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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）∠BPQ=30°；
（2）该电线杆PQ的高度约为9m．
【解析】
试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=
3
3
PE=
3
3
x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则3
，
解得：3
则BE=（33+3）米．
在直角△BEQ中，
QE=
3
3
BE=
3
3
（33+3）=（3+3）米．
∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．
（1）求证：△MED∽△BCA；
（2）求证：△AMD≌△CMD；
（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S 2，当S2=17
5
S1时，求cos∠ABC的
值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 .
【解析】
【分析】
（1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD；
（3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以
2
1
1
4
ACB
S MD
S AB
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，所以
S△MCB=1
2
S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=
2
5
S1，由于1
EBD
S ME
S EB
=，从而可
知
5
2
ME
EB
=，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC=
7
2
，最后根据锐角三角函数的
定义即可求出答案．【详解】
（1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，
∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；
（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ， ∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，
∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，
MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，
由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴
2
114
ACB S MD S
AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =
1
2
S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=2
5
S 1， ∵
1EBD
S ME
S
EB
=
， ∴1125
S ME
EB S =
，
∴
5
2
ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ， ∵
1
2
MD ME AB BC ==，
∴BC=10x ， ∴cos ∠ABC=105
147
BC x AB x ==. 【点睛】
本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.
3．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以
为顶点作菱形
，使点
在第一象限内，且
；以
为圆心，
为
半径作圆．设点运动了秒，求： （1）点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当点在运动过程中，所有使
与菱形
的边所在直线相切的的
值．
【答案】解：（1）过作
轴于，
，
， ，
，
点的坐标为．
（2）①当
与
相切时（如图1），切点为，此时
，
，，
．
