级数的柯西收敛准则

柯西收敛准则证明闭区间套定理
所谓柯西收敛准则，即恒等于所有的级数的极限的准则。

它的概念源于18世纪法国数学
家柯西，他认为一个可缩小到零的毛细心序列序列的限制会与该级数的极限相等。

也就是说，柯西收敛准则概述准则的核心思想是：给定一个级数的极限，若该级数的任意个序列都等于该极限，那么该级数即称为收敛级数。

所以，可以用柯西收敛准则证明闭区间套定理，即若任意收敛序列在闭区间上有限界，那么该序列必定收敛，并且收敛的值正好等于闭区间的上界和下界的极限，即极限值所在的位置也就是该序列的收敛点。

假设有一个收敛序列，在闭区间[a, b]上有限界，那么可以假定这个序列可以由一系列a_n，b_n序列组成，其中a_n有可能以某种方式逼近a，而b_n以某种方式逼近b。

而柯西收敛原理告诉我们，任意一个收敛序列必然可以收敛于一个极限。

那么，当两个序列a_n，b_n 都逼近极限时，由柯西收敛原理有：收敛序列的极限必定等于a和b，即闭区间的上界和
下界的极限，也就是所谓的闭区间套定理。

总而言之，由柯西收敛原理可以证明闭区间套定理，也就是任意收敛序列在闭区间上的极限值只能等于该闭区间的上界和下界的极限值。

这就是所谓的柯西收敛准则证明闭区间套定理的总结。

级数柯西判别法
级数柯西判别法是数学中常用的一种级数收敛性测试方法。

它的基本思想是，如果一个级数的部分和的差值越来越小，那么这个级数就收敛；反之，如果差值越来越大，那么这个级数就发散。

具体地，柯西判别法可以表述为：对于任意正整数n，如果级数的第n+1项及之后的所有项的和都小于一个任意小的正数ε，那么这个级数就收敛；否则，它就发散。

这个定理的证明比较简单，只需要运用级数的定义和柯西收敛准则即可。

在实际应用中，柯西判别法常常用于处理一些比较复杂的级数，尤其是当我们不知道级数的通项公式时，它就显得尤为有用。

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绝对收敛级数摘要：一、绝对收敛级数的定义二、绝对收敛级数的性质1.序列的绝对收敛性与序列的收敛性一致2.绝对收敛级数的和为无穷小3.绝对收敛级数的乘积仍为绝对收敛级数4.绝对收敛级数的绝对值和相反数仍为绝对收敛级数三、绝对收敛级数的判别方法1.柯西收敛准则2.比较判别法3.泰勒级数法四、绝对收敛级数在实际应用中的例子五、总结与展望正文：绝对收敛级数是数学分析中的一个重要概念，它与序列的收敛性密切相关。

一个序列{x_n}称为绝对收敛，如果它的各项绝对值之和的极限为0，即lim(n→∞) |x_1| + |x_2| + ...+ |x_n| = 0。

下面我们来探讨绝对收敛级数的一些性质及其在实际应用中的例子。

首先，我们需要明确一点，序列的绝对收敛性与序列的收敛性是一致的。

也就是说，如果一个序列{x_n}收敛，那么它的绝对值序列{|x_n|}也一定收敛。

这个性质为我们判断级数的收敛性提供了一种方法。

绝对收敛级数的和为无穷小。

这意味着，当我们将级数中的各项绝对值相加时，随着项数的增加，和会趋近于0。

这一性质是绝对收敛级数的一个重要特征。

另一个重要的性质是，绝对收敛级数的乘积仍为绝对收敛级数。

这表明，如果两个级数都是绝对收敛的，那么它们的乘积也是绝对收敛的。

这一性质在研究复杂级数的收敛性时非常有用。

绝对收敛级数的绝对值和相反数仍为绝对收敛级数。

这意味着，如果我们对一个绝对收敛级数的绝对值序列再取相反数，得到的序列依然是绝对收敛的。

在判断绝对收敛级数时，我们可以采用柯西收敛准则、比较判别法和泰勒级数法等方法。

柯西收敛准则告诉我们，如果一个级数在正无穷和负无穷方向上都收敛，那么它一定是绝对收敛的。

比较判别法则是通过比较级数项的绝对值与一个已知收敛级数的项的绝对值来判断级数的收敛性。

泰勒级数法则是利用函数的泰勒级数来判断其导数的级数收敛性。

绝对收敛级数在实际应用中有很多例子，如三角函数级数、指数级数、对数级数等。

函数极限的柯西准则柯西准则是函数极限的一个重要准则，它是由法国数学家柯西提出的。

柯西准则提供了一种判断函数极限存在与否的方法，在实际问题中具有广泛的应用。

现在，我们就来详细介绍一下柯西准则。

首先，我们来看一下柯西准则的数学定义。

对于一个实数函数 f(x)，当和函数值的差小于一个任意小的正数ε 时，即，f(x) - f(y)， < ε，只要作为函数自变量的两个实数序列 x_n 和 y_n 逐渐趋于其中一个实数 x0，那么函数值的差也会逐渐趋于零，即lim┬(n→∞)⁡，f(x_n) - f(y_n)， = 0。

接下来，我们来看一下柯西准则的证明思路。

设ε1是一个给定的正数，那么根据f(x)的连续性，我们可以找到对应的正数δ1，使得当，x-x0，<δ1时，有，f(x)-f(x0)，<ε1/2、再设ε2是一个给定的正数，按照同样的方法，我们可以找到对应的正数δ2，使得当，x-x0，<δ2时，有，f(x)-f(x0)，<ε2/2我们取一个正数N=max{δ1,δ2}，然后可以找到两个与 N 相逼近的数序列 x_n 和 y_n，使得当 n>N 时，有，x_n - x0，<δ1 且，y_n - x0，<δ2、那么当 n>N 时，有，f(x_n) - f(y_n)，<ε1/2 + ε2/2=ε。

由于ε 是任意小的正数，所以根据柯西准则的定义，我们可以得出lim┬(n→∞)⁡，f(x_n) - f(y_n)，=0。

通过上述的证明思路，我们可以看出柯西准则的核心思想是利用函数的连续性，通过选择适当的数序列，使得函数值的差可以任意地接近零。

这也是为什么柯西准则可以用来判断函数极限存在与否的原因。

柯西准则在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在微积分中，柯西准则可用于证明函数的极限存在，从而推导出导数的计算公式。

另外，在数列极限和级数收敛性的研究中，柯西准则也发挥着重要的作用。

学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学专业 年 级 姓 名论文题目 柯西收敛准则的证明与推广 指导教师 职称 教授成 绩2010年 06月04日学号：目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1柯西收敛准则 (1)1.1柯西收敛准则的证明 (1)1.2柯西收敛准则的应用 (3)2柯西收敛准则的推广 (5)2.1判断数列﹑函数﹑正项级数发散 (5)2.2用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题 (5)2.3柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关 (6)参考文献 (8)柯西收敛准则的证明与推广摘 要：本文给出了柯西收敛准则的定义，并通过例题对其进行了证明与推广. 关键词：柯西收敛准则;数列;函数;正项级数.Prove and Generalize Cauchy ’s T est for ConvergenceAbstract : This article gave the definition of Cauchy’s test for convergence, how to use Cauchy ’s test for convergence to prove and generalize by examples.Key words : Cauchy ’s test for convergence; array; function; positive term series.前言“柯西收敛准则”是数学分析中的一个重要定理之一,这一定理的提出为研究数列极限﹑函数极限﹑正项级数收敛提供了新的思路和方法.在有了极限的定义之后,为了判断具体某一数列或函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy ）获得了完善的结果,总结成了“柯西收敛准则”.下面我们将以定理的形式来叙述并证明﹑应用它.1柯西收敛准则1.1柯西收敛准则的证明定理 1 数列的柯西收敛准则: 数列{an}收敛的充要条件是:对任给的ε>0,存在正整数N,使得当,m n >N,时有||n m a a -<ε.证 (必要性)设lim n x a A →∞=由数列极限的定义,对任给的ε>0,存在N>0,当,m n N >时有||2m a A ε-<, ||2n a A ε-<因而||||||22m n m n a a a A a A εεε-≤-+-<+=.(充分性)按假设,对任给的0ε>,存在0N >,使得对一切n N >有||n N a a ε-≤,即在区间[],N N a a εε-+内含有中几乎所有的项（这里及以下为叙述简单起见,我们用“{}n a 中几乎所有的项”表示“{}n a 中除有限项外的所有项”）. 据此,令12ε=,则存在1N ,在区间11,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦内含有中几乎所有的项.记这个区间为1,1αβ⎡⎤⎣⎦.再令212ε=.则存在2N ,在区间2211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦内含有中几乎所有的项.记2,2αβ⎡⎤⎣⎦=2,22211,22N N a a αβ⎡⎤⎡⎤-+⋂⎣⎦⎢⎥⎣⎦，它也含有 {}n a 中几乎所有的项,且满足1,12,2αβαβ⎡⎤⎡⎤⊃⎣⎦⎣⎦及2212βα-≤. 继续依次令ε=312，…, 12n ,…,照以上方法得一闭区间{,n n αβ⎡⎤⎣⎦},其中每个区间都含有{}n a 中几乎所有的项,且满足,1,1n n n n αβαβ++⎡⎤⎡⎤⊃⎣⎦⎣⎦()110,2n n n n βα--≤→→∞ 即 []{,}n n αβ是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数 ,n n ξαβ⎡⎤∈⎣⎦ （n=1,2,…）. 现在证明ξ就是数列{}n a 的极限,事实上,又区间套定理的推论,对任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N 时有,n n αβ⎡⎤⎣⎦();U ξε⊂,因此在();U ξε内含有{}n a 中除有限项外的所有项,这就证明了lim n x a ξ→∞=.定理2 函数的柯西收敛准则: 设函数f 在()0'0;U x δ内有定义,()0lim x x f x →存在的充要条件是:任给ε>0,存在正数'()δδ<,使得对任何()'"00,;x x U x δ∈有()()'"||f x f x ε-<证 (必要性) 设()0lim x x f x →=A,则对任给的ε>0,存在正数'()δδ<,使得对任()00;x U x δ∈有()||2f x A ε-<.于是对任何()0"''0,;x x x Uδ∈有()()()()'"'"||||||22f x f x f x A f x A εε-≤-+-<+=ε .(充分性) 设数列()00{};n x U x δ⊂,按假设,对任给0ε>,存在正数'()δδ<,使得对任何"',x x ∈()00;U x δ,有()()'"||f x f x -<ε,由于()0n x x n →→∞,对上述的δ>0,存在N ，使得当,n m N >时有()00,;m n x x U x δ∈从而有|()()|n m f x f x ε-<.于是,按数列的柯西收敛准则,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,即()lim n x f x A →∞=.定理3 正项级数的柯西收敛准则:给定正项级数n U ∑，其收敛的充要条件是任给ε>0,总存在自然数N,使得当正整数m>n 和任意自然数p 都有|12...|m m m p U U ε++++++<U .证 (充分性)给定一正项级数n U ∑,设其部分和数列为{}n s ，对任意0ε>,总存在正整数N,使得当m>N 时都有则设n=m p +>m,则12||...|n m m m m p s s U U ε+++-=+++<|U .则 lim n n s →∞存在,从而n U ∑收敛.(必要性)由n U ∑收敛,则lim n n s →∞存在,由{}n s 数列极限存在得则对任意正整数N,存在吗n>m>N,使得||n m s s ε-<,设0p n m =->,则12||...|n m m m m p s s U U ε+++-=+++<|U ,故正项级数得柯西收敛准则得证.1.2柯西收敛准则的应用用数列的柯西收敛准则证明数列收敛.例 1 证明任一无限十进小数120.......n bb b α=的n 位不足近似（n=1,2,…）所组成的数列1121222.,,...,..., (101010101010)n n b b b b b b+++ 满足柯西条件（从而收敛）,其中k b 为0，1，2，…，9中的一个数，k=1，2,…. 证 记an=122 (101010)n n b b b ++.不妨设n>m,则有 121211911||...1...10101010101011111101010m m n n m m m n m n m m n m m b b b a a m+++++---⎛⎫-=+++≤+++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭任给的ε>0,取N=1ε,则对一切n>m>N 有||n m a a -<ε.这就证明了数列（2）满足柯西条件.用柯西收敛准则求函数极限.例2 设数列()00{};n x U x δ⊂,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,设另一数列()0'0{};n y U x δ⊂且0lim n x y x →∞= 且()lim n x f y →∞存在,记为B,现证B=A.证 设数列()00{};n x U x δ⊂,按假设,对任给0ε>,存在正数'()δδ<,使得对任何"',x x ∈()00;U x δ,有()()'"||f x f x -<ε,由于()0n x x n →→∞,对上述的δ>0,存在N ，使得当,n m N >时有()00,;m n x x U x δ∈从而有|()()|n m f x f x ε-<.于是,按数列的柯西收敛准则,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,即()lim n x f x A →∞=.考虑数列{1122}:,,,,...,,,...n n n z x y x y x y 易见()0'0{};n z U x δ⊂且0lim n n z x →∞=.故如上所证(){}n f z 也收敛.于是,作为(){}n f z 的两个子列,(){}n f x 与(){}n f y 必有相同的极限,所以有归结原则推得 ()0lim x x f x A →=.用正项级数的柯西收敛准则证明正项级数收敛.例 3[1] 证明级数n U ∑收敛的充要条件是:任给正数ε,存在某正整数N,对一切n>N,总有1|...|N N n U U U ++++< ε.证 必要性 当n U ∑收敛,则由柯西收敛准则可知 对任意ε>0,存在1N N +∈,使得n>m>1N 时有12...|m m n U U ε+++++<|U ,取1N N >+,则任意n>N,有1|...|N N n U U U ++++<ε.充分性 若任意ε>0,存在N N +∈,对任意n>N,总有1|...|2N N n U U U ε++++<则对任意m>N,及p N +∈有1211...||...||...|22m m m p N N N p N N n U U U U U U U U εεε+++++++++≤+++++++<+=|U ,则由柯西准则知n U ∑收敛.2 柯西收敛准则的推广2.1 判断数列﹑函数﹑正项级数发散数列的发散:数列{}n a 发散的充要条件:对存在0ε>0，对任意正整数N 总有当,m n >N 时有0||n m a a ε-≥.函数的发散:极限()0lim x x f x →不存在的充要条件是:存在0ε>0,对任意δ>0（无论δ多么小）,总可找到()'"00,;x x U x δ⊂,使得()()'"0||f x f x ε-≥.正项级数的发散:n U ∑发散的充要条件是：存在0ε>0,对任意自然数N,有正整数m>N 和自然数p,使得120...|m m m p U U ε++++++≥|U .2.2 用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题数学中有一些数列极限题我们可以根据其定义或数列有界判断其敛散性，但有时用定义或数列有界难以解决,这时用柯西准则就容易解决问题.例 4 证明()111111 (234)n na n+-=-+-++有极限.证 对于任意的数,m n 属于正整数.m n >.()()2111|||...|1n m n ma a n m++---=+++,当m-n 为奇数时()()2111|||...|1n m n ma a n m++---=+++()()()1111|...|||011n n n m m n m<++=-→→∞+-.由柯西收敛原理得{}n a 收敛. 当m-n 为偶数时()()()()()()211111111|||...||...|||011121n m n ma a n n mn n m m n m m++---=++<++=--→→∞++---.由柯西收敛原理得{}n a 收敛. 综上得{}n a 收敛，即{}n a 存在极限.2.3 柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关 例5[2] 聚点定理证明柯西收敛准则.证 令{}n a 为收敛准则,则其必有极限,令{}n a 的极限为A,故存在正整数N,当,m n N >是有||/2n a A H -<,||/2m a A H -<（H 为大于0的任意正数）所以||||||||/2/2n m n m n m a a a A A a a A a A H H H -<-+-<-+-<+=.若{}n a 中至多含有有限个不同的点,则以某项起{}n a 含有无限多个相同的点,即{}n a 为常数列,否则{}n a 不满足柯西条件.若{}n a 含有无限多个不相同的点,则根据聚点定理{}n a 至少含有一个聚点.假设含有两个聚点12,d d 且12d d <，令21d d ε=-，所以在1(;/3),U d ε2(;/3)U d ε内都含有{}n a 中无限多个点,这与存在N 当,m n N >时||n m a a H -<矛盾,故只含有一个聚点,令其为1d ,所以当,m n N >,||/2n m a a H -<（H 为大于0的任意正数）时存在na属于1(;/3)U d ε且11||||||/2/2n n m m a d a a a d H H H -<-+-<+=. 故{}n a 收敛于1d .例 6[3] 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证 设S 为非空有上界数集.有实数的阿基米德性,对任何正数α,存在正数k α,使得αλ=k α为S 的上界,而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界,即存在'S α∈,使得()'1k ααα>-.分别取1,1,2,...,n nα==则对每一个整数n,存在相应的n λ,使得n λ为S 的上界，而1n n λ-不是S 的上界,故存在'S α∈,使得'1n a nλ>- （6）又对正整数m,m λ是S 的上界,故有'm λα≥,结合（6）式得1n m nλλ-<;同理有1m n mλλ-<.从而得11||max(,).m n m nλλ-<于是,对任给的0ε>,存在N>0,使得当,m n N >时有||n m λλε-<.有柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞= . （7）现在证明λ就是S 的一个上确界.首先，对任何a S ∈和正整数n 有n a λ≤，由（7）式得a λ≤,即λ是S 的一个上界.其次,对任何0δ>，由()10n n→→∞及（7）式，对充分大的n 同时有12n δ<，n λ>2δλ-. 又因1n n λ-不是S 的上界,故存在'S α∈,使得'1n a nλ>-.结合上式得'22a δδλλδ>--=-.这说明λ为S 的上确界.同理可证:若S为非空有下界数集,则必存在下确界.柯西收敛准则在数学分析中应用范围广泛,应用前景广阔.单调有界数列极限与柯西收敛准则等价,且柯西收敛准则与函数列一致连续性、聚点定理、有限覆盖定理、海涅定理、广义积分等领域都有联系.其在数学分析中扮演非比寻常的角色.参考文献:[1]何国良.正项级数敛散性的判别法[J].青海师专学报,2005,（04）.[2]陈祥平.柯西收敛准则与实数完备性[J].济宁师范专科学校学报,2005,(05).[3]数学分析上册.华东师范大学第三版[M].北京,北京出版社,2001.学年论文成绩评定表10。

关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。

使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。

关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。

如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。

1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。

其中n u 称为该数项级数的通项。

数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。

称为数项级数第n 个部分和。

定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。

若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。

即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。

性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。

（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。

正项级数的比值判别法的内容
正项级数收敛性的判别方法：1、对于所有级数都适用的根本方法是柯西收敛准则。

因为它的本质是将级数转化成数列，从而这是一个最强的判别法，柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件。

2、对于正项级数，一个基本但不常用的方法是部分和有界，这同样是级数收敛的充分必要条件，这是正项级数中最强的判别法之一，局限性也是显然的，通常来说一个级数的和函数并不好求，用这种方法行不通，因此这个方法通常只有理论上的意义。

3、对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛。

如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。

柯西收敛准则与绝对收敛的判定在数学分析中，收敛是一个十分重要的概念。

在讨论数列（或者函数）的极限值时，我们经常需要考虑该数列是否收敛，以及如何判断其收敛性。

在这个过程中，柯西收敛准则和绝对收敛是两个关键的概念。

一、柯西收敛准则柯西收敛准则是收敛性的一个基本准则。

它告诉我们，如果一个数列满足满足“任意小的正数都存在一个正整数N，使得当n,m>N时有|an-am|<ε”，那么这个数列就收敛。

这个定义可能有些抽象，我们可以通过一个例子来解释。

假设有一个数列an=1/1+1/2+…+1/n，我们要证明该数列收敛。

我们任取一个小数ε，不妨设ε=0.001。

现在我们要证明存在一个正整数N，当n,m>N时，有|an-am|<0.001。

具体地，我们可以这样做：首先，由于an是一个递增数列，所以我们取n>m，不妨设n=m+k（其中k是一个正整数）。

于是我们有：|an-am|=|(1/1+1/2+…+1/n)-(1/1+1/2+…+1/m)|=|1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/n|<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)下面我们用一个定理来证明这个式子小于0.001。

定理：对于任意一个正整数m，有1/2+1/3+…+1/m<=lnm证明：我们考虑一个递增的几何级数：1/2, 1/2^2, 1/2^3,…。

显然，该级数的和是1，即：1/2+1/2^2+1/2^3+…=1我们将每一项分别乘以2，得到：1+1/2+1/2^2+1/2^3+…=2令x=1/2，则上式为：1+x+x^2+x^3+…=2由于x<1，所以该级数在一般意义下收敛。

因此，我们可以对上式两边取极限，得到：1/(1-x)=2即：x=1/2因此，我们可以得到：1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/3+1/4+1/5+…<=1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/4+1/5+1/6+…<=1/3+1/4+1/5+…<=1/2……1/m+1/m+1/m+…<=ln(m-1)于是我们有：1/2+1/3+…+1/m<=lnm由此可得：1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<= 1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/m-1/(m+k)<=ln(m)-ln(m-k)接下来，我们再来证明一个常用的不等式：lnn>=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…+((-1)^(n-1))*(1/n)证明：由于lnx=∑((-1)^(k-1))*(x-1)^k/k因此，ln(1+x)=x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4+…取x=1/2，得到：ln(3/2)=1/2-1/8+1/24-1/64+…因此，ln3>=2*(ln(3/2)+1/8+1/24+1/64+…)这是一个调和级数，可以证明级数收敛，因此这个式子有一个上界。

谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.【关键词】柯西准则，一致收敛，级数Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.【Key words】cauchy criterion, uniform convergence, series目录1 引言 (1)2数列的柯西收敛准则 (1)3函数极限存在的柯西准则 (2)4级数收敛的柯西准则 (3)4.1 级数的定义 (3)4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)5函数列一致收敛的柯西准则 (5)5.1 函数列的定义 (5)5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)6.1 函数项级数定义 (7)6.2 函数项级数的一致收敛 (7)7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)7.1 含参量反常积分的定义 (8)7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)8 柯西准则在数学分析中的作用 (11)9参考文献 (13)1 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.na bb b =的n 位不足近似(1,2,)n =所组成的数列1121222,,,,101010101010nn b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，.证 记122101010nn n b b b a =+++.不妨设n m >,则有 1212101010m m nn m m m nb b b a a ++++-=+++ 11911(1)101010m n m +--≤+++1111(1)101010m n m mm -=-<<. 对任给的0ε>，取1N ε=，则对一切n m N >>有n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2nn k k kx ==∑，求证lim n n x →∞存在. 证明：设n m >，11sin 122nnn m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑11111(1)222m n m +--=+++1111112212m m m +≤⋅=<-.所以10,{}N εε∀>∃=，当n m N >>时，1n m x x mε-<<，由柯西收敛准则，所以lim n n x →∞存在.3 函数极限存在的柯西准则定理 3.1(柯西准则) 设函数f 在00(;')U x δ内有定义.0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")f x f x ε-<.证 必要性 设0lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00(;)x U x δ∈有()2f x A ε-<.于是对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")(')(")22f x f x f x A f x A εεε-≤-+-<+=.充分性 设数列00{}(;)n x U x δ⊂且0lim n n x x →∞=.按假设，对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈，有(')(")f x f x ε-<.对上述的0δ>，存在0N >，使得当,n m N >时有00,(;)n m x x U x δ∈，从而有 ()()n m f x f x ε-<.于是，按数列的柯西准则，数列{()}n f x 的极限存在，记为A ，即lim ()n n f x A →∞=.按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在00ε>，对任何0δ>(无论δ多么小)，总可以找到00',"(;)x x U x δ∈，使得0(')(")f x f x ε-≥.例3 证明极限01lim sin x x→不存在.证 取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令11',"2x x n n πππ==+ 则有00',"(;)x x U x δ∈，而011sin sin 1'"x x ε-==.于是按柯西准则，极限01lim sin x x →不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++(2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中n u 称为数项级数(2)的通项 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m>N 以及对任意的正整数p ，都有 12m m m p u u u ++++++<ε根据定理4.2，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何正整数N ，总存在正整数0m (>N)和0p ，有 0000120m m m p u u u ε++++++≥ (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论 若级数(2)收敛，则l i mn n u →∞=0. 例4讨论调和级数1+11123n++++的敛散性解 这里调和级数显然满足推论的结论，即1l i m l i m 0n n n u n→∞→∞==. 但令p=m 时，有 122111122m m m u u u m m m+++++=+++++ ≥111222m mm+++=12.因此，取0ε=12，对任何正整数N ，只要m>N 和p=m 就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n∑收敛.证 由于12m m m p u u u ++++++=222111(1)(2)()m m m p ++++++ <111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p +++++++-+=11m m p -+ <1m. 因此，对任给正数ε，取N=1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使当m>N 及对任意正整数p ，由上式就有12m m m p u u u ++++++<1m<ε. 依定理4.2推得级数21n∑是收敛的. 例6 设11111!2!!n x n =++++，证明{}n x 收敛.证明 ,n p N ∀∈，111111(1)!(2)!()!(1)(1)(2)(1)()n p n x x n n n p n n n n n p n p +-=+++<++++++++++-+ 1111111111121n n n n n p n p n np n=-+-++-=-<++++-++. 0ε∀>，11,n n εε<>，取1[]N ε=，于是0ε∀>，1[]N ε∃=，,n N p N ∀>∀∈，有n p n x x ε+-<，故{}n x 收敛.5函数列一致收敛的柯西准则5.1 函数列收敛的定义设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有 ()()n f x f x ε-<， 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()N ε(即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有|()()n f x f x ε-<.由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的数列{}n f ，在D 上不一定收敛. 5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列{n f }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m>N 时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<. (4)证 [必要性] 设()()n f x f x ⇒ (n →∞)，x D ∈，即对任给0ε>，存在正数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有()()2n f x f x ε-<. (5)于是当n ，m>N ，由(5)就有()()()()()()n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-<22εε+=ε.[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为()f x ，x D ∈.现固定式中的n ，让m →∞，于是当n>N 时，对一切x D ∈都有()()n f x f x ε-≤. 由定义可得，()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈. 根据一致收敛定义可推出下述定理：函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：l i m s u p ()()0n n x Df x f x →∞∈-=. (6) 证 [必要性] 若()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有 ()()n f x f x ε-<，x D ∈. 由上确界的定义，亦有sup ()()n x Df x f x ε∈-≤.这就证得(6)式成立.[充分性] 由假设，对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有s u p ()()n x Df x f x ε∈-<. (7)因为对一切x D ∈，总有 ()()s u p ()()n n x Df x f x f x f x ∈-≤-. 故由(7)式得()()n f x f x ε-<.于是{}n f 在D 上一致收敛于f .在判断函数列是否一致收敛上定理 5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由, 所以在(,)-∞+∞上，sin 0nxn ⇒()n →∞. 例7 证明：若对,0,n n N a x I ∀∈∃>∀∈，有1()()n n n f x f x a +-≤，且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{()}n f x 在区间I 上一致收敛. 证明： ,,n p N x I ∀∈∀∈，111()()()()()()n p n n p n p n n n p n f x f x f x f x f x f x a a +++-++--≤-++-≤++(,)sin 1lim sup 0lim 0n n x nx nn →∞→∞∈-∞+∞-==因为1n n a ∞=∑收敛，故0,,n N p N ε∀>∃∈∀∈，有1n p n a a ε+-++<.于是，0,,,n N p N x I ε∀>∃∈∀∈∀∈，有 11()()n p n n p n n p n f x f x a a a a ε++-+--≤++=++<.所以{()}n f x 在区间I 上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++，x E ∈ (8)称为定义在E 上的函数项级数，简记为1()nn k u x =∑或()n u x ∑.称1()()nn k k S x u x ==∑， x E ∈，n=1，2，(9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设{()}n S x 是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列.若{()}n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛于函数()S x ，或称()n u x ∑在D 上一致收敛. 6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈和一切正整数p ，都有()()n p n S x S x ε+-<,或 12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<.此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{()}n u x 在D 上一致收敛于零.设函数项级数()n u x ∑在D 上的和函数为()S x ，称()()()n n R x S x S x =- 为函数项级数()n u x ∑的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,),}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，无穷积分(,)cf x y dy +∞⎰(10)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当记这个函数为()I x 时，则有 ()(,)cI x f x y d y +∞=⎰，[,]x a b ∈， (11)称(10)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分. 如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义 若含参量无穷积分(10)与函数()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N>c ，使得当M>N 时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y d yI x ε-<⎰，即(,)Mf x y d y ε+∞<⎰，则称含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简单地说含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,A A M >时，对一切[,]x a b ∈，都有21(,)A A f x y d y ε<⎰. (12)例8 证明含参量无穷积分s i n xydy y+∞⎰(13) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>)，但在(0,)+∞内不一致收敛. 证 作变量代换u xy =，得s i n s i n AA x x y u d y d u yu +∞+∞=⎰⎰， (14)其中A>0.由于0sin udu u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，当'A M >时，就有's i n A udu uε+∞<⎰. 取A M δ>，则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由(14)式有s i n Axydy yε+∞<⎰， 所以(13)在0x δ≥>上一致收敛.现在证明(13)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数M(>c)，总相应地存在某个A M >及某个[,]x a b ∈，使得0(,)Af x y d y ε+∞≥⎰.由于非正常积分0sin udu u+∞⎰收敛，故对任何正数0ε与M ，总存在某个(0)x >，使得00s i n s i n Mxu u du du u uε+∞+∞-<⎰⎰，即0000sin sin sin Mx uu u du du du u u uεε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (15) 现令001sin 2udu uε+∞=⎰，由(14)及不等式(15)的左端就有000s i n s i n 2MM x x y u d y d u yu εεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(13)在(0,)+∞内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A (其中1A c =)，函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰(16)在[,]a b 上一致收敛.证 [必要性]由(10)在[,]a b 上一致收敛，故对任给的0ε>，必存在M c >，使当m n A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有"'(,)A A f x y d y ε<⎰. (17)又由()n A n →+∞→∞，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m n M >>时，就有m n A A M >>.由(17)对一切[,]x a b ∈，就有 11()()(,)(,)m n mnA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰=1(,)m nA A f x y dy ε+<⎰.这就证明了级数(16)在[,]a b 上一致收敛.[充分性] 用反证法.假如(10)在[,]a b 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M c >，存在相应的"'A A M >>和'[,]x a b ∈，使得"0'(',)A A f x y d y ε≥⎰.现取1max{1,}M c =，则存在211A A M >>及1[,]x a b ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰.一般地，取2(1)max{,}(2)n n M n A n -=≥，则有221n n n A A M ->>及[,]n x a b ∈，使得2210(,)n n A n A f x y dy ε-≥⎰. (18)由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且lim n n A →∞=+∞.现考察级数111()(,)n nA n A n n u x f x y dy +∞∞===∑∑⎰.由(18)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n M >，就有某个[,]n x a b ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰.这与级数(16)在[,]a b 上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.例9 若无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，函数()f x 在[,)a +∞单调，则lim ()0x xf x →+∞=.证 不妨设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，已知无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，我们有()0f x ≥，[,)x a ∈+∞.由已知条件无穷积分()a f x dx ∞⎰收敛，根据柯西收敛准则0,ε∀>..1p A ∀>和2p A >，有12()p p f x dx ε<⎰.于是122,,2xx A p p x ∀>==取，因为()f x 单调递减，得到2122()()()()02p xxx x p xf x dx f t dt f x dt f x ε>=≥=≥⎰⎰⎰. 即lim ()0x xf x →+∞=.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法. 8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必收敛. 证 0ε∀>{}n a 收敛，由柯西准则',,N N m n N ∴∃∈∀>，有m n a a ε-< 从而m n m n a a a a ε-<-<，由柯西准则数列{}n a 收敛.例11 设函数列{()}n f x 在D 上一致收敛，则函数级数11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛.证 设1()()()n n n u x f x f x +=- 0ε∀>因为 {()}n f x 在D 上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则： 所以 'N N ∃∈，当n N >时，',p N x D ∀∈∀∈，有()()n p n f x f x ε+-< 从而 11()()()()()n n n p n p n u x u x u x f x f x ε++-++++=-<.由函数级数的柯西一致收敛准则得：11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛 。