数值分析复习资料
一、重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法
1）二分法的基本原理，误差：~12kbax
2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c
3）单点迭代收敛定理：
定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；
定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，
②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有
则对任意初值0,xab迭代收敛，且：
110111iiiiixxxllxxxl
定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；
定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）
4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛
5）Newton迭代法收敛定理：
设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：
①：()()0fafb；
②：'()0,,fxxab；
③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；
则Newton迭代法收敛于根。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx
收敛阶：152P
7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改
①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）
②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。
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华东交通大学博士研究生初试科目考试大纲
科目代码：2006
科目名称：数值分析
一、考试要求
掌握数值分析领域的基本概念, 理论及其在工程中的应用。考试要求掌握线性方程组的数值解法，非线性方程数值解法，插值法，函数的最佳平方逼近和数值积分等基本内容。
二、考试内容
（一）误差的来源与分类，误差估计以及数值稳定性概念。
（二）函数的插值方法：拉格朗日插值，均差与牛顿插值，差分与等距节点插值，埃尔米特插值，分段插值和三次样条插值。
（三）函数逼近与快速傅里叶变换：函数逼近的基本概念，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法，有理逼近，三角多项式逼近与快速傅里叶变换。
（四）数值积分和数值微分：数值积分的基本思想，插值型的求积公式，牛顿-柯特斯公式，复合求积公式，龙贝格求积公式，高斯求积公式，数值微分的中点方法，插值型的求导公式和数值微分的外推算法。
（五）解线性方程组的直接方法：矩阵的特征值与谱半径，高斯消去法，矩阵三角分解法，向量和矩阵的范数。
（六）解线性方程组的迭代法：迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法和共轭梯度法。
（七）非线性方程与方程组的数值解法：二分法，不动点迭代法及其收敛性，牛顿法，弦截法与抛物线法，多变量方程的不动点迭代法和非线性方程组的牛顿迭代法。
（八）矩阵特征值计算：特征值性质与估计，幂法及反幂法，QR方法。
（九）常微分方程初值问题数值解法：欧拉法与后退欧拉法，梯形方法，龙格-库塔方法和线性多步法。
三、题型结构
满分100分。其中，简答（10分），分析计算题（70分），证明题（20分）。
四、参考书目
1. 李庆扬 王能超 易大义，数值分析(第5版)，清华大学出版社 2008。
2. 封建湖 车刚明 聂玉峰，数值分析原理，科学出版社 2001。
3. 颜庆津，数值分析(第三版)，北京航空航天大学，2006年。
数值分析例题和知识点总结
数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析
误差是数值分析中一个非常重要的概念。误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜x
x^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法 插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、 拉格朗日插值
已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)， （x_1, y_1)， ＼cdots, （x_n,
y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：
＄L_n(x) ＝ ＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄
其中，＄l_i(x) ＝ ＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄
例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄
＄l_0(x) ＝ ＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝ ＝ ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄
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数值分析知识点总结
说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。
一、第1章 数值分析与科学计算引论
1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？
相对误差限：**rre的一个上界。
有效数字：如果近似值*x的误差限是某一位的半个单位，该位到*x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。即x*=±10m×(a1+a2×10-1+…+an×10-(n-1))，其中a1≠0，并且*11102mnxx。其中m位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m值为0，n值为3，绝对误差限*211102。
2. 一个比较好用的公式：
f(x)的误差限：***()'()()fxfxx
例题：
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二、第2章 插值法
例题：
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5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？
6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？
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7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？
8. 三弯矩法：
为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：
对于第一种边界条件，可导出两个方程：
6 ，那么写成矩阵形式：
公式 1
对于第二种边界条件，直接得端点方程：
，则在这个条件下也可以写成如上公式 1的形式。
对于第三种边界条件，可得：
也可以写成如下矩阵形式：
公式 2
求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章）
例题：数值分析 第5版 清华大学出版社 第44页例7
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三、第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
3. 什么是[a,b]上带权()x的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？
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4. 什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
5. 用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?
