中考数学总复习资料

第一轮中考复习——数及式知识梳理：一．实数和代数式的有关概念 1.实数分类：实数⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴上所有的点及全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

3.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两边（0除外），并且及原点的距离相等。

4.倒数：1除以一个数的商，叫做这个数的倒数。

一般地，实数a 的倒数为a1。

0没有倒数。

两个互为倒数的数之积为1.反之，若两个数之积为1，则这两个数必互为倒数。

5.绝对值：一个正实数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负实数的绝对值等于它的相反数。

a =，绝对值的几何意义：数轴上表示一个数到原点的距离。

6.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（1）正数大于零，零大于负数。

（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。

（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。

（4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a<b,这三种情况必有一种成立，而且只能有一种成立。

7.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

8.整式：单项式及多项式统称为整式。

单项式：只含有数及字母乘积形式的代数式叫做单项式。

一个数或一个字母也是单项式。

单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。

一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

多项式：几个单项式的代数和多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

2025年中考数学复习好题集锦之二元一次方程组一．选择题（共10小题）1．（2024•乌当区一模）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为（）A．6B．8C．10D．122．（2024•工业园区校级二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（）A．B．C．D．3．（2024•景德镇二模）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（）A．B．C．D．4．（2024•凉州区二模）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（）A．x﹣y＝﹣3B．x+y＝4C．2x﹣y＝﹣3D．2x+3y＝﹣4 5．（2024•增城区二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．6．（2024•红花岗区一模）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为x cm和y cm，则可列方程组为（）A．B．C．D．7．（2024•黑龙江三模）某校将举办主题为“激情三月，学习雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买A，B，C三种奖品（三种都买），A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（）A．6种B．7种C．8种D．9种8．（2024•黑龙江四模）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（）A．4种B．3种C．2种D．1种9．（2024•中山市校级三模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．10．（2024•开江县二模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．（2024•枣阳市模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？答：（1）木长.尺；（2）绳长尺．12．（2024•五峰县模拟）古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”此题笼里的鸡有只，兔有只．13．（2024•大同三模）某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如表所示：第一次第二次糯米粉/千克1012黄油/千克23总金额/元310405若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为元．14．（2024•十堰一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两．答：（1）1枚黄金重两；（2）1枚白银重两．15．（2024•茅箭区校级一模）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三．问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买羊的人有个．16．（2024•竹山县模拟）我国古代数学名著《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？根据题意，可求得共有人．17．（2024•姜堰区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长尺．18．（2024•吴兴区二模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为．19．（2024•南昌模拟）《九章算术》中记载了这样一个问题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？译文：今有甲、乙两人持钱不知有多少．甲得到乙所有钱的，而有钱数为50，乙得到甲所有钱的，而也有钱50．问甲、乙持钱各是多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱．根据题意，可列方程组为．20．（2024•秦淮区二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是2C2H6+7O2＝4CO2+6H2O，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2＝14，右边“O”原子的个数也是4×2+6×1＝14．若己烷充分燃烧的化学方程式是aC6H14+19O2＝bCO2+cH2O（a，b，c为常数），则b的值是．三．解答题（共10小题）21．（2024•虎林市校级四模）某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知满员时，用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？（2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．22．（2024•邗江区校级三模）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．23．（2024•任丘市校级四模）在3月12日植树节活动中，某校组织甲乙两队参加义务植树活动，并购买队服（每人一套）．该表是服装厂给出的服装的价格表：购买服装的套数1～39套（含39套）40～69套（含69套）70套及以上每套服装的价格80元70元60元甲乙两个植树队共75人，其中甲队人数较多，不少于40人，乙队人数较少，但不少于10人，如果分别各自购买队服，两队共需花费5600元，请回答以下问题：（1）如果甲、乙两队联合起来购买服装，那么比各自购买服装可以节省元．（2）甲、乙两队各有多少人？（列方程组解决问题）（3）到了现场，因工作分配需要，临时决定从甲队抽调a人，从乙队抽调b人，组成丙队．现已知重新组队后，甲队平均每人需植树1棵：乙队平均每人需植树4棵：丙队平均每人需植树6棵，甲乙丙三队共需植树265棵，请求出所有的抽调方案（要求从每队抽调的人数不少于10人）．24．（2024•河口区模拟）为推进郴州市创建国家森林城市工作，尽快实现“让森林走进城市，让城市拥抱森林”的构想，今年三月份，某县园林办购买了甲、乙两种树苗共1000棵，其中甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵50元，据相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%和90%．（1）若购买甲、乙两种树苗共用去了46500元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若要使这批树苗的成活率不低于88%，则至多可购买甲种树苗多少棵？25．（2024•市中区校级三模）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？26．（2024•鞍山模拟）某商场用相同的价格分两次购进2匹和3两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表．次2匹（台）3匹（台）总售价（元）第一次2030260000第二次1020160000（1）求该商场购进2匹和3匹立地式空调的单价各为多少元？（2）已知商场2匹立地式空调的标价为每台5400元，3匹立地式空调的标价为每台8400元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的2匹立地式空调打九折，3匹立地式空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？27．（2024•榕江县模拟）“快乐村超，活力四射”，榕江某村超产品制造商制作村超小摆件、蜡染背心、民族服饰，其中制作小摆件的数量是民族服饰数量的5倍，制造商制作每件产品所需时间和利润如下表：产品民族服饰小摆件蜡染背心制作一件产品所需时间（小时）1制作一件产品所获利润（元）20310（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作小摆件、蜡染背心和民族服饰的数量；（2）若制造商所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．28．（2024•驻马店模拟）随着新能源汽车的增加，我区为加快公共领域充电基础设施建设，准备改造部分停车场．计划购买A ，B 两种型号的充电桩．已知购买3个A 型充电桩和7个B 型充电桩的总费用是11.1万元，且A 型充电桩比B 型充电桩的单价少0.3万元．（1）求A ，B 两种型号充电桩的单价各是多少万元？（2）若停车场改造计划需购买30个A ，B 型充电桩，且B 型充电桩的购买数量不少于A 型充电桩购买数量的，问购买A ，B 型充电桩各多少个时总费用最少？请说明理由．29．（2024•钢城区校级三模）某文具店分两次购进毛笔字书写纸、钢笔字练习纸两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同．第一次购进毛笔字书写纸30件，钢笔字练习纸20件，共花费1900元；第二次购进毛笔字书写纸40件、钢笔字练习纸30件、共花前2700元．（1）求毛笔字书写纸、钢笔字练习纸两种商品每件的进价分别是多少元；（2）该文具店决定将毛笔字书写纸以每件45元的价格出售，钢笔字练习纸以每件75元的价格出售．为满足消费者的需求，需购进两种商品共1000件，且毛笔字书写纸的数量不少于钢笔字练习纸数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．30．（2024•顺义区一模）杆秤是我国度量衡“三大件（尺斗秤）”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具．杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩（秤盘）、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”，古时候秤杆叫做“权”，秤砣叫做“衡”，“权衡”一词就来源于此．如图是小阳同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B（相当于支点）处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量．如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g．根据图中所给数据，求这把杆秤的秤星E对应的刻度是多少克．2025年中考数学复习好题集锦之二元一次方程组参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2024•乌当区一模）如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为（）A．6B．8C．10D．12【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解之得出x、y的值，即可解决问题．【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得：，解得：，∴2xy＝2×4×1＝8，即此图形的面积为8，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．2．（2024•工业园区校级二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可．【解答】解：由题意得：，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键．3．（2024•景德镇二模）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲说得乙六只羊，多乙一倍之上，乙说得甲六只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（）A．B．C．D．【分析】根据“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍；如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同”，列出二元一次方程组，即可求解．【解答】解：由“如果乙给甲6只羊，那么甲牧羊的数量为乙的2倍，”可列式：x+6＝2（y﹣6），由“如果甲给乙6只羊，那么两人的牧羊的数量相同，”可列式：x﹣6＝y+6，根据题意可列二元一次方程组：，故选：D．【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是：正确理解题意，列出等量关系．4．（2024•凉州区二模）已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（）A．x﹣y＝﹣3B．x+y＝4C．2x﹣y＝﹣3D．2x+3y＝﹣4【分析】根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出a的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．【解答】解：∵二元一次方程组的解是，∴﹣1+a＝1，∴a＝2，∴，∴x﹣y＝﹣1﹣2＝﹣3，x+y＝1，2x﹣y＝﹣4，2x+3y＝4；故*表示的方程可能是x﹣y＝﹣3；故选：A．【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组的解是本题的关键．5．（2024•增城区二模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x尺，长木长y尺，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据“用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，∴x﹣y＝4.5；∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，∴x+1＝y．∴所列方程组为，即，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．（2024•红花岗区一模）如图，用10个形状、大小完全相同的小长方形拼成一个大长方形，设每个小长方形的长和宽分别为x cm和y cm，则可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为（x+2y）厘米，宽又是25厘米，故x+2y＝25，矩的长可以表示为2x，或x+3y，故2x＝3y+x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．【解答】解：根据图题意得．故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．7．（2024•黑龙江三模）某校将举办主题为“激情三月，学习雷锋精神”的演讲比赛活动，学校计划用150元钱购买A，B，C三种奖品（三种都买），A种奖品每个10元，B种奖品每个20元，C种奖品每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（）A．6种B．7种C．8种D．9种【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝150；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【解答】解：设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m+20n+30＝150，整理得：m+2n＝12，∵m、n都是正整数，∴0＜2n＜12，∴n＝1，2，3，4，5共5种；当C种奖品个数为2个时，根据题意得10m+20n+2×30＝150，整理得：m+2n＝9，∵m、n都是正整数，∴0＜2n＜9，∴n＝1，2，3，4共4种；∴有5+4＝9种购买方案，故选项D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．8．（2024•黑龙江四模）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品．已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【分析】设刘老师购买x本甲种碳素笔，y本乙种碳素笔，利用总价＝单价×数量，可得出关于x，y 的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种．【解答】解：设刘老师购买x本甲种碳素笔，y本乙种碳素笔，根据题意得：6x+4y＝48，∴∵x，y是正整数，∴或或∴刘老师购买碳素笔的方案共有3种．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的应用，能找到等量关系是解题的关键．9．（2024•中山市校级三模）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．【分析】设，竿子长为x尺，索长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：．故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（2024•开江县二模）“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问鸡兔各有多少只？若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据鸡有两条腿，兔子有四条腿，共有35个头，94条腿，列出二元一次方程组即可．【解答】解：由题意得：，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2024•枣阳市模拟）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？答：（1）木长 6.5.尺；（2）绳长11尺．【分析】设木长x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解；设木长x尺，绳子长为y尺，由题意得：，解得：，答：（1）木长为6.5尺，故答案为：6.5；（2）绳长为11尺，故答案为：11．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．（2024•五峰县模拟）古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”此题笼里的鸡有23只，兔有12只．【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：，解得：，即鸡有23只，兔有12只，故答案为：23，12．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．（2024•大同三模）某元宵生产商家受原料保质期影响，在购买元宵主要原料糯米粉和黄油时分三次购买，每次购买价格不变，购进原料价格和数量如表所示：第一次第二次糯米粉/千克1012黄油/千克23总金额/元310405若第三次购进糯米粉20千克，黄油5千克，则第三次购买的总金额为675元．【分析】设糯米粉每千克的单价为x元，黄油每千克的单价为y元，根据题意列得二元一次方程组，求得x和y的值，再代入20x+5y，计算即可求解．【解答】解：设糯米粉每千克的单价为x元，黄油每千克的单价为y元，依题意得，解得，∴20x+5y＝400+275＝675（元），故答案为：675．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意找到等量关系式．14．（2024•十堰一模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两．答：（1）1枚黄金重两；（2）1枚白银重两．【分析】设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，根据现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设1枚黄金重x两，1枚白银重y两，由题意得：，解得：，故答案为：（1）；（2）．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．15．（2024•茅箭区校级一模）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五：人出八，不足三．问人数几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．则买羊的人有21个．【分析】设买羊的人有x个，羊价为y元，根据若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设买羊的人有x个，羊价为y元，由题意得：，解得：，即买羊的人有21个，。

中考数学复习资料(7篇)中考数学复习资料(7篇)它是初中毕业证发放的必要条件，中国将这几科考试科目规定为国家课程的学科，全部列入初中学业水平考试的范围。

以下是小编为大家整理的中考数学复习重点，仅供参考，希望能够帮助大家。

中考数学复习重点1中考临近，考生在复习时数学如何才能抓住要点数学复习应该重点抓好数字式、方程(组)与不等式(组)、函数及其图像、统计与概率、几何的基本概念与三角形、四边形、相似图形、特直角三角形、圆及视图与投影等10大模块。

同时，于忠翠老师强调，考生应该以轻松自信的心态应对中考，发挥出自己的真实水平。

数字式以中、低档题居多“这一板块主要包括实数、整式、因式分解、分式及二次根式等内容，中考中多以填空选择的客观题形式出现，淡化了计算难度，主要以中、低档次的题居多。

”于忠翠说，随着课改的深入，这一板块的考察形式将会多样化，一些以实际生活题材为背景、结合当今社会热点的问题将会占据主流，近似数、有效数字、科学论证法、绝对值、因式分解、规律探究及阅读理解题成为近几年的热点题型。

方程与不等式难度不大、函数突出开放性单纯求解方程的不等式问题多以填空、选择的题型出现，一般难度不大。

对于应用方程(组)与不等式(组)解决实际问题，特别是与生产生活相联系的方案设计、决策应用等问题应是中考重点，尤其是方程与函数知识、几何知识的综合运用及不等式的实际运用问题是热点问题。

“函数题越来越突出开放性，单纯求函数解析式的题型越来越少，函数中的一些动点问题，尤其是设计新颖、贴近生产生活的函数最值问题、一些开放性探索题及图表信息题将会成为中考热点问题。

”于忠翠说。

统计概率以图表信息题为主统计与概率在中考试卷中所占分数一般在10分左右，这一板块在考察基础知识和基本技能的同时，多以图表信息题为主，考察学生利用图表的信息及所求概率的大小，解决现实生活中的问题。

对于几何与三角形，于忠翠表示，这一板块主要考察结合图形探索规律，特殊三角形在实际生活中的应用及利用旋转、轴对称等知识解决实际问题，淡化了传统的推理论证题。

中考数学总复习资料书推荐
中考数学是中学阶段的一门重要的学科，可以评定学生的数学
成绩以及对数学的掌握程度。

因为中考对于学生而言是十分重要的，因此需要制定一个合理的学习计划。

而选择一本重要的数学
资料书也将是最佳的复习方法之一。

在此我们将会推荐几本不错
的中考数学总复习资料书。

首先推荐《中考数学最后冲刺》，这本书是由一群中小学数学
名校的老师合作编写的，以中考数学题型为主，通过大量的例题、练习题以及考试模拟试卷等内容来提高学生的数学成绩。

它所涵
盖的知识点十分全面，且每个知识点都有练习题和解答，不仅含
有中考数学全部已知的知识点，而且对于中考难度的比较高的题
型也做了比较详细的讲解，是一本比较实用的中考数学复习资料书。

其次推荐《中考数学全攻略》，这本书由知名的中学数学教育
专家合作编写，这本书以中考数学的考点为主要学习点，在讲解
到每一个考点的同时，也给出了比较实用的解题技巧，这对于帮
助学生提高解题效率、拓宽思路、加深对数学知识的理解都有很
大的帮助。

最后推荐《中考数学重点练习》，这本书的编写的重点是针对
中考数学重点考点的练习，全部练习题都是涉及到中考数学常见
的知识点，所以对于中考重点的考点的掌握有很大的帮助。

相比
较其他几本书，这本书的数量比较多，但是每个题型的数量都比
较平衡，更加易于掌握。

以上这些书都可以作为中考数学复习的重要资料书，不同的书
有不同的风格和侧重点，因此希望学生可以根据自己的实际情况，来选择适合自己的复习资料书，从而帮助自己在中考数学领域更
加出色。

第2课时 实数的运算【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成.北京 汉城 8 9 0 伦敦 -4 多伦多纽约 国际标准时间（时） -5 例2图……例3图【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x 2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ． 3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ． 4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =--=-，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．第4课时 分式与分式方程【知识梳理】1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中22x =+．3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．4．解下列方程（1）013522=--+x x x x （2）41622222-=-+-+-xx x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C.D.【当堂检测】1．当99a =时，分式211a a --的值是．2．当x 时，分式112--x x有意义；当x 时，该式的值为0．3．计算22()ab ab 的结果为．4. ．若分式方程xxk x --=+-2321有增根，则k 为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-25．若分式32-x 有意义，则x 满足的条件是：（ ） A ．0≠x B ．3≥x C ．3≠x D ．3≤x6．已知x ＝2008，y ＝2009，求x yx 4y 5x y x 4xy5x y 2xy x 2222-+-+÷-++的值7．先化简，再求值：4xx 16x )44x x 1x 2x x 2x (2222+-÷+----+，其中22+=x8.解分式方程． (1)22011xx x -=+- (2)x 2)3(x 22x x -=--；(3) 11322xx x -=--- (4)11-x 1x 1x 22=+--第5课时 二次根式【知识梳理】 1.二次根式：(1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简：3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式：（1）a b=ab a 0b 0⋅≥≥（，）（2）a a=a 0b 0b b≥（，）6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用【例题精讲】 【例1】要使式子1x x+有意义，x 的取值范围是（ ） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且【例2】估计132202⨯+的运算结果应在（ ）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间D ．9到10之间【例3】 若实数x y ，满足22(3)0x y ++-=，则xy 的值是 ．【例4】如图，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有523π7-，，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．【例5】计算：（1）103130tan 3)14.3(27-+︒---）（π（2）101(1)527232-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭．【例6】先化简，再求值：)1()1112(2-⨯+--a a a ，其中33-=a ．【当堂检测】1.计算：（1）01232tan 60(12)+--+-+． （2）cos45°·(－21)－2－(22－3)0＋｜－32｜＋121- （3）026312()cos 304sin 6022-++-+．2.如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222()a b a b ---思考与收获第9课时 方程的应用（二）【知识梳理】1.一元二次方程的应用；2. 列方程解应用题的一般步骤；3. 问题中方程的解要符合实际情况．【例题精讲】 例1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上45后，•结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ） A ．16 B ．25 C ．34 D ．61例2. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修 建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积 需要551米2，则修建的路宽应为（ ） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米 例3. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）Ａ．225003600x = Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x += Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++= 例4. 某地出租车的收费标准是：起步价为7元，超过3千米以后，每增加1千米，•加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，•设此人从甲地到乙地经过的路程为x 千米，那么x 的最大值是（ ）A ．11B ．8C ．7D ．5例5. 已知某工厂计划经过两年的时间，•把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台．例6. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000•元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？例7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件．•如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友．【当堂检测】1. 某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？3. A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s 的速度向D移动.⑴ P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？⑵ P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．（1）乙班比甲班少付出多少元？（2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？购苹果数不超过30kg 30kg以下但不超过50kg50kg以上每千克价格3元 2.5元2元第10课时 一元一次不等式（组）【知识梳理】1.一元一次不等式（组）的概念；2.不等式的基本性质；3.不等式（组）的解集和解法． 【思想方法】1.不等式的解和解集是两个不同的概念；2.解集在数轴上的表示方法．【例题精讲】 例1.如图所示，O 是原点，实数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别为A 、B 、C ，则下列结论错误的是（ ） A. 0b a >-B. 0ab <C. 0b a <+D. 例2. 不等式112x ->的解集是（ ）Ａ．12x >- Ｂ．2x >- Ｃ．2x <-Ｄ．12x <-例3. 把不等式组21123x x +>-⎧⎨+⎩≤的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．例4. 不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例5. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg ，爸爸坐在跷跷板的一端，小明体重只有妈妈一半，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于（ ） A. 49kg B. 50kg C. 24kg D. 25kg 例6.若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3例7.解不等式组：（1）21113x xx +<⎧⎪⎨-≥⎪⎩ （2）⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+)6(3)4(4,5351x x x x4321B A O C)c a (b >-1 01- 10 1- 1 0 1- 1 0 1-第12课时 一次函数图象和性质【知识梳理】1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（kb-，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质【思想方法】数形结合【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限；（3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方.例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l 2表示的一次函数表达式；（2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限第 象限第 象限 性质y 随x 的增大 而y 随x 的增大而而y 随x 的增大 而y 随x 的增大 而xy O32y x a =+1y kx b =+yxO BA 例4.如图，反比例函数xy 2=的图像与一次函数b kx y +=的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y 轴的交点为C. （1）求一次函数解析式； （2）求C 点的坐标； （3）求△AOC 的面积.【当堂检测】1.直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______；2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列 结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33.一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >-B ． 1m <-C ．1m =-D ．1m <4.一次函数23y x =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）6.已知整数x 满足-5≤x≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-97.如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（22，22-） C.（－21，－21） D.（－22，－22）第2题图 第5题图 第7题图第13课时 一次函数的应用【例题精讲】例题1.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x （度）与相应电费y （元）之间的函数图像如图所示.⑴月用电量为100度时，应交电费 元； ⑵ 当x≥100时，求y 与x 之间的函数关系式； ⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元？例题2. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t （h ），两组离乙地的距离分别为S 1（km ）和S 2(km)，图中的折线分别表示S 1、S 2与t 之间的函数关系．（1）甲、乙两地之间的距离为 km ，乙、丙两地之间的距离为 km ； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB 所表示的S 2与t 间的函数关系式，并写出t 的取值范围．例题3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O A 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）2·4·6· 8· S(km) 2 0 t(h) A B1日：有库存6万升，成本价4元/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．15日：进油4万升，成本价4.5元/升．31日：本月共销售10万升．图（1） 2 O 5 x A B C P D 图（2）第1题图 例题4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工1000只同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工．开始时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB 和折线段ACB 分别表示两车间的加工情况．依据图中提供信息，完成下列各题：（1）图中线段OB 反映的是________车间加工情况；（2）甲车间加工多少天后，两车间加工的吉祥物数相同？ （3）根据折线段ACB 反映的加工情况， 请你提出一个问题，并给出解答．【当堂检测】 1.如图(1)，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图(2)所示，则△BCD 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s （米）与时间t （秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC 和线段OD ，下列说法正确的是（ ） A ．乙比甲先到终点B ．乙测试的速度随时间增加而增大C ．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D ．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快 3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟C ．25分钟D ．27分钟4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x (h)时，汽车与甲地的距离为y (km)，y 与x 的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；（2）求返程中y 与x 之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h 时与甲地的距离．2 B x （天） AC18 20 O 960 1000 y （只） 第2题图 第3题图 第4题图第14课时 反比例函数图象和性质【知识梳理】1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质3．k 的几何含义：反比例函数y ＝kx(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝kx(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 . 【思想方法】 数形结合【例题精讲】例1 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与它所受的牵引力F （牛）之间的函数关系如右图所示：（1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式；（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F 在什么范围内？例2如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积；（3）x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值． k 的符号k ＞0 k ＜0 图像的大致位置经过象限 第 象限 第 象限 性质在每一象限内,y 随x 的增大而在每一象限内,y 随x 的增大而oy xy xoOyxBA【当堂检测】1. (2008年河南)已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 的值为 ．2.（2008年宜宾）若正方形AOBC 的边OA 、OB 在坐标轴上，顶点C 在第一象限且在反比例函数y ＝x1的图像上，则点C 的坐标是 . 3．在反比例函数3k y x-=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞3B ．k ＞0C ．k ＜3D ． k ＜0 4. (2008年广东)如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为( )A.y ＝1x (x>0) B.y ＝－1x (x>0) C.y ＝1x (x<0) D.y ＝－1x(x<0)5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）A ．不小于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 36．（2008巴中）如图，若点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k = ． 7．对于反比例函数2y x=，下列说法不正确．．．的是（ ） A ．点(21)--，在它图象上B ．图象在第一、三象限C ．当0x >时，y 随x 的增大而增大D ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 8.（2008年乌鲁木齐）反比例函数6y x=-的图象位于（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第二、三象限 D ．第一、二象限 9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调.（1）从组装空调开始，每天组装的台数m （单位：台／天）与生产的时间t （单位:天）之间有怎样的函数关系？（2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？第5题图1-1yOxP第4题图第6题图y xO OyxBA第15课时 二次函数图象和性质【知识梳理】1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值当x ＝ 时，y 有最 值当x ＝ 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系. 4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.【思想方法】 数形结合【例题精讲】 例1.已知二次函数24y x x =+，(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =-+ (其中a 、h 、k 都是常数且a≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.例2. （2008年大连）如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴ 求m 的值和抛物线的解析式；⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．(直接写出答案)【当堂检测】1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 3. 如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．4.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.15. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .6.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x 的取值范围是（ ）A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x≥-3D ．x≤-1或x≥3 8. 二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②c ＞0； ③ b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个第7题图 第8题图9. 已知二次函数243y ax x =-+的图象经过点（－1，8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1）填写下表.在直角坐标系中描点，并画出函数的图象；x 0 1 2 3 4 y（3）根据图象回答：当函数值y<0时，x 的取值范围是什么？第3题图第6题图第16课时 二次函数应用【知识梳理】1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式：2. 顶点式的几种特殊形式.⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ．【思想方法】 数形结合【例题精讲】例1. 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米. （1）求这条抛物线的解析式；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池外？例2.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元） ⑴ 分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式； ⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？（1） （2）【当堂检测】1. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中如图，则此抛物线的解析式为 ．2. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都是x ，那么y 与x 的函数关系是（ ） A ．y ＝x 2＋a B ．y ＝ a （x －1）2 C ．y ＝a （1－x ）2 D ．y ＝a （l ＋x ）2 3．如图，用长为18 m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.⑴ 设矩形的一边为()m x 面积为y (m 2)，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑵ 当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？4．体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线35321212++-=x x y 的一部分，根据关系式回答：⑴ 该同学的出手最大高度是多少？⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ ⑶ 该同学的成绩是多少？5.某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y (万元)与投资金额x (万元)之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元； 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y (万元)与投资金额x (万元)之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.第1题图第17课时 数据的描述、分析(一)【知识梳理】1.掌握总体、个体、样本、样本容量四个基本概念；2.理解样本平均数、极差、方差、 标准差、中位数、众数. 【思想方法】1. 会运用样本估计总体的思想【例题精讲】 例1.某校高一新生参加军训，一学生进行五次实弹射击的成绩（单位：环） 如下：8，6，10，7，9，则这五次射击的平均成绩是 环，中位数 环，极差是 环,方差是 环2.例2.已知样本x 1、x 2、x 3、x 4的平均数是2，则x 1+3、x 2+3、x 3+3、x 4+3的平均 数为 ; .已知样本x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差是1，那么样本2x 1+3， 2x 2+3，2x 3+3，…，2x n +3的方差是 ， 标准差是 .例3.小明上学期六门科目的期末考试成绩(单位：分)分别是：120，115，x ，60，85,80．若平均分是93分，则x=_________，一组数据2，4，x ，2， 3，4的众数是2，则x ＝ ．例4.为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取1000 份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的1000名学生,则总体 是 ,个体是 , 样本是 ,样本容量是 .例5．某校九年级(1)班积极响应校团委的号召, 每位同学都向“希望工程” 捐献图书,全班40名同学共捐图书320册．特别值得一提的是李扬、王州两 位同学在父母的支持下各捐献了50册图书. 班长统计了全班捐书情况如下 表(被粗心的马小虎用墨水污染了一部分)：⑴ 分别求出该班级捐献7册图书和8册图书的人数；⑵ 请算出捐书册数的平均数、中位数和众数, 并判断其中哪些统计量不能 反映该班同学捐书册数的一般状况，说明理由．册数 4 5 6 7 850 人数 6 8 15 2第18课时数据的描述、分析(二)【知识梳理】1. 明确扇形图、条形图、折线统计图的区别与联系．【思想方法】1. 基本图形的识别．【例题精讲】例1.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.根据统计图，下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是（）A．甲户比乙户大 B.乙户比甲户大C．甲、乙两户一样大 D.无法确定哪一户大例1图例2.在“不闯红灯，珍惜生命”活动中，文明中学的关欣和李好两位同学某天来到城区中心的十字路口，观察、统计上午7：00～12：00中闯红灯的人次．制作了如下的两个数据统计图．(1)求图(一)提供的五个数据(各时段闯红灯人次)的众数和平均数．(2)估计一个月(按30天计算)上午7：00～12：00在该十字路口闯红灯的未成年人约有________人次．(3)请你根据统计图提供的信息向交通管理部门提出一条合理化建议．例2图例3.数学课上，年轻的刘老师在讲授“轴对称”时，设计了如下四种教学方法：①教师讲,学生听；②教师让学生自己做；③教师引导学生画图，发现规律；④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图．数学教研组长将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，。

中考数学复习讲义第1课时有理数七（上）第二章编写：尤兴桂班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.2、借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数.3、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以上三步以内为主）.4、理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.5、能运用有理数的运算解决简单的问题.［基础训练］1、－1, 0， 0.2，， 3 中正数一共有个．2、既不是正数也不是负数的数是 .3、如图是一个正方体盒子的展开图，请把－10，8，10，－2，－8，2分别填入六个小正方形，使得按虚线折成的正方体相对面上的两数互为相反数．4、数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为＿＿＿＿＿＿．5、已知a与b互为倒数，c和d互为相反数，且|x|＝6，则3ab－（c＋d）＋x2＝6、若|a|＝3，则a＝＿＿＿＿＿7、下列四个数中，是负数的是（）A、|－2|B、（－2）2C、－D、8、如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度得到点P’，则点P’表示的数是：．［要点梳理］1、＿＿＿＿＿与＿＿＿＿＿统称为有理数2、规定了＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿的直线叫做数轴．3、如果两个数符号不同，绝对值相同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．0的相反数是．4、数轴上表示一个数的点与原点的叫做该数的绝对值．正数的绝对值是；负数的绝对值是；0的绝对值是5、数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的＿＿＿；正数＿＿＿0，负数＿＿＿＿0，正数＿＿负数；两个负数比较大小，＿＿＿＿＿＿＿6、乘积为1的两个有理数互为＿＿＿＿＿．7、有理数分类应注意：（1）0是整数但不是正整数；（2）整数分为三类：正整数、零、负整数，易把整数误认为分为二类：正整数、负整数．（3）整数还可以分为自然数和负整数两类或分为偶数和奇数两类.8、两个数a、b互为相反数，则a＋b＝＿＿＿＿＿．9、绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为±5，易丢掉－5．10、乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做＿＿＿＿，乘方的结果叫做＿＿11、科学计数法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿［问题研讨］例1、如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（）A、－3℃B、－2℃C、+3℃D、+2℃例2、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（）A、a＜1＜－aB、a＜－a＜1C、1＜－a＜aD、－a＜a＜1例3、首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为（）A、B、C、D、★例4、a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．．．．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，则a＝＿＿＿＿．例5、根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为＿＿＿＿＿7 122)2(-96.01110⨯960.1110⨯106.01110⨯110.601110⨯11a-1112=--1-111(1)2=--113a=-2a1a3a2a4a3a输入x输出y平方乘以2减去4若结果大于0否则0 1A例6、观察下面的变形规律： 211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201220111⨯★（4）探究并计算：201220101861641421⨯++⨯+⨯+⨯ .［规律总结］1、搞清有理数的三种常见形式：① 整数 ；②分数；③无限循环小数，如0.01010101…… .2、绝对值的性质——要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数.3、有理数的混合运算应灵活运用运算律. 乘方计算时注意：（1）注意分清底数，如：－a n 的底数是 a ，而不是－a ；（2）注意运算顺序，运算时先算乘方，如 3 ×52＝3 ×25＝75； ［强化训练］1、的相反数是 ( ) A 、B 、－C 、3D 、－32、下面的数中，与－3的和为0的是 （ ） A 、3 B 、－3 C 、 D 、3、—8的相反数是（ ） A 、8B 、－8C 、D 、 4、若|a|＝7，|b|＝5，a ＋ b ＞0，那么a －b 的值是（ ）A 、2或 12B 、2或－12C 、－2或－12D 、－2或 125、为改善学生的营养状况，中央财政从秋季学期起，为试点地区在校生提供营养餐膳食补助，一年所学资金约为160亿元，用科学计数法表示为 元.6、5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震．新疆各族群众积极捐款捐物，还紧急烤制了2×104个饱含新疆各族人民深情的特色食品——馕（n áng ），运往灾区．每个馕厚度约为2cm ，若将这批馕摞成一摞，其高度大约相当于（ ）A 、160层楼房的高度（每层高约2.5m ）B 、一棵大树的高度C 、一个足球场的长度D 、m 的高度 7、数轴上点A 到原点的距离是5，则A 表示的数是＿＿＿＿＿8、比较大小：－56 ＿＿＿＿＿－679、若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b ＝＿＿＿＿＿．★10、观察下列等式71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401, …,由此可判断7100的个位数字是＿＿＿＿.11、计算 （1）（－3）×13 ÷(－13 )×3（2）)1()32(32101-+-+-+⎪⎭⎫⎝⎛-31-31313131-8181-中考数学复习讲义第2课时 实数八（上）第二章 2.3～2.6编写：尤兴桂 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.2、了解乘方与开方与为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3、了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值.4、能用有理数估计一个无理数的大致范围.5、了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求结果取近似值.6、了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算. ［基础训练］1、4的平方根是＿＿＿＿＿. 算术平方根是＿＿＿＿＿.2、如果一个数的平方根等于本身，则这个数是＿＿＿＿.如果一个数的算术平方根等于本身，则这个数是＿＿＿＿. 如果一个数的立方根等于本身，则这个数是＿＿＿＿. 3、下列四个实数中，是无理数的为（ ）A ．0 BC ．－2D ．4、（1）81-的立方根是＿＿＿＿＿；（2）已知x 3＝8，则x ＝＿＿＿＿＿. 5、已知实数x,y满足x-2 +（y+1）2＝0,则x －y 等于＿＿＿ 6、用四舍五入法把0.7096精确到千分位的近似值是＿＿＿＿＿.7、今年某市约有108000名应届初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，108000用科学计数法表示为（ ）A 、0.10×106B 、1.08×105C 、0.11×106D 、1.1×105 8、一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在 ( )A 、2与3之间B 、3与4之间C 、4与5之间D 、5与6之间9、3―a 在实数范围内有意义，则a 的取值范围是( )A 、a≥3B 、a ≤3C 、a ≥―3D 、a ≤―3 10、计算：.［要点梳理］（3）数的开方与数的乘方互为逆运算. 2、实数（1）无理数的定义及表示形式 （2）实数的分类（3）实数的大小比较的方法、运算性质，及运算律与有理数相同. 3、实数与数轴上的点是一一对应的.4、有效数字：对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字. ［问题研讨］ 例1、（1）如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，O A 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是A 、2.5B 、2 2C 、 3D 、 5（2）数轴上的点并不都表示有理数，如所画图中数轴上的点P 所表示的数是＿＿＿. 这种说明问题的方式体现的数学思想方法是＿＿＿＿＿＿＿27()11π32sin 458-⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭例2、把下列各数填到相应的集合里：3－1，8，327-，－π，3.14，0.1010010001…722，sin30°，tan45°，－3，－3.21001，｜－3.2｜ 整数集合：｛ …｝分数集合：｛ …｝ 有理数集合：｛ …｝ 无理数集合：｛ …｝注：严格地按照定义来分类. 例3、比较大小注：有理数大小的比较方法在实数范围内仍然适用，如作差法，作商法，两个负数绝对值大的反而小等等.例4、（1）3.5万精确到＿＿＿＿＿位，有＿＿＿＿个有效数字;1.35×103精确到＿＿＿＿＿位，有＿＿＿＿个有效数字.（2）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似数，并用科学记数法表示. ①地球上七大洲的总面积约为149480000km 2（保留2个有效数字）.②某人一天饮水1890mL （精确到1000mL ） ③小明身高1.595m （保留3个有效数字）④人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm （精确到0.00001cm ）.［规律总结］1、实数是初中数学的基础内容，试题分值5～8分，多以选择题、填空题、计算题出现.2、牢固掌握实数的有关概念，掌握数形结合的思想.3、掌握实数的各种运算，在混合运算中注意符号和运算顺序.4、对于体现创新意识的问题，可采用猜想、归纳、计算、验证等综合方法解题［强化训练］1、在实数π3 ,sin300,－ 3 , 4 中,无理数的个数为( )A 、1B 、2C 、3D 、4 2、计算17＋1的值在（ ）A 、2和3之间B 、3和4之间C 、4和5之间D 、5和6之间 3．（填“”、 “”或“＝”） 4、已知|a|＝5，2b ＝3，且ab ＞0，则a ＋b 的值为（ ） A 、8 B 、－2C 、8或－8D 、2或－25、实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）A 、B 、C 、D 、6、若0＜x ＜1，则x ，x1，x 2的大小关系是（ ） A 、x 1＜x ＜x 2 B 、x ＜x 1＜x 2 C 、x 2＜x ＜x 1 D 、x 1＜x 2＜x7、如果aa ||＝－1，则a 的取值是（ ）A 、a ＜0B 、a ≤0C 、a ≥0D 、a ＞0 8、计算（1）()1611130sin 202+⎪⎭⎫⎝⎛-+-︒+--π（2）|1＋(－1)＋(8－)0＋()－112><a b b a >b a a +-2b a +2b a +-2b b a -2π813aob中考数学复习讲义第3课时 用字母表示数七（上）第三章 七（下）第八章幂的运算编写：尤兴桂 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿【课标要求】1、借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.2、能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示.3、会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算.4、整式的有关概念，如单项式、多项式、同类项等，简单的整式加、减、乘法运算.5、整数指数幂的意义与基本性质.6、会解释一些简单代数式的实际背景或几何意义. 【基础练习】1、“x 的21与y 的和”用代数式可以表示为（ ） A 、21（x ＋y ） B 、x ＋21＋y C 、x ＋21y D 、21x ＋y2、某超市进了一批商品，每件进价为a 元，若要获利25%，则每件商品的零售价应定为（ ）A 、25%aB 、（1－25%）aC 、（1＋25%）aD 、%251+a3、下列运算中，正确的是（ ）． A 、x 3·x 2＝x 5B 、x ＋x 2＝x 3C 、2x 3÷x 2＝x D 、2x 233=⎪⎭⎫⎝⎛x4、下列运算中，正确个数为（ ）个①x 2＋x 3＝x 5 ②（x 2）3＝x 6 ③30×2－1＝5 ④－|－5|＋3＝8 ⑤1÷212⨯＝1A 、1B 、2C 、3D 、4 5、如果的取值是和是同类项，则与n m y x y xm m n 31253--（ ）A 、3和－2B 、－3和2C 、3和2D 、－3和－26、若实数a 满足2210a a -+=，则2245a a -+=＿＿＿＿＿.7、已知10m ＝2，10n ＝3，则103m＋2n＝＿＿＿＿8、52314222-+-+-a a a a 与的差是＿＿＿＿＿.【要点梳理】1、用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数和＿＿＿＿连接而成的式子，叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式.2、代数式的值：一般地，用＿＿＿＿＿＿代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值.3、＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿统称为整式. ⑴单项式是＿＿＿＿＿＿的积，其含义是：①不含加减运算，②字母不出现在分母里，③单独的一个数或字母也是单项式.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单项式的系数； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单项式的次数.⑵多项式是＿＿＿＿＿＿＿的和，其含义有：①由单项式组成；②体现和的运算法则 ＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做多项式的一个项；＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 叫做这个多项式的次数．4、⑴同类项应必须同时具备两个条件：①＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿.⑵合并同类项的法则是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 5、幂的运算法则（1）a m ·a n ＝＿＿＿＿＿＿＿； （2）(a m )n ＝＿＿＿＿＿＿； （3）(ab)n ＝＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）a m ÷a n ＝＿＿＿＿（a ≠0）；（5）a 0＝1（ ）； （6）a －p ＝＿＿＿＿＿（a ≠0）. 【问题研讨】例1、填空（1）a 的系数是＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿＿ （2）3abπ的系数是＿＿＿＿＿，次数是＿＿＿＿＿例2、单项式4x a ＋2b y 8与－3x 2y 3a ＋4b 和仍是单项式，求a ＋b 的值.例3、按下列程序计算，把答案写在表格内：（1）填写表格：（2）请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简. 分析：明确计算程序是正确解答本题的前提.例4、如图，将连续的奇数1、3、5、7 …… ，排列成如下的数表，用十字框框出5个数.问：（1）十字框框出5个数字的和与框子正中间的数17有什么关系？ （2）若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，若设中间的数为a ，用代数式表示十字框框住的5个数字之和；（3）十字框框住的5个数字之和能等于吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由.【规律总结】1、整体代入法是求代数式值的方法之一2、观察数列中各个数据的数量关系（如和差倍分关系）是解答观察数字型归纳题的一个方法3、要准确理解和辨析单项式次数、系数、同类项等概念，特别要关注简单整式的运算.4、运用公式或法则进行运算，首先要判断题目是否具备某一公式或法则的结构特征，在此基础上正确选择公式或法则进行运算.【强化训练】1、若代数式26x x b -+可化为2()1x a --，则b a -的值是＿＿＿．2、用代数式表示“a 、b 两数的平方和”，结果为＿＿＿＿＿．3、下列运算正确的是（ ） Ａ、321x x -= Ｂ、22122xx--=-Ｃ、236()a a a -=·Ｄ、236()a a -=-4、某计算程序编辑如图所示，当输入x ＝＿＿＿＿＿时，输出的y ＝3.5、已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A 、Q P > B 、Q P = C 、Q P < D 、不能确定 ★6、某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度，高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ ）A 、图（1）需要的材料多B 、图（2）需要材材料多C 、图（1）、图（2）需要的材料一样多D 、无法确定7、先化简，再求值：（3x ＋2）（3x －2）－5x （x －1）－（2x －1）2，其中x ＝－31.8、求（7ab －3a 2）－（2b 2＋13ab ）－（a 2－2ab ）的值，其中a ＝1，b ＝－1.图2图1 1 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47… … … … … …中考数学复习讲义第4课时 从面积到乘法公式（1）七（下）第三章、七（下）第八章幂的运算编写：尤兴桂 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、会进行简单的整式乘法运算2、能推导乘法公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2，（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算. ［基础练习］1、21ab 2c ·（－0.5ab 2）·（－2bc 2）＝＿＿＿＿＿＿＿ 2、－3a 2（ab 2＋31b －1）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿3、二次三项式是一个完全平方式，则的值是4、如图，从边长为（a+1）cm 的正方形纸片中剪去一个边长为（a ﹣1）cm 的正方形（a ＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）A ． 2cm 2B ． 2acm 2C ． 4acm 2D ． （a 2﹣1）cm1、单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的＿＿＿＿＿＿＿＿＿分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2、单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的＿＿＿＿＿＿＿，再把所得的＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的＿＿＿＿＿乘以另一个多项式的＿＿＿＿＿，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．4、 写出完全平方公式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿写出平方差公式 . ［问题研讨］例 1、计算：①()()23232--⋅-a a a ②[(2x －y )(2x ＋y )＋y (y －6x )]÷2x③)3)(52(y x y x -- ④)168()4(2--+x x .例2、（1）已知a ＋b ＝－3，ab ＝2，求a 2＋b 2 和 (a －b)2的值.（2）已知A ＝2x+y ，B ＝2x －y ，计算A 2－B 2.（3）已知31=-x ，求代数式4)1(4)1(2++-+x x 的值．29x kx -+k例3、由m （a +b +c ）＝ma +mb +mc ，可得：（a +b ）（a 2－ab +b 2）＝a 3－a 2b +ab 2+a 2b －ab 2+b 3＝a 3+b 3，即（a +b ）（a 2－ab +b 2）＝a 3+b 3． ………………………① 我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确．．．的是（ ） A 、（x +4y ）（x 2－4xy +16y 2）＝x 3+64y 3B 、（2x+y ）（4x 2－2xy+y 2）＝8x 3+y 3C 、（a +1）（a 2＋a +1）＝a 3+1D 、x 3+27＝（x +3）（x 2－3x +9） ［规律总结］1、掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则；2、二次代数式的几何意义都与面积有关；3、掌握好平方差公式与完全平方公式的特征. 平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2 完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2 ［强化训练］1、利用因式分解简便计算：57×99＋44×99－99正确的是（ ） A 、99×（57＋44）＝99×101＝9999 B 、99×（57＋44－1）＝99×100＝9900 C 、99×（57＋44＋1）＝99×102＝10098 D 、99×（57＋44－99）＝99×2＝1982、如果多项式162++mx x 能分解为一个二项式的平方的形式，那么m 的值为：（ ）A 、4B 、8C 、—8D 、±8 3、一套住房的平面图如图所示，其中卫生间、厨房的面积和等于（ ）A 、4xyB 、3xyC 、2＞n ）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的长小方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）A 、2mnB 、（m ＋n ）2C 、（m －n ）2D 、m2－n 25、将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你 能根据两个图形的面积关系得到的数学 公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．6、如图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n 个图中的阴影部分小正方形的个数是＿＿＿＿＿7、化简：（a ＋2）（a －2）－a （a ＋1）8、先化简，再求值：，其中.★9、有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图.如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）.请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义.这个长方形的代数意义是 .2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++1,12a b =-=3ab2b baa 1 13 2 233a ba －baa －b中考数学复习讲义第5课时 从面积到乘法公式（2）七（下）第九章 9.5～9.6编写：尤兴桂 班级＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿［课标要求］1、理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形2、能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.3、会用因式分解法解决相关问题 ［基础练习］1、因式分解：＝ .2、分解因式：＿＿＿＿＿.225、填上适当的数，使等式成立：24x x -+＿＿＿＿＝(x -＿＿＿＿2)6、分解因式2(2)(4)4x x x +++-＝＿＿＿＿＿＿7、下列各式从左向右的变形，属于因式分解的有（ ） A 、(x+2)(x －2)＝x 2－4 B 、x 2－4+3x ＝(x+2)(x －2)+3xC 、a 2－4＝(a+2)(a －2)D 、全不对 8、下列因式分解错误的是（ ） A 、x 2－y 2＝（x ＋y ）（x －y ） B 、x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）2 C 、x 2＋xy ＝x （x ＋y ） D 、x 2＋y 2＝（x ＋y ）29、下列各式中，不能运用平方差公式的是（ ） A 、－a 2+b 2 B 、－x 2－y 2 C 、494＋25n 2p 2 10、把下列各式分解因式：（1）4x 4－25y 2 （2）32232a b a b ab -+（3）81(a －b)2－16(a+b)2 （4）16(b －c)2－a 2［要点梳理］1、因式分解的概念：2、因式分解的方法： ①提公因式法：； ②公式法：3、因式分解与整式乘法的关系怎样？4、因式分解法（一种重要的数学思想方法）在解题中的应用. ［问题研讨］例1：（1）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A 、a （x ＋y ）＝ax ＋ay B 、x 2－4x ＋4＝x （x －4）＋4C 、10x 2－5x ＝5x （2x －1）D 、x 2－16＋3x ＝（x ＋4）（x －4）＋3x （2）下列因式分解中，结果正确的是（ ）A 、x 2－4＝（x ＋2）（x －2）B 、1－（x ＋2）2＝（2－4n 2) D 、x 2－x ＋41＝x 2（1－2411x x +） （3）因式分解：－m 2＋n 2＝___________.（4）分解因式 ．分析：考察的是因式分解的概念，注意与整式乘法的区别与联系. 例2、把下列各式分解因式：（1）;1682++x x （2）;1102524++a a（3）()4)(42++-+n m n m （4）4224167281y y x x +-22a a -2168()()x y x y --+-=32232a b a b ab -+=例3、已知：0136422=++-+b a b a ,求ab 的值.说明：此例运用0)(2222≥±=+±b a b ab a 及几个非负数都为零.★例4、（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形.试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？（2）由四个边长分别为a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形.试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么.［规律总结］因式分解的一般步骤：（1）多项式的各项有公因式时，先提公因式；（2）各项没有公因式时，要看能不能用公式法来分解； （3）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解.［强化训练］1、观察： 32－12＝8; 52－32＝16; 72－52＝24; 92－72＝32. ……根据上述规律，填空：132－112＝ ，192－172＝ .你能用含n 的等式表示这一规律吗？你能说明它的正确性吗？ 2、（1）观察下面各式规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+； 2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+； 2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+；……写出第n 行的式子，并证明你的结论.- 第-一-网(2)计算下列各式，你发现了什么规律？①×－2； ②210010199-⨯； ③210000100019999-⨯.★3、已知P ＝3xy －8x+1，Q ＝x －2xy －2，当x ≠0时，3P －2Q ＝7恒成立，求y 的值.a b c c a b。

中考数学总复习之二次函数专题复习一．选择题（共8小题）1．二次函数y＝2x2+8x+5的图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．把二次函数y＝x2+2x﹣6配方成顶点式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣7B．y＝（x+1）2﹣7C．y＝（x+2）2﹣10D．y＝（x﹣3）2+33．已知二次函数y＝（a﹣2）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＞0B．a＞2C．a≠2D．a＜24．关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（）A．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是上升的B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的5．2019年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝x2+x+的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是米，球落点的距离是（）A．1米B．3米C．5米D．米6．二次函数y＝x2﹣3x+1的图象大致是（）A．B．C．D．7．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（）A．a＞0B．C．或a＞0D．8．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）9．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是．10．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是．11．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C 在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为．12．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2023在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都为等边三角形，则△A2022B2023A2023的边长为．13．已知二次函数y＝（x﹣3）2+3，当x＝时，y取得最小值．14．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．15．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（6，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1≤x＜5的范围内有解，则t的取值范围是．16．二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，4），则代数式a+b的值为．三．解答题（共4小题）17．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）求BC所在直线的函数解析式；（3）过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，求线段PM长度的最大值．18．如图，直线y＝x+2与x轴交于点B，与y轴交于点D．抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P为抛物线在直线AC下方的一动点，作PH∥y轴，PF⊥AC，分别交AC 于点H、F，求PH+PF的最大值和此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4沿射线AC平移个单位长度，得到新抛物线，点R在新抛物线的对称轴上，点S在抛物线y＝ax2+bx﹣4上．当以点D、P、R、S为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P的坐标．。

中考数学总复习资料大全第一章 实数★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、 重要概念 1．数的分类及概念 数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x ≥0） 常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠1/a （a ≠±1）;B.1/a 中，a ≠0;C.0＜a ＜1时1/a ＞1;a ＞1时，1/a ＜1;D.积为1。

4．相反数： ①定义及表示法②性质：A.a ≠0时，a ≠-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1偶数：2n （n 为自然数） 7．绝对值：①定义（两种）：实数无理数(无限不循环小数)0 (有限或无限循环性数) 整数分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数整数 分数 无理数 有理数正数整数分数 无理数有理数│a │ 2aa (a ≥0)(a 为一切实数) a(a≥0)-a(a<0)│a │=代数定义：几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、 实数的运算 1． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律） 3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”到“右”（如5÷51×5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。