螺旋槽干气密封微尺度流动场的近似计算及其参数优化_丁雪兴

第24卷　第3期应用力学学报Vol.24　No.9 2007年9月CHINESE JOURNAL OF APPL IE D MECHANICS Sep.2007文章编号:100024939(2007)0320425204螺旋槽干气密封微尺度流动场的近似计算及其参数优化3丁雪兴　陈德林　张伟政　俞树荣　杜兆年(兰州理工大学　730050兰州)摘要:应用P H线性化方法、迭代法,近似求解了螺旋槽内稳态微尺度流动场的非线性雷诺方程,求得了气体动压和速度分布的解析解。

继而利用多目标优化方法构建了气膜刚度与泄漏量之比的协调函数,并对该目标函数进行了近似求解,获得了最佳的螺旋槽几何参数值。

关键词:螺旋槽;干气密封;微尺度流动;P H线性化;迭代法;协调优化中图分类号:TQ051 文献标识码:　A1　引　言干气密封利用流体动力学原理,通过在密封面上开设动压槽而实现密封端面的非接触运行,是目前旋转机械(如:压缩机、离心泵)轴端密封中最先进的一种密封装置[6]。

影响干气密封性能的主要因素有:端面开槽的形状、槽形的几何参数以及操作参数。

目前最常用的端面槽形是螺旋线形,然而,在工程实践中有些螺旋槽干气密封并没发挥出它的最大优势,其原因主要是槽形几何参数选择不合理。

为此,国内外学者一般采用有限元法[7,9,10]及实验测量法[8,11]来获得密封槽内气体动压分布及几何参数的优化范围,但以上均未考虑微尺度效应对流动的影响。

干气密封运行时,平衡间隙(气膜厚度)的典型值为3～5μm,其内部气体流动的尺度为微米级。

本文建立了微尺度理论[5]下的非线性雷诺方程,并用P H线性化方法[1]、迭代法对雷诺方程进行了近似求解,获得了气体压力和速度分布的解析解。

继而利用多目标优化方法[12]构建了气膜刚度与泄漏量之比的协调函数,并对该目标函数进行了近似求解,获得了最佳的螺旋槽几何参数值。

这对螺旋槽干气密封的设计、制造以及安全、可靠和长周期运行具有重要的学术价值和工程应用前景。

2　螺旋槽内微尺度流动场的近似计算211气体动压计算1)　N2S方程的简化及边界条件N2S方程的一般式[4]ρd Vd t=ρF- p+μ 2V+13μ ( ・V)(1) 由两板间隙间气体流动力学模型假定可得简化的直角坐标系中N2S方程5p5x=55z(μ5u5z)(2a)5p5y=55z(μ5v5z)(2b)考虑滑移边界条件[5] z=0时　u=U0+l′5u5z (3a)v=l′5v5z (3b)3基金项目:甘肃省自然科学基金(3ZS061—A25—051);甘肃省教育技术基金(0514B—01)来稿日期:2006203213　修回日期:2006209225第一作者简介:丁雪兴,男,1964年生,兰州理工大学石油化工学院,副教授;研究方向———流体动密封。

E2m ail:dingxxl@ z =h 时　u =-l ′5u5z (3c )v =l ′5v5z (3d )式中:l ′=2-σvσvl ;σv 是分子切向动量调节系数;l 是分子自由行程2)　微尺度效应的雷诺方程连续性方程∫h0[55x (ρu )+55y(ρv )]d z =0(4)气体状态方程p =ρR T(5) 由式(2a )～式(3d )求出u 、v ,再将其代入式(4),并利用式(5)得雷诺方程55x [ph 3μ(1+6kn ′)5p 5x ]+55y [ph 3μ(1+6kn ′)5p 5y]=6U 05(ρh )5x(6)式中努森数kn ′=l ′h,　10-3≤kn ′≤10-1,本文取上下限的几何平均值kn ′=10-23)　无量纲柱坐标雷诺方程及边界条件将式(6)无量纲化则为5φ[P H 35P φ]+5ζ[P H 35P ζ]=χ5(P H )φ(7)其中x =R i φ,　y =R i ζ,　U 0=2πn r R i ,　p =Pp i ,Λ=12πμn r p i R 2i(δ+E )2,h =H (δ+E ),χ=Λ1+6kn ′以上各式中:δ为气膜厚;E 为槽深一半;R i 为密封环内径;n r 为轴的转速;p i 为环境压力(内压);μ为介质的动力粘度;h 为密封间隙;H 为无量纲间隙;P 为无量纲压力;φ为无量纲极角;ζ为无量纲极径;Λ为可压缩性参数;χ为可压缩性修正参数。

边界条件P (ζ=1)=1;　P (ζ=ζ0=R0R i )=P 0=p 0p i(8)图1　螺旋槽力学模型式中:R 0为密封环外径;p 0为介质压力(外压)。

4)　边值问题的近似求解P H 线性化方法[1]令:P =ψH ,则式(7)化为泛函R (ψ,H )=[ψ(ψ′φH-ψH ′φ)]′φ+[ψ(ψ′ζH -ψH ′ζ)]′ζ-χψ′φ=0(9)对式(9)进行微分,则R ′(ψ0,H 0)u =u″φφ+u ″ζζ-χH 0u ′φ(10)可得一级近似P H 线性雷诺方程(ψ1)″φφ+(ψ1)″ζζ-χ(ψ1)′φ=H ″φφ+H ″ζζ(11) 相应边界条件ψ1(ζ=1)=H (ζ=1),　ψ1(ζ=ζ0)=P 0H (12) 引入复函数化简,令ψ1=H +y (13)H =1-ηcos ω(14)其中ω=n φ+β0ζ;　β0=n t gα;　η=Eδ+E;以上各式中:n 为槽数;α为螺旋角;ω为槽当量角度;η为槽深比;β0为槽斜度系数。

则式(11)、式(12)变为y ″φφ+y ″ζζ-χy ′φ=χH ′φ(15)y (ζ=1)=0;　y (ζ=ζ0)=(P 0-1)H(16) 为了方便计算,将式(15)、式(16)的解用复数形式表示,为此我们研究下列复函数边值问题K ″φφ+K ″ζζ-χK ′φ=χΓ′φ(17)y 相应复变函数为K ,而H 相应复变函数为Γ=1-ηe -iω(18)K ″φφ+K ″ζζ-χK ′φ=i χηn e-i ω(19)K (ζ=1=0,K (ζ-ζ0)=(P 0-1)(1-ηe -i ω0)(20)式中ω0=β0ζ0。

边值问题式(19)、式(20)的解具有下列形式K =ηf n (ζ)e -i ω(21)代入式(19)得f ″n -2i β0f ′n -(n 2+β20-nχi )f n =n χi (22)f n (1)=0;　f n (ζ0)=A +Bi (23)式中A =1η(P 0-1)(cos ω0-η),　B =-1η(P 0-1)sin ω0迭代法求解f n (ζ)=η1(ζ)+η2(ζ)i (24)将式(24)代入式(22)得η″1(ζ)-(n 2+β20)η1(ζ)=-2β0η′2(ζ)+n χη2(ζ);η″2(ζ)-(n 2+β20)η2(ζ)=-2β0η′1(ζ)-n χη1(ζ)+n χ(25)令:n 2+β20=β1;2β0=α1ε;n χ=α2ε;ε为小参数;α1、α2为实常数。

则式(25)为η″1(ζ)-β1η1(ζ)=-α1εη′2(ζ)+α2εη2(ζ);624应用力学学报第24卷η″2(ζ)-β1η2(ζ)=-α1εη′1(ζ)-α2εη1(ζ)+α2ε(26)零次近似η″10-β1η10=0;　η″20-β1η20=0(27) 相应边界条件η10(1)=0;　η10(ζ0)=A ;η20(1)=0;　η20(ζ0)=B (28)解得η10=c 10e β1ζ+c ′10e-β1ζ;η20=c 20eβ1ζ+c ′20e-β1ζ(29)式中:c 10=Ae β1ζ/(e2β1ζ0-e2β1);c ′10=-Aeβ1(ζ0+2)/(e2β1ζ0-e2β1);c 20=Be β1ζ/(e2β1ζ0-e2β1);c ′20=-Beβ1(ζ0+2)/(e2β1ζ0-e2β1)。

一次近似η″11-β1η11=-α1η′20+a 2η20;η″21-β1η21=α1η′10-a 2η10+α2(30)边界条件η11(1)=0;　η11(ζ0)=0;η21(1)=0;　η21(ζ0)=0(31)解得η11=c 11eβ1ζ+c ′11e-β1ζ+A 12βζeβ1ζ-B 12β1ζe-β1ζ;η21=c 21eβ1ζ+c ′21e-β1ζ+A 222β2ζeβ1ζ-B 22β1ζe-β1ζ-α2β1(32)式中c 11=[-A 1(ζ0e2β1ζ0-e2β1+B 1(ζ0-1)]/[2β1(e2β1ζ0-e 2β1)],c ′11=-A 1e 2β1/(2β1)+B 1/(2β1)-c 11e2β1,A 1=(-α1β1+α2)c 20,B 1=(α1β1+α2)c ′20,c 21=[-A 22β1(ζ0e2β1ζ0-e2β1+B 22β1(ζ0-1)+α2β1(e 2β1ζ0-e β1)]/(ζ0e2β1ζ0-e2β1),c ′21=-c 21e 2β1-A 22β1e2β1+B 22β1+α2β1e β1,A 2=(α1β1-α2)c 10,　B 2=-(α1β1+α2)c ′10一次近似解η1(ζ)=c 10e β1ζ+c ′10e -β1ζ+(c 11e β1ζ+c ′11e-β1ζ+A 12β1ζe β1ζ-B 12β1ζe -β1ζ)ε;η2(ζ)=c 20e β1ζ+c ′20e-β1ζ+(c 21eβ1ζ+c ′21e-β1ζ+A 22β1ζe β1ζ-B 22β1ζe -β1ζ-α2β1)ε(33)动压近似函数解K =η(η1(ζ)+η2(ζ)i )e -iω(34)y =Re {K}=η(η1(ζ)co s ω+η2(ζ)sin ω)(35)一级近似ψ1=H +y =1-ηcos ω+η(η1(ζ)cos ω+η2(ζ)sin ω)(36)P =ψ1/H =1+η(η1(ζ)cos ω+η2(ζ)sin ω)/H (37)212　流速计算由式(2b ),式(3b )得v =(12μz 2-h 2μz -12μl ′)5py(38)化为柱坐标v =1R i (12μz 2-h 2μz -12μl ′)5p5ζ(39)3多目标协调优化槽形几何参数311　多目标协调函数-刚漏比的解析式气膜推力F =2π∫R 0R ir p d r(40)无量纲化F =F/πR 2i p i =2∫ζ01ζP dζ(41)径向流量Q =∫h02πvR 0d z =-1106πζ0p i h 36μ5p5ζ(42)无量纲泄漏量Q |ζ=1=Q/p i h3μ=-1106πζ06(5P5ζ)ζ=1(43)刚漏比T = F Q =-12∫ζ01ζP d ζ/1106πζ0(5P 5ζ)ζ=1(44)312　优化参数的实例分析取文献[11]中实验数据与本文近似算法的计算结果比较。