2018年全国高中数学联赛A卷试题及参考答案

2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.。

高考数学试卷一、单选题 1.函数21x y x +=-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且 B ．{|21}x x x ≥-≠且 C ．)[(21,1,)-⋃+∞ D ．)((21,1,)-⋃+∞2．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（ ）A ．16B ．13C ．34D ．563.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A.255± B.255 C.55 D.55± 4.已知函数2()2sin cos 33(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值。

5．已知函数1()2f x x x =+-（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围6.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位 7.tan 3π=（ ）A ．33B ．32C ．1D ．38．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件9.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ） A.12 B.6 C.27 D.3010．下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=--C.()()2111x x x +-=-D.()2211x x -=- 11.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（ ）倍。

2018年高三文科数学联赛试题本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}22,|,2M x y x y x y =+=为实数,且，(){},|,2N x y x y x y =+=为实数,且，则M N I 的元素个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（）A ．30B ．31C ．32D ．333．已知双曲线方程为2212015x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．34y x =±B ．43y x =±C ．32y x =±D ．233y x =±4．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线1y x =，1y x=-，y x =，y x =-及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．18C ．π4D ．π85．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233215S S -=，则数列{}n a 的公差为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．66．设α与β均为锐角，且1cos 7α=，53sin()αβ+=，则cos β的值为（）A ．7198B ．12C ．7198或12D ．7198或59987．如果函数()()()()2128122f x m x n x m =-+-+>在区间[]2,1--上单调递减，那么mn 的最大值为（） A ．16B ．18C ．25D ．308．某四棱锥的三视图如图所示，其中正视图是斜边为2等腰直角三角形，侧视图和俯视图均为两个边长为1的正方形，则该四棱锥的高为（）A ．B ．1CD 9．南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =))sin :sin :sin 11A B C =的ABC △，则其面积为（）A ．B C D 10．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，()()1N*nn n b a n =-∈．则数列{}n b 的前50项和为（） A ．49B ．50C ．99D ．10011．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k≠）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B ，当P ，A ，B 不共线时，PAB △面积的最大值是（）A ．BCD 12．已知不等式12x m x -<-在[]0,2上恒成立，且函数()e x f x mx =-在()3,+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为（） A ．()(),25,-∞+∞U B ．()(3,15e ⎤-∞⎦U ， C ．()(2,25,e ⎤-∞⎦UD ．()(3,25,e ⎤-∞⎦U第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进 而 可 得 U2,2 ， S 4,1 ， 代 入 椭 圆 方 程 解 得 ： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ， 从 而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线 于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上， 满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。

2018年湖南省高中数学联赛（A ）卷试题参考答案与评分细则一、填空题(本题满分70分，每小题7分)1.已知},,{321a a a B A = ，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对，则这样的),(B A 对的个数有____________个．解:由集合B A ,都是B A 的子集，B A ≠且},,{321a a a B A = ．当φ=A 时，B 有1种取法；当A 为一元集时，B 有2种取法；当A 为二元集时，B 有4种取法；当A 为三元集时，B 有7种取法．故不同的),(B A 对有26743231=+⨯+⨯+(个)．2.32ax >+的解集是(4，b )，则实数a =，b =．解：方法一：设2,则,且t x t t ==∈，则不等式2302at t -+<的解集为（，所以2，是方程2302at t -+=的两根，即12,32,2a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得18a =，b =36．方法二：设1232y y ax ==+，由不等式32ax >+的解集是(4，b )，可得两函数1232y y ax ==+在同一坐标系中的图象．设两函数图象的交点为A ，B，则(4,2),(A B b ，所以3242a =+32ab =+．解得18a =，b =36．3.从-3，-2，-1，0，1，2，3，4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的系数，若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个?解：可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查．∵图象过坐标原点，∴c =0．∴二次函数可写成f (x )=ax 2+bx 的形式．又∵f (x )=a (x +a b 2)2-a b 42，∴其顶点坐标是(-a b 2，a b 42)．若顶点在第一象限，则有-a b 2>0，-ab 42>0．故a <0，b >0．因此，这样的二次函数有A 13·A 14=12个．若顶点在第三象限，则有-a b 2<0，-ab 42<0．故a >0,b >0．这样的二次函数有A 24=12个．由加法原理知，满足条件的二次函数共有A 13·A 14+A 24=24个．4.已知n 为正整数，若16610322-+-+n n n n 是一个既约分数，那么这个分数的值等于．解：)2)(8()2)(5(16610322-+-+=-+-+n n n n n n n n ，而当n -2=±1时，若(n +8，n +5)=(n +5，3)=1，则16610322-+-+n n n n 是一个既约分数，故当n =3时，该分数是既约分数．∴这个分数为118．5.函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________．解3sin ,[0,]()sin ,(,2]x x f x x x πππ∈⎧=⎨-∈⎩，作出其图像，可知有两个交点时的k 的范围为31<<k ．6.设实数a ，b 满足不等式|||||)(|||b a a b a a +-<+-，则a ，b 的正、负符号分别为___________.解：由已知得⇒+-<+-22|)|()](|[|b a a b a a ).(||||.)(||2)().(||22222b a a b a a b a b a a a b a b a a a +<+⇒+++-<+++-，由于x x ≥||，因此立得).(||||).(0b a a b a a a +<+--⇒<，约去-a 得ba b a +<+-||00>->⇒>+∴a b b a ，a 为负数且b 为正数．7.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为CC 1中点，异面直线EF 与AC 1所成角的余弦值是___________.解：设正方体棱长为1，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则E (1，12，0)，F (0，1，12），A (1，0，1)，C 1(0，1，1)EF →＝(-1，12，12)，AC →1＝(-1，1，1)，∴cosθ＝11||||EF AC EF AC＝223．8.四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个零点中有两个零点的积为-32，则实数k=．解:设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234,,,.x x x x 则由韦达定理，得1234121314232434123124134234123418,,200, 1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩设123432,62,x x x x =-=则故123462()32()200.x x x x +-+=-又121234344,18,14.x x x x x x x x +=⎧+++=∴⎨+=⎩故12341234()()86.k x x x x x x x x =++++=9.(|x |＋||1x －2)3的展开式中的常数项为．解：.)||1||()2||1|(|63x x x x -=-+∴.20)||1()||()1(333634-=-=x x C T 10.在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是．解：设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高为2Rcosα，则全面积为2222222(sin )2sin 2cos 2(sin sin 2)(1cos22sin 2)(1))(1R R R R R R R παπααπααπααπαϕπ+⨯=+=-+=+-≤+其中1tan 2ϕ=，等号成立的条件是22παϕ=+，故最大值为2(1R π+.二、解答题(本题满分80分，每小题20分)11.已知抛物线C 1的顶点(2-1，1)，焦点(2-34，1)，另一抛物线C 2的方程y 2-ay +x +2b ＝0，C 1与C 2在一个交点处它们的切线互相垂直，试证C 2必过定点，并求该点的坐标．解:C 1的p ＝12，方程(y -1)2＝x -(2-1)，即y 2-2y -x +2＝0．设交点为(x 0，y 0)，则C 1的切线方程为y 0y -(y +y 0)-12(x +x 0)+2＝0.，即2(y 0-1)y -x -2y 0-x 0+22＝0．同理可得，C 2的切线方程为y 0y -12a (y 0+y )+12(x +x 0)+2b ＝0，即(2y 0-a )y +x -ay 0+x 0+4b ＝0．.....................................................5分由题意知二者垂直，从而可得1(-1)+2(y 0-1)(2y 0-a )＝0，整理得4y 02-2(a +2)y 0+2a -1＝0．①由y 02-2y 0-x 0+2＝0和y 02-ay 0+x 0+2b ＝0，相加得：2y 02-(a +2)y 0+2b +2＝0，②①-②×2得：2a -1-4b -22＝0，可得4b ＝2a -1-22．③.................................................10分代入C 2方程整理即可得：2y 2-2ay +2x +2a -1-22＝0，即2y 2+2x -22-1-2a (y -1)＝0，.................................................15分取方程组⎩⎨⎧=-=--+010122222y x y ，解得(2-12，1)．即对任何满足③的a 、b ，点(2-12，1)在曲线C 2上，即C 2过定点，该定点的坐标为(2-12,1)．.............................................................20分12.如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC=MD .分别过点C 、D 作边BC 、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P .过点P 作PQ ⊥AB 于Q .求证:∠PQC =∠PQD .证明：如图，联结PA 、PB ，分别取PA 、PB 的中点E 、F ，联结EM 、ED 、FM 、FC .则四边形PEMF 为平行四边形..................................................5分从而，∠PEM =∠PFM.由ME=21BP=CF,MF=21AP=DE,MD=MC 所以，△DEM ≌△MFC ..................................................10分即，∠DEM =∠MFC.所以，∠PED =∠DEM-∠PEM=∠MFC-∠PFM=∠PFC.又，∠PED =2∠PAD,∠PFC =2∠PBC,得∠PAD=∠PBC.由于∠PQA=∠PDA=90o ,∠PQB=∠PCB=90o ,则P 、Q 、A 、D 和P 、Q 、B 、C 分别四点共圆..................................................15分故∠PQD=∠PAD ，∠PQC=∠PBC,所以，∠PQC=∠PQD..................................................20分{}2221212122221*221221(121)2(13)13213132********k k k k k k k k k mn m mm m m k k S k S S a k k S m a S S L L N S m L m ------+--+-+---+--+=∈-+-+ ＝．＝＝＝假设存在正整数，使得恰好为数列中的一项，又由（）知，数列中的每一项都为正数，故可设（），则＝，变形得到(3-L )3m -1=(L -1)(m 2-1)①．.................................................15分∵m ≥1，L ≥1，3m -1＞0，∴L ≤3．又L ∈N *，故L 可能取1，2，3．当L =1时，(3-L )3m -1＞0，(L -1)(m 2-1)=0，∴①不成立；当L =2时，(3-2)3m -1=(2-1)(m 2-1)，即3m -1=m 2-1．若m =1，3m -1≠m 2-1，21222221121(*2)3172()(1)11223222322033333m m m m m m m m m T m N m m m m m m m T T -+--∈≥-+++---++-+⨯+--=≤<令＝，，则=．因此，1=T 2＞T 3＞…，故只有T 2=1，此时m =2，L =2=a 2．当L =3时，(3-3)3m -1=(3-1)(m 2-1)．∴m =1，L =3=a 3．。

2018年全国高中数学联赛湖南省预赛A 卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.已知12a 3}，当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_____个.2.若不等式√x >ax +32(4,b)的解集是（4，b ），则实数a=_____，b=_____. 3.从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个. 4.已知n 为正整数，若n 2+3n−10n 2+6n−16是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.5.函数f(x)=sinx +2|sinx|，x ∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____. 6.设实数a 、b 满足不等式||a|−(a +b)|<|a −|a +b||，则a 、b 的正、负符号分别为_____. 7.正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为CC 1的中点.异面直线EF 与AC 1所成角的余弦值是_____.8.四次多项式x 4−18x 3+kx 2+200x −1984的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____.9.(|x|+1|x|−2)3的展开式中常数项为_____.10.在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.二、解答题11.已知抛物线C 1的顶点(√2−1,1)，焦点(√2−34,1)，另一抛物线C 2的方程为y 2−ay +x +2b =0，C 1与C 2在一个交点处它们的切线互相垂直.试证C 2必过定点，并求该点的坐标.12.如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作PQ⊥AB与Q.求证：∠PQC=∠PQD.13.已知二次函数f(x)=x2−16x+p+3.（1）若函数在区间[−1,1]上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数q(q≥0)，使得当x∈[q,10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−q.（注：区间[a,b](a<b)的长度为b−a）.14.已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{a n}前n项和为S n，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4.（1）求数列{a n}的通项公式：（2）若a m+a m+1=a m+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得S2mS2m−1恰好为数列{a n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由.参考答案1.27【解析】1.由集合A 、B 都是A ∪B 的子集，A ≠B 且A ∪B =(a 1,a 2,a 3).当A=∅时，B 有1种取法；当A 为一元集时，B 有2种取法； 当A 为二元集时，B 有4种取法； 当A 为三元集时，B 有8种取法.故不同的（A ，B ）对有1+3×2+3×4+8=27（个）.故答案为：27 2.18 36【解析】2.解法一： 设√x =t ，则x=t 2，且t ∈(2,√b)，则不等式at 2−t +32<0的解集为(2,√b)，所以2、√b 是方程at 2−t +32=0的两根，即{ 2+√b =1a ,2·√b =32a. 解得a=18，b=36.解法二： 设y 1=√x ，y 2=ax +32，由不等式√x >ax +32的解集是（4，b ），可得两函数y 1=√x ，y 2=ax +32在同一坐标系中的图象. 设两函数图象的交点为A 、B ，则A(4,2)、B(b,√b)，所以2=4a +32，√b =ab +32. 解得a=18，b=36.故答案为：(1). 18 (2). 36 3.24【解析】3.可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成f(x)=a 2+bx 的形式. 又f(x)=a(x +b 2a)2−b 24a，所以其顶点坐标是(−b2a ,b 24a).若顶点在第一象限，则有b2a>0，−b 24a>0.故a <0，b >0.因此，这样的二次函数有A 31⋅A 41=12个.若顶点在第三象限，则有−b 2a<0，−b 24a<0.故a >0，b >0.这样的二次函数有A 42=12个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有A 31⋅A 41+A 42=24个.故答案为：24 4.811【解析】4.因为n 2+3n−10n 2−6n−16=(n+5)(n−2)(n+8)(n−2)，当n −2=±1时，若(n +8,n +5)=(n +5,3)=1，则n 2+3n−10n 2−6n−16是一个既约分数，故当n =3时，该分数是既约分数.所以这个分数为811. 故答案为：8115.1<k <3【解析】5.f(x)={3sinx,x ∈[0,π].−sinx,x ∈[π,2π].作出其图像，可只有两个交点时k 的范围为1<k <3.故答案为：1<k <36.a 负,b 正【解析】6. 由已知得[|a|−(a +b)]2<(a −|a +b|)2⇒a 2−2|a|⋅(a +b)+(a +b)2<a 2−2a|a +b|+(a +b)2⇒a 2⋅|a +b|<|a|⋅(a +b).由于|x|≥x ，因此得a <0⇒−(−a)⋅|a +b|<[|a|⋅(a +b)，约去−a 的−|a +b|<a +b .所以a+b >0⇒b >−a >0，a 为负数且b 为正数.故答案为：a 负,b 正 7.2√23【解析】7.设正方体棱长为1，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则E(1,12,0),F(0,1,12),A(1,0,1),C 1(0,1,1).故有EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,12,12),AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−1,1,1). 所以cosθ=EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |EF |·|AC 1|=2√23.故答案为：2√23 8.86【解析】8.设多项式x 4−18x 3+kx 2+200x −1984的四个根为x 1、x 2、x 3、x 4，则由韦达定理，得{x 1+x 2+x 3+x 4=18,x1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4=k,x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+x 1x 3x 4+x 2x 3x 4=−200,x 1x 2x 3x 4=−1984. 设x 1x 2=−32，则x 3x 4=62，故62(x 1+x 2)−32(x 3+x 4)=−200.又x 1+x 2+x 3+x 4=18，所以{x 1+x 2=4,x 3+x 4=14,故k=x 1x 2+x 3x 4+(x 1+x 2)(x 3+x 4)=86.故答案为：86 9.-20【解析】9.因为(|x|+1|x|−2)3=(√|x|−√|x|)6.所以T 4=(−1)3C 63(√|x|)3(√|x|)3=−20.故答案为：-2010.πR2(1+√5)【解析】10.设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高位2Rcosα，那么全面积为2π(Rsinα)2+2πRsinα×2Rcosα=2πR2(sin2α+sin2α)=πR2(1−cos2α+2sin2α) =πR2[1+√5sin(2α−φ)]≤πR2(1+√5).其中tanφ=12，等号成立的条件是2α=φ+π2.故最大值为πR2(1+√5).故答案为：πR2(1+√5)11.C2过定点，该定点的坐标为(√2−12,1).【解析】11.C1中的p=12，方程(y−1)2=x(√2−1)，即y2−2y−x+√2=0.设交点为(x0,y0)，则C1的切线方程为y0−(y+y0)−12(x+x0)+√2=0，即2(y0−1)y−x−2y0−x0+2√2=0.同理可得，C2的切线方程为y 0y−12a(y+y)+12(x+x0)−2b=0，即(2y0−a)y+x−ay0+x0+4b=0.由题意知二者垂直，从而可得1×(−1)+2(y0−1)(2y0−a)=0，整理得4y02−2(a+2)y0+2a−1=0.①由y02−2y0−x0+√2=0和y02−ay0+x0+2b=0，相加得2y02−(a+2)y0+2b+√2=0，②①-②×2得2a-1-4b-2√2=0，可得4b=2a−1−2√2. ③代入C2得方程整理即可得2y2−2ay+2x+2a−1−2√2=0，即2y2+2x−2√2−1−2a(y−1)=0，由方程组{2y2+2x−2√2−1=0,y−1=0.解得(√2−12,1).即对任何满足③的a、b，点(√2−12,1)在曲线C2上，即C2过定点，该定点的坐标为(√2−12,1).12.见解析【解析】12.如图，连结PA、PB，分别取PA、PB的中点E、F，连结EM、ED、FM、FC，则四边形PEMF为平行四边形，从而∠PEM=∠PFM.由ME=12BP=CF，MF=12AP=DE，MD=MC，所以△DEM≌△MFC，即∠DEM=∠MFC，所以∠PED=∠DEM-∠PEM=∠ MFC-∠PFM=∠PFM.又∠PED=2∠PAD, ∠PFC=2∠PBC,得∠PAD=∠PBC.由于∠PQA=∠PDA=90°，∠POB=∠PCB=90°，则P、Q、A、D和P、Q、B、C分别四点共圆.故∠PQD=∠PAD, ∠PQC=∠PBC,所以∠PQC=∠PQD.13.（1）–20≤p≤12；（2）存在常数q= 8或q= 9，当x∈[q，10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12–q．【解析】13.（1）利用零点存在性定理列出关于q的不等式，然后再利用不等式知识求解即可；（2）先利用单调性求出函数的值域，再利用区间长度列出关于q的方程，求解即可。

最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。

（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。

（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。

（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。

（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。

8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。