2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷Ⅰ) (2)
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
数学(全国卷Ⅰ,文)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(2019全国Ⅰ,文1)设z=3-i1+2i,则|z|=( )
A.2 B.√3 C.√2 D.1
解析∵z=3-i1+2i,
∴z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15−75i,
∴|z|=√(15)2+(-75)2=√2.
故选C.
答案C
2.(2019全国Ⅰ,文2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=( )
A.{1,6} B.{1,7}
C.{6,7} D.{1,6,7}
解析由已知得∁UA={1,6,7},
∴B∩∁UA={6,7}.
故选C.
答案C
3.(2019全国Ⅰ,文3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( )
A.a
C.c
解析因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,
又0<0.20.3<0.20<1,即c∈(0,1),
所以a
答案B
4.
(2019全国Ⅰ,文4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
解析设人体脖子下端至肚脐长为x cm,
则26𝑥≈√5-12,得x≈42.07,
又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B.
答案B
5.(2019全国Ⅰ,文5)函数f(x)=sin𝑥+𝑥cos𝑥+𝑥2在[-π,π]的图像大致为( )
解析由f(-x)=-f(x),得f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,排除A.
又f(π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f(π)=π-1+π2>0,排除B,C.故选D.
答案D
6.(2019全国Ⅰ,文6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )
A.8号学生 B.200号学生
C.616号学生 D.815号学生
解析由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到, 则第一组应为6号学生,
所以每组抽取的学生号构成等差数列{an},
所以an=10n-4,n∈N*,
若10n-4=8,则n=1.2,不合题意;
若10n-4=200,则n=20.4,不合题意;
若10n-4=616,则n=62,符合题意;
若10n-4=815,则n=81.9,不合题意.
故选C.
答案C
7.(2019全国Ⅰ,文7)tan 255°=( )
A.-2-√3 B.-2+√3
C.2-√3 D.2+√3
解析tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+√331-√33=2+√3.
答案D
8.(2019全国Ⅰ,文8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
解析因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.
设a与b的夹角为θ,
则cos θ=𝑎·𝑏|𝑎|·|𝑏|=|𝑏|22|𝑏|2=12,
所以a与b的夹角为π3,故选B.
答案B
9.
(2019全国Ⅰ,文9)右图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入( )
A.A=12+𝐴 B.A=2+1𝐴
C.A=11+2𝐴
D.A=1+12𝐴
解析执行第1次,A=12,k=1≤2,是,第一次应该计算A=12+12=12+𝐴,k=k+1=2;执行第2次,k=2≤2,是,第二次应该计算A=12+12+12=12+𝐴,k=k+1=3;执行第3次,k=3≤2,否,输出,故循环体为A=12+𝐴,故选A.
答案A
10.(2019全国Ⅰ,文10)双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为( )
A.2sin 40° B.2cos 40°
C.1sin50°
D.1cos50°
解析由已知可得-𝑏𝑎=tan 130°=-tan 50°,
则e=𝑐𝑎=√1+(𝑏𝑎)2=√1+tan250°
=√1+sin250°cos250°=√sin250°+cos250°cos250°=1cos50°.
故选D.
答案D
11.(2019全国Ⅰ,文11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则𝑏𝑐=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
解析由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2,
由余弦定理的推论,得-14=cos A=𝑏2+𝑐2-𝑎22𝑏𝑐,
∴𝑐2-4𝑐22𝑏𝑐=-14,∴-3𝑐2𝑏=-14,
∴𝑏𝑐=32×4=6,故选A.
答案A 12.(2019全国Ⅰ,文12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.𝑥22+y2=1 B.𝑥23+𝑦22=1
C.𝑥24+𝑦23=1 D.𝑥25+𝑦24=1
解析如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m.
由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m.
又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n.
由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|,
得{𝑚-𝑛=2𝑛,𝑚+𝑛=2𝑎,解得{𝑚=3𝑎2,𝑛=𝑎2.
∴|AF1|=a,|AF2|=a.
∴点A为(0,-b).
∴𝑘𝐴𝐹2=𝑏1=b.
过点B作x轴的垂线,垂足为点P.
由题意可知△OAF2∽△PBF2.
又|AF2|=2|F2B|,
∴|OF2|=2|F2P|.
∴|F2P|=12.
又𝑘𝐴𝐹2=|𝐵𝑃||𝐹2𝑃|=|𝐵𝑃|12=b,
∴|BP|=12b.∴点B(32,12𝑏).
把点B坐标代入椭圆方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1中,得a2=3.
又c=1,故b2=2.
所以椭圆方程为𝑥23+𝑦22=1.
答案B 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(2019全国Ⅰ,文13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .
解析由题意可知y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex
=3(x2+3x+1)ex,
∴k=y'|x=0=3.
∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
答案y=3x
14.(2019全国Ⅰ,文14)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=
.
解析设等比数列{an}的公比为q.
S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,
即q2+q+14=0.
解得q=-12.
故S4=𝑎1(1-𝑞4)1-𝑞=1-(-12)41+12=58.
答案58
15.(2019全国Ⅰ,文15)函数f(x)=sin(2𝑥+3π2)-3cos x的最小值为 .
解析f(x)=sin(2𝑥+3π2)-3cos x
=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1
=-2(cos𝑥+34)2+178.
∵-1≤cos x≤1,
∴当cos x=1时,f(x)min=-4.
故函数f(x)的最小值是-4.
答案-4
16.(2019全国Ⅰ,文16)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为√3,那么P到平面ABC的距离为 .
解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,
∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,
∴CD⊥OD.
∵PD=PE=√3,PC=2,
∴sin∠PCE=sin∠PCD=√32,
∴∠PCB=∠PCA=60°.
∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,
∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=√2.
又PC=2,∴PO=√4-2=√2.
答案√2
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
(2019全国Ⅰ,文17)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?
附:K2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑).
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
