八年级数学二次函数

八年级数学下册综合算式专项练习题二次函数计算综合算式专项练习题：二次函数计算一、解二次方程1. 解方程 $3x^2+5x-2=0$。

解：根据二次方程的求解公式，我们有：$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$将方程 $3x^2+5x-2=0$ 与上述公式进行比较，可以得出 $a=3$，$b=5$，$c=-2$。

代入公式，可以计算得出：$$x_1 = \frac{-5+\sqrt{5^2-4 \cdot 3 \cdot(-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-5+\sqrt{49}}{6} = \frac{-5+7}{6}=\frac{1}{3}$$$$x_2 = \frac{-5-\sqrt{5^2-4 \cdot 3 \cdot(-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{-5-\sqrt{49}}{6} = \frac{-5-7}{6}=-2$$所以，方程 $3x^2+5x-2=0$ 的解为 $x=\frac{1}{3}$ 和 $x=-2$。

2. 解方程 $2x^2-3x+1=0$。

解：同样，根据二次方程的求解公式，将方程 $2x^2-3x+1=0$ 与公式比较，可知 $a=2$，$b=-3$，$c=1$。

代入公式，可以计算得出：$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} =\frac{3 \pm \sqrt{1}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}$$所以，方程 $2x^2-3x+1=0$ 的解为 $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=1$。

二、求抛物线的顶点坐标3. 求抛物线 $y=2x^2-4x+3$ 的顶点坐标。

解：对于一般形式的二次函数 $y=ax^2+bx+c$，它的顶点坐标可以通过以下公式计算：$$x=-\frac{b}{2a}$$$$y=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$将抛物线 $y=2x^2-4x+3$ 与上述公式进行比较，可知 $a=2$，$b=-4$，$c=3$。

数学《二次函数》优秀教案精选一、教学内容本节课选自人教版初中数学教材八年级下册第十七章《二次函数》。

具体内容包括：二次函数的定义、图像及性质，以及二次函数在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握二次函数的定义，能熟练绘制二次函数的图像，了解二次函数的性质，并能运用二次函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，增强学生的合作意识和探究精神。

三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数图像的性质及其应用。

2. 教学重点：二次函数的定义、图像及性质。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中抛物线的实例，如拱桥、篮球投篮等，引出本节课的研究对象——二次函数。

2. 新课导入：讲解二次函数的定义，板书定义并解释相关术语。

3. 图像绘制：引导学生通过观察、分析、归纳，掌握二次函数图像的绘制方法。

5. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解解题思路，强调关键步骤。

6. 随堂练习：布置相关练习题，让学生当堂巩固所学知识，及时解答学生疑问。

7. 实践应用：设计实际问题，让学生运用二次函数知识解决问题，提高学生的应用能力。

六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像绘制方法3. 二次函数图像性质4. 例题及解题步骤5. 随堂练习题七、作业设计1. 作业题目：y = x^2，y = 2x^2，y = x^2某公园的拱桥形状为抛物线，桥的最高点距离水面6米，桥长20米，求桥的最低点距离水面的高度。

2. 答案：（1）略（2）最低点距离水面4米八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了二次函数的定义、图像及性质，但部分学生在绘制图像和解决实际问题时仍存在困难，需要在今后的教学中加强训练。

2. 拓展延伸：引导学生探究二次函数与一次函数、反比例函数的关系，为学习高中阶段的导数知识打下基础。

八年级数学二次函数的解法与应用二次函数是一种常见的数学函数，其形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。

二次函数具有许多重要的性质和特点，求解二次函数的解法和应用十分广泛。

本文将介绍八年级数学中关于二次函数的解法和应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是指二次多项式构成的函数，可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c分别为实数，且a不等于0。

其中，a决定了函数的开口方向，正值代表开口向上，负值代表开口向下；b决定了函数的位置，正值表示向左平移，负值表示向右平移；c为函数在原点的纵截距。

二、二次函数的图像与性质二次函数的图像是抛物线，其性质如下：1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。

3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。

4. 零点：即函数的解，即满足f(x)=0的x值。

若Δ=b^2-4ac>0，则有两个不相等的实根；若Δ=0，则有两个相等的实根；若Δ<0，则没有实根。

5. 最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。

6. 判别式：Δ=b^2-4ac，可用于判断二次函数的解的情况。

三、二次函数的解法求解二次函数一般可以通过以下两种方法：1. 因式分解法：适用于二次函数可以因式分解的情况。

将二次函数表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为二次函数的根。

通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到解。

2. 公式法：适用于二次函数无法因式分解的情况。

根据二次函数的标准形式，利用求根公式x=(-b±√Δ)/2a进行计算，其中Δ=b^2-4ac为判别式。

四、应用举例1. 题目：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图像的顶点坐标为(2,-3)，且经过点(1,0)，求二次函数的解析式和另一个零点坐标。

人教版八年级数学下册二次函数知识点总结本文将对人教版八年级数学下册二次函数知识点进行总结。

主要内容如下：一、二次函数的定义和性质1. 定义：二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中 a、b、c 是常数，a 称为二次函数的系数。

2. 基本性质：- 二次函数的图象为抛物线，开口方向由 a 的正负确定。

- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。

- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。

- 当a ≠ 0 时，抛物线的对称轴方程为 x = -b/2a。

二、二次函数的图象1. 抛物线与对称轴：- 抛物线关于对称轴对称。

- 对称轴方程为 x = -b/2a。

2. 抛物线的顶点：- 抛物线的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。

3. 抛物线的焦点与准线：- 抛物线的焦点为 (p, q)，其中 p = -b/2a 且 q = c - b^2/4a。

- 抛物线的准线为 y = q。

4. 抛物线的开口方向：- 当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。

三、二次函数的判别式和根的情况1. 判别式 D = b^2 - 4ac：- 若 D > 0，则二次函数有两个不相等的实根。

- 若 D = 0，则二次函数有两个相等的实根。

- 若 D < 0，则二次函数没有实根。

2. 根的情况：- 当 D > 0 时，二次函数的两个根分别为 x1 = (-b + √D) / (2a) 和x2 = (-b - √D) / (2a)。

- 当 D = 0 时，二次函数的解为 x = -b / (2a)。

- 当 D < 0 时，二次函数没有实根。

四、二次函数的应用1. 二次函数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，例如：- 抛射运动的轨迹方程。

- 成本函数、收入函数等的建模。

- 其他需要模拟抛物线等曲线的问题。

八年级数学二次函数知识点二次函数是初中数学中比较重要的一章，主要研究形如y=ax²+bx+c（a≠ 0）这样的函数。

下面我们来了解一下八年级数学二次函数的知识点。

一、二次函数的图像二次函数的图像通常为一条抛物线，开口方向由二次函数的系数a决定。

当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

二、二次函数的轴对称线二次函数的图像是对称的，称为轴对称。

轴对称线是图像上的一条直线，将图像分成两个完全相同的部分。

轴对称线的方程为x=-b/2a。

三、二次函数的零点二次函数与x轴的交点称为零点，也可称为根。

一般地，二次函数有两个零点，可用求根公式(-b±√(b²-4ac))/2a来计算。

若b²-4ac<0，则二次函数没有实数根，也就是没有与x轴相交的点。

四、二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a) = c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a) = c-b²/4a 。

此时的x=-b/2a称为二次函数的顶点。

五、二次函数的基本变形除了y=ax²+bx+c的二次函数外，还有一些变形，如y=a(x-h)²+k的标准式，y=a(x-p)(x-q)的因式分解式等。

需要根据题目的要求，进行不同形式之间的转化。

六、二次函数的应用二次函数在不同领域有广泛的应用，如物理学中的抛体运动，金融学中的股票指数走势预测等。

在运用中需合理选择二次函数的形式，适用于不同的实际问题。

通过学习八年级数学二次函数的知识点，我们可以更好地理解二次函数的概念，掌握求零点、最值等基本技能，为以后更深入的学习打下坚实的基础。

二次函数一、单选题1.下列函数中，属于二次函数的是（）A. y=x2−(x+4)(x+2)B. y=2(x+1)(x−3)C. y=ax2+bx+cD. y=x 4x22.二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.3.已知二次函数的图象的顶点是(1,−2)，且经过点(0,−5)，则二次函数的解析式是（）．A. y=−3(x+1)2−2B. y=3(x+1)2−2C. y=−3(x−1)2−2D. y=3(x−1)2−24.若二次函数y＝ax2的图象经过点( 1，－2 )，则它也经过（）A. (－1，－2)B. (－1，2)C. (1，2)D. (2，1)5.若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A. y3＜y2＜y1B. y2＜y3＜y1C. y1＜y3＜y2D. y1＜y2＜y36.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：则方程ax2+bx+1.37＝0的根是（）A. 0或4B. √5或4−√5C. 1或5D. 无实根7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)，且a+b+c=−12，a−b+c=−32．判断下列结论：① abc<0；② 2a+2b+c>0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2⩽x⩽3时，y最小=3a；⑤该抛物线与直线y=x−c有两个交点，其中正确结论的个数（）A. 2B. 3C. 4D. 58.二次函数y=−x2+2x+1,当−1≤x≤2时，下列说法正确的是（）A. 有最大值1，有最小值-2B. 有最大值2，有最小值-2C. 有最大值1，有最小值-1D. 有最大值2，有最小值19.如图，已知二次函数y1=(x+1)2−3向右平移2个单位得到抛物线y2的图象，则阴影部分的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 6题9图题10图10.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a+b+c＝0；④ 23＜b＜1．其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.抛物线y=2（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A. （5，3）B. （﹣5，3）C. （5，﹣3）D. （﹣5，﹣3）12.函数y=−15x2−25x−515的最大值是（）A. −15 B. 515 C. −5 D. −51513.下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：下列各选项中，正确的是（）A. 这个函数的图象开口向下B. 这个函数的图象与x轴无交点C. 这个函数的最小值小于﹣6D. 当x＞1时，y的值随x值的增大而增大14.如图，已知抛物线l：y= 12（x-2）2-2与x轴分别交于0、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果山抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数表达式为（）A. y= 12（x-2）2+4 B. y=12（x-2）2+3 C. y=12（x-2）2+2 D. y=12（x-2）2+1题14图题15图15.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点E在点（－3，0）和（－2，0）之间（包括这两点），顶点P是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是（）A. −225≤a≤−316 B. −112≤a≤−325 C. −118≤a≤−225 D. −13≤a≤−118二、填空题16.二次函数y=2x2+5x−3与y轴的交点是，与x轴的交点是．17.如图，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=−13x2，当水面离桥顶的高度为253米时，水面的宽度为米.题17图题18图18.如图所示为抛物线y＝ax2＋2ax﹣3的图象，则一元二次方程ax2＋2ax﹣3＝0的两根为 .19.已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是．20.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A(3，0)、B(﹣1，0)，则下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＞0，③8a+c＞0，④a+b＞n（an+b）（n≠1）．其中正确的有．三、解答题21.已知点(k,1)是二次函数y=3x2−2x图象上一点，求代数式(k−1)2+2(k+ 1)(k−1)+8的值．22.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是t=−2x+80，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．23.抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）与x轴交于点（x1，0）和（x2，0），与y 轴交于点A，点E为抛物线顶点．（Ⅰ）当x1＝﹣1，x2＝3时，求点E，点A的坐标；（Ⅱ）①若顶点E在直线y＝x上时，用含有b的代数式表示c；②在①的前提下，当点A的位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若x1＝﹣1，b＞0，当P（1，0）满足PA+PE值最小时，求b的值．答案部分一、单选题1.B2.D3.C4.A5. B6.B7.D8.B9.D 10.C11. A 12.C 13.C 14.C 15.D二、填空题16.(0,−3)；(12,0)或(−3,0) 17.1018.x 1＝1，x 2＝﹣3 19.0<ab <8116 20.②④三、解答题21.解：∵点 (k,1) 是二次函数 y =3x 2−2x 图象上一点，∴3k 2−2k =1 ，(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8=k 2−2k +1+2k 2−2+8=3k 2−2k +7=8 ．22.解：如图：由题意可得出：y=a （x+6）2+4，将（-12，0）代入得出，0=a （-12+6）2+4，解得： a =−19 ，∴选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是： y =−19(x +6)2+4 ．故答案为： y =−19(x +6)2+4 ．23. 解：（Ⅰ）∵抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）与x 轴交于点（x 1， 0）和（x 2 ，0），与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点（﹣1，0），（3，0）在抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 的图象上，∴ {1−b +c =0−9+3b +c =0 ，解得 {b =2c =3 ，∴y ＝﹣x 2＋2x ＋3＝﹣（x ﹣1）2＋4，∴点A 的坐标为（0，3），点E 的坐标为（1，4）；（Ⅱ）①∵y ＝﹣x 2＋bx ＋c ＝ −(x −b 2)2+b 2+4c 4 ，∴点E 的坐标为（ b 2 ， b 2+4c 4 ），∵顶点E 在直线y ＝x 上，∴ b 2 ＝ b 2+4c 4 ，∴c ＝ 2b−b 24 ；②由①知， c =2b−b 24=−14b 2+12b =−14(b −1)2+14 ，则点A 的坐标为（0， −14(b −1)2+14 ），∴当b ＝1时，此时点A 的位置最高，函数y ＝﹣x 2＋x ＋ 14 ，即在①的前提下，当点A 的位置最高时，抛物线的解析式是 y =−x 2+x +14 ； （Ⅲ）∵x 1＝﹣1，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 过点（x 1 ， 0），∴﹣1﹣b ＋c ＝0，∴c ＝1＋b ，∵点E 的坐标为（ b 2 ，b 2+4c 4 ），点A 的坐标为（0，c ）， ∴E （ b 2 ， (b+2)24 ），A （0，b ＋1），∴点E 关于x 轴的对称点E′（ b 2 ，﹣ (b+2)24 ），设过点A （0，b ＋1）、P （1，0）的直线解析式为y ＝kx ＋t ，{t =b +1k +t =0 ，得 {k =−b −1t =b +1， ∴直线AP 的解析式为y ＝（﹣b ﹣1）x ＋（b ＋1）＝﹣（b ＋1）x ＋（b ＋1）＝（b ＋1）（﹣x ＋1），∵当直线AP 过点E′时，PA ＋PE 值最小，∴﹣ (b+2)24 ＝（b ＋1）（﹣ b 2 ＋1）， 化简得：b 2﹣6b ﹣8＝0，解得：b 1＝ 3+√17 ，b 2＝ 3−√17∵b ＞0，∴b ＝ 3+√17 ，即b 的值是3＋ √17解析部分一、单选题1.B【解析】解：A. y=x2−(x+4)(x+2)=−6x−8，是一次函数，不合题意；B. y=2(x+1)(x−3)=2x2−4x−6，是二次函数，符合题意；C. y=ax2+bx+c，没有说明a≠0，不一定是二次函数，不合题意；D. y=x 4x2，等号右边不是整式，不是二次函数，不合题意．2.D【解析】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（−1，0），排除A、B；当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a<0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；3.C【解析】解：设该抛物线解析式是：y＝a（x-1）2﹣2（a≠0）．把点（0，-5）代入，得a（0-1）2﹣2=-5，解得a=-3．故该抛物线解析式是y=−3(x−1)2−2．4.A【解析】解：∵图象经过点（1，-2），∴a=-2，∴y=-2x2，AB、当x=-1时，y=-2×（-1）2=-2，∴A正确，B错误；C、当x=1时，y=-2×12=-2，错误；D、当x=2时，y=-2×22=-4，错误.5. B【解析】解：抛物线的对称轴x=2，∵|-1-2|=3，|2-2|=0，|3-2|=1，∵0<1<3，∵a=1>0，∴离对称轴越远，值越大，∴y2＜y3＜y1 .6.B【解析】解：当y＝ax2+bx+c（a≠0），当x=0，y=c=0.37 ，∴y=ax 2+bx+0.37，∴y= ax 2+bx+1.37的图象是由y=ax 2+bx+0.37的图象向上移动一个单位得到的， ∴当x=√5时，y=0，∵对称轴x=0+42=2， 设另一根为m ，则m+√52=2 ， 解得m=4-√5 ，综上，方程的根为：√5 ， 4-√5.7.D【解析】解： ∵a +b +c =−12 ， a −b +c =−32 ， ∴ 两式相减得 b =12，两式相加得 c =−1−a ，∴c <0 ，∵a >0 ， b >0 ， c <0 ， ∴abc <0 ，故①正确；∴2a +2b +c =2a +2×12−1−a =a >0 ，故②正确；∵ 当 x =1 时，则 y =a +b +c =−12，当 x =−1 时，则有 y =a −b +c =−32 ，∴ 当 y =0 时，则方程 ax 2+bx +c =0 的两个根一个小于 −1 ，一个根大于1， ∴ 抛物线与 x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线 x =−b 2a =−14a<0 ， ∴ 当 2⩽x ⩽3 时， y 随 x 的增大而增大，∴ 当 x =2 时，有最小值，即为 y =4a +2b +c =4a +1−1−a =3a ，故④正确；联立抛物线 y =ax 2+bx +c 及直线 y =x −c 可得： x −c =ax 2+bx +c ，整理得： ax 2−12x +2c =0 ， ∴ △ =14−8ac >0 ， ∴ 该抛物线与直线 y =x −c 有两个交点，故⑤正确； ∴ 正确的个数有5个；8.B【解析】解：y=-（x 2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2，a=-1＜0，抛物线的开口向下，当x=1时y 最大值=2；当-1≤x ＜1时y 随x 的增大而增大，∴当x=-1时y 最小值=-4+2=-2；当1＜x≤2时y 随x 的增大而减小，∴当x=2时y最小值=-4+2=1；∵-2＜1，∴最小值为-2.9.D【解析】解：设点M为抛物线y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，连接MA、NB，则四边形AMNB的面积和阴影部分的面积相等，∵AB∥MN，AB=MN=2，∴四边形AMNB是平行四边形，∵二次函数y1=（x+1）2-3，∴该函数的顶点M的坐标为（-1，-3），∴点M到x轴的距离为3，∴四边形AMNB的面积是2×3=6，∴阴影部分的面积是6，10.C【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，∴a<0，c>0，−b2a=1，∴b=−2a>0，∴abc<0，故①符合题意；∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），∴当x=2时，y=4a+2b+c>0，抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），故②符合题意；∴{9a+3b+c=0⑤a−b+c=0⑥，∴⑤+⑥得10a+2b+2c=0，即5a+b+c=0，故③符合题意；∴−52b+b+c=0，即c=32b，∵与y轴的交点B在（0，1）和（0，2）之间，∴1<c<2，∴1<32b<2，∴ 23<b <43，故④不符合题意， 11. A【解析】y=（x-5）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（5，3），12.C【解析】解：∵ y =−15x 2−25x −515=−15(x 2+2x)−515=−15(x +1)2−5 ， 即：函数 y =−15x 2−25x −515 可化为： y =−15(x +1)2−5 ∴当 x =−1 时，函数 y =−15x 2−25x −515的最大值是 −5 ， 13.C【解析】解：设y=ax 2+bx+c ，∴{a +b +c =−63a +9b +c =−4c =−4),解得{a =1b =−3c =−4) ，∴y=x 2-3x-4=(x-32)2-254， A 、∵a=1>0，∴图象的张口向上，错误；B 、∵△=b 2-4ac=(-3)2-4×1×(-4)=25>0，∴ 这个函数的图象与x 轴有两个交点，错误；-254<-6，正确； D 、当x>32时， y 的值随x 值的增大而增大，错误. 14.C【解析】解：如图，连接BC ，∵l 2是由抛物线l 1向上平移得到的，∴由抛物线l 1、l 2、直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO 的面积， ∵抛物线l 1的解析式是y=12（x-2） 2-2， ∴抛物线l 1与x 轴分别交于O （0，0）、A （4，0）两点，∴OA=4，∴OA•AB=16，∴AB=4，∴l 2是由抛物线l 1向上平移4个单位得到的，∴l 2的解析式为y=12（x-2）2-2+4，即y=12（x-2）2+2． 15.D【解析】解： ∵ 顶点P 是矩形ABCD 上（包括边界和内部）的一个动点，∴ 当抛物线的顶点 P 与 D 点重合时，顶点坐标为 (1,3) ，则抛物线的解析式为 y =a(x −1)2+3∵ y =a(x −1)2+3 与 x 轴的交点E 在点（－3，0）和（－2，0）之间（包括这两点）， 根据图象可知，当 x =−3 时，函数值不大于0，当 x =−2 时，函数值不小于0，即 {a(−3−1)2+3≤0a(−2−1)2+3≥0解得 −13≤a ≤−316当抛物线的顶点 P 与 B 点重合时，顶点坐标为 (3,2) ，则抛物线的解析式为 y =a(x −3)2+2 ，同理可得，{a(−3−3)2+2≤0a(−2−3)2+2≥0解得 −225≤a ≤−118 ∵ P 可以在矩形内部∴ −13≤a ≤−118二、填空题16.(0,−3)；(12,0)或(−3,0) 【解析】解：令x =0, 则y =−3,所以抛物线与y 轴的交点为(0,−3),令y =0, 则2x 2+5x −3=0,∴(2x −1)(x +3)=0,∴2x −1=0或x +3=0,解得：x 1=12,x 2=−3, 所以抛物线与x 轴的交点坐标为：(12,0),(−3,0). 17.10【解析】解：根据题意，令y =−253， −253=−13x 2 解得：x =±5故水面的宽度为2×5=10米.答：水面的宽度为10米.18.x 1＝1，x 2＝﹣3【解析】解：抛物线的对称轴为：x ＝−2a 2a＝﹣1， 由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（1，0），∴一元二次方程ax 2＋2ax ﹣3＝0的两根为x 1＝1，x 2＝﹣3，19.0<ab <8116【解析】∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，∴此函数的开口向上，开口大小一定，∵抛物线与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），且0＜m ＜n ＜2，∴a ＞0，b ＞0，∴ab ＞0，∵（a−b ）2＝a 2＋b 2−2ab≥0（a ＝b 时取等号），即a 2＋b 2≥2ab （当a ＝b 时取等号），∴当a ＝b 时，ab 才有可能最大，∵二次函数过A （0，b ），B （3，a ）两点，∴当a ＝b 时，点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x ＝ 32 ， ∵抛物线与x 轴交于两点（m ，0），（n ，0），且0＜m ＜n ＜2，∴抛物线的顶点越接近x 轴，ab 的值越大，即当抛物线与x 轴只有一个交点时，是ab 最大值的分界点，当抛物线与x 轴只有一个交点时，此时m ＝n ＝ 32， ∴抛物线的解析式为y ＝（x− 32 ）2＝x 2−3x ＋ 94，∴a＝b＝94，∴ab＜（94）2＝81 16，∴0＜ab＜8116，20.②④【解析】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），∴对称轴为直线x＝−1+32＝1，∴﹣b2a＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵与y轴的交点在正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①不符合题意；∵﹣b2a＝1，∴b+2a＝0，得b＝﹣2a，所以b﹣2a＝﹣2a﹣2a＝﹣4a，∵a＜0，∴﹣4a＞0，故②符合题意；∵点A（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∴c=−3a∵a＜0，8a+c=5a＜0，故③不符合题意；∵顶点的横坐标为1，∴当x＝1时，函数有最大值a+b+c，当n≠1时，a+b+c＞an2+bn+c，∴a+b＞an2+bn＝n（an+b），故④符合题意，综上所述，结论正确的是②④．三、解答题21.解：∵点(k,1)是二次函数y=3x2−2x图象上一点，∴3k2−2k=1，(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8=k 2−2k +1+2k 2−2+8=3k 2−2k +7=8 ．【解析】先将(k,1)代入二次函数y =3x 2−2x ， 可得3k 2−2k =1 ， 再利用整式的混合运算化简(k −1)2+2(k +1)(k −1)+8可得3k 2−2k +7 ， 再将3k 2−2k =1代入计算即可。