初中几何变换——平移

认识简单的几何变换平移旋转和翻转的基本变换认识简单的几何变换-平移、旋转和翻转的基本变换几何变换是指对图形的位置、形状或方向进行改变的操作。

在几何学中，平移、旋转和翻转是最基本且常用的几何变换。

它们有着广泛的应用，能够帮助我们理解和描述图像的变化。

在本文中，我们将探讨这三种基本变换的概念和特点。

一、平移变换平移变换是指将图形整体沿着一个方向移动一定的距离，而图形的形状、大小和方向保持不变。

平移变换可以用矩阵、向量或坐标的形式表示。

对于平面上的点(x, y)，其平移变换可以表示为：(x', y') = (x + a, y + b)其中(a, b)表示平移的距离，(x', y')表示变换后的点。

通过平移变换，图形在平面上的位置发生了移动，但其他属性保持不变。

例如，考虑一个正方形，其四个顶点坐标分别为(0, 0)，(1, 0)，(1, 1)，(0, 1)。

如果将这个正方形沿x轴正方向平移2个单位，y轴正方向平移3个单位，那么变换后的正方形顶点坐标为(2, 3)，(3, 3)，(3, 4)，(2, 4)。

二、旋转变换旋转变换是指将图形绕着一个点旋转一定的角度，而图形的大小和形状保持不变。

旋转变换可以使用旋转矩阵或旋转公式来表示。

对于平面上的点(x, y)，其旋转变换可以表示为：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(θ)表示旋转的角度。

通过旋转变换，图形在平面上绕着某个点进行旋转，但其他属性保持不变。

例如，考虑一个直角三角形，其三个顶点坐标分别为(0, 0)，(1, 0)，(0, 1)。

如果将这个直角三角形绕着原点逆时针旋转90度，那么变换后的三角形顶点坐标为(0, 0)，(0, 1)，(-1, 0)。

三、翻转变换翻转变换是指将图形沿着一个轴对称翻转，而图形的大小和形状保持不变。

翻转变换可以沿着x轴、y轴或者某条对角线进行。

初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。

在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。

本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。

一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。

平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。

在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。

平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。

平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。

被平移图形是指需要进行平移操作的图形。

二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。

旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。

在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。

旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。

旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。

被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。

三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。

对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。

在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。

常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。

关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。

综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。

通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。

平移知识点总结在几何学中，平移是指将一个物体沿特定的方向移动一段固定的距离，而保持其形状和大小不变。

平移是基本的几何变换之一，在各个学科领域中都有广泛的应用，例如计算机图形学、物理学和工程学等。

在本文中，我们将总结平移的基本概念、性质和常见的应用。

1. 平移的基本概念平移是指将一个物体的每个点沿着指定的方向移动一段距离，而不改变它们之间的距离和角度关系。

在二维平面上，平移可以通过向量来表示。

设平移向量为v=(a, b)，其中a表示水平方向上的位移，b表示垂直方向上的位移。

对于平面上的任意点P(x, y)，它的平移后的位置P'可以通过以下公式计算：P'(x', y') = P(x, y) + v，其中x' = x + a，y' = y + b。

2. 平移的性质（1）平移保持物体的形状和大小不变。

在进行平移变换时，物体的尺寸、角度和形状保持不变。

（2）平移是一个向量变换。

平移可以通过向量运算来表示，平移向量就是指定的移动方向和距离。

（3）平移具有可逆性。

平移的逆变换即为反方向的平移，即将移动方向和距离取反。

3. 平移的应用（1）计算机图形学：平移是图形学中最基本的变换之一，用于实现物体的移动和动画效果。

通过改变物体的位置，可以实现模拟真实世界中的物体移动。

（2）物理学：在物理学中，平移变换用于描述物体在空间中的位置和运动状态。

平移变换可以帮助我们研究物体的位移、速度和加速度等动力学性质。

（3）工程学：在工程学中，平移变换可以应用于机器人控制、物体定位和路径规划等领域。

通过平移变换，可以使机器人沿指定的路径移动或定位物体的位置。

总结：平移是几何学中基本的变换之一，它通过在特定方向上移动物体的每个点来实现。

平移保持物体的形状和大小不变，具有可逆性。

在计算机图形学、物理学和工程学等领域中，平移都有广泛的应用。

通过平移变换，我们可以实现物体的移动、物体位置的定位以及路径规划等目标。

初一平移的定义及三要素知识点一、初一平移的定义平移是指在平面上保持形状不变的情况下，通过将每一个点沿着同一方向移动相同的距离，来改变图形的位置。

在初中数学中，我们学习了平移的概念和相关的知识点。

二、初一平移的三要素平移作为一种几何变换，有三个要素：平移向量、平移前的图形和平移后的图形。

1. 平移向量平移向量是指平移的方向和距离。

在平面上，平移向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。

例如，如果一个平移向量是向右平移2个单位，那么我们可以用一个向右的箭头表示，箭头的长度为2个单位。

2. 平移前的图形平移前的图形是指进行平移操作前的原始图形。

它可以是任意形状的图形，比如矩形、三角形、多边形等。

在进行平移操作时，我们需要明确平移前的图形是什么样的。

3. 平移后的图形平移后的图形是指经过平移操作后得到的新图形。

它与平移前的图形形状相同，只是位置发生了改变。

平移后的图形与平移前的图形之间的关系是位置上的改变，而形状、大小等方面保持不变。

三、平移的示例和应用平移在日常生活和数学中都有广泛的应用。

以下是一些平移的示例和应用：1. 平面地图平面地图是平移的典型应用之一。

当我们需要将地图上的一个城市或地区平移到另一个位置时，可以使用平移操作来完成。

这样可以保持地图上其他地点的相对位置不变，只改变平移的目标地点的位置。

2. 图像处理在图像处理领域，平移也是一种常见的操作。

通过对图像进行平移，可以实现图像的移动效果。

比如在电影中，我们经常看到图像在屏幕上平移的效果，这就是通过对图像进行平移操作来实现的。

3. 几何证明在几何证明中，平移也是一种常用的工具。

通过将图形进行平移，可以改变图形的位置，从而使得证明过程更加简化和清晰。

平移还可以用来证明一些几何定理和性质，例如平行线的性质、三角形的性质等。

总结：初一平移是指在平面上保持形状不变的情况下，通过将每一个点沿着同一方向移动相同的距离，来改变图形的位置。

平移知识点总结平移是中学数学中一个非常重要的概念，它是几何变换中的一种。

在数学课堂上，学生需要掌握平移的基本概念、性质、方法和应用等知识点，以便能够解决各种几何问题。

在本文中，我们将对平移的相关知识进行总结，并分析其重要性和实际应用。

一、平移的基本概念平移是指将一个图形沿着直线方向上移动一定的距离，使其保持形状、大小和方向不变。

平移是一种基本的几何变换，也是一种基本的运动变换。

平移的基本概念包括：平移距离、平移向量、平移向量的表示方法、平移变换的性质等。

1. 平移距离平移距离指的是图形沿着直线方向上移动的距离，通常用正数表示。

如果平移距离为正数，则表示将图形向右移动；如果平移距离为负数，则表示将图形向左移动。

2. 平移向量平移向量是指将一个向量作为平移的方向和距离，从而确定平移的方式。

平移向量的表达式是一个二维向量，其中第一项表示水平方向上的平移距离，第二项表示垂直方向上的平移距离。

如果平移向量的二维向量表示为(a,b)，则表示将图形向右移动a个单位，向上移动b个单位。

3. 平移向量的表示方法平移向量可以通过坐标系中两个点的坐标差来表示。

假设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)分别表示图形的初始位置和平移后的位置，则平移向量的坐标表示为(x2-x1,y2-y1)。

4. 平移变换的性质平移变换具有以下性质：(1) 保形性：平移变换不改变图形的形状。

(2) 保角性：平移变换不改变图形的内角度数。

(3) 保距性：平移变换保持图形上任何两点之间的距离不变。

(4) 可逆性：平移变换是可逆的，即可以通过对称平移变回原来的位置。

二、平移的方法和应用平移变换的方法和应用非常广泛，可用于解决各种几何问题，如图形的位置关系、重心的位置、对称点的位置、垂足的位置等。

1. 平移的方法平移的方法有以下两种：(1) 点法平移法：通过将平移向量作为一个点来确定图形的位置。

(2) 向量法平移法：通过将平移向量作为向量来确定图形的位置。

总结平移知识点一、平移的定义及特点平移是指在几何空间中，沿着某个方向将一个对象移动一定的距离，而保持其形状和大小不变的变换。

特点：1. 保持长度和角度不变：在平移过程中，对象的长度和角度都不会发生改变，这是平移的重要特点之一。

2. 保持平行关系：在平移过程中，平行线仍然保持平行，并且等距离。

3. 保持面积和体积不变：平移的过程中，对象的面积和体积都不会发生变化。

二、平移的表示方法在数学中，平移可以用矢量表示法来描述。

假设原始图形为A，平移向量为v，则平移后的图形为A'，则有A' = A + v。

在二维空间中，平移向量v可以用(x, y)来表示，表示沿着x轴平移x个单位长度，沿着y轴平移y个单位长度。

在三维空间中，平移向量v可以用(x, y, z)来表示，表示沿着x轴平移x个单位长度，沿着y轴平移y个单位长度，沿着z轴平移z个单位长度。

三、平移的性质1. 平移满足组合律：设有两个平移变换T1和T2，对于任意点P，有(T1∘T2)(P) =T1(T2(P))。

2. 平移满足可逆性：设有一个平移变换T，存在逆变换T-1，使得T∘T-1 = T-1∘T = I，其中I为恒等变换。

3. 平移满足保持等长：对于任意两点A和B，经过平移变换后，线段AB的长度不发生改变。

四、平移的应用1. 图像处理：在计算机图形学领域，平移是常见的几何变换，它可以用来实现图像的平移、旋转、缩放等操作，从而实现图像的变换和处理。

2. 几何构造：在几何构造中，平移可以用来构造平行线、相似图形等，从而解决一些几何问题。

3. 机器人运动：在机器人运动控制中，平移是一个常见的运动方式，可以用来控制机器人在空间中的移动和定位。

五、平移的模拟与实现在计算机图形学中，通常使用矩阵来表示平移变换。

对于二维空间，平移变换可以表示成如下的矩阵形式：T = |1 0 tx||0 1 ty||0 0 1|其中tx和ty分别代表x轴和y轴的平移距离。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。

这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。

本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。

一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。

在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。

具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。

- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。

2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。

假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。

二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。

在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。

具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。

- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。

2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。

设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。

三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。

在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。

具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。

- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。

2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。

设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。

四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。

初中数学知识归纳平移旋转与对称变换的特点初中数学知识归纳：平移、旋转与对称变换的特点在初中数学学习中，平移、旋转和对称变换是常见的几何变换形式。

它们在几何图形的变换和性质研究中起着重要的作用。

本文将对平移、旋转和对称变换的特点进行归纳总结。

一、平移的特点平移是指在平面上将一个图形沿着固定的方向和距离移动，使得图形的每一个点都按照相同的方式进行移动。

平移的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：平移只改变图形的位置，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的内外角度不变：平移前后的图形内外角度是相等的。

3. 保持图形的对称性质：如果一个图形在平移前是对称的，那么它在平移后仍然是对称的。

二、旋转的特点旋转是指将一个图形绕着某一点旋转一定角度，使得图形相对于旋转中心发生变换。

旋转的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：旋转只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的对称性质：如果一个图形在旋转前是对称的，那么它在旋转后仍然是对称的。

3. 保持图形的内外角度不变：旋转前后的图形内外角度是相等的。

三、对称变换的特点对称变换是指将一个图形通过镜像等方式进行改变，使得图形的形状相对于某一条直线、某一点或某个轴对称。

对称变换的特点可以归纳如下：1. 保持图形的大小和形状不变：对称变换只改变图形的位置和方向，而不改变它的大小和形状。

2. 保持图形的内外角度不变：对称变换前后的图形内外角度是相等的。

3. 保持图形的对称性质：对称变换前后的图形仍然是对称的，对称轴或对称中心位置可能发生改变。

综上所述，平移、旋转和对称变换是初中数学中常见的几何变换形式。

它们在图形位置、形状和对称性质的研究中具有重要的作用。

通过对它们的特点进行归纳总结，我们可以更好地理解和应用这些数学概念。

当然，除了这几种几何变换外，还有其他形式的变换，如放缩变换、剪切变换等，它们在实际问题中也有广泛的应用。

通过学习和掌握这些变换的特点，我们可以更好地理解和分析几何图形的性质，并应用于解决实际问题。

几何变换平移旋转翻转与对称的操作与性质几何变换：平移、旋转、翻转与对称的操作与性质几何变换是数学中的重要概念，它描述了图形在平面上的位置、形状的改变。

其中，平移、旋转、翻转和对称是常见的几何变换操作。

本文将详细介绍这些操作的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

1. 平移操作平移是指将图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离，它不改变图形的形状和大小，只改变其位置。

平移操作可以用向量表示，即将图形的每个点都沿着同一个向量移动。

将图形A进行平移得到的新图形记为A'。

平移操作的性质包括：- 平移是保持距离和角度不变的等距变换，原图形和平移后的图形全等。

- 平移具有可逆性，即进行反向平移可以恢复原图形。

- 平移操作不改变图形的面积和周长。

2. 旋转操作旋转是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，使图形绕旋转中心进行转动。

旋转操作可以用一个固定角度和旋转中心表示。

将图形A绕旋转中心O逆时针旋转一定角度得到新图形A'。

旋转操作的性质包括：- 旋转是保持距离不变的等距变换，原图形和旋转后的图形全等。

- 旋转具有可逆性，即进行反向旋转可以恢复原图形。

- 旋转操作不改变图形的面积和周长，但可能改变图形的方向。

3. 翻转操作翻转是指将图形围绕某个直线对称地翻转，使得图形在对称轴两侧具有完全相同的形状和大小。

翻转操作可以用一个对称轴表示。

将图形A沿对称轴翻转得到的新图形记为A'。

翻转操作的性质包括：- 翻转是保持距离不变的等距变换，原图形和翻转后的图形全等。

- 翻转具有可逆性，即进行两次相同方向的翻转可以恢复原图形。

- 翻转操作不改变图形的面积和周长，但可能改变图形的方向。

4. 对称操作对称是指将图形围绕某个中心点对称地翻转，使得图形在对称中心两侧具有完全相同的形状和大小。

对称操作可以用一个中心点表示。

将图形A关于中心点对称得到的新图形记为A'。

对称操作的性质包括：- 对称是保持距离不变的等距变换，原图形和对称后的图形全等。

七年级数学下《平移》知识点总结归纳
一、平移的定义
平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。

平移不改变图形的形状、大小和方向。

二、平移的性质
1.平移不改变图形中线段的长度和角度。

2.通过平移，可以组成一个新的图形。

3.在平移过程中，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。

三、平移的基本操作
1.确定平移的方向和距离。

2.对于图形中的每一个点，都按照平移的方向和距离进行移动。

3.连接移动后的点，得到平移后的图形。

四、平移的实际应用
1.在日常生活和工程设计中，平移是一种常见的几何变换，如推拉门、传送带等。

2.通过平移，可以重新排列和组合图形，为设计提供更多可能性。

五、常见问题与注意事项
1.在判断一个图形是否经过平移时，要仔细观察图形上的每一个点是否都沿同一
方向移动了相同的距离。

2.在进行平移操作时，要注意保持图形的大小和形状不变，避免出现变形或错位。

3.对于一些复杂的图形，可以先分解为简单的部分，分别进行平移操作，然后再
组合起来。

通过以上知识点的总结归纳，可以帮助学生们更好地理解和掌握《平移》这一部分内容，为后续的学习打下坚实的基础。

平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一 平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒， 易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ， 可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积． 易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系． 作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． 在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二 共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点． 下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠． 在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =． 在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =． 连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线 且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。

初中数学平移是在平面上进行的还是在空间中进行的
平移可以在平面上进行，也可以在空间中进行。

它是一种几何变换，可以应用于二维平面和三维空间。

在平面上的平移：
在平面上进行的平移是指将平面上的图形沿着指定的方向和距离移动，而保持其形状和大小不变。

在平面上进行平移时，图形的每个点按照相同的方式和距离进行移动。

平移可以通过指定一个二维向量来描述，该向量表示平移的方向和距离。

在空间中的平移：
在空间中进行的平移是指将空间中的图形沿着指定的方向和距离移动，而保持其形状和大小不变。

在空间中进行平移时，图形的每个点按照相同的方式和距离进行移动。

平移可以通过指定一个三维向量来描述，该向量表示平移的方向和距离。

平移在二维平面和三维空间中的应用：
在二维平面中，平移可以用于布局、排列和组合图形。

它可以用于设计平面图案、平面几何的证明和计算机图形学中的图形变换。

在三维空间中，平移可以用于建筑设计、机械工程、计算机图形学和航空航天等领域。

它可以用于设计三维模型、布局物体在空间中的位置和运动路径的规划。

无论是在平面上还是在空间中，平移都是一种重要的几何变换，它在数学和实际应用中都发挥着重要作用。

通过平移，我们可以改变图形或物体的位置，实现布局、设计和规划等目标。

初中数学平移可以改变哪些性质
平移是一种几何变换，它可以改变以下性质：
1. 位置：平移可以将图形从一个位置移动到另一个位置。

通过指定平移的方向和距离，图形的每个点都按照相同的方式进行移动。

这意味着平移可以改变图形的位置，使其从一个位置平移到另一个位置。

2. 连接关系：平移可以改变图形中各个点之间的连接关系。

当一个图形进行平移时，它的每个点都按照相同的方向和距离移动，这可能会改变原始图形中点之间的连接关系。

例如，原始图形中的两个点可能是相邻的，但在平移后它们可能不再相邻。

3. 对称性：平移可以改变图形的对称性。

如果一个图形具有某种对称性，例如轴对称或中心对称，那么在进行平移后，图形的对称性可能会改变。

这是因为平移会改变图形中各个点之间的相对位置，从而可能破坏原始图形的对称性。

4. 几何关系：平移可以改变图形中的几何关系。

例如，原始图形中可能存在某些特殊的几何关系，如垂直、平行或相交。

在进行平移后，这些几何关系可能会改变，因为平移会改变图形中各个点之间的相对位置。

5. 角度和方向：虽然在前面提到平移不改变角度和方向关系，但在特定情况下，平移也可以改变角度和方向。

例如，在平移过程中，如果图形中的某些线段与平移方向平行，那么它们的角度和方向关系可能会受到影响。

总结起来，平移可以改变图形的位置、连接关系、对称性、几何关系以及在特定情况下可能改变角度和方向关系。

这些变化使得平移成为一种有用的几何变换，可以用于各种领域，例如建筑设计、计算机图形学和机械工程等。

通过平移，我们可以改变图形或物体的位置，并在需要时调整其相关性质。

几何变换中的平移几何变换是指在平面或者空间中对图形进行变换的过程，其中平移是一种基本的几何变换方式。

它通过沿着指定的方向和距离，将图形整体移动到一个新的位置上。

平移是保持图形形状、大小和方向不变的变换，可以应用于各种几何图形，包括点、线段、多边形和曲线等。

一、平移的定义与性质平移是指将一个图形的每一个点都沿着同一方向和同一距离移动的操作。

在平移过程中，图形的形状和大小保持不变，只是位置发生了变化。

也就是说，平移是一种向量运算，通过给定的平移向量来确定移动的方向和距离。

平移的性质如下：1. 平移对图形的大小和形状没有影响，只改变了图形的位置。

2. 平移保持图形上所有点的相对位置关系不变，即图形内部的线段和角度不变。

3. 平移是一种刚体变换，即保持图形的长度、角度和面积不变。

二、平移的表示方法平移可以通过向量运算来表示。

给定平移向量u=(a, b)，对于二维平面上的点P(x, y)，其平移后的新位置P'可以表示为P'=(x+a, y+b)。

其中，向量u表示了平移的方向和距离，向量a=(a, b)的起点为原点，终点为平移前的点P，即a为向右移动的距离，b为向上移动的距离。

三、平移的应用1. 图像处理平移在图像处理中经常被应用，例如，将图像整体向左/右/上/下平移可以改变图像的位置，让图像在不同的位置上显示。

这在图像编辑和合成中是一种常见的操作。

2. 几何证明平移在几何证明中也经常被使用，例如，通过平移两个相等的线段，可以证明它们的长度相等。

又如，通过平移一个角，可以证明两个角相等或者互补。

3. 几何建模在计算机图形学中，平移可以用于几何建模，通过对二维或者三维图形进行平移，可以构建出更复杂的图形模型。

例如，在三维建模中，通过向量运算将一个物体沿着指定的方向平移，可以创建出多个相同的物体并排放置在场景中。

四、平移的实例1. 平移一个点假设有一个点P(3, 5)，要将其沿x轴正方向平移7个单位，沿y轴负方向平移4个单位，可以使用平移向量u=(7, -4)来进行平移。

七年级数学形的平移平移是数学中的一种基本几何变换，它可以将图形在平面上沿着特定的方向移动一定的距离。

在七年级的数学课程中，学生们将会学习到形的平移以及其相关的概念和性质。

本文将从什么是平移开始，详细介绍形的平移的定义、性质以及应用。

1. 什么是平移平移是一种基本的几何变换，也被称为平移变换。

它是指将一个图形移动到另一个位置而不改变其形状和大小。

在平移过程中，图形的每个点按照相同的方向和距离同时移动。

2. 形的平移的定义形的平移是指将一个图形上的所有点按照相同的方向和距离同时移动，从而得到一个新的位置相同但形状和大小不变的图形。

形的平移可以用向量表示，其中向量的长度代表平移的距离和方向，向量的起点和终点分别对应于原图形和平移后的图形上的点。

3. 形的平移的性质形的平移具有以下性质：（1）形状不变：在形的平移过程中，图形的形状保持不变，即平移后的图形与原图形相似。

（2）大小不变：形的平移不改变图形的大小，即平移前后的图形具有相等的面积和周长。

（3）位置改变：形的平移将图形移动到一个新的位置，但保持其相对位置关系。

（4）向量表示：形的平移可以用向量表示，其中向量的长度表示平移的距离和方向。

4. 形的平移的应用形的平移在实际生活中有许多应用。

以下是形的平移的一些应用场景：（1）建筑设计：在建筑设计中，形的平移可以用于复制和移动建筑元素，如窗户、门等。

（2）图案设计：形的平移可以用于设计图案和装饰品，如平铺图案的制作。

（3）地理测量：形的平移可以用于地理测量，如地图的制作和更新。

（4）计算机图形学：形的平移是计算机图形学中基本的几何变换之一，可以用于图形的移动和变换。

综上所述，形的平移是一种基本的几何变换，它将图形上的所有点按照相同的方向和距离同时移动，从而得到一个新的位置相同但形状和大小不变的图形。

形的平移具有形状不变、大小不变、位置改变以及向量表示的性质。

形的平移在建筑设计、图案设计、地理测量以及计算机图形学等领域有广泛的应用。

平移知识点总结平移是二维几何变换中的一种重要方式，它保持图形的大小和形状不变，只是位置发生了移动。

下面将对平移的基本概念、性质以及应用进行总结。

1. 基本概念平移是指在二维平面上，将一个图形沿着某个方向移动一定距离而不改变其形状和大小的变换。

平移由两个要素确定：平移方向（直线）和平移距离（长度）。

2. 平移的表示平移可以用向量表示。

设平移向量为（a, b），其中a表示平移在x轴方向上的位移，b表示平移在y轴方向上的位移。

若点P(x, y)经过平移变换后得到点P'(x+a, y+b)，则向量PP'即为平移向量。

3. 平移的性质（1）平移是保形变换，即图形的大小和形状不发生改变。

（2）平移是保角变换，即平移前后的两个角度大小保持不变。

（3）平移满足可逆性，即平移后再进行逆向平移，可恢复原图形。

4. 平移的性质证明（1）保形性证明：设平移前有线段AB和平行线l，进行平移后，线段A'B'与线段AB平行，且长度相等，平行线l'与直线l仍平行。

故平移保持图形的大小和形状不变。

（2）保角性证明：设平移前有两个角度∠ABC和∠DEF，进行平移后，有∠A'B'C'≌∠DEF。

故平移保持角度的大小不变。

（3）可逆性证明：设平移前有点P和平移向量（a，b），进行平移后得到P'，再进行以向量（-a，-b）的平移，可将P'恢复为原点P。

故平移满足可逆性。

5. 平移的应用（1）地图导航：在地图导航软件中，通过平移操作可以在地图上任意移动，实现地图的整体平移。

（2）图像处理：在图像处理软件中，平移操作可以将图像在画布上的位置进行调整，达到移动图像的效果。

（3）建筑设计：在建筑设计中，平移操作可以实现建筑物在平面图上的位置调整，方便对房间、门窗等元素进行布局。

总结：平移是二维几何变换中的一种重要方式，通过保持图形的大小和形状不变，只改变位置来实现。

初中数学的平移知识点总结平移是数学中的一种基本几何变换，它可以将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变图形的形状和大小。

在初中数学中，学生需要掌握平移的基本概念、性质和应用。

本文将以“平移知识点总结”为标题，逐步介绍初中数学中与平移相关的主要知识点。

1.平移的基本概念平移是指将一个图形从一个位置移动到另一个位置，使得图形上的每一个点都按照相同的方向和距离移动。

在平移中，不改变图形的形状、大小和方向，只改变其位置。

平移可以用箭头表示，箭头的方向表示平移的方向，箭头的长度表示平移的距离。

2.平移的性质（1）平移是一种向量运算，平移向量表示了平移的方向和距离。

（2）平移不改变图形的内部结构，即图形上的每一条线段在平移后仍然是一条线段，图形上的每一个角度在平移后仍然保持不变。

（3）平移是可逆的，即平移一个图形后再反向平移同样的距离和方向，可以恢复原来的位置。

3.平移的表示方法平移可以使用向量表示，平移向量的起点表示图形的初始位置，终点表示图形的平移后的位置。

假设平移向量为v，图形的初始位置为A，平移后的位置为A’，则平移可以表示为A’ = A + v。

4.平移的应用平移在几何问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用：（1）平移可以用来解决图形的对称性问题。

通过平移一个图形，使得它与原来的位置重合，就可以找到图形的对称中心或对称轴。

（2）平移可以用来证明一些几何性质。

通过平移图形，可以将一些难以证明的几何性质转化为易于证明的性质，从而简化证明过程。

（3）平移可以用来解决图形的构造问题。

通过平移已知图形，可以构造出与之等大且形状相似的新图形，从而实现图形的放大或缩小。

5.平移的练习题为了巩固对平移的理解和应用，可以进行一些练习题。

以下是一些典型的平移练习题：（1）已知平面上的点A(-2, 3)，对A进行平移，平移向量为(-4, 2)，求平移后的点的坐标。

（2）已知平面上的图形ABC，平移后得到图形A’B’C’，若平移向量为(-3, 1)，求图形A’B’C’的顶点坐标。

平移知识点总结平移是几何变换的一种，通过将图形沿着特定的方向和距离移动，使其位置发生改变而形状保持不变。

平移是几何学中的基本操作之一，常用于解决与平行线、垂直线、相似图形等相关的问题。

本文将对平移的定义、性质以及相关应用进行总结。

一、平移的定义平移是指通过空间中的移动，将一个图形按照特定的方向和距离，使其每一个点都以相同的向量平移。

在平移中，原图形的每一个点都沿着与平移向量相同的方向移动，并且移动的距离与平移向量的长度相等。

平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变其位置。

二、平移的性质1. 平移是一个等距变换，即平移前后的图形保持距离不变。

2. 平移保持图形的形状、面积和内角度不变。

3. 平移可逆，即平移一个图形，再平移回来，可使图形回到原来的位置。

4. 平移不改变图形的对称性和相似性。

三、平移的应用平移在几何学中有广泛的应用，以下是平移在几个具体领域中的应用示例。

1. 解决平行线问题平移可用于解决两条平行线之间的关系问题。

通过平移一条线段，使其与另一条线段平行，从而简化问题的分析和计算步骤。

2. 解决垂直线问题平移也可用于解决两条垂直线之间的关系问题。

通过平移一个图形，使其满足垂直关系，从而简化问题的求解过程。

3. 解决相似图形问题平移在相似图形的构造和判断中起着重要的作用。

通过适当的平移操作，可以使两个相似的图形完全重合，从而得出相似性的结论。

4. 解决平面镶嵌问题平移被广泛应用于平面镶嵌的设计中。

通过将图形按照平移向量进行平移，可以在平面上构建出各种精美的镶嵌图案。

总结：平移是几何学中重要的基本操作之一，它通过将图形沿着特定的方向和距离移动，改变其位置而不改变形状。

平移具有等距性和可逆性的特点，常应用于解决与平行线、垂直线、相似图形等相关的问题。

在实际应用中，平移被广泛用于解决几何问题以及平面镶嵌的设计等领域。

通过掌握平移的定义、性质和应用，我们能够更好地理解和运用平移知识，提高几何问题的解决能力。

初中数学平移线知识点总结一、平移的概念和性质1. 平移的概念：平移是不改变大小和形状的情况下，将图形按照一定的规则移动到另一个位置的变换。

2. 平移的性质：（1）平移前后保持图形的大小和形状不变；（2）平移前后各点的位置关系保持不变；（3）平移不改变图形的性质，如面积、周长等。

二、平移线的性质和判断方法1. 平移线的性质：平移线是指在平移前后，所有的点都按照相同的方向和距离移动。

2. 平移线的判断方法：（1）通过观察图形的定点和移动到的位置之间的关系，判断是否满足平移线的性质；（2）通过对称性和平行性质，判断图形是否满足平移线的性质。

三、平移线的性质应用1. 平移线的作用：（1）用于判断两个图形是否为平移关系；（2）根据平移线的性质，将图形进行平移；（3）解决实际问题中与平移线有关的计算和分析。

2. 实例分析：（1）已知一个图形与另一个图形平移线相同，可以判断它们之间为平移关系；（2）通过已知的平移线，可以确定一个点的平移位置；（3）通过平移线的特性，可以解决一些视察、推理和计算问题。

四、平移线与轴对称的关系1. 平移线与轴对称的联系：通过平移线和轴对称的性质，可以进行对称的变换。

2. 平移线与轴对称的性质：（1）平移线和对称轴可以共同作用，对图形进行平移和轴对称变换；（2）根据平移线的性质，可以判断图形在某轴对称下的变换关系；（3）通过平移线和轴对称的关系，可以进行反映出图形的对称性。

五、平移线在建模和实际问题中的应用1. 平移线在建模中的作用：（1）通过平移线对图形进行平移变换；（2）将已有的图形通过平移线进行组合或分解；（3）在建模过程中使用平移线，进行计算和数据分析。

2. 平移线在实际问题中的应用：（1）通过平移线解决实际中与位置、方向、距离相关的问题；（2）通过平移线对现实中的图形进行位置调整和分析；（3）通过平移线对地图、平面图和三维模型进行分析和计算。

六、平移线的拓展应用1. 平移线与几何应用的拓展：（1）平移线与几何图形的位置关系和移动关系；（2）通过平移线进行几何图形的组合和分解；（3）平移线在几何证明和建模中的应用。

七年级下册的平移知识点平移，也叫做移动或者平移变换，是几何学中的一种常见的变换方式。

在数学中，表示一个图形沿着平面内的一个向量移动，从而生成另一个所需的几何图形，新的图形与原图形具有相同的形状和大小，只是位置不同。

一、平移的定义平移就是把几何图形沿着一个固定方向的一条线段上移动一定的距离，使图形中所有点移动到一个新的位置，平移的过程中保持图形大小和形状不变。

二、平移的性质1. 平移保持图形大小和形状不变；2. 平移前后图形在平面上的位置发生改变，但是图形的方向、形状、大小、面积等性质不变；3. 平移的过程中，所有的点都是平移相同的距离和相同的方向。

三、平移的步骤平移的基本步骤如下：1. 确定平移向量，即平移方向和距离；2. 选择一个参考点，任意一个点都可以；3. 沿着平移向量方向，以参考点为基础，将原图形上的所有点平移相同的距离到相应的位置。

四、平移的应用平移是几何变换中最为常见的一种，应该说几乎所有的几何图形都可以通过平面移动来实现变换。

1. 平移可以用于解决数学问题，如计算角平分线、中垂线等问题；2. 平移可以用于解决实际问题，如建筑、制图、数控加工等中的布局、对称、找定位点等问题；3. 平移对于学习几何和计算机图形学都非常重要，可以用于模拟、计算机辅助设计等。

五、平移的小技巧1. 选择一个容易计算的点作为原点，使之在移动过程中保持不变；2. 在移动前需要较为熟练地掌握各类平移的步骤和技巧；3. 在移动时可以使用类似轮廓的方式，先确定顶点位置，再确定直线等。

总之，平移是数学和几何学中一个非常重要的概念，需要我们在学习过程中认真掌握，灵活运用。