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC, A1E AC
∴
2021/10/10
A1DE≌ ABC（SSS）
∵ ∴
A1DE∽ A1B1C1 ABC∽ A1B1C1 27
AD DE AE
A
解：∵ AB BC AC，
E
AD DE AE
∴ΔABC∽ΔADE
D
C
∴∠BAC=∠DAE B
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC
即∠BAD=∠CAE
2021/10/10
29
探究2
边S 角A 边S
已知：
AB A1B1
BC B1C1
k,
∠B =∠B1 .

(初三数学课件)人教版初中九年级数学下册第27章相似27.2.1 相似三角形的判定第3课时教学课件


AB A' B'
AC A' C'
k.
量出它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比
等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？ 改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 等于k ∠B =∠B' ∠C =∠C' 改变k的值具有相同的结论 实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法.
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝
A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
A'B' A'C ' AB AC
A'
A
AD AE AB AC
∴ DE//BC ∴ △ADE ∽ △ABC
D
B'
C'
E
B
C
∴ △A'B'C' ∽ △ABC
∴ DE AD 3， ∴ DE 3 BC 9 .
BC AB 4
4
4
A
D C
巩固练习
如图，在△ABC 中，AC＞BC，D 是边AC 上一点，连接BD．
（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个）
（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，BC 3 ,求CD 的长．
解：（1）CD :CB＝BC :AC . （2）设CD＝x,则CA＝x＋2．
已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，
A'B' ＝3cm，A'C' ＝6cm，判断△ABC与△ A′B′C′是否相似，
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求证：PD2=PB·PC.
证明:连PA，∵EP是AD的垂直平分线，PA=PD， ∴∠PDA=∠DAP，∴∠PDA=∠DAC+∠PAC，
∵∠PDA=∠B+∠BAD， ∴∠B+∠BAD=∠DAC+∠PAC， ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC， ∴∠B=∠PAC，∴△PAC∽△PBA, ∴ PA PC，即PA2=PB·PC，
∠ECA=∠D. 求证：AC·BE=CE·AD. 证明:∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，又∠ECA=∠D，
∴∠ECA=∠B，∠E=∠E， ∴△EAC∽△ECB, ∴ AC CE,即AC·BE=BC·CE，又BC=AD，
BC BE ∴AC·BE=CE·AD.
6.已知：如图，AD平分∠BAC,AD的垂 直平分线EP交BC的延长线于点P.
∴△AEC∽△CEB,∴ ∴CE2=DE·PE.
AE CE CE BE,即CE2=AE·BE.
8.如图，在△ABC中，∠CAB=90°， AD⊥BC，AE=EC，ED交AB的延长线于F. 求证：AB∶AC=DF∶FA.
解:∵∠CAB=90°，AD⊥BC,
∴∠BAD=∠C,∴△BDA∽△ADC.∴
解:过C作CM∥AB交DF于M点，
∵CM∥AB，∴
BF பைடு நூலகம்D ， CF CM
又∵CM∥AD，∴
AE EC
AD CM，
∵D为AB的中点.∴ BD AD， CM CM
∴ BF AE ，即AE·CF=BF·EC. CF EC
11.在△ABC中，AD平分∠BAC，求证： BD∶DC=AB∶AC.
解:过D作DE∥AC交AB于E点，则有∠ADE=∠DAC，
求证：（1）△DEF∽△BDE;
（2）DG·DF=DB·EF.
解:（1）∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,
∴∠ABC+∠BDE=180°,∠ACB+∠CED=180°,
∴∠CED=∠BDE,又∵∠EDF=∠ABE,
∴△DEF∽△BDE; （2）由△DEF∽△BDE得
DE BD
EF DE
AB、AC上.
求证：EF2=BE·CF.
证明:∵DEFG为正方形， ∴∠DEB=∠GFC=90°,
又∠B与∠C互余，∠FGC与∠C互余， ∴∠B=∠FGC， ∴Rt△BED∽Rt△GFC, ∴ BE GE ,即DE·GF=BE·CF，
DE FC 又∵DE=GF=EF，∴EF2=BE·CF.
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E 在边BA的延长线上，CE交AD于F，
，
∴DE2=DB·EF.又由△DEF∽△BDE,得∠BED=∠DFE,
又∵∠GDE=∠EDF,∴△GDE∽△EDF,∴ ∴DE2=DG·DF，∴DG·DF=DB·EF.
DG D.E DE DF
10.如图，在△ABC中，D为AB的中点， DF交AC于E，交BC的延长线于F，求证： AE·CF=BF·EC.
专题七 相似三角形的证明
1.如图，在Rt△ABC中，AD为斜边
BC上的高，∠ABC的平分线BE交
AC于E，交AD于F. 求证： AB AF .
BC CE 证明: ∵∠BAC=90°,
∴∠BAF+∠DAC=90°, ∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°. ∴∠BAF=∠BCE,∠ABF=∠CBE,
∴△ABF∽△CBE, ∴ AB AF .
BC CE
2.如图，在 ABCD中，AM⊥ BC于M，AN⊥CD于N， 求证：AC·AM=MN·AB.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB=∠AND=90°， ∴△ABM∽△ADN, ∴
AM AN
AB AD
AB AC
BD A, D
又∵AE=EC，∴DE=EC，∴∠CDE=∠C，
又∠CDE=∠BDF，∠BAD=∠C,∴∠BDF=∠BAD，
又∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDA，
∴
DF BD AF AD
，∴
AB AC
DF FA
.
9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在
边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE.
证明:∵∠BAC=∠DAE， ∴∠EAB=∠DAC，又∠BDC=∠DAE. ∴∠BDC+∠ADE=∠DAE+∠ADE， ∴∠ADC=∠AEB， ∴△AEB∽△ADC. ∴ BE AE ，即BE·AD=CD·AE. CD AD
4.如图，在Rt△ABC中有正方形DEFG，
点E、F在斜边BC上，点D、G分别在边
PB PA ∴PD2=PB·PC.
7.如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在
EC的延长线上任取一点P，连AP，作
BG⊥AP于G，交CE于D.
求证：CE2=DE·PE.
解:∵BG⊥AP，PE⊥AB，
∴∠AEP=∠BED=90°，∠P=∠ABG，
∴△AEP∽△DEB， ∴
AE DE
PE BE,
即AE·BE=PE·DE.又CE⊥AB，AC⊥BC，
AB B,C
∵AB∥CD,∴∠BAN=∠AND=90°,
∴∠BAM+∠MAN=90°,
∵∠B+∠BAM=90°,∴∠B=∠MAN, ∴△AMN∽△BAC
∴ AM MN,即AC·AM=MN·AB. AB AC
3.如图，点E为四边形ABCD的对角线 BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE. 求证：BE·AD=CD·AE.
又∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC=∠ADE，
∴AE=DE，∵DE∥AC，
BD BE BE
∴
DC
AE
DE，由DE∥AC，
∴ DE BE ，∴ BE AB ，
AC AB
DE AC
∴BD∶DC=AB∶AC.