高中数学必做100题--数学1(16题)

高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。

⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A ZB =（其中Z 为整数集）。

试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。

２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。

① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。

已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。

（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。

3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.（2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。

（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。

高中数学经典例题100道(共44页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠ (4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答 共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆ [ ]分析 作出4图形．答 选C ．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ．答 选A ．说明：要注意集合中谁是元素．M 与P 的关系是[ ]A ．M ＝U PB ．M ＝PC M PD M P ．．≠⊃⊆分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法．答 选B ．说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是[ ]A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素．∴A ∈B ． 答 选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意． 例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析 逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解． 答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A 的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去． 在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ]A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析 分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂ 答 选C ．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）． A ．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B ．过直线外一点与该直线平行的平面 C ．过平面外一点与平面平行的直线 D ．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A ．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B ．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C ．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．D ．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A 、平面α，过点A 有两条直线AB 、AC 都垂直于α，由于AB 、AC 为相交直线，不妨设AB 、AC 所确定的平面为β，α与β的交线为l ，则必有l AB ⊥，l AC ⊥，又由于AB 、AC 、l 都在平面β内，这样在β内经过A 点就有两条直线和直线l 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D ．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）．A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D ．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱1AA 和1BB 上的点，G 为棱BC 上的点，且1BB EF ⊥，EG FC ⊥1，求FG D 1∠．典型例题三例3 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1BB 的中点，O 是底面正方形ABCD 的中心，求证：⊥OE 平面1ACD ．分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明⊥OE 平面1ACD ，只要在平面1ACD 内找两条相交直线与OE 垂直．证明：连结D B 1、D A 1、BD ，在△BD B 1中， ∵O E 、分别是B B 1和DB 的中点， ∴D B EO 1//． ∵⊥11A B 面D D AA 11，∴1DA 为1DB 在面D D AA 11内的射影． 又∵D A AD 11⊥，∴11DB AD ⊥．同理可证，C D D B 11⊥．又∵111D CD AD = ，1AD 、⊂C D 1面1ACD ， ∴⊥D B 1平面1ACD ． ∵EO D B //1， ∴⊥EO 平面1ACD ．另证：连结CE AE 、，O D 1，设正方体1DB 的棱长为a ，易证CE AE =． 又∵OC AO =， ∴AC OE ⊥．在正方体1DB 中易求出：a a a DO DD O D 2622222211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=， a a a OB BE OE 232222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=，()a a a E B B D E D 232222212111=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=．∵21221E D OE O D =+， ∴OE O D ⊥1．∵O AC O D = 1，O D 1、⊂AC 平面1ACD ， ∴⊥OE 平面1ACD ．说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．典型例题四例4 如图，在△ABC 中， 90=∠B ，⊥SA 平面ABC ，点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、，求证：SC MN ⊥．分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证MN SC ⊥，可证⊥SC 面AMN ，为此须证AN SC ⊥，进而可转化为证明⊥AN 平面SBC ，而已知SB AN ⊥，所以只要证BC AN ⊥即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．证明：∵⊥SA 面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴BC SA ⊥．∵ 90=∠B ，即BC AB ⊥，A SA BA = ，∴⊥BC 平面SAB ．∵⊂AN 平面SAB ．∴AN BC ⊥．又∵SB AN ⊥，B BC SB = ，∴⊥AN 平面SBC ．∵⊂SC 平面SBC ，∴SC AN ⊥，又∵SC AM ⊥，A AN AM = ，∴⊥SC 平面AMN ．∵⊂MN 平面AMN ．∴MN SC ⊥．另证：由上面可证⊥AN 平面SBC ．∴MN 为AM 在平面SBC 内的射影．∵SC AM ⊥，∴SC MN ⊥．说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊥SA ⊙O 所在平面，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上任意一点（C 与B A 、不重合）．过点A 作SB 的垂面交SB 、SC 于点N M 、，求证：SC AN ⊥．典型例题五例5 如图，AB 为平面α的斜线，B 为斜足，AH 垂直平面α于H 点，BC 为平面α内的直线，θ=∠ABH ，α=∠HBC ，β=∠ABC ，求证：θαβcos cos cos ⋅=．分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．证明：过H 点作HD 垂直BC 于D 点，连AD ．∵α⊥AH ，∴AD 在平面α内射影为HD ．∵HD BC ⊥，α⊂BC ，∴AD BC ⊥．在Rt △ABH 中有：BA BH =θcos ① 在Rt △BHD 中有：BHBD =αcos ② 在Rt △ABD 中有：BA BD =βcos ③ 由①、②、③可得：αθβcos cos cos ⋅=．说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为θ，则斜线与平面内其它直线所成角β的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2πθ，．典型例题六例6 如图，已知正方形ABCD 边长为4，⊥CG 平面ABCD ，2=CG ，F E 、分别是AD AB 、中点，求点B 到平面GEF 的距离．分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点B 与平面GEF 平行的直线，因为与平面平行的直线上所有点到平面的距离相等．证明：连结AC BD 、，EF 和BD 分别交AC 于O H 、，连GH ，作GH OK ⊥于K ．∵ABCD 为正方形，F E 、分别为AD AB 、的中点，∴BD EF //，H 为AO 中点．∵EF BD //，⊄BD 平面GFE ，∴//BD 平面GFE ．∴BD 与平面GFE 的距离就是O 点到平面EFG 的距离．∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥．∵⊥GC 面ABCD ，∴EF GC ⊥．∵C AC GC = ，∴⊥EF 平面GCH ．∵⊂OK 平面GCH ，∴OK EF ⊥．又∵GH OK ⊥，H EF GH = ，∴⊥OK 平面GEF ．即OK 长就是点B 到平面GEF 的距离．∵正方形边长为4，2=CG ， ∴24=AC ，2=HO ，23=HC ．在Rt △HCG 中，2222=+=CG HC HG ．在Rt △GCH 中，11112=⋅=HG GC HO OK ． 说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法．由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长．用此法的关键在于准确找到垂足位置．如本题可用下列证法：延长CB交FE的延长线于M，连结GM，作MEBP⊥于P，作BH⊥于H，可得⊥BN//交MG于N，连结PN，再作PNCGBH平面GFE，BH长即为B点到平面EFG的距离．二是转移法．将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离．三是体积法．已知棱锥的体积和底面的面积．求顶点到底面的距离，可逆用体积公式．典型例题七例7如图所示，直角ABCSA==．SB∆所在平面外一点S，且SC(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC；(2)若直角边BCBA=，求证：BD⊥面SAC．分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直．证明：(1)在等腰SACSD⊥．∆中，D为AC中点，∴AC取AB中点E，连DE、SE．∵BCBC⊥，∴ABED//，ABDE⊥．又ABAB⊥．SE⊥，∴AB⊥面SED，∴SD∴SD⊥面ABC（AB、AC是面ABC内两相交直线）．(2)∵BCBA=，∴ACBD⊥．又∵SD⊥面ABC，∴BDSD⊥．∵D AC SD = ，∴BD ⊥面SAC ．说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．典型例题八例8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．分析：由线面垂直的判定定理知，只需在α内找到两条相交直线与b 垂直即可．证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直．典型例题九例9 如图所示，已知平面α 平面β=EF ，A 为α、β外一点，α⊥AB 于B ，β⊥AC 于C ，α⊥CD 于D ．证明：EF BD ⊥．分析：先证A 、B 、C 、D 四点共面，再证明EF ⊥平面ABCD ，从而得到EF BD ⊥．证明：∵α⊥AB ，α⊥CD ，∴CD AB //．∴A 、B 、C 、D 四点共面．∵α⊥AB ，β⊥AC ，EF =βα ，∴EF AB ⊥，EF AC ⊥．又A AC AB = ，∴EF ⊥平面ABCD ．∴BD EF ⊥．说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论．即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直．本题证明“A 、B 、C 、D 四点共面”非常重要，仅由EF ⊥平面ABC ，就断定BD EF ⊥，则证明是无效的．典型例题十例10 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：SB NH ⊥；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断．(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴BM AM ⊥．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴MB SA ⊥．∵A SA AM = ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴AN BM ⊥．∵SM AN ⊥于N ，M SM BM = ，∴AN ⊥平面SMB ．∵SB AH ⊥于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴SB NH ⊥． 解(2)：由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． ∵AH SB ⊥且HN SB ⊥，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴SAB ∆、SAM ∆均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴BAM ∆、BMS ∆均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴ANS ∆、ANM ∆、ANH ∆均为直角三角形． ∵SB ⊥平面ANH ，∴SHA ∆、BHA ∆、SHN ∆、BHN ∆均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，AM SA ⊥，AB SA ⊥，BM SA ⊥．由BM ⊥平面SAM 知，AM BM ⊥，SM BM ⊥，AN BM ⊥． 由AN ⊥平面SMB 知，SM AN ⊥，SB AN ⊥，NH AN ⊥．由SB ⊥平面ANH 知，AH SB ⊥，HN SB ⊥．综上，图中共有11对互相垂直的直线．说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．典型例题十一例11 如图所示，︒=∠90BAC ．在平面α内，PA 是α的斜线，︒=∠=∠60PAC PAB ．求PA 与平面α所成的角．分析：求PA 与平面α所成角，关键是确定PA 在平面α上射影AO 的位置．由PAC PAB ∠=∠，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定AO 位置，构造直角三角形则需用三垂线定理．解：如图所示，过P 作α⊥PO 于O ．连结AO ，则AO 为AP 在面α上的射影，PAO ∠为PA 与平面α所成的角． 作AC OM ⊥，由三重线定理可得AC PM ⊥．作AB ON ⊥，同理可得AB PN ⊥．由PAC PAB ∠=∠，︒=∠=∠90PNA PMA ，PA PA =，可得PMA ∆≌PNA ∆，∴PN PM =．∵OM 、ON 分别为PM 、PN 在α内射影，∴ON OM =．所以点O 在BAC ∠的平分线上．设a PA =，又︒=∠60PAM ，∴a AM 21=，︒=∠45OAM ， ∴a AM AO 222==． 在POA ∆中，22cos ==∠PA AO PAO ， ∴︒=∠45PAO ，即PA 与α所成角为︒45．说明：(1)本题在得出PA 在面α上的射影为BAC ∠的平分线后，可由公式βαθcos cos cos ⋅=来计算PA 与平面α所成的角，此时︒==∠60θPAC ，α=∠PAO ，︒==∠45βCAO ．(2)由PA 与平面α上射影为BAC ∠平分线还可推出下面结论：四面体ABC P -中，若PAC PAB ∠=∠，PBC PBA ∠=∠，则点A 在面ABC 上的射影为ABC ∆的内心．典型例题十二例12 如图所示，在平面β内有ABC ∆，在平面β外有点S ，斜线AC SA ⊥，BC SB ⊥，且斜线SA 、SB 分别与平面β所成的角相等，设点S 与平面β的距离为cm 4，BC AC ⊥，且cm AB 6=．求点S 与直线AB 的距离．分析：由点S 向平面β引垂线，考查垂足D 的位置，连DB 、DA ，推得AC DA ⊥，BC DB ⊥，又︒=∠90ACB ，故A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点．解：作SD ⊥平面β，垂足为D ，连DA 、DB ．∵AC SA ⊥，BC DB ⊥，∴由三垂线定理的逆定理，有：AC DA ⊥，BC DB ⊥，又BC AC ⊥，∴ACBD 为矩形．又∵SB SA =，∴DB DA =，∴ACBD 为正方形，∴AB 、CD 互相垂直平分．设O 为AB 、CD 的交点，连结SO ，根据三垂线定理，有AB SO ⊥，则SO 为S 到AB 的距离．在SOD Rt ∆中，cm SD 4=，cm AB DO 321==， ∴cm SO 5=．因此，点S 到AB 的距离为cm 5．说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求．(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离．(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算． 典型例题十三例13 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想．由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可．欲证SB AE ⊥，可证⊥AE 平面SBC ，为此须证BC AE ⊥、SC AE ⊥，进而转化证明⊥BC 平面SAB 、⊥SC 平面AEFG ．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴BC SA ⊥．又∵ABCD 为正方形，∴AB BC ⊥．∴⊥BC 平面ASB ．∵⊂AE 平面ASB ，∴AE BC ⊥．又∵⊥SC 平面AEFG ，∴AE SC ⊥．∴⊥AE 平面SBC ．又∵⊂SB 平面SBC ，∴SB AE ⊥，同理可证SD AG ⊥．说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．典型例题十四例14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上．已知：BAC ∠在平面α内，点α∉P ，AB PE ⊥，AC PF ⊥，α⊥PO ，垂足分别是E 、F 、O ，PF PE =．求证：CAO BAO ∠=∠．证明：∵α⊥PO ，∴OE 为PE 在α内的射影．∵PE AB ⊥，α平面⊂AB ，∴OE AB ⊥．同理可证：OF AC ⊥．又∵α⊥PO ，PF PE =，OF OE =，∴CAO BAO ∠=∠．说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线．由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知︒∠90ACB，S为平面ACB外一点，=∠60SCA，求SC与平面ACB所成角．SCB=︒=∠典型例题十五例15判断题：正确的在括号内打“√”号，不正确的打“×”号．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（）(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于α的平面内．（）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种①平行②异面，因此应打“×”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”号．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，∴该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，∴该命题应打“√”号．(5)三条共点直线两两垂直，设为a ，b ，c 且a ，b ，c 共点于O ，∵b a ⊥，c a ⊥，0=c b ，且b ，c 确定一平面，设为α，则α⊥a ， 同理可知b 垂直于由a ，c 确定的平面，c 垂直于由了确定的平面，∴该命题应打“√”号．说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．典型例题十六例16 如图，已知空间四边形ABCD 的边AC BC =，BD AD =，引CD BE ⊥，E 为垂足，作BE AH ⊥于H ，求证：BCD AH 平面⊥．分析：若证BCD AH 平面⊥，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH 垂直平面BCD 中两条相交直线即可．证明：取AB 中点F ，连CF 、DF ，∵BC AC =，∴AB CF ⊥．又∵BD AD =，∴AB DF ⊥，∴CDF AB 平面⊥，又CDF CD 平面⊂，∴AB CD ⊥又BE CD ⊥，∴ABE CD 平面⊥，AH CD ⊥，又BE AH ⊥，∴BCD AH 平面⊥．典型例题十七例17 如果平面α与α外一条直线a 都垂直b ，那么α//a ．已知：直线α⊄a ，b a 直线⊥，α⊥b ．求证：α//a ．分析：若证线面平行，只须设法在平面α内找到一条直线'a ，使得'//a a ，由线面平行判定定理得证．证明：(1)如图，若a 与b 相交，则由a 、b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβαα////,,'''''a a a a a a b a a b a b a b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥又∵． (2)如图，若a 与b 不相交，则在a 上任取一点A ，过A 作b b //'，a 、'b 确定平面β，设'a =αβ ．αααβααα////,,////'''''''''''a a a aa a ab a b a b b b a b a b b b b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥又又∵又∵．典型例题十八例18 如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60BAC ，线段ABC AD 平面⊥，DBC AH 平面⊥，H 为垂足．求证：H 不可能是DBC ∆的垂心．分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明．证明：如图所示，假设H 是DBC ∆的垂心，则DC BH ⊥．∵DBC AH 平面⊥，∴AH DC ⊥，∴ABH DC 平面⊥，∴DC AB ⊥．又∵ABC DA 平面⊥，∴DA AB ⊥，∴DAC AB 平面⊥，∴AC AB ⊥，这与已知︒=∠60BAC 矛盾，∴假设不成立，故H 不可能是DBC ∆的垂心．说明：本题只要满足︒≠∠90BAC ，此题的结论总成立．不妨给予证明．典型例题十九例19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ）．①平行于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一条直线的两条直线互相平行③平行于同一个平面的两条直线互相平行④垂直于不一个平面的两条直线互相平行A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确分析：①该命题就是平行公理，即课本中的公理4，因此该命题是正确的；②如图，直线a ⊥平面α，α⊂b ，α⊂c ，且A c b = ，则b a ⊥，c a ⊥，即平面α内两条直交直线b ，c 都垂直于同一条直线a ，但b ，c 的位置关系并不是平行．另外，b ，c 的位置关系也可以是异面，如果把直线b 平移到平面α外，此时与a 的位置关系仍是垂直，但此时，b ，c 的位置关系是异面．③如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，易知ABCD B A 平面//11，ABCD D A 平面//11，但11111A D A B A = ，因此该命题是错误的．④该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的．综上可知①、④正确．∴应选B ．典型例题二十例20 设a ，b 为异面直线，AB 为它们的公垂线(1)若a ，b 都平行于平面α，则α⊥AB ；(2)若a ，b 分别垂直于平面α、β，且c =βα ，则c AB //．分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明α⊥AB ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明c AB //．图１ 图２ 证明：(1)如图1，在α内任取一点P ，设直线a 与点P 确定的平面与平面α的交线为'a ，设直线b 与点P 确定的平面与平面α的交线为'b∵α//a ，α//b ，∴'//a a ，'//b b又∵a AB ⊥，b AB ⊥，∴'a AB ⊥，'b AB ⊥，∴α⊥AB ．(2)如图2，过B 作α⊥'BB ，则a BB //'，则'BB AB ⊥又∵b AB ⊥，∴AB 垂直于由b 和'BB 确定的平面．∵β⊥b ，∴c b ⊥，α⊥'BB ，∴c BB ⊥'．∴c 也垂直于由'BB 和b 确定的平面．故AB c //．说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线'BB ，构造出平面，即由相交直线b 与'BB 确定的平面．然后借助于题目中的其他垂直关系证得．典型例题二十一例21 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，EF 为异面直线D A 1与AC 的公垂线，求证：1//BD EF ．分析：证明1//BD EF ，构造与EF 、1BD 都垂直的平面是关键．由于EF 是AC 和D A 1的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用． 证明：连结11C A ，由于11//C A AC ，AC EF ⊥， ∴11C A EF ⊥．又D A EF 1⊥，1111A C A D A = ， ∴D C A EF 11平面⊥． ① ∵11111D C B A BB 平面⊥，111111D C B A C A 平面⊂， ∴111C A BB ⊥．∵四边形1111D C B A 为正方形， ∴1111D B C A ⊥，1111B BB D B = ， ∴D D BB C A 1111平面⊥，而D D BB BD 111平面⊂，∴111BD C A ⊥． 同理11BD DC ⊥，1111C C A DC = ， ∴D C A BD 111平面⊥． ② 由①、②可知：1//BD EF ．典型例题二十二例22 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PA 、PB 、PC 两两垂直，a PC PB PA ===，求P 点到平面ABC 的距离．分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长．解：过P 作ABC PO 平面⊥于O 点，连AO 、BO 、CO ， ∴AO PO ⊥，BO PO ⊥，CO PO ⊥ ∵a PC PB PA ===， ∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆， ∴OC OB OA ==， ∴O 为ABC ∆的外心． ∵PA 、PB 、PC 两两垂直，∴a CA BC AB 2===，ABC ∆为正三角形， ∴a AB AO 3633==，∴a AO PA PO 3322=-=． 因此点P 到平面ABC 的距离a 33． 说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识．(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结．典型例题二十三例23 如图，已知在长方体1111D C B A ABCD -中，棱51=AA ，12=AB ，求直线11C B 和平面11BCD A 的距离．分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解．解：如图，∵BC C B //11，且1111BCD A C B 平面⊄，11BCD A BC 平面⊂， ∴1111//BCD A C B 平面．从而点1B 到平面11BCD A 的距离即为所求． 过点1B 作B A E B 11⊥于E ，∵11ABB A BC 平面⊥，且B B AA E B 111平面⊂， ∴E B BC 1⊥． 又B B A BC =1 ， ∴111BCD A E B 平面⊥． 即线段E B 1的长即为所求，。

高中数学必修试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1的图像是一个（）。

A. 抛物线B. 直线C. 双曲线D. 圆答案：A2. 已知集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x>1}，则A∩B等于（）。

A. {x|-2≤x≤1}B. {x|1<x≤3}C. {x|-2≤x<1}D. {x|-2≤x≤3}答案：B3. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = x^3 - 1答案：B4. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则其第10项a10等于（）。

A. 19B. 20C. 21D. 22答案：A5. 以下哪个选项是正确的二项式展开式（）。

A. (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2B. (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2C. (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3D. (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数y=f(x)=x^3-3x的导数f'(x)是_________。

答案：3x^2 - 37. 已知向量a=(3, -2)，b=(1, 2)，则向量a·b等于_________。

答案：-48. 函数y=cos(x)的周期是_________。

答案：2π9. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则其第5项b5等于_________。

答案：48610. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a=2，b=1，则该双曲线的渐近线方程为_________。

答案：y = ±x/2三、解答题（共65分）11. 解方程组：\[\begin{cases}2x - y = 1 \\x + 3y = 5\end{cases}\]答案：解：将方程组写成增广矩阵形式：\[\begin{bmatrix}2 & -1 & | & 1 \\1 & 3 & | & 5\end{bmatrix}\]使用高斯消元法，得到：\[\begin{bmatrix}1 & 3 & | & 5 \\0 & 7 & | & 9\end{bmatrix}\]解得y=9/7，代入第一个方程得x=4/7。

高中数学_排列组合10０题一、填充题1. (１)设{}3,8A =﹐{}8,36B x =+﹐若A B =﹐则x =____________﹒ﻫ（2）设{}2|320A x x x =-+=﹐{}1,B a =﹐若A B =﹐则a =____＿__＿___＿﹒2. (1)822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中10x 项的系数为__________＿_﹒(２)52123x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为＿_＿_＿__＿_＿__﹒ﻫ(３）53212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为__＿_________﹒3. (1）()82x y z +-展开式中332x y z 项的系数为_____＿___＿__﹒（２)()532x y z -+展开式中﹐2.3x y 项的系数为__＿___＿_＿___﹒ ４. 四对夫妇围一圆桌而坐﹐夫妇相对而坐的方法有＿＿_＿_____＿_种﹒５． {}{}1,21,2,3,4,5,A ⊂⊂且A 有4个元素﹐则这种集合A 有＿＿___＿_＿____个﹒ 6. 从2０00到３0００的所有自然数中﹐为3的倍数或5的倍数者共有_＿_________＿个﹒ 7. 从１至10的十个正整数中任取3个相异数﹐其中均不相邻的整数取法有_______＿_＿_＿种﹒8. 某女生有上衣5件﹑裙子４件﹑外套2件﹐请问她外出时共有__＿＿________种上衣﹑裙子﹑外套的搭配法﹒(注意：外套可穿也可不穿﹒)9. 已知数列n a 定义为1132n n a a a n +=⎧⎨=+⎩﹐n 为正整数﹐求100a =＿＿__＿__＿____﹒10. 设A ﹑B ﹑T 均为集合﹐{},,,A a b c d =﹐{},,,,=B c d e f g ﹐则满足T A ⊂或T B ⊂的集合T 共有________＿___个﹒11. 李先生与其太太有一天邀请邻家四对夫妇围坐一圆桌聊天﹐试求下列各情形之排列数：1(ﻫ）男女间隔而坐且夫妇相邻_________＿＿＿﹒ﻫ(２)每对夫妇相对而坐＿＿__________﹒12. 体育课后﹐阿珍将4个相同排球﹐5个相同篮球装入三个不同的箱子﹐每箱至少有1颗球﹐则方法有＿____＿______种﹒13． 如图﹐由A 沿棱到G 取快捷方式（最短路径）﹐则有_____＿_＿_＿＿＿种不同走法﹒ﻫ14. 0﹑1﹑１﹑２﹑2﹑2﹑2七个数字全取排成七位数﹐有__＿_______＿＿种方法﹒ １5. 1012⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭展开式中﹐各实数项和为_______＿_＿＿_﹒ 16． 有一数列n a 满足11a =且1213nn a a +=+﹐n 为正整数﹐求()13n n a ∞=-=∑＿＿__＿___＿___﹒﹒１8. 把1~4四个自然数排成一行﹐若要求除最左边的位置外﹐每个位置的数字比其左边的所有数字都大或都小﹐则共有____＿___＿_＿_种排法﹒(例如:23１4及３4２１均为符合要求的排列）1９． 从１到1０0０的自然数中﹐ﻫ(1)是5的倍数或7的倍数者共有_____＿＿___＿_个﹒ﻫ(2)不是5的倍数也不是７的倍数者共有_____＿____＿_个﹒ﻫ(３）是5的倍数但不是７的倍数者共有__＿_________个﹒2０． 如图﹐从A 走到B 走快捷方式﹐可以有＿＿＿＿＿___＿_＿＿种走法﹒ﻫ２１． １到1００0的正整数中﹐不能被2﹑３﹑４﹑5﹑６之一整除者有_______＿_＿_＿个﹒22. 将100元钞票换成5０元﹑10元﹑5元﹑1元的硬币﹐则ﻫ(１）５0元硬币至少要１个的换法有_＿__＿_＿_____种﹒ﻫ(2)不含1元硬币的换法有_＿_______＿_＿种﹒ ２３. 求()21x -除1001x +的余式为＿_＿__＿__＿＿_＿﹒２4. 在()8x y z ++的展开式中﹐同类项系数合并整理后﹐（1)共有_＿_______＿_＿个不同类项﹒(2）其中323x y z 的系数为_＿___＿__＿___﹒２５． 小明与小美玩猜数字游戏﹐小明写一个五位数﹐由小美来猜;小美第一次猜7516８﹐小明说五个数字都对﹐但只有万位数字对﹐其他数字所在的位数全不对﹐则小美最多再猜__＿_________次才能猜对﹒ 26.若{}|,,110000S x x x =≤≤為正整數正整數﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐则()n S T -=＿_＿_____＿＿__﹒27． 小于10000之自然数中﹐6的倍数所成集合为A ﹐9的倍数所成集合为B ﹐12的倍数所成集合为C ﹐则(１）()n A B ⋂=__＿＿＿___＿_＿＿﹒ (2）()n A B C ⋂⋂=＿______＿__＿_﹒ (３)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦__＿＿________﹒ （4)()n A B C ⎡⋂⋃⎤=⎣⎦___＿＿____＿__﹒28. 1到３00的自然数中﹐是2或３的倍数但非5的倍数有__＿____＿__＿＿个﹒ 29. ()10222x x -+除以()31x -所得的余式为______＿＿____﹒30.ﻫ如圖﹐以五色塗入各區﹐每區一色且相鄰區不得同色﹐則有____________種不同的塗法﹒（圖固定不得旋轉）31. 如图﹐则(1)由A 取捷徑到B 的走法有____________種﹒(2)由A 走到B ﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有____________種﹒32. 求()()23311x x ++++……()2031x ++展开式中12x 项系数为＿_______＿___﹒33．()101kk x =-∑展开式中5x 的系数为_______＿____﹒____种﹒36. 利用二项式定理求12323n n n n n C C C nC +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+和为_＿_＿_＿_＿____﹒37. 四对夫妇Aa ﹑Bb ﹑Cc ﹑Dd 围一圆桌而坐﹐若Aa 要相对且Bb 要相邻的坐法有_＿_______＿＿＿种﹒ 38. 许多白色及黑色的磁砖﹐白色的磁砖为正方形﹐边长为１单位;黑色为长方形﹐其长为2单位﹐宽为１单位﹔则贴满一个长7单位﹐宽1单位的长方形墙壁﹐共有___＿__＿_＿___种方法﹒ ３９.如圖,有三組平行線,每組各有三條直線,則 (1)可決定____________個三角形.(2)可決定____________個梯形.（一組對邊平行,另一組對邊不平行）.40. 小功家住在一栋7楼的电梯公寓﹐今天小功回家时有5人同时和小功一起进入1楼电梯欲往上﹐假设每人按下自己想要到的楼层（可相同或不同）﹐请问电梯有_＿_______＿_＿种停靠方式﹒(假设这期间电梯只会由下而上依次停靠这6人所按的楼层)41. 设202020201232023......20,S C C C C =+⋅+⋅++⋅则S 为__＿＿__＿_＿_＿_位数﹒（设log20.3010=)４2. ４面不同色的旗子﹐若任取一面或数面悬挂在旗杆上来表示讯号﹐如果考虑上下的次序﹐则可作成___＿________种不同的讯号﹒４3.ﻫ如圖的棋盤式街道﹐甲走捷徑從A 至B ﹐則 (1)走法有____________種﹒(2)若不得經過C 且不經過D 的走法有____________種﹒４４.ﻫ圖中的每一格皆是正方形﹐邊長均為1個單位﹐試問由圖中線段(1)共可決定____________個矩形﹒ (2)可決定____________個正方形﹒45． 有红﹑白﹑黄三种大小一样的正立方体积木各20个﹐从中取出7个积木﹐相同颜色堆在一起﹐一一重迭堆高﹐共有＿_________＿＿种堆法﹒４６. 2颗苹果﹐3颗番石榴﹐４颗菠萝﹐将9颗水果任意装入4个不同的箱子﹐水果全装完每个箱子至少装一颗水果有____＿______＿种方法﹒(同种水果视为同物)47. A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五对夫妇围成一圆桌而坐（座位无编号)﹐A 夫妇相对且B 夫妇相邻的情形有＿＿__＿__＿____种﹒4８． 如图﹐取快捷方式而走﹐由A 不经P ﹑Q 至B 有______＿＿＿__＿种方法﹒49. 将pallmall 的字母全取排成一列﹐相同字母不相邻的排法有___________＿种﹒5０． 二个中国人﹑二个日本人﹑二个美国人排成一列﹐同国籍不相邻有____＿＿＿_____种排法﹒1. 设数列n a 满足14a =且132k n a a +=+﹐n 为自然数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒（2）推测n a 之值(以n 表示）﹒(3)401k k a =∑﹒２. 某校从8名教师中选派4名教师分别去4个城市研习﹐每地一人﹒其中甲和乙不能同时被选派﹐甲和丙只能同时被选派或同时不被选派﹐问共有几种选派方法？3. 试求()632x y -的展开式﹒4． 试求()421x -的展开式﹒５. 从SENSE 的5个字母中任取3个排成一列﹐问有几个排法？６. 下列各图形﹐自A 到A 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1)(2)(3)ﻫ7. 如图﹐至少包含A 或B 两点之一的矩形共有几个?8. 设()nx y +展开式中依x 降序排列的第６项为11２﹐第7项为７﹐第８项为14﹐试求x ﹑y 及n 之值﹒（但x ﹑y都是正数）9. 红﹑白﹑绿﹑黑四色大小相同的球各4颗共１6颗球﹐任取四颗﹐则ﻫ(１)四球恰为红﹑白二色的情形有几种？ﻫ(2)四球恰具两种颜色的情形有几种?１0． 一楼梯共10级﹐某人上楼每步可走一级或两级﹐要8步走完这10级楼梯﹐共有多少种走法?11. 设{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U =为一基集（宇集)﹐则{}1,2,4,5,8A =﹐{}1,2,5,7,9B =﹐求(1)A B ⋃(2)A B ⋂ (3）A B - (4)B A - (5）'A （6)'B (7）()'⋃A B （8)''⋂A B (9)()'A B ⋂ (1０）''A B ⋃﹒1２. 若()1922381211x x a x a x x -+=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求1a 和2a 的值﹒13． 某一场舞会将4位男生与4位女生配成4对﹐每一对皆含一位男生与一位女生﹐试问总共有几种配对法﹖（1)43C ﹒ (2)44P ﹒ （3)44﹒ （4）44H ﹒ (5)4﹒14. 如图﹐A A →一笔划的方法数有几种﹖1(ﻫ） （2)15. 如图﹐由A 至B 走快捷方式﹐不能穿越斜线区﹐有多少种走法﹖ﻫ1６. 求()70.998之近似值﹒(至小数点后第６位)1７. 设()1012220211x x ax bx cx +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+﹐求a ﹑b ﹑c 之值﹒18. (1)试证明下列等式成立:()1012121.12311n n n n n n C C C C n n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-++ﻫ(2）设n 为自然数﹐且满足1231,2311n nn nn C C C C n n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++则n 之值为何?19. 王老师改段考考卷﹐她希望成绩是0﹑4﹑５﹑6﹑７﹑８﹑9所组成的２位数﹐则（1)不小于60分的数有几个﹖ﻫ(2)有几个3的倍数﹖(3)改完考卷后发现由小到大排列的第12个数正是全班的平均成绩﹐请问班上的平均成绩是几分﹖20． 某日有七堂课﹐其中有两堂是数学﹐有两堂是国文﹐另外是英文﹑生物﹑体育各一堂﹒若数学要连两堂上课﹐国文也要连两堂上课﹐但同科目的课程不跨上﹑下午(即第四五节课不算连堂）﹐若第四﹑五堂课也不排体育﹐则该日之课程有几种可能的排法﹖21. ()10122320211,x x ax bx cx x +-=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+求a ﹑b ﹑c ﹒22. 已知{}{}{}0,,1,2,1,1,2=∅A ﹐下列何者为真﹖(A)∅∈A （B)∅⊂A (Ｃ)0A ∈ (D ）0A ⊂ (E){}1,2A ∈ (F ）{}1,2A ⊂ (G){}∅⊂A ﹒2３． ﻫ設有A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個市鎮﹐其通道如圖所示﹐今某人自A 地到E 地﹐同一市鎮不得經過兩次或兩次以上﹐且不必走過每一市鎮﹐求有幾種不同路線可走﹖2４． 设数列n a 的首项15a =且满足递归关系式()123n n a a n +=+-﹐n 为正整数﹐试求(1)2a ﹐3a ﹐4a ﹐5a ﹒(2)一般项n a (以n 表示）﹒（3）20a ﹒25． 方程式10x y z ++=有多少组非负整数解?26． 用０﹑1﹑２﹑３﹑4﹑5作成大于230的三位数奇数﹐数字可重复使用(1)可作成多少个﹖ (２)其总和若干﹖2８. 妈妈桌球俱乐部拟购买8把桌球拍以供忘记携带球拍的会员使用﹐若球拍分为刀板﹐直拍与大陆拍3类﹐试问俱乐部有多少种不同的购买方式？29． 设直线方程式0ax by +=中的,a b 是取自集合{}3,2,1,0,2,4,6---中两个不同的元素﹐且该直线的斜率为正值﹐试问共可表出几条相异的直线﹖３0. 下列各图﹐由A 到B 的一笔划﹐方法各有多少种﹖(1)(2) ﻫ31. 以五种不同的颜色﹐涂入下列各图（图形不能转动）﹐同色不相邻﹐颜色可重复使用﹐则涂法各有多少种﹖ﻫ(1)(2)３3. 于下列各图中﹐以五色涂入各区﹐每区一色但相邻不得同色﹐则各有几种不同的涂法﹖（各图固定﹐不得旋转）(1)(2)(3)ﻫ34. 车商将3辆不同的休旅车及3辆不同的跑车排成一列展示﹒求下列各种排列方法：ﻫ(1)休旅车及跑车相间排列﹒（2）休旅车及跑车各自排在一起﹒３5．从6本不同的英文书与5本不同的中文书中﹐选取２本英文书与3本中文书排在书架上﹐共有几种排法？3６．将9本不同的书依下列情形分配﹐方法各有几种？(1)分给甲﹐乙﹐丙３人﹐每人各得３本﹒ﻫ(2)分装入３个相同的袋子﹐每袋装３本﹒ﻫ（3)分装入3个相同的袋子﹐其中一袋装５本﹐另两袋各装2本﹒3７．学校举办象棋及围棋比赛﹐已知某班级有4２位同学参赛﹐其中有3４位同学参加围棋比赛﹐而两种棋赛都参38. 求()321x x ++的展开式中2x 的系数﹒39． 求()322x x -+的展开式中4x 的系数﹒40. 求２40的正因子个数﹒４1. 自甲地到乙地有电车路线1条﹐公交车路线3条﹐自乙地到丙地有电车路线2条﹐公交车路线2条﹒今小明自甲地经乙地再到丙地﹐若甲地到乙地与乙地到丙地两次选择的路线中﹐电车与公交车路线各选一次﹐则有几种不同的路线安排？42. 某班举行数学测验﹐测验题分A ﹐B ﹐C 三题﹒结果答对A 题者有15人﹐答对B 题者有19人﹐答对C 题者有20人﹐其中A ﹐B 两题都答对者有1０人﹐B ﹐C 两题都答对者有1２人﹐C ﹐A 两题都答对者有8人﹐三题都答对者有３人﹒试问A ﹐B ﹐C 三题中至少答对一题者有多少人?43. 在1到６00的正整数中﹐是4﹐５和6中某一个数的倍数者共有几个？44. ﻫ用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形： 設n a 是第n 圖需用到的白色地磚塊數﹒ (1)寫下數列n a 的遞迴關係式﹒ (2)求一般項n a ﹒(3)拼第95圖需用到幾塊白色地磚﹒45． 欲将８位转学生分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹒ﻫ(１)若平均每班安排2人﹐共有几种分法？(2）若甲乙两班各安排3人﹐丙丁两班各安排１人﹐共有几种分法？４6． 求满足12320003000n n nn n C C C C <++++<的正整数n ﹒4７. (1）方程式9x y z ++=有多少组非负整数解﹖(２)方程式9x y z ++=有多少组正整数解﹖48. 旅行社安排两天一夜的渡假行程﹐其中往返渡假地点的交通工具有飞机﹑火车及汽车3种选择﹐而住宿有套房与小木屋2种选择﹒试问全部渡假行程﹐交通工具与住宿共有几种安排法﹖49. 老师想从10位干部中选出3人分别担任班会主席﹑司仪及纪录﹒试问有几种选法﹖50. 如果某人周末时﹐都从上网﹑打牌﹑游泳﹑慢跑与打篮球等５种活动选一种作休闲﹐那么这个月4个周末共有多少种不同的休闲安排呢﹖ ﻬ一、填充题 (6５格 每格０分 共0分)1. （1）1-;（2）2 ２． (1)１1２;(2）０;(3）４0 ３. （1)448０；（2）90- 4． 4８ ５. ３ 6. 468 ７.５6 8. ６0 9. 990３ 10． 44 11. (１）４８;(2)384 12. 228 13. ６ 14. ９0 15． 12- 16. 6 1７.{}4,4- 18. ８ 19. (1）314;（2）6８6;(3)1７2 20. 35 21. 266 ２２. （1)３7;（２)１8 ２3. 10098x - ２４． (1)45；(2)56０ 2５． ９ 26. 84 ２7． （1)５５5；（２)２77；（3)1111；(４)1111 28. 160 29. 2102011x x -+ 30．７80 31. (１)2６;(2）120 3２． 203４９ ３3. 462- 34. 16 35． 1４4 ３6. 12n n -⋅ 37． 1９2 38. 2１ 39． (1)２7;（2)81 40. ６3 41. 8 4２. 64 ４3. (１)56;（2)20 44. (1)369；(２)７6 4５. 12９ 46． 3７5６ 4７. 8６40 4８. 80 4９． 54 50. ２4０二、计算题 (75小题 每小题０分 共0分）111735(1)48;(2)48;(3)９６ 7． 150 8. 4x =﹐12y =﹐8n = ９. (１）3;(2）1８ 10. 2８ 11． 见解析 １2. 1219,190a a =-= １3. (2) 14. (１）3２;(2）6４ 1５． 27 16. 0.９86０８4 17. 101,4949,a b ==1c =-18. （1)见解析;(2)４ 19. （1)２8;(2)１4;(3）5７ ２0. 5２ 2１． 101,4949,a b ==156550c = 22． (A)(B)(C)(E)(F)(Ｇ) ２3. 7６ 24. （1)24a =﹐35a =﹐48a =﹐513a =； （2)248n n -+;(3）328 25. 66 26. (1)63;(２)252９9 2７. 5980 28. 45 29. 13 30. (１)72;(2)８64 31. (1)420;（2)366０ 3２. (１）12a =﹐24a =﹐38a =﹐414a =；（2)12n n a a n +=+⨯;（3)22n n -+ 3３. （1)２60;（2）3３80；(3）4３940 34. （1)72;(2)7２ 35. 18000 ３6. (1）16８0;（2)28０；(3)３78 ３７. 23 ３8． 6 3９． 9 ４0. 20 41. 8 42. 27 ４３. ２80 44. (1)15,2n n a a n -=+≥;（2)53n +;(3）４78 ４5． (1)25２0；(２)112０ 4６. 11 ４７. （1)55;(2）28 4８. 18 4９. 720 ５0. 625一、填充题 （65格 每格0分 共0分)1. (1)3631x x +=⇒=-﹒(2）()()2320120x x x x -+=⇒--=1,2x ⇒=﹐∴2a =﹒ 2. (1)设第1r +项为10x 项﹐则()()882816222rrr r r rr Cx C xx x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ﻫ 163102r r ⇒-=⇒=﹐∴10x 项之系数为()2822112C-=﹒ﻫ（２）设第1r +项为3x 项﹐则()55255102112233r rrr r r rr Cx C x x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭710333r r ⇒-=⇒=（不合)﹐∴3x 项之系数为0﹒ (3)设第1r +项为常数项﹐则()5535515322122rrr r rrr Cx C xx x ----⎛⎫= ⎪⎝⎭15503r r ⇒-=⇒=﹐∴常数项为523240C =﹒3. (１)()()()()332238!22144803!3!2!x y z -⇒⨯⨯-=﹒ﻫ(2)()()()()2303223235!321031902!3!x y z x y x y -=⨯-=-﹐∴系数为90-﹒４． 所求为1161412148⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ [另解]34!2484⨯=﹒ 5． {}1,2,3,4﹐{}1,2,3,5﹐{}1,2,4,5﹐共３个﹒ ６. 2000~3000中3的倍数有3000200033433⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐2000~3000中5的倍数有30002000120155⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦个﹐∴所求为33420167468+-=﹒7. 83563!P =﹒8． ()542160⨯⨯+=﹒ 9. ∵12n n a a n +=+﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯()1)21n n a a n -+=+⨯-ﻫ()()21121213232n n n a a n n n -⋅=+⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦﹐ﻫ∴210010010039903a =-+=﹒10． ∵T A T B ⊂⋃⊂﹐∴T 的个数为4522221632444+-=+-=﹒ １１. (1）5!2485⨯=﹒ﻫ(2)A a B b C c D d E e 1181614121384⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹒ ［另解]55!1238452⨯⨯=﹒ 12. 全部－(恰有一空箱）－(恰有二空箱)()()333223114514524511H H C H H C H H ⨯-⨯---⨯ﻫ()67564545323228C C C C =⨯-⨯--=﹒13. 3216⨯⨯=﹒ 14. 任意排0-在首位7!6!5675610515904!2!4!2!22⨯⨯⨯=-=-=-=ﻫ﹒15. 展开后各实数项和为246810864210101010100246811111222222222C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ﻫ101010122C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭512110242=-=-﹒ﻫ［另解]原式()()10cos 60sin 60i =⎡-︒+-︒⎤⎣⎦()()cos 600sin 600i =-︒+-︒12=-+﹐ﻫ∴实数项和为12-﹒ 1６. ∵1213n n a a +=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ∴1213n n a a -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-()1123n n n n a a a a +-⇒-=- 252表示数列1n n a a +-为首项23﹐公比23的等比数列﹐()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-ﻫ 111221332211213223313n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-﹐ﻫ∴()111223262313n n n n a -∞∞==⎛⎫-=== ⎪⎝⎭-∑∑﹒17. ∵{}2,5A B ⋂=﹐∴154a a +=⇒=﹐∴{}2,4,5A =﹐{}4,2,5B =-﹐{}4,2,4,5A B ⋃=-﹐ ∴()(){}4,4A B A B ⋃-⋂=-﹒1８. 1234 3214ﻫ２1３4 3２41ﻫ231４ ３４2１ﻫ2３４1 ４321ﻫ共8种﹒ 1９. 设1到1000的自然数所成的集合为基集U ﹐1到1000的自然數中﹐5的倍數者所成的集合為A ﹐ 而7的倍數者所成的集合為B ﹐ 則A B ⋂表示35的倍數者所成的集合﹐(1)即求()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂100010001000200142283145735⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦﹒ﻫ（2)即求()()()()1000314686⎡⎤'''⋂=⋃=-⋃=-=⎢⎥⎣⎦n A B n A B n U n A B ﹒ﻫ(3)即求()()()20028172n A B n A n A B -=-⋂=-=﹒２0.7!354!3!=﹒ 21. 若一整数不能被2整除﹐则必不能被4﹑6整除﹐ﻫ故本题即求1到1００0正整数中﹐不能被2﹑3﹑5之一整除者的个数﹒设１到1０0０之正整数中﹐可被2﹑３﹑5整除者之集合分别为A ﹑B ﹑C ﹐则()10005002n A ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10003333n B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10002005n C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦﹐()10001666n A B ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦ﻫ﹐()100010010n A C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐()10006615n B C ⎡⎤⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ ()10003330n A B C ⎡⎤⋂⋂==⎢⎥⎣⎦﹐ﻫ()()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂(个）﹒ﻫ22. (1)①一个50⇒设10元x 个﹐5元y 个﹐1元z 个﹐则10550x y z ++=﹐共119753136+++++=种﹒ﻫ②二个５0⇒1种﹒∴所求为36137+=种﹒(2）设50元x 个﹐10元y 个﹐5元z 个﹐则50105100x y z ++=ﻫ 10220x y z ⇒++=﹐ﻫ共116118++=种﹒ 23. ()()()1002100100100121111111x x C x C x +=⎡+-⎤+=+-+-+⎣⎦……()10010010011C x +-+﹐∴1001x +除以()21x -的余式为()11001110098x x +-+=-﹒24. (1)3101088245H C C ===﹒ﻫ(2)8!560.3!2!3!= 25. 先考虑5不在千位﹐１不在百位﹐６不在十位﹐８不在个位的方法﹐14!43!62!41!10!9⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=ﻫ﹐∴最多再猜9次﹒26. {}{}2222,1100001,2,3,,100,=≤≤=正整數S x x ∴()100n S =﹐{}|12,,110000T x x k k x ==≤≤為正整數﹐令()222212232336x k k ==⨯⨯=⨯⨯=﹐ﻫ则()()(){}22261,62,,616,⋂=⨯⨯⨯S T∴()16n S T ⋂=﹐故()1001684n S T -=-=﹒27. (1)所求为999955518⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ﻫ(２)所求为999927736⎡⎤=⎢⎥⎣⎦﹒ﻫ(3)()()()()n A B C n A B n C n A B C ⎡⋂⋃⎤=⋂+-⎡⋂⋂⎤⎣⎦⎣⎦ﻫ 5558332771111=+-=﹒ﻫ(４)()()()n A B C n A B A C ⎡⋂⋃⎤=⎡⋂⋃⋂⎤⎣⎦⎣⎦ﻫ()()()()n A B n A C n A B A C =⋂+⋂-⎡⋂⋂⋂⎤⎣⎦ ()555833n A B C =+-⋂⋂ 5558332771111=+-=﹒ ２8．()()()()()()236151030n n n n n n +---+15010050203010160=+---+=﹒2９．()()1010222211x x x ⎡⎤-+=-+⎣⎦()()10922101010911C x C x ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦……()()22210101021011C x C x C ⎡⎤+-+-+⎣⎦ﻫ故余式为()()210102210110211102011C x C x x x x -+=-++=-+﹒30．ﻫ①B ﹑D 同﹐54143240,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=②B ﹑D 異﹐ 54333540,A B D C E ⨯⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有240540780+=种﹒31. ﻫ(1)走捷徑等於是走向只許向右與向上兩種﹒如圖﹐ 由A 開始朝任何方向走都有1種走法﹐走至交叉 點P 後﹐將會合箭頭的方法數全部加起來﹐即為走到該點的走法數（累加法）﹒如圖﹐走法有26種﹒ﻫ(2)走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒如圖﹐由P 出發﹐依所規定的走法﹐走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒32. ()()23311x x ++++……()()()()()()203321332033311111111x x x x x x x ⎡⎤++-+-+⎢⎥⎣⎦++==+-﹐ﻫ所求即分子()2131x +展开式中15x 项系数ﻫ∴所求为21521201918172034954321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯﹒33．()()()()10121111k k x x x x =-=-+-+-+∑……()101x +-()()()11111111111x x x x⎡⎤----⎣⎦==--﹐展开式中5x 系数即为()1111x --展开式中6x 系数﹐ ∴所求为()61161462C --=-﹒()()()2320202012310.010.010.01C C C =+-+-+-+……()2020200.01C +-10.20.0190.00114=-+-+……0.81786≈﹐ ∴81716a b c ++=++=﹒35. 设一步一阶走x 次﹐一步二阶走y 次﹐则211x y +=﹐6!7!8!9!10!15!3!4!5!3!7!2!9!⇒+++++144=﹒ 36. 令12323n n n n n S C C C nC =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅则()0111n n n n S nC n C C -=+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ+()0122n n n nn S n C C C n ⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅﹐∴12n S n -=⋅﹒ 3７.ﻫ()1142!4!192.⨯⨯⨯⨯=選位A a Bb38. 设白色x 块﹐黑色y 块﹐则27x y +=﹐⇒ﻫ6!5!4!116104215!2!3!3!+++=+++=﹒ ３９． (１)33311127C C C =﹒ (２)33333333321121121181C C C C C C C C C ++=﹒4０. 62163-=４1. 20202020123202320S C C C C =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 20202001192019S C C C =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅()202020200120220202S C C C +⇒=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=⨯﹐∴20102S =⨯﹐∵20log 220log 2200.3010 6.02==⨯=﹐∴202为7位数﹐∴S 为8位数﹒ 42. ①选一面4⇒﹐②选二面4312⇒⨯=﹐ﻫ③选三面43224⇒⨯⨯=﹐④选四面⇒432124⨯⨯⨯=﹐ﻫ由①②③④可得﹐共可作成412242464+++=种﹒ 43. （1）8!565!3!=﹒ (2)所求=全部()n C D -⋃()()()56A C B A D B A C D B =-⎡→→+→→-→→→⎤⎣⎦ﻫ 3!5!4!4!3!4!5612!3!2!3!2!2!2!2!2!⎛⎫=-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ﻫ ()5630241820=-+-=﹒不含中空：37934792334342222222222222223C C C C C C C C C C C C C C +++----左 上 右 下 左上 右上 左下 右下ﻫ631081263691836297=+++----=ﻫ ∴所求为72297369.+=ﻫ(2)含中空:边长为31⇒﹐边长为44⇒﹐边长为56⇒﹐边长为63⇒﹐∴共14个﹐不含中空:()()()()625128176352418523122362,⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+--⨯+⨯--=ﻫ 左 上 右 下 左上 右上 左下 右下 ∴所求为146276+=个﹒ 4５． ①只用一色:3种﹐②只用二色:()()()()()()6,1,5,2,4,3,3,42,5,1,6∴()322!636,C ⋅⨯=上下色交換ﻫ③用三色:红+白+黄=7ﻫ 1 １ 1 剩4∴36443!690,⨯=⨯=H C 紅白黃排列∴共33690129++=种﹒４6. 444333222111234234234234146410H H H H H H H H H H H H ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯700049006604103756=-⨯+⨯-⨯+=﹒ ４７. 6A a Bb →→→坐法其他人坐法1162!6!8640⨯⨯⨯⨯=﹒4８． ()A B A P B A Q B A P Q B →-→→+→→-→→→ 10!4!6!5!5!4!5!16!4!2!2!4!2!3!2!3!2!2!2!3!2!⎛⎫⇒-⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭()210901006080=-+-=﹒ ４9. aa 不相邻且llll 不相邻﹐可先排pmaa ﹐再安插llll ﹐ ①aa 排在一起时:3!6=种﹐再安插４个l ：p m a a △△△△△方法有434C =种﹒ﻫ ↑ﻫ l②aa 不排在一起时:p m △△△排法有322!6C ⨯=种﹐ﻫ 再安排4个l ：p a m a △△△△△方法有545C =种﹒ﻫ由①②可知﹐排法有646554⨯+⨯=种﹒[另解]llll ﻫ不相邻llll -不相邻且aa 相邻54444!3!606542!4!4!P P =⨯-⨯=-=﹒50. 6!35!2!34!2!2!13!2!2!2!240-⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=﹒二、计算题 (75小题 每小题０分 共0分)表示n a 为首项４﹐公差32的等差数列﹐ﻫ(1)2133114222a a =+=+=﹐ﻫ 3231137222a a =+=+=﹐ﻫ4333177222a a =+=+=﹐ﻫ 54317310222a a =+=+=﹒ﻫ(２)()()1335141222n a a n d n n =+-=+-⨯=+﹒ (３)()401240134024401213302k k a a a a =⎡⎤⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==∑﹒ 2． 从8名教师中选出4名教师去４个城市研习的方式可分为甲去和甲不去两种情形: (１）若是甲去研习﹐则丙也会去﹐而乙不去﹐因此需从剩下的5名教师中选出2人去参加研习﹐故选法有52C 种﹒（２）若是甲不去研习﹐则丙也不会去﹐而乙可去也可不去﹐ﻫ 因此需从剩下的6名教师中选出4名教师去参加研习﹐故选法有64C 种﹒综合这两种情形﹐从８名教师中选派4名教师的选法共有562425C C +=种﹒而选出４名教师后﹐分别安排到４个城市去研习﹐则安排的方式有4!种﹐ﻫ因此总共有254!600⨯=种选派方法﹒3． ()()()()()()()()()()6651423324666660123432332323232x y C x C x y C x y C x y C x y -=+-+-+-+- ()()()566656322C x y C y +-+-6542332456729291648604320216057664.x x y x y x y x y xy y =-+-+-+ 4．()()()()()()()()()44312213444444012342122121211x C x C x C x C x C -=+-+-+-+-43216322481x x x x =-+-+﹒5. SEN ＳE 的５个字母中取３种字母﹐其中任取3个字母可能取出「三个字母皆不相同」或「两个字母同另一不同」两种情形:ﻫ（1)选出三个字母皆不相同的选法有331C =种﹐排列的方法有3!种﹐因此排法有333!6C ⨯=种﹒ﻫ（２)选出两个字母同另一不同的选法有2211C C ⨯种﹐排列的方法有3!2!1!种﹐ 因此排法有22113!122!1!C C ⨯⨯=种﹒ 综合这两种情形﹐共有18种排法﹒6. （1)先走任一瓣都可以﹐故将3瓣视为3条路任意排列﹐方法3!种﹐又每一瓣走法有2种(两个方向)﹐故所求为323!⨯48=种﹒ﻫ（２)323!48⨯=﹒ (3)423!96⨯=﹒7. ()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂ﻫ253343422332111111111111C C C C C C C C C C C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ﻫ909636150.=+-=8. 555112n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6667n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ﻫ77714n n C x y -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅6165xn y⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-7286xn y ⇒⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅- ()()66167528n n -⇒=-﹐∴8n =﹐ 代入⇒8x y =﹐由⇒()877184C y y =8812y ⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭﹐即得12y =±﹐4x =±﹐ﻫ∴14,,82x y n ===（取正值)﹒９. (1)红+白＝41 1 剩２23223H C ⇒==﹒[另解] 红 白ﻫ 1322313.⇒共種（2)利用第(1)题的结果42318C ⇒⨯=﹒10. 用８步走完１0级楼梯﹐假设一级走了x 步﹐两级走了y 步﹐ 可列得8210x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6x =﹐2y =﹐因此用这样的走法共有8!286!2!=(种)﹒ 11.(1){}1,2,4,5,7,8,9A B ⋃=﹒ (2){}1,2,5A B ⋂=﹒ (3){}4,8A B -=﹒(4){}7,9B A -=﹒(5){}3,6,7,9,10'=-=A U A ﹒ (6){}3,4,6,8,10'=-=B U B ﹒(7)(){}3,6,10'⋃=A B ﹒(8){}3,6,10''⋂=A B ﹒(9)(){}3,4,6,7,8,9,10'⋂=A B ﹒(10){}3,4,6,7,8,9,10''⋃=A B ﹒１２. ()()()()191919182219192011111x x x x C x C x x ⎡⎤-+=-+=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦﹐∴()1919101119,a C C =-=-1919192021190.a C C C =+=1３. 可看作第一位男生有4位女生舞伴可选择﹐第二位男生有3位女生舞伴可选择﹐以此类推得舞会配对方法数共有44432124P =⨯⨯⨯=种﹒ﻫ故选(２)﹒ 14. （1)5232=﹒(2)①先往右42232⨯=﹐ﻫ ②先往左42232⨯=﹐ﻫ 共有323264+=﹒15. ﻫﻫ如图﹐共有27种方法﹒1６． ()()()()()77237777712370.99810.00210.0020.0020.0020.002C C C C =-=-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯ﻫ10.0140.0000840.0000002800.9860837200.986084.≈-+-=≈ 17. ()()1011012211x x x x ⎡⎤+-=+-⎣⎦ﻫ()()()()()21011011009910121012101212101111x C x x C x x C x =+-+++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-ﻫ()10111c =-=-﹐ﻫ∵()1011x +展开式中才有x 项﹐∴1011101,a C ==ﻫ∵()1011x +及()100101211C x x -+展开式中均有2x 项﹐∴101101214949.b C C =-=18． (1）∵()()()()()()111!!11!1!1!1!1n n k k n C n C k n k k k n n k k n +++===+-+⋅+⋅-++﹐∴左式()()1111121011121.111nn n n n n k n k C C C C k n n +++++==⨯=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+++∑ﻫ(2）承(１）知﹐()1113121213111n n n n ++-=⇒-=++﹐得4n =﹒ 19. (1)□□：4728⨯=﹒ﻫ ↓6﹑７﹑8﹑9ﻫ(2)4５﹑4８﹑５4﹑57﹑60﹑66﹑6９﹑75﹑78﹑84﹑87﹑9０﹑9６﹑9９﹐共14个﹒ (3)4□7⇒个﹐ﻫ 5□7⇒个﹐∴1459a =﹐1358a =﹐1257a =﹐∴平均为57分﹒ 2０.ﻫ 上午 下午 1 2 3 4 5 6 7數 數 國 國 ╳ 體 體 2228⇒⨯⨯= 數 數 體 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯=數 數 體 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ 國 國 體 2228⇒⨯⨯= 體 數 數 ╳ ╳ 國 國 2124⇒⨯⨯=體 體數數國國 體 23212⇒⨯⨯=體體 數 數 ╳國國 2228⇒⨯⨯=∴共有8848412852++++++=種﹒２1． ()()()()1011012211x x x x +-=++-()()()()()()21011011009910121012101212101111x Cx x C x x Cx =+++-++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-()()()1011002411011x x x x f x =+-++⋅﹐其中()f x 为一多项式﹐ﻫ∴x 项的系数1011101,a C ==ﻫ2x 项的系数10121014949,b C =-=ﻫ 3x 项的系数10110031101156550.c C C =-⨯=23.∴共有441212218396676+++++++++=种走法﹒24. (1)∵()123n n a a n +=+-且15a =﹐ﻫ ∴()21213514a a =+⨯-=-=﹐ ()32223415a a =+⨯-=+=﹐()43233538a a =+⨯-=+=﹐ﻫ ()542438513a a =+⨯-=+=﹒ (2)∵()123n n a a n +=+-﹐ﻫ ∴()21213a a =+⨯- ()32223a a =+⨯-ﻫ()()121223)213n n n n a a n a a n ---=+⎡⨯--⎤⎣⎦+=+⎡⨯--⎤⎣⎦ﻫ()()()2112121315233482n n n a a n n n n n -⋅=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤--=+⨯-+=-+⎣⎦﹒ﻫ(３)20a =2204208328-⨯+=﹒25． x ﹐y ﹐z 的非负整数解共有331011212101010266H C C C +-====（组）﹒26. (1→有363⨯⨯个→有123⨯⨯个→有113⨯⨯个ﻫ ∴共有()()36323363⨯⨯+⨯+=个大于２30的三位数奇数﹒ （２)①个位数字为1者有()()()36121121⨯+⨯+⨯=个﹐为3﹑5者也各有21个﹐ﻫ 故个位数字的和为()21135189⨯++=﹒②十位数字为１﹑2者各有339⨯=个﹐为3者有()33312⨯+=个﹐为4﹑5者各有ﻫ ()331312⨯+⨯=个﹐ 故十位数字和为()()()9121231245171⨯++⨯+⨯+=﹒③百位数字为3﹑４﹑5者各有6318⨯=个﹐为2者有()()23139⨯+⨯=个﹐ﻫ 故百位数字和为()()1834592234⨯++⨯⨯=﹒ﻫ 由①②③可知﹐总和为()()1891711023410025299+⨯+⨯=﹒27． 由于515C =且565622125C C C C =-=-﹐于是利用帕斯卡尔定理111nn n m m m C C C ---=+﹐得ﻫ原式()66781920234516175C C C C C C =++++++- 778192034516175C C C C C =+++++-8819204516175C CC C =++++-21175C =-ﻫ 5980=﹒28. 设桌球俱乐部拟购买刀板﹐直拍与大陆拍各1x ﹐2x ﹐3x 把﹐ﻫ根据题意得1238x x x ++=﹒其非负整数解有33811010888245H C C C +-====（组）﹐故共有45种不同的购买方式﹒2９. 直线0ax by +=是恒过原点﹐且斜率为a b -的直线﹒因为斜率ab-为正值﹐所以,a b 必须异号﹐且,a b 皆不等于0﹒我们以a 的正负情形讨论如下﹕ﻫ（1）当0a >时﹐a 有3种选法﹐而此时0b <亦有3种选法﹐ 因此有339⨯=种选法﹒(2)当0a <时﹐a 有3种选法﹐而此时0b >亦有3种选法﹐ﻫ 因此有339⨯=种选法﹒ 但是ﻫ①当()()()(),2,1,4,2,6,3a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -=﹒②当()()()(),3,6,2,4,1,2a b =---时﹐均表示同一条直线20x y -+=﹒ﻫ③当()(),2,2a b =-﹐()2,2-时﹐均表示同一条直线0x y -=﹒ﻫ因此需扣除重复计算的2215++=条直线﹒ 故共可表出99513+-=条相异的直线﹒３０． ﻫ(1)從A 走到P 後 ﹐方法有2種﹐完成A 到P 的各路線﹐方法有3!種﹐ 完成P 到B 的各路線﹐方法有3!種﹐ ∴共有()223!3!23!⨯⨯=⨯72=種﹒(2)A 到P 後 ﹐方法2種﹐P 到Q 後 ﹐方法2種﹐∴共有()32223!3!3!23!⨯⨯⨯⨯=⨯864=種﹒ABA Q P B3１. (1)B ﹑D 同色﹐A BD C E →→→ﻫ 5433180⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D 异色﹐A B D C E →→→→54322240⨯⨯⨯⨯=﹐ ∴共有180240420+=种涂法﹒(2)B ﹑D ﹑F 同色﹐A BDF C E G →→→→ﻫ 54333540⨯⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D ﹑F 异色﹐A B D F C EG →→→→→→5432222960⨯⨯⨯⨯⨯⨯=﹐ﻫ B ﹑D 同色﹐F 异色﹐A BD F C E G →→→→→ﻫ 543322720⨯⨯⨯⨯⨯=﹐同理B ﹑F 同色﹐D 异色;D ﹑F 同色﹐B 异色涂法也各有７2０种﹐ ∴共有54096072033660++⨯=种﹒ 32．(1)12a =24a = 38a = 414a =1n = 2n = 3n = 4n =(2)12a =﹐212a a =+﹐3222a a =+⨯﹐4323a a =+⨯﹐∴12n n a a n +=+⨯﹒ﻫ(3)∵12n n a a n +=+⨯且12a =﹐ ∴2121a a =+⨯ 3222a a =+⨯ﻫ ()1222n n a a n --=+⨯-ﻫ ()1)21n n a a n -+=+⨯-ﻫ()()21121212222n n n a a n n n -⨯=+⨯⎡++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎤=+⨯=-+⎣⎦∴22n a n n =-+﹒３3. (1) ﻫ ①A ﹑C 同色﹐541480,A B C D⨯⨯⨯=ﻫ②A ﹑C 异色﹐5433180,A B C D⨯⨯⨯=由①②可得﹐共有80180260+=种﹒(２)由(１）可知[]541433⨯⨯⨯+⨯﹐推得[]25414333380⨯⨯⨯+⨯=﹒ﻫ(3)[]354143343940⨯⨯⨯+⨯=﹒ 34．(1)休旅車及跑車相間排列的情形﹐可分為兩 種情形﹐如圖所示：3輛休旅車排成一列共有3!6=種方法﹐同樣地﹐3輛跑車排成一列共有3!6=種方法﹐ 因此根據乘法原理﹐共有26672⋅⋅=種排法﹒ (2)因為休旅車及跑車要各自排在一起﹐如圖所示：所以可以將3輛休旅車看成「1」輛﹐3輛跑車看成「1」輛﹐變成2輛的排列問題﹐有2!2=種方法﹒又3輛休旅車之間有3!6=種排列方法﹐3輛跑車之間有3!6=種排列方法﹒故共有2!3!3!26672⋅⋅=⋅⋅=種排法﹒3５. 选出2本英文书3本中文书的方法有6523150C C ⋅=(种）﹐ﻫ将此5本书作直线排列﹐有5!种排法﹐ﻫ故所求排法为65235!18000C C ⋅⋅=(种）﹒36.(1)從9本中取出3本給甲﹐取法有93C 種；再從其餘的6本取出3本給乙﹐取法有63C 種；剩下的3本給丙﹐即33C 種﹒因此﹐全部分配方式共有9633331680C C C ⋅⋅=（種）﹒(2)先假設袋子上依序標示有甲﹐乙﹐ 丙的記號﹐則有963333C C C ⋅⋅種分 法﹐但事實上袋子是相同的﹐因此每3!種只能算1種﹐如圖所示﹒故分配方式共有96333316802803!6C C C ⋅⋅==（種）﹒ (3)仿上述作法﹐先假設袋子依序有甲﹐乙﹐丙的記號﹐甲得5本﹐乙丙各得2本的分法有942522C C C ⋅⋅種﹒因袋子是無記號的﹐所以如圖的2!種其實是同1種﹒故分配方式共有9425223782!C C C ⋅⋅=（種）﹒37．設集合A 表示參加象棋比賽的同學﹐ 集合B 表示參加圍棋比賽的同學﹐ 集合A B ⋃表示參加棋藝活動的同學﹐集合A B ⋂表示參加兩種棋藝活動的同學﹒由題意知()34n B =﹐()42n A B ⋃=﹐()15n A B ⋂=﹒ 利用()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂﹐得()423415n A =+-﹐即()23n A =﹒ 故這個班級中共有23位同學參加象棋比賽﹒38． 因为()()()332211x x x x ++=++﹐所以利用二项式定理将乘积展开﹐得()()()()()3321232320111A x x C x C x x ++=++部分+()()()1233232311B C x x C x +++部分﹒ﻫ由于上式中A 部分的各项次数均超过2次﹐因此全部展开式中2x 的系数﹐就是B 部分的展开式中的2x 系数﹒ﻫ又B 部分的展开式为()()223243232133137631x x x x x x x x x x ++++++=++++﹐ 故全部展开式中2x 的系数为6﹒ 39． 因为()()()332222x x x x -+=-+﹐所以利用二项式定理将乘积展开得()()()()()()()()()()332112323232323212322222A B xx C x x C x x C x x C x x -+=-+-+-+-部分部分上述()()322x x -+展开式中B 部分各项次数低于4次﹐因此要计算展开式中4x 的系数只要计算A 部分各项展开式即可﹐又A 部分展开式为ﻫ()()()()32132320122C x x C x x -+-()()654343233322x x x x x x x =-+-+-+⨯6543239136x x x x x =-+-+ﻫ故4x 的系数为9﹒ 4０. 将２40作质因子分解﹐得411240235=⨯⨯﹒ﻫ因为２4０的正因子必为235a b c ⨯⨯的形式﹐其中{}0,1,2,3,4a ∈﹐{}0,1b ∈﹐{}0,1c ∈﹐ﻫ所以a 有5种选择﹐b 有2种选择﹐c 有2种选择﹒利用乘法原理﹐得240的正因子个数有52220⨯⨯=个﹒41. 依题意图示如下：ﻫ ﻫ其中实线表电车路线﹐虚线表公交车路线﹒ﻫ因为电车与公交车路线各选一次﹐所以路线安排可分成以下二类：ﻫ(１）先电车再公交车:利用乘法原理﹐得有122⨯=种路线﹒ﻫ(2)先公交车再电车:利用乘法原理﹐得有326⨯=种路线﹒ 由加法原理得知﹐共有268+=种路线安排﹒4２. 设A ﹐B ﹐C 分别表示答对A ﹐B ﹐C 题的人组成的集合﹒由题意知()15n A =﹐()19n B =﹐()20n C =﹐()10n A B ⋂=﹐()12n B C ⋂=﹐()8n C A ⋂=﹐()3n A B C ⋂⋂=﹒ﻫ利用排容原理﹐得()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ﻫ()n A B C +⋂⋂151920101283=++---+27=﹒ﻫ故三题中至少答对一题者有２7人﹒43．ﻫ設集合A ﹐B ﹐C 分別表示從1到600的自然數當中的4﹐5,6倍數所形成的集合﹐即()150n A =﹐()120n B =﹐()100n C =﹐()30n A B ⋂=﹐()20n B C ⋂=﹐()50n C A ⋂=﹐()10n A B C ⋂⋂=利用排容原理()()()()()()()n A B C n A n B n C n A B n B C n C A ⋃⋃=++-⋂-⋂-⋂ ()n A B C +⋂⋂﹐得()15012010030205010280n A B C ⋃⋃=++---+=﹒ 故1到600的自然數中﹐是4﹐5﹐6中某一個數的倍數﹐共有280個﹒44. (1)n a 代表「第n 个图需用到白色地砖的块数」﹐我们可以发现图形每次均增ﻫ 加1个黑色地砖与５个白色地砖﹐因此15n n a a -=+﹐2n ≥﹒ﻫ(2)而上述这些图形中﹐白色地砖的个数可视为一个首项为8﹐公差为5的等ﻫ 差数列﹐故()81553n a n n =+-⨯=+﹒ﻫ（３)拼第9５图所需用到白色地砖数955953478a =⨯+=﹒ 4５. （１)先将这8位转学生分成四堆﹐每堆２人﹐ﻫ 再将这四堆分发到甲﹐乙﹐丙﹐丁四班﹐ﻫ 故总共有86428642222222224!25204!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅=种分法﹒ﻫ（2)先将这8位转学生分成四堆﹐两堆3人﹐两堆1人﹐再将３人的两堆分发到甲乙两班﹐1人的两堆分发到丙丁两班﹐ﻫ 故总共有85218521331133112!2!11202!2!C C C C C C C C ⋅⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⋅=⋅种分法﹒46. 因为01232n n n nn n n C C C C C +++++=﹐ﻫ所以1230221n n nn n n nn C C C C C ++++=-=-﹒ﻫ即原式可改写为2000213000n <-<﹐ﻫ即200123001n <<﹐得11n =﹒４7.(1)3119911!55 9!2!H C===组﹒ﻫ(2)338936628H H C-===组﹒48. 因为去程有３个交通工具可以选择﹐住宿则有２个方式可供选择﹐而回程亦有3个交通工具可以选择﹒因此由乘法原理得共有32318⨯⨯=种安排法﹒49. 10310!1098720 7!P==⨯⨯=种选法﹒5０．由题意知每个周末都有５种休闲活动可以选择﹒利用乘法原理﹐得4个周末共有5555625⨯⨯⨯=种休闲安排﹒。