初中几何变换思想之翻折

平移旋转翻折在数学几何中，平移、旋转和翻折是常见且重要的变换方式。

它们不仅被广泛应用于各个领域，如计算机图形学、工程建模以及几何推理，还在日常生活中起到一定的作用。

本文将重点介绍平移、旋转和翻折的概念、特点以及应用。

一、平移平移是指在平面上将一个图形沿着一定方向不改变形状和大小地移动。

在数学中，平移可以用向量来表示。

假设平移向量为[dx, dy]，那么图形上任意一点(x, y)经过平移后的坐标为(x+dx, y+dy)。

可以看出，平移只改变了图形的位置，而不会改变图形本身的性质。

平移在几何中有广泛的应用。

比如在地图制图中，将地图上的城市标记进行平移，便可以得到不同的地理分布方案。

此外，在工程制图中，平移也是非常常见的操作，可以通过平移来移动图形的位置，以获得更合理和更美观的设计。

二、旋转旋转是指将一个图形以某个点为中心按一定角度旋转，保持形状和大小不变。

数学中，我们可以使用旋转矩阵来描述一个图形的旋转变换。

设旋转角度为θ，旋转中心为(x0, y0)，图形上任意一点(x, y)经过旋转后的坐标计算公式如下：x' = (x - x0) * cosθ - (y - y0) * si nθ + x0y' = (x - x0) * sinθ + (y - y0) * cosθ + y0可以看出，旋转的本质是改变了图形的方向和位置，但不改变图形本身的性质。

旋转在许多领域都有重要的应用。

例如，在航空航天领域中，飞行器的姿态控制需要进行旋转变换来实现平衡和机动性能。

此外，在艺术设计中，通过旋转变换可以创造出丰富多样的视觉效果。

三、翻折翻折是指将一个图形沿着某条直线对称地翻转，即将图形中的点关于对称轴做镜像对称。

在数学中，翻折也可以通过矩阵变换来表示。

设对称轴为直线y=kx+b，图形上任意一点(x, y)经过翻折后的坐标计算公式如下：x' = x - 2 * (k * x + b) / (k^2 + 1)y' = y - 2 * (k * x + b) * k / (k^2 + 1) - 2 * b / (k^2 + 1)翻折改变了图形的方向和位置，同时也改变了图形的性质。

专题33 中考几何折叠翻折类问题专题知识点概述1.轴对称（折痕）的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题（1）求角度大小；（2）求线段长度；（3）求面积；（4）其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法（1）折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

（2）折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

（3）折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

（4）折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

（5）折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

（6）折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

例题解析与对点练习【例题1】（2020•哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。

圆中的重要模型之翻折模型圆中的翻折模型是将一个圆形的纸片沿着一条直线翻折，使得纸片的边缘与直线重合，从而形成新的圆形或圆环。

翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分。

这种模型可以用于创建各种不同的图形和图案，是一种非常有趣的几何模型。

模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)【知识储备】1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折(即等圆相交)：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。

模型1.圆中的翻折模型(弧翻折必出等腰)1)条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA2)条件：特别地，弧BC 折叠后过圆心，结论：CD =CA ，∠CAB =60°1)证明：如图，设折叠后的BDC所在的圆心是G ，连接AC ，CD .由题意得(折叠)：BC =BDC ，即：BC =BD +DC ，∴∠CAB =∠DCB +∠CBD ，∵∠CDA =∠DCB +∠CBD ，∴∠CAB =∠CDA ，∴CD =CA 。

2)证明：如图，连接AC ，CD ，CO ；由1)中证明知：CO =CA ，∵OA =OC ，∴CO =CA =OA ，∴△OAC 为等边三角形，∴∠CAB =60°。

1.(23-24九年级上·浙江台州·阶段练习)如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折，交AB 于点D (不与点O 重合)，连结CD ．若∠BAC =24°，则∠ACD 的度数为()A.44°B.46°C.48°D.42°2.(23-24九年级上·安徽合肥·期末)如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB =8，CD 为AB 边上的中线，将BC 沿BC 翻折后刚好经过点D ，若已知⊙O 的半径为25，则BC 的长是()A.43B.62C.65D.533.(2023·山西吕梁·模拟预测)如图，AC 是半圆O 的一条弦，以弦AC 为折线将弧AC 折叠后过圆心O ，⊙O 的半径为2，则圆中阴影部分的面积为()A.23B.2π-3C.3D.3+14.(23-24九年级上·江苏无锡·期末)如图，将⊙O 上的BC �沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD �沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE .若AD =2OD ，则DE AB 的值．5.(2024·陕西西安·模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 为AB 的中点，将弦AB 下方的部分沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合．点D 为优弧AB 上一点连接BD 、CD 、BC ．若∠BCD =45°，AB =23，则CD =()A.6+2B.23C.1+23D.326.(2023春·江苏盐城·九年级校考期末)如图，AB 是半径为2的⊙O 的弦，将AB 沿着弦AB 折叠，正好经过圆心O ，点C 是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC 交⊙O 于点D ，点E 是CD 的中点，连接AC ，AD，EO．则EO的最小值为．7.(23-24九年级上·浙江金华·期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．8.(2023·安徽淮南·一模)如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．(1)如图①，将AC 沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，AC=23，则⊙O的半径为；(2)如图②，将BC 沿弦BC翻折，交AB于D，把BD 沿直径AB翻折，交BC于点E．(Ⅰ)若点E恰好是翻折后的BD 的中点，则∠B的度数为；(Ⅱ)如图③，连接DE，若AB=10，OD=1，求线段DE的长．1.(2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，将劣弧AC沿AC 折叠后刚好经过弦BC 的中点D ．若AC =6，∠C =60°，则⊙O 的半径长为()A.137B.237C.1321 D.23212.(2023·吉林长春·统考模拟预测)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC 沿BC 折叠后刚好经过AB的中点D ，连接AC ，CD ．则下列结论中错误的是()①AC =CD ；②AD =BD ；③AC +BD =BC ；④CD 平分∠ACBA.1B.2C.3D.43.(2022春·福建福州·九年级校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ，再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE =DE ，则∠BCD 的度数是()A.22.5°B.30°C.45°D.60°4.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)若直角三角形中两直角边之比是1:22，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是⊙O上半圆上一点，将⊙O沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若△ABC是完美三角形，则BD:AD为()A.3:1B.22:1C.3:22D.7:25.(2022春·九年级课时练习)如图，已知半圆O的直径AB=8，C是半圆上一点，沿AC折叠半圆得到弧ADC，交直径AB于点D，若DA、DB的长均不小于2，则AC的长可能是()A.7B.6C.5D.46.(2023·河南周口·统考二模)如图①，AB为半圆O的直径，点C在AB 上从点A向点B运动，将BC 沿弦BC，翻折，翻折后BC 的中点为D，设点A，C间的距离为x，点O，D间的距离为y，图②是点C运动时y 随x变化的关系图象，则AB的长为．7.(2023·北京·统考二模)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的图形恰好经过点O，则∠CAB=°．8.(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后，AB与CB 相交于点D ．若CD =13BD ，则∠ACD =．9.(2023·浙江宁波·校考一模)如图，⊙O 的半径为4．将⊙O 的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O ．则这条劣弧的弧长为．10.(2023春·广西·九年级专题练习)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG :OC =3:5，AB =8，点E 为圆上一点，∠ECD =15°，将CE沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，图中阴影部分的面积=．11.(2023秋·四川南充·九年级统考期末)如图，在⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 折叠得弧AmB ，P 是弧AmB 上一动点，过点P 作弧AmB 的切线与⊙O 交于C ，D 两点，若⊙O 的半径为13，AB =24，则CD 的长度最大值为．12.(2024·浙江杭州·九年级校考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，则∠BAC的度数为；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=16°，则∠DCA的度数为．13.(2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，C是半圆上一点，AB是直径，将弧BC沿BC翻折交AB于点D，再将弧BD沿BD翻折交BC于点E，若E是弧BD的中点，AD=2，则阴影部分面积为．14.(2024·浙江金华·九年级校考期中)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．15.(2023·河北张家口·校考模拟预测)如图1，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°，AB=4，BC=a，以AB为直径在AB的上方作半圆O，交AD于点E，P为AB 上一动点(不与点A，B重合)，将半圆O沿BP折叠，得到点A的对称点A ，点O的对称点O ．(1)当点O 在半圆O 上时，∠ABA 的度数为；(2)如图2，连接BD ，BP 与AE 交于点F ．已知P A ∥BD ，且a =22+26．①求BD 的长度及EF BF 的值；②求阴影部分的面积；(3)点P 在AB 上运动过程中，当直线DC 能与A P 所在的圆相切时，直接写出a 的取值范围．16.(2023·河北承德·九年级校考期末)如图，⊙O 的直径AB =4，AC 是弦，沿AC 折叠劣弧AC，记折叠后的劣弧为AmC ．(1)如图1，当AmC 与AB 相切于A 时．①为画出AmC 所在圆的圆心P ，请选择你认为正确的答案．甲：在AmC 上找一点E ，连AE 、CE 并分别作它们的中垂线，交点为P ；乙：分别以A 、C 为圆心，以AO 为半径作弧，除O 外两弧另一个交点即为圆心P ．A.甲正确B.乙正确C.甲乙都正确D.都不正确②选择合适的方法做出圆心P ，求AC 的长；直接写出此时∠CAO 的度数．(2)如图2，当AmC经过圆心O 时，求AC 的长；(3)如图3，当AmC 覆盖圆心且与直径交于点D ，若∠CAO =25°，直接写出∠ACD 的度数．17.(2023·广东汕头·九年级校考期中)如图，在⊙O中，点C、D在AB 上，将BC 沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．(1)证明：AC=EC；(2)连接AD，若CE=5，AD=8，求⊙O的半径．18.(2023·江苏扬州·九年级统考阶段练习)在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC=3，求⊙O的半径r．(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=26°，请直接写出∠DCA的度数是．(3)如图2，若点D与圆心O不重合，BD=5，AD=7，求AC的长．。

教案：初中数学——翻折变换一、教学目标：1. 让学生理解翻折变换的定义及基本性质。

2. 培养学生运用翻折变换解决实际问题的能力。

3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

二、教学内容：1. 翻折变换的定义及基本性质。

2. 翻折变换在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 翻折变换的定义及基本性质。

2. 如何在实际问题中运用翻折变换。

四、教学过程：1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的翻折现象，如打开书本、折叠纸张等，引导学生关注翻折变换。

2. 新课讲解：（1）翻折变换的定义：解释翻折变换的概念，即在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠，使得折叠前后的图形重合。

（2）翻折变换的基本性质：① 翻折变换不改变图形的大小和形状。

② 翻折变换的轴线是对称轴，图形关于轴线对称。

③ 翻折变换的对应点、对应线段、对应角相等。

（3）翻折变换在实际问题中的应用：举例说明翻折变换在实际问题中的应用，如制作几何模型、展开平面图等。

3. 课堂练习：让学生动手进行一些翻折变换，观察图形的变化，加深对翻折变换的理解。

4. 拓展提高：引导学生思考如何将翻折变换应用于实际生活中，提高学生的实际应用能力。

5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调翻折变换的定义、基本性质及实际应用。

五、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固翻折变换的基本性质。

2. 举例说明翻折变换在实际问题中的应用，如制作几何模型、展开平面图等。

六、教学反思：在课后对教学效果进行反思，了解学生在掌握翻折变换方面的困难，针对性地调整教学方法，提高教学效果。

七、教学评价：通过课堂表现、课后作业和拓展应用等方面，评价学生在翻折变换方面的掌握程度。

几何变换之轴对称（翻折）翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。

以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。

那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了！解决翻折题型的策略一：利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等。

对应边相等，对应角相等②对应点连线被对称轴垂直平分二：结合相关图形的性质（三角形，四边形等）三：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。

翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！常见的几类类型1. 纸片中的折叠如图，有一条直的宽纸带，按照如图方式折叠，则＝.【解答】【解析】，如图所示：∵∠＝∠1，∠2＝∠1，∴∠＝∠2，∴2∠＋∠AEB＝180º，即2∠＋∠30º＝180º，解得∠＝75º.2. 三角形中的折叠在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C’DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图1，把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；（2）如图2，把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；（3）如图3，把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系.【解答】（1）∠1＋∠2＝60º；（2）∠1＋∠2＝50º；（3）∠2－∠1＝2∠C【解析】（1）由图可得∠1＋∠2＝180º－2∠CDE＋180º－2∠CED＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C＝60º（2）连接DG，如图所示：∠1＋∠2＝180º－∠C’－（∠ADG＋∠AGD）＝180º－30º－（180º－80º）＝50º（3）由图可得∠2－∠1＝180º－2∠CED－（2∠CDE－180º）＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C3. 矩形中的折叠如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC＝8，AB＝6，求折叠后重合部分的面积.【解答】阴影部分的面积为【解析】∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FB＝FD，设，则，在Rt △BAF 中，，即，解得， ∴阴影部分面积. 4.圆中的折叠 如图，将半径为8的沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB ＝ .【解答】AB = 【解析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，如图所示：∵CE ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，DE = 21(8×2 - 4) = 6，OE=6-4=2，在Rt △OEB 中，根据勾股定理可得：AB = .。

旋转平移翻折的几何变换与性质旋转、平移和翻折是几何中常见的基本变换方式，它们在空间和平面几何中发挥着重要的作用。

本文将介绍旋转平移翻折的几何变换及其性质，推导其数学表达式，并通过具体的实例来说明其应用。

一、旋转变换旋转是指将平面或空间中的图形按照一定角度绕着旋转中心进行旋转的操作。

对于平面上的点(x, y)，其绕原点逆时针旋转θ度后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，x'和y'分别表示旋转后点的坐标，θ为旋转角度。

二、平移变换平移是指将平面或空间中的图形沿着指定的方向和距离进行移动的操作。

平移变换可以用一个向量来表示。

对于平面上的点(x, y)，其平移(dx, dy)后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = x + dxy' = y + dy其中，(dx, dy)为平移向量，x'和y'分别表示平移后点的坐标。

三、翻折变换翻折是指将平面或空间中的图形沿着指定的轴进行对称的操作。

对于平面上的点(x, y)，其关于直线y=k翻折后的新坐标可以由以下公式计算得出：x' = xy' = 2k - y其中，(x', y')为翻折后点的坐标，k为翻折轴的位置。

以上是旋转、平移和翻折的几何变换的数学表达式。

下面将通过实例说明它们在几何问题中的应用。

实例一：旋转变换假设有一张平面上的三角形ABC，顶点分别为A(1, 2)，B(3, 4)和C(5, 6)。

现在需要将该三角形绕原点顺时针旋转60度，求旋转后各顶点的坐标。

根据旋转变换的公式，旋转角度θ=60°，原点为旋转中心，可以计算得出旋转后的各顶点坐标为：A'(1*cos60° - 2*sin60°, 1*sin60° + 2*cos60°) = (0.5, 2.598)B'(3*cos60° - 4*sin60°, 3*sin60° + 4*cos60°) = (-1.133, 4.330)C'(5*cos60° - 6*sin60°, 5*sin60° + 6*cos60°) = (1.333, 7.464)实例二：平移变换假设有一条直线L，其方程为y = 2x - 1。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。

这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。

本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。

一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。

在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。

具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。

- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。

2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。

假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。

二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。

在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。

具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。

- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。

2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。

设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。

三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。

在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。

具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。

- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。

2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。

设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。

四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折的计算及应用初中数学知识归纳：平移、旋转和翻折的计算及应用数学是一门综合性的科学学科，在初中阶段，学生们逐渐接触和学习各种数学知识，其中包括平移、旋转和翻折等几何变换的计算和应用。

本文将对初中数学中平移、旋转和翻折的相关知识进行归纳和探讨。

一、平移的计算和应用平移是指将图形按照指定的方向和距离在平面上等距移动的几何变换。

在计算平移时，首先需要确定平移的向量，然后将图形上的每个点沿着该向量进行移动，最终得到平移后的图形。

平移的计算中，常用的方法是矩阵表示法。

设平移的向量为(t, u)，对于坐标为(x, y)的点，平移后的坐标可表示为(x+t, y+u)。

通过这个方法，我们可以方便地计算出平移后的图形。

平移的应用很广泛，常见的有地图标记、图像移动等。

例如，在地图上标记某个地点时，可以通过平移地图将该地点移至视野中心，使得标记更加清晰明了。

二、旋转的计算和应用旋转是指将图形绕着一个点进行转动的几何变换。

在计算旋转时，需要确定旋转的中心和旋转的角度，然后将图形上的每个点绕着中心按照指定的角度进行旋转，最终得到旋转后的图形。

旋转的计算可以通过矩阵表示法来进行。

设旋转的中心为(A, B)，旋转的角度为θ，对于坐标为(x, y)的点，旋转后的坐标可表示为：x' = A + (x - A)cosθ - (y - B)sinθy' = B + (x - A)sinθ + (y - B)cosθ通过这个公式，我们可以方便地计算出旋转后的坐标。

旋转也有很多应用场景。

例如，在建筑设计中，可以通过旋转模型来展示不同角度的建筑效果，帮助人们更好地了解建筑物的外观和结构。

三、翻折的计算和应用翻折是指将图形按照一条直线进行折叠的几何变换。

在计算翻折时，需要确定折叠的直线，然后将图形上的每个点沿着该直线进行折叠，最终得到翻折后的图形。

翻折的计算相对简单，只需将每个点关于折叠线进行对称，即可得到翻折后的坐标。

平移翻折旋转等几何变换的性质分析平移、翻折、旋转等几何变换是在平面上对图形进行操作的常用方法。

它们具有独特的性质与特点，本文将对这些几何变换的性质进行详细分析。

一、平移的性质分析平移是指将图形按照指定的方向和距离进行移动，而不改变其形状和大小。

平移的性质如下：1. 平移变换是保持图形各点之间距离和相对位置不变的变换。

即使图形进行平移，其各点之间的距离关系和相对位置仍然保持不变。

2. 平移变换的结果是与原图形全等的新图形。

即平移前后的图形在大小和形状上完全相同，只是位置不同。

3. 平移变换可以通过向量的加法来表示。

设图形上一点的坐标为A(x, y)，进行平移变换时，将其横向平移a个单位，纵向平移b个单位，则新点的坐标为A'(x+a, y+b)。

二、翻折的性质分析翻折是指沿直线将图形对称地折叠，使得每个点关于折叠线对称，从而得到一个新的图形。

翻折的性质如下：1. 翻折变换是保持图形各点到折叠线的距离不变，但改变图形的相对位置。

即折叠前后的图形各点到折叠线的距离相等。

2. 翻折变换的结果是与原图形全等的新图形。

具体而言，翻折变换前后的图形在大小和形状上完全相同，只是位置不同。

3. 翻折变换可以通过向量的减法来表示。

设图形上一点的坐标为A(x, y)，进行翻折变换时，将其关于折叠线的对称点的坐标表示为A'(-x, y')。

三、旋转的性质分析旋转是指围绕指定的旋转中心，按照指定的旋转角度将图形沿逆时针或顺时针方向旋转，从而得到一个新的图形。

旋转的性质如下：1. 旋转变换是保持图形上各点到旋转中心的距离和相对位置不变的变换。

旋转前后的图形各点到旋转中心的距离保持不变，且各点的相对位置不变。

2. 旋转变换的结果是与原图形全等的新图形。

即旋转前后的图形在大小和形状上完全相同，只是位置不同。

3. 旋转变换可以通过矩阵乘法来表示。

设图形上一点的坐标为A(x, y)，进行旋转变换时，将其绕旋转中心点逆时针旋转θ角度得到的新点的坐标表示为A'(x', y')。

平移、旋转和翻折平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。

所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，这一部分的分值比前两年大幅度提高。

为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面以近几年中考题为例说明其解法，供大家参考。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．“一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离。

平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等。

旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度成为与原来相等的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角．旋转特征：图形旋转时，图形中的每一点旋转的角都相等，都等于图形的旋转角翻折：翻折是指把一个图形按某一直线翻折180o后所形成的新的图形的变化。

翻折特征：平面上的两个图形，将其中一个图形沿着一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是对称轴。

解这类题抓住翻折前后两个图形是全等的，弄清翻折后不变的要素。

翻折在三大图形运动中是比较重要的，考查得较多．另外，从运动变化得图形得特殊位置探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的，值得大家留意。

图形沿某条线折叠，这条线就是对称轴，利用轴对称的性质并借助方程的的知识就能较快得到计算结果。

由此看出，近几年中考，重点突出，试题贴近考生，贴近初中数学教学，图形运动的思想(图形的旋转、翻折、平移三大运动)都一一考查到了．因此在平时抓住这三种运动的特征和基本解题思路来指导我们的复习，将是一种事半功倍的好方法。