2018年高考一轮人教版A数学理科 第7章 第1节 课时分层训练38

[知识重温] 一、必记 2●个知识点 1．空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平 表示空间向量的有向线段所在的直线互相① __________ 行向量) 平行或重合 共面向量 平行于②同一平面 ________的向量 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ 共线向量定理 a＝λb ∈R，使③________ 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面向量定理 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝④ x a＋yb ________
[小题热身] 1．在下列命题中： ①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； ②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不 共面； ③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面； ④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向 量 p 总存在实数 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
二、必明 3●个易误点 1． 共线向量定理中 a∥b⇔存在 λ∈R， 使 a＝λb 易忽视 b≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． 3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量， 不要误为是共面向量．
2.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： (ⅰ)a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ； (ⅱ)a⊥b＝⑥________( a· b＝0 a，b 为非零向量)； (ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝ x2＋y2＋z2.
(2)向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量和 a＋b＝⑦________________________ 向量差 a－b＝⑧________________________ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a· b＝⑨________________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 a________0) 1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 垂直 a⊥b⇔⑪__________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 夹角公式 cos〈a，b〉＝⑫________________________ 2 2 2 2 2 a2 1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3

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(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac > bc； a>b，c<0⇒ac < bc； a>b>0，c>d>0⇒ac > bd；(单向性) (5)乘方法则：a>b>0⇒an > bn(n≥2，n∈N)；(单向性) n > (6)开方法则：a>b>0⇒ a b(n≥2，n∈N)；(单向性) 1 1 (7)倒数性质：设 ab>0，则 a<b⇔a>b.(双向性) n
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ①a>b，c<d⇒a－c>b－d； ②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd； ③a>b>0⇒ a> b； 1 1 ④a>b>0⇒a2>b2. A．①② C．①④ B.②③ D.①③ 3 3 )
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D
[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知
C．2a>2b
C [取 a＝－1，b＝－2，排除 A，B，D.故选 C.]
4．(2015· 广东高考)不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________________．(用区 间表示) (－4,1) [由－x2－3x＋4>0 得 x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，所以不等式－x2
－3x＋4>0 的解集为(－4,1)．]
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第一节
[考纲传真]
不等式的性质与一元二次不等式
1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等
式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函 数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元 二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

课时跟踪检测(三)1．已知命题p ：∀x >0，x 3>0，那么綈p 是( ) A ．∃x 0≤0，x 30≤0 B ．∀x >0，x 3≤0 C ．∃x 0>0，x 30≤0 D ．∀x <0，x 3≤0答案：C解析：全称命题的否定为特称命题，所以应将“∀”改成“∃”，结论中的“>”改成“≤”．2．已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x＞1，则綈p 为( ) A ．∃x 0 ≤0，使得(x 0＋1)e x0≤1 B ．∃x 0 ＞0，使得(x 0＋1)e x0≤1 C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x≤1 D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x≤1 答案：B解析：命题p 为全称命题，所以綈p ：∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x0≤1.3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x 0∈R ，x 30＝1－x 20，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )答案：B解析：当x ＝－1时，12>13，故p 为假命题．由于x 3在第一象限是增函数，1－x 2在第一象限是减函数，故有一个交点，所以命题q 为真命题．4．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案：A解析：A 真；由x 2＋x ＝－1无解，所以x 20＋x 0＝－1不成立，B 假；由x 2－x ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≥0，C 假；x 20＋2x 0＋2＝(x 0＋1)2＋1>0，D 假．5．如果命题“p ∧q ”是假命题，綈p 也是假命题，则( )A ．命题“(綈p )∨q ”是假命题B ．命题“p ∨q ”是假命题C ．命题“(綈p )∧q ”是真命题D ．命题“p ∧(綈q )”是假命题 答案：A解析：由“綈p ”是假命题可得p 为真命题．因为“p ∧q ”是假命题，所以q 为假命题．所以命题“(綈p )∨q ”是假命题，即A 正确；“p ∨q ”是真命题，即B 错误；“(綈p )∧q ”是假命题，C 错误；“p ∧(綈q )”是真命题，即D 错误．6．已知命题p ：函数y ＝ax ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q ：已知平面α∥平面β，则“直线m ∥α”是“直线m ∥β”的充要条件．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )答案：D解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y ＝a x ＋1＋1是由y ＝a x先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到．所以函数y ＝ax ＋1＋1恒过点(－1,2)，故命题p 为真命题；命题q ：m与β的位置关系也可能是m ⊂β，故q 是假命题．所以“p ∧(綈q )”为真命题．7．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ． B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪∪∪1．给定命题p ：函数y ＝ln 为偶函数；命题q ：函数y ＝e x－1e x ＋1为偶函数．下列说法正确的是( )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案：B解析：对于命题p ：令y ＝f (x )＝ln ，由(1－x )(1＋x )＞0，得－1＜x ＜1， ∴函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 又∵f (－x )＝ln ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，∴命题p 为真命题；对于命题q ：令y ＝f (x )＝e x－1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝e －x－1e －x＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数，∴命题q 为假命题， ∴(綈p )∧q 是假命题，故选B. 2．下列说法中，正确的是( )A ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin βB ．命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＝0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＜0C ．在△ABC 中，“AB →·AC →＞0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件 D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”成立的充分不必要条件 答案：C解析：A 中，当β＝0时，显然有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故A 项错误； B 中，綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ≠0，故B 项错误；C 中，由△ABC 为锐角三角形，显然能得到AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＞0，但当AB →·AC →＞0时只能说明A 是锐角，无法说明B ，C 是否为锐角，故“AB →·AC →＞0”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件；D 中，“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故D 项错误． 3．下列说法错误的是( )A ．命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是：“若a ≠0，则ab ≠0”B ．如果命题“綈p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题C ．若命题：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1＜0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0 D ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的充分不必要条件答案：D解析：否命题是条件和结论都否定，故A 正确；“綈p ”是真命题，说明p 是假命题，“p ∨q ”是真命题，说明p ，q 至少有一个为真命题，又p 是假命题，故命题q 一定是真命题，即B 正确；特称命题的否定是全称命题，C 正确；“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件，D 不正确．故选D.4．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．C ．(－∞，－2]∪答案：A解析：依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0； 当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2， 即m ≥2.5.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0.q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且“p ∧q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若“綈p ”是“綈q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由x 2－4ax ＋3a 2＜0，a ＞0，得a ＜x ＜3a ， 即p 为真命题时，a ＜x ＜3a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x >2或x <－4，即2＜x ≤3，即q 为真命题时，2＜x ≤3. (1)当a ＝1时，p ：1<x <3.由“p ∧q ”为真知p ，q 均为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3，得2＜x ＜3，所以实数x 的取值范围为(2,3)．(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2＜x ≤3}， 由题意，知p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，有⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，所以1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]．6．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解：根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}， 对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立． 当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝－2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥12. 由题意可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <12＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a <12； 当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥12 ＝{a |a ≥1}． 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．。

真题演练集训
．若变量，满足(\\(＋≤，－≤，≥，))则＋的最大值是( )
．
．
．
．
答案：解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
设(，)为平面区域内任意一点，则＋表示.显然，当点与点重合时，＋取得最大值，
由(\\(＋＝，－＝，))
解得(\\(＝，＝－，))故(，－)．所以＋的最大值为＋(－)＝.故选.
．若，满足(\\(－≤，＋≤，≥，))则＋的最大值为( )
．
．
．
．
答案：解析：不等式组(\\(－≤，＋≤，≥))表示的可行域如图中阴影部分所示，
由(\\(－＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝，))故当目标函数＝＋经过点()时，取得
最大值，＝×＋＝.故选.．某企业生产甲、乙两种产品均需用，两种原料，已知生产吨每种产品所需原料及每天原
料的可用限额如表所示．如果生产吨甲、乙产品可获利润分别为万元、万元，则该企业每天可
获得最大利润为( )
万元
．万元．万元
答案：
解析：
设每天生产甲、乙产品分别为吨、吨，每天所获利润为万元，则有
(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))目标函数为＝＋，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形可知，当直线＝＋经过点()时，取最大值，最大值为×＋×＝(万元)．．不等式组(\\(＋≥，－≤))的解集记为，有下面四个命题：
：∀(，)∈，＋≥－；
：∃(，)∈，＋≥；
：∀(，)∈，＋≤；
：∃(，)∈，＋≤－.
其中的真命题是( )
．，．，
．，．，
答案：
解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．。