一、参考例题
［例1］如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论.
分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即
证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.
(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.
由已知可得到：∠ECF=90°，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.
证明：(1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线.
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF
∵MN∥BC
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD
∴∠ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC
∴OE=OC，OF=OC
∴OE=OF
(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC
又由(1)证得OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
由(1)知：∠ECA+∠ACF=∠ACB+∠ACD= (∠ACB+∠ACD)=90°
即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形.
因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于
O，OF⊥AD于F，OF=3 cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长.
分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出
BE=OF=3 cm，求出BD的长，即AC的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD,OB=OD=OA=OC
又∵BE∶ED=1∶3
∴BE∶BO=1∶2
∴BE=EO
又∵AE⊥BO
∴△ABE≌△ADE
∴AB=OA即AB=AO=OB
∴∠BAE=∠EAO=30°，∠FAO=30°
∴△ABE≌△AOF
∴BE=OF=3 cm,∴BD=12 cm
∴AC=BD=12 cm
二、参考练习
1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.
解：连结BD、BE、DF
由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.
∴BE=ED,BF=FD
∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
∵点B和D重合
∴BO=DO，∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE
∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE
∴四边形BFDE是菱形
S菱形=×BD×EF=BF×CD
∵BF=DF，∴可设BF=DF=x
则FC=8－x
在Rt△FCD中，根据勾股定理得：
x2=(8－x)2+62
x=
∴
EF=7.5
因此，折痕EF的长为7.5 cm.
2.当平行四边形ABCD满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).
答案：∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或
∠BAD+∠BCD= 180°等条件中的任一个即可.
典型例题
例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且
，求：
（1）
的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．
分析 （1）由E为AB的中点，
，可知DE是AB的垂直平分线，从而
，且
，则
是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而
，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知
解 （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴
是AB的中点，且
，∴
∴
是等边三角形，∴
也是等边三角形．
∴
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，
∴
∴
，∴
（3）菱形ABCD的面积
说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，
于
于 F．
求证：
分析 要证明
，可以先证明
，而根据菱形的有关性质不难证明
，从而可以证得本题的结论．
证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴
，且
，∴
，∴
，
，
∴
，
∴
例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，
，
，求
的度数.
解答：连结AC.
∵四边形ABCD为菱形， ∴
，
.
∴
与
为等边三角形.
∴
∵
，
∴
∴
∴
∵
，
∴
为等边三角形.
