导数终结测试

【高二】导数及其应用综合检测综合测试题（有答案）第一章导数及其应用综合检测时间：120分钟，满分：150分。

一、(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.（2022？国家II文本，7）如果点（0，B）处曲线y=x2+ax+B的切线方程为X-y+1=0，则（）a．a＝1，b＝1b、 a＝1，b＝1c．a＝1，b＝－1d、 a＝1，b＝1[答案] a[analysis]y'=2x+A，y'x=0=（2x+A）x=0=A=1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2.如果物体的运动方程为s=2tsint+T，则其速度方程为（）a．v＝2sint＋2tcost＋1b、 v＝2int＋2t成本c．v＝2sintd、 v＝2sint＋2成本＋1[答案] a【分析】由于t0处变速运动的瞬时速度是t0处距离函数y=s（T）的导数，s'=2sint+2tcast+1，因此选择a3．曲线y＝x2＋3x在点a(2,10)处的切线的斜率是( )a、四,b．5c、六,d．7[答：]d[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点a(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′x＝2＝7，故选d.4.函数y=XX（x-3）+1（）a．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1b、 F=最大值（1），F=最小值（2）c．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1d、最大值为f（2）=5，最小值为f（3）=1，f（-1）=3[答案] b[分析]y=XX（x-3）+1＝x3－3x2＋1 (x<0或x>3)－x3＋3x2＋1 (0≤x≤3)‡y′=3x2-6x（x<0或x>3）-3x2+6x（0≤ 十、≤ 3)x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：x（－∞，0)0(0,2)2(2,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0＋0－0＋f（x）？没有极值？最多5个？至少1个？∴f(x)极大＝f(2)＝5，f(x)极小＝f(3)＝1B5．(2021?安徽理，9)已知函数f(x)在r上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是( )a、 y＝2x－1b．y＝xc、 y＝3x－2d．y＝－2x＋3[答：]a[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式．∵f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4，∴f（x）＝x2∴f′（x）＝2x∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1.6.函数f（x）=X3+AX2+3x-9。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作章末综合测评(一) 导数及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0【解析】 lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)，故选B .【答案】 B2．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3．下列各式正确的是( ) A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数) B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 由导数公式知选项A 中(sin a )′＝0；选项B 中(cos x )′＝－sin x ；选项D 中(x －5)′＝－5x －6.【答案】 C4．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．【答案】 D5．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．－1【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1，解得f ′(1)＝0. 【答案】 A6．如图1所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )图1A.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)d x B.⎠⎛02(x 2－1)d x C.⎠⎛02|x 2－1|d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x －⎠⎛12(x 2－1)d x 【解析】 S ＝⎠⎛01[－(x 2－1)]d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .【答案】 C7．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是()A．2 B．1C．0 D．由a确定【解析】f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R 上单调递增，无极值．故选C.【答案】C8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为()A．－5 B．7C．10 D．－19【解析】∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.【答案】 A9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是()A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，∴原不等式⇔g(x)>0⇔g(x)>g(1)．∴x>1，故选C.【答案】 C10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a ln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是()A．a≥0 B．a<－4C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0,1)， ∵f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0,1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0,1)上恒成立．设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0,1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C11．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．2【解析】 设曲线上的点A (x 0，ln(2x 0－1))到直线2x －y ＋3＝0的距离最短， 则曲线上过点A 的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． 因为y ′＝12x －1·(2x －1)′＝22x －1， 所以y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2，解得x 0＝1. 所以点A 的坐标为(1,0)．所以点A 到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2×1－0＋3|22＋(－1)2＝55＝ 5. 【答案】 A12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，且对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为( ) 【导学号：62952063】A ．3 B.52 C ．2D.32【解析】 由题意，得f ′(x )＝2ax ＋b .由对任意实数x ，有f (x )≥0，知图象开口向上，所以a >0，且Δ＝b 2－4ac ≤0，所以ac ≥b 24.因为f ′(0)>0，所以b >0，且在x ＝0处函数递增． 由此知f (0)＝c >0.所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥b ＋2b 24b＝2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．⎠⎜⎛π2 (3x ＋sin x )d x ＝__________. 【解析】 ⎠⎜⎛0π2 (3x ＋sin x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 22－cos x ⎪⎪⎪π20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22－cos π2－(0－cos 0)＝3π28＋1.【答案】 3π28＋114．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ，∴y ′＝－e －x ， ∴点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， ∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2， ∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)． 【答案】 (－ln 2,2)15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________.【导学号：62952064】【解析】 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可求得f (x )的极大值为f (－1)＝2， 极小值为f (1)＝－2，如图所示，－2<a <2时，恰有三个不同公共点．【答案】 (－2,2)16．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3. 【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限，(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1， 由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为－1 4，因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，所以直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a ln(x＋1)＋12x2－ax＋1(a>0)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．【解】(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x(x－a＋1)x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x(x－a＋1)x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为x(－1,0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) f′(x) ＋0 －0 ＋f(x) 单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝a ln a－12a2＋32.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－m ln x，h(x)＝x2－x＋a，(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．【解】(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，得m≤xln x在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x－1(ln x)2，故g′(e)＝0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，φ′(x)＝1－2x＝x－2x，故φ′(2)＝0，所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，所以2－2ln 2<a≤3－2ln 3.所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r >0，又由h >0可得r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)， 所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．21．(本小题满分12分)抛物线y ＝ax 2＋bx 在第一象限内与直线x ＋y ＝4相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S .求使S 达到最大值的a ，b 值，并求S 的最大值．【解】 由题设可知抛物线为凸形，它与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝－b a ，所以S ＝⎠⎛0－ba (ax 2＋bx )d x ＝16a 2b 3， ①又直线x ＋y ＝4与抛物线y ＝ax 2＋bx 相切，即它们有唯一的公共点， 由方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝4，y ＝ax 2＋bx ，得 ax 2＋(b ＋1)x －4＝0，其判别式Δ＝0， 即(b ＋1)2＋16a ＝0.于是a ＝－116(b ＋1)2，代入①式得： S (b )＝128b 33(b ＋1)4(b >0)，S ′(b )＝128b 2(3－b )3(b ＋1)5；令S ′(b )＝0，得b ＝3，且当0<b <3时，S ′(b )>0； 当b >3时，S ′(b )<0.故在b ＝3时，S (b )取得极大值，也是最大值，即a ＝－1，b ＝3时，S 取得最大值，且S max ＝92. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求证：当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1. 【导学号：62952065】【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x(x ＋1)2－bx 2，由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，(2)证明：由(1)知，f (x )＝ln x x ＋1＋1x， 所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2ln x －x 2－1x . 设函数h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝2x －2x 2－(x 2－1)x 2＝－(x －1)2x 2.所以当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0， 所以当x ∈(0,1)时，h (x )>0，得f (x )>ln xx －1； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，得f (x )>ln xx －1. 故当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln xx －1.。

高二数学选修2-2导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22--- 2．设1ln)(2+=x x f ，则=)2('f （ ）． A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．不确定6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe 8.076223=+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．1. 已知函数)(x f y =在0x x =处可导，则hh x f h x f h )()(lim 000--+→等于 （ ）A ．)(0/x fB ．２)(0/x fC ．－２)(0/x fD ．０10．如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数( )A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在，则曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1，-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上，且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x，则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$，且 $f'(1)=4$，则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$，则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$；(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$；(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$，故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$；(2) 在交点 $(3,13)$ 处，抛物线的斜率为 $6$，故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

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数学选修1-1导数测试题【选择题】1．已知定义在R上的函数f(x），其导函数f′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A．f（b）>f(c）〉f（d) B．f（b)〉f（a)>f(e)C．f(c）〉f(b)〉f(a) D．f(c）〉f（e)>f（d）2．函数f（x)的定义域为R，f(－1)＝2,对任意x∈R，f ′x〉2,则f（x）〉2x＋4的解集为( ）A．（－1，1）B．（－1，＋∞） C．(－∞，－1) D．（－∞，＋∞）3．设函数f(x)＝错误!＋ln x，则（)A．x＝错误!为f(x）的极大值点 B．x＝错误!为f（x）的极小值点C．x＝2为f（x)的极大值点 D．x＝2为f（x）的极小值点4．函数f（x）＝错误!＋x2－3x－4在［0，2]上的最小值是（）A．－错误! B．－错误! C．－4 D．－错误!5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（)A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或16．设函数f(x）＝ax2＋bx＋c（a，b,c∈R)．若x＝－1为函数f（x）e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x）的图象是（)7．已知f(x）＝x3－ax在［1，＋∞）上是单调增函数,则a的最大值是( ）A．0 B．1 C．2 D．38．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g（x）＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN｜的最小值为( ）A。

导数综合能力测试(Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．已知某函数的导数为y ′＝12(x －1)，则这个函数可能是 ( )A ．y ＝ln 1－xB ．y ＝ln 11－xC ．y ＝ln(1－x )D ．y ＝ln 11－x答案：A解析：对选项求导．(ln 1－x )′＝11－x(1－x )′＝11－x ·12(1－x )－12·(－1)＝12(x －1).故选A. 2．(2009·江西)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为 ( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案：A解析：f ′(x )＝g ′(x )＋2x .∵y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1， ∴g ′(1)＝2，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4， ∴y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率为4.3．(2009·辽宁)曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为 ( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1 答案：D解析：y ′＝(xx －2)′＝－2(x －2)2，∴k ＝y ′|x ＝1＝－2.l ：y ＋1＝－2(x －1)，则y ＝－2x ＋1.故选D.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 ( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22 答案：D解析：∵y ′＝e x ，∴y ＝e x 在点(2，e 2)的导数为e 2. ∴y ＝e x 在点(2，e 2)的切线方程为y ＝e 2x －e 2.y ＝e 2x －e 2与x 轴、y 轴的交点分别为(1,0)和(0，－e 2)，∴S ＝12×1×e 2＝e 22.故选D. 5．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如图，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( )答案：D解析：由题意知函数f (x )，g (x )都为增函数，当x ＜x 0时，由图象知f ′(x )＞g ′(x )，即f (x )的增长速度大于g (x )的增长速度；当x ＞x 0时，f ′(x )＜g ′(x )，g (x )的增长速度大于f (x )的增长速度，数形结合，选D.6．设y ＝8x 2－ln x ，则此函数在区间(0，14)和(12，1)内分别 ( )A ．单调递增，单调递减B ．单调递增，单调递增C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减 答案：C解析：y ′＝16x －1x.当x ∈(0，14)时，y ′＜0，y ＝8x 2－ln x 为减函数；当x ∈(12，1)时，y ′＞0，y ＝8x 2－ln x 为增函数．7．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是 ( ) ①f (x )＞0的解集是{x |0＜x ＜2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． A ．①③ B ．①②③ C ．② D ．①② 答案：D解析：由f (x )＞0⇒(2x －x 2)e x ＞0⇒2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，故①正确； f ′(x )＝e x (2－x 2)，由f ′(x )＝0得x ＝±2， 由f ′(x )＜0得x ＞2或x ＜－2， 由f ′(x )＞0得－2＜x ＜2，∴f (x )的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． 单调增区间为(－2，2)．∴f (x )的极大值为f (2)，极小值为f (－2)，故②正确． ∵x ＜－2时，f (x )＜0恒成立． ∴f (x )无最小值，但有最大值f (2)． ∴③不正确．8．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )·f (n )＜0，则方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上( ) A ．至少有三个实根 B ．至少有两个实根 C ．有且只有一个实根 D ．无实根 答案：C 9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜6 C ．a ＜－3或a ＞6 D ．a ＜－1或a ＞2 答案：C解析：由于f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1，有f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)． 若f (x )有极大值和极小值， 则Δ＝4a 2－12(a ＋6)＞0，从而有a ＞6或a ＜－3，故选C.10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，其高应为 ( ) A.2033cm B ．100cm C ．20cm D.203cm答案：A解析：设高为h ，则半径为202－h 2，体积V ＝13πr 2h ＝13π(202－h 2)·h＝－13πh 3＋2023πh (0＜h ＜20)，V ′＝－πh 2＋2023π.令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍去)，即当h ＝2033时，V 为最大值．11．(2010·河南省实验中学)若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示，则m 的范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(0,2) 答案：C解析：f ′(x )＝(x 2－m )(m －2)(x 2＋m )2＝(x －m )(x ＋m )(m －2)(x 2＋m )2由图知m －2＜0，且m ＞0，故0＜m ＜2， 又m ＞1，∴m ＞1，因此1＜m ＜2，选C.12．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1.f ′(x )为f (x )的导函数，已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋2a ＋2的取值范围是 ( )A ．(13，12)B ．(－∞，12)∪(3，＋∞)C ．(12，3)D ．(－∞，－3)答案：C解析：由y ＝f ′(x )的图象知，当x ＜0时，f ′(x )＜0，函数f (x )是减函数；当x ＞0时，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数；两正数a ，b 满足f (2a ＋b )＜1，f (4)＝1，点(a ，b )的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b ＋2a ＋2的意义为阴影部分的点与点A (－2，－2)连线的斜率，直线AB 、AC 的斜率分别为12、3，则b ＋2a ＋2的取值范围是(12，3)，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

选修2-2试卷学校: 石油中学 命题人: 沈涛本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间90分钟。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.设f(x)=ln 12+x ,则f ′(2)等于 ) A.54 B.52 C.51 D.53 2.y=x ［sin(lnx)+cos(lnx)］,则y ′等于( ) A.2cos(xln 1) B.2cos(lnx) C.2sin(lnx) D.sin(lnx) 3.在曲线y=x 3+x-2的切线中,与直线4x-y=1平行的切线方程是( ) A.4x-y=0 B.4x-y-4=0C.2x-y-2=0D.4x-y=0或4x-y-4=0 4.函数f(x)=(x 2-1)3+2的极值点是( )A.x=1B.x=-1C.x=1或-1或0D.x=0 5.设y=8x 2-lnx,则此函数在区间(0,41)和(21,1)内分别( ) A.单调递增,单调递减 B.单调递增,单调递增C.单调递减,单调递增D.单调递减,单调递减 6.已知f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f ′(0)为( )A.-5B.-5!C.0D.-1 7.方程x 3-6x 2+9x-10=0的实根个数是( )A.3B.2C.1D.08.若函数f(x)=x 3-3x-a 在区间［0,3］上的最大值、最小值分别为M 、N,则M-N 的值为( ) A.2 B.4 C.18 D.20 9.已知f(x)=x 2+2xf ′(1),则f ′(0)等于( )A.0B.-4C.-2D.2 10.函数f(x)=e -x ·x ,则( )A.仅有极小值e 21B.仅有极大值e21C.有极小值0,极大值e21D.以上皆不正确11.(2004浙江高考,理)设f ′(x)是函数f(x)的导函数,y=f ′(x)的图象如右图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )12.已知f(x)=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a 的取值范围为( )A.-1<a<2B.-3<a<6C.a<-1或a>2D.a<-3或a>6 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.已知函数f(x)是可导函数,且f ′(a)=1,则ax →limax x a f a x f ----)2()2(等于____________.14.在半径为r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形的面积最大时,其梯形的上底长为______________.15.设偶函数f(x)在点x=0处可导,则f ′(0)=___________________.16.函数f(x)=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1时有极值10,那么a 、b 的值为____________. 三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 在x=2处有极值,其图象在x=1处的切线平行于直线y=-3x-2,试求函数的极大值与极小值之差.18.(本小题满分12分)利用导数证明当x>0时,ln(1+x)>x-22x .班级__________________学号_____________姓名____________分数____________ ___________________________________________________________________________________________________ 班级__学号__姓名__分数__ __ 班级__________________学号_____________姓名____________分数____________ ___________________________________________________________________________________________________19.(本小题满分12分)(2005全国高考卷Ⅲ,文)用长为90 cm 、宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c. (1)若f(x)的图象有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围；(2)若f(x)在x=1时取得极值，且x ∈［-1,2］时f(x)<c 2恒成立，求c 的取值范围.21.(本小题满分12分)(2005湖南高考)设t ≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x 3+ax 与g(x)=bx 2+c 的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线. (1)用t 表示a 、b 、c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求t 的取值范围.22.(本小题满分14分)设x 1、x 2是函数f(x)=3a x 3+2b x 2-a 2x(a>0)的两个极值点,且|x 1|+|x 2|=2. (1)证明0<a ≤1; (2)证明|b|≤934; (3)若函数h(x)=f ′(x)-2a(x-x 1),证明当x 1<x<2且x 1<0时,|h(x)|≤4a.。

导数 专题测试参考答案1．A【分析】先求导数()'f x ，令()0f x '<求解不等式可得答案. 【详解】由题可知0x >，由()210f x x=-<'，解得02x <<. 所以单调递减区间为(0,2). 故选：A. 2．C【分析】根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得()2f '表示切线1l 斜率10k >，()3f '表示切线3l 斜率30k >，又由平均变化率的定义，可得(3)(2)(3)(2)32f f f f -=--，表示割线2l 的斜率2k ，结合图象，可得3210k k k <<<，即()()()()03322f f f f <<-<''. 故选：C.3．A【解析】求出函数的导函数，判断函数的单调性，即可求出()f x 的最小值． 【详解】解：因为2x ≥，9()2f x x x =++ 所以()()()()22519()122x x f x x x +-'=-=++ 则当2x ≥时()0f x '> 所以9()2f x x x =++在[2,)+∞上为增函数，()917()224f x x f x ∴=+≥=+. 故选：A【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，函数的最值，属于基础题. 4．C【分析】求导，由导函数的奇偶性可判断【详解】∵()sin f x x x =，∵()sin cos f x x x x '=+， ∵()()sin cos f x x x x f x ''-=--=-，∵()f x '为奇函数， 故选：C. 5．B【分析】利用导数求出()f x 的最小值，然后可判断出答案.【详解】因为()f x =[]1,1-所以()f x '=所以当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减因为()(1)1f f =-min ()f x所以由()f x a ≥恒成立可得a ≤2a ≤是()f x a ≥恒成立的必要不充分条件 故选：B 6．C【分析】先求解()f x 的定义域并判断奇偶性，然后根据()1f 的值以及()f x 在()0,∞+上的单调性选择合适图象.【详解】()e3xf x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()e 3xf x x-=-，则()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除B ；()e113f =<，故排除A ； ∵()e3xf x x =，当0x >时，可得()()21e 3xx f x x -'=，当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故排除D. 故选：C. 7．B【解析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++，求得()f x '，进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++，所以，()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+， ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+，函数()f x '的定义域为R ，()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'==+，所以，函数()f x '为偶函数，因此，()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论： （1）可导的奇函数的导函数为偶函数； （2）可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时，首先应对此结论进行证明. 8．B【分析】由函数图象，确定f x 的零点并判断f x 的区间符号，进而可得()f x 的单调性，即可知极值情况.【详解】由图知：当0y =时，有2x =±、1x =， ∵()10f '=，()20f '-=， 又2x <-时0y >，而20x ->则0fx ，即()f x 递增； 21x -<<时0y <，而20x ->则0f x ，即()f x 递减； 12x <<时0y >，而20x ->则0fx，即()f x 递增；2x >时0y <，而20x -<则0fx，即()f x 递增；综上，(,2)-∞-、(1,)+∞上()f x 递增；(2,1)-上()f x 递减.∵函数()f x 有极大值()2f -和极小值()1f . 故选：B 9．B【分析】利用导数和绝对值的性质，结合一次函数的单调性画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】当01x <<时，'2ln ln 1()()0,()x x f x f x f x x x -=-⇒=<单调递减， 当1x e ≤≤时，'2ln 1ln ()()0,()x xf x f x f x x x -=⇒=>单调递增，且(1)0f =， 当x e >时，函数单调递减，1()f e e=所以函数的图象如下图所示：因为,a b c <<设()()()f a f b f c k ===， 所以方程()f x k =有三个互不相等的实数根， 由图象可知：1a b e c <<<<，1k e<<0 因此有2ln ln 322a b c a b e e-==-+， 即ln ln b a a b =-，因此ln ln b ac c a b⋅=-， 因为()f c k =，所以2310322c e c e e e e<-+<⇒<<，满足e c <，即3e c e <<， 因此3e c e -<-<- 故选：B【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性，运用数形结合思想进行求解是解题的关键. 10．D【解析】利用导数求得函数()f x 的单调性，得到222sin 11,1sin 1k k θθ-≤---≤-≤-≤，把不等式恒成立，转化为得22211sin sin 124k k k θθ⎛⎫--≤+=+- ⎪⎝⎭对任意的[1,0]k ∈-恒成立，求得1sin 12θ-≤≤，结合选项，即可求解．【详解】由题意，函数2()()f x x x a =--，可得()(3)()f x x a x a =--⋅-'， 令()0f x '=，解得3ax =或x a =，当3a >时，可得3a a <， 所以()f x 在,3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，[,)a +∞上单调递减，在,3a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又当3a >时，13a>，所以()f x 在(,1]-∞上为减函数，又[1,0],sin [1,1]k θ∈-∈-，所以222sin 11,1sin 1k k θθ-≤---≤-≤-≤，由不等式()22(sin 1)sin f k f k θθ---≥-对任意的[1,0]k ∈-恒成立，得22211sin sin 124k k k θθ⎛⎫--≤+=+- ⎪⎝⎭对任意的[1,0]k ∈-恒成立，所以21sin sin 14θθ--≤-恒成立，解得13sin 22θ-≤≤，即1sin 12θ-≤≤，结合选项知，可得θ的可能取值是56π． 故选：D ．【点睛】易错警示：利用单调性解决相关应用问题时，要注意单调区间的判定，当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性，解题时防止漏证导致解题错误． 11．D【分析】切线在两点处切线重合，先保证在不同点处导数相同，则A,B 错误，导数相同的情况下，确定切线相同，故C 错误；D 选项中，能够找到导数相同，且切线相同的两个点，所以正确【详解】若曲线()y f x =在这两点处的切线重合，首先要保证两点处导数相同；A 选项中，'11y x=+；B 选项中，'e x y =；导数为单调函数，切点不同时，导数值不同，所以切线不可能重合，所以,A B 错误；C 选项中，'23y x =，若斜率相同，则切点为()300,x x 和()300,x x --，代入解得切线方程分别为：230032y x x x =-和230032y x x x =+，若切线重合，则00x =，此时两切点为同一点，不符合题意，故C 错误；D 选项中，1sin y x =+’，令1sin 1y x =+=’得：(),x k k Z π=∈，则有点()()0,1,2,21ππ--，切线分别为1y x =-和1y x =-，存在不同的两点使得切线重合，故D 正确 故选：D【点睛】题目是新定义的题型，本质是求不同两点处的切线，保证切线相同，所以可以先保证斜率相同，在斜率相同的情况下，求出切线所过的点，写出切线方程，保证方程相同 12．D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∵0a >.∵()20f =，()22e 0g a =>，∵()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∵()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∵当4x ≥时，()0h x '<，∵()h x 在[]4,+∞上为减函数， 即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∵当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩， 解得32944e 3ea ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解. 13．⎡⎣【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m 的取值范围.【详解】f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋1.由题意得Δ＝4m 2－12≤0，解得m ≤≤即实数m的取值范围是⎡⎣.故答案为：⎡⎣14．278【分析】设切点为()3,t t at a -+，由导数的几何意义求切线的斜率，根据倾斜角关系求a .【详解】设切点坐标为()3,t t at a -+．由题意，知()23f x x a '=-，切线的斜率为23k t a =-∵，所以切线的方程为()()()323y t at a t a x t --+=--∵．将点()1,0代入∵式，得()()()3231t at a t a t --+=--，解得0=t 或32t =．分别将0=t 和32t =代入∵式，得k a =-和274k a =-．由题意，得274a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，得278a =．故答案为：278. 15．()01，【分析】由()()'0f x xf x +>，判断出函数()()h x xf x =的单调性，利用单调性解()2f x x<即可 【详解】设 ()()h x xf x =()()()()()'''h x xf x f x xf x ==+,又0x ∀>有()()'0f x xf x +>成立， ∴函数()'0h x >，即()h x 是()0+∞，上的增函数．0x ∀>，()()22f x xf x x<⇔<，即()()()2111h x f h <=⨯=, 01x ∴<<，故答案为：()01，． 16．289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由1()(1)(1)x n n n na a n N n na +=∈++，化简为1111(1)n n n a na +-=+，得出1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列， 求出1(1)n a n n =+，然后，对于不等式()24110nn a n nλ++-≥，对n 进行分类可得λ的取值范围.【详解】解 : 由数列{}n a 满足112a =,1()(1)(1)x n n n na a n N n na +=∈++， 两边取倒数可得：1111(1)n nn a na +-=+，∴数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列, 公差为1, 首项为212(1)1n n n na ∴=+-=+，1(1)n a n n =+∴ 由241(1)0nn a n nλ++-恒成立,得221414(1)(1)n n n n n n n λ---⋅--=+, 当 n 为偶数时，(1)(4)4(5)n n n n nλ-++=-++, 则9λ≥-，当n 为奇数时，45n nλ++,则283λ∵实数λ的取值范围为289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故答案为：289,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题的难点在于通过对整式进行转换，得出数列1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，以及利用对n 进行分类讨论，进而利用参变分离进行求解，属于难题17．（1）322y x x -=-'；（2）(ln 31)(3)2ln 2x x y e =+-'⋅；（3）()222212ln 1x x x y x x +-⋅=+'；（4）12cos 2y x x '=-．【分析】根据导数的运算法则分别计算即可.【详解】（1）322y x x -=-'； （2）()()()()332x x x x x y e e e ''=-'+''+()ln332ln 32x x x x x e e =+- (ln 31)(3)2ln 2x x e =+⋅-；（3）()()()()()()()2222222222211ln 2ln 1ln 112ln 111x x xx x x x x x x x y x x x x ''+-⋅+-++-⋅'===+++； (4)221sin cos sin 222x x y x x x =-=-，12cos 2y x x ∴=-'．18．选∵∵∵，答案均为：()f x 的单调递减区间为()1,1-，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．【分析】选∵，根据()f x 在1x =处取得极小值2，则有()()1012f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，从而可求得a ，b ，再根据导函数的符号即可求得函数的单调区间；选∵，根据()f x 在1x =-处取得极大值6，则有()()1016f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，从而可求得a ，b ，再根据导函数的符号即可求得函数的单调区间；选∵，根据求出函数的导函数，根据导函数的符号即可求得函数的单调区间，从而可得函数的极值，再根据()f x 的极大值为6，极小值为2, 可求得a ，b ，即可得出答案.【详解】解：选条件∵．易知()233f x x a '=-，由()()1012f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，得14a b =⎧⎨=⎩． 所以233f x x ，令()0f x '>，得1x <-或1x >，令()0f x '<，得11x -<<．所以()f x 的单调递减区间为()1,1-，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞． 选条件∵．易知()233f x x a '=-，由()()1016f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，得14a b =⎧⎨=⎩．所以233f x x ，令()0f x '>，得1x <-或1x >，令()0f x '<，得11x -<<．所以()f x 的单调递减区间为()1,1-，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞． 选条件∵．易知()233f x x a '=-，由题意可知0a >，令()2330f x x a '=-=，得x =则()f x ，()f x '随x 的变化情况如表所示．所以((333632a b b ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩． 所以()f x 的单调递减区间为()1,1-，单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞． 19．（1）10x y --=； （2）若选∵：02m -≤≤；若选∵： 32m <；若选∵：m <【分析】（1）求得()1f 和()1f '，进而可得切线方程；（2）若选∵，则转化为()0f x '≤在区间(,1)m m +上恒成立，根据“三个二次”可得结果；若选∵，则转化为()0f x '<在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，分离变量可得结果；若选∵，求得()f x 的极小值点为2x =m >可得结果. 【详解】（1）当1m =时，32111()326f x x x x =+-+，所以(1)0f =， 点(1,(1))f 为切点，2()1(1)1f x x x f '=+-⇒'=，函数在点(1,0)处的切线方程为：1y x =-，即10x y --=；（2）∵2()1f x x mx '=+-，∵若选∵：函数()f x 在区间(,1)m m +上是单调减函数，则有：()0f x '≤在区间(,1)m m +上恒成立，即210x mx +-≤在(,1)m m +上恒成立，∵222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧'=+-≤⎨'+=+++-≤⎩，解得0m ≤； 若选∵：函数()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在减区间，则有()0f x '<在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解， 即得1m x x <-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解， 此时令1()g x x x =-，显然()g x 在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以13()22g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故有32m <； 若选∵：函数在区间(,)m +∞上存在极小值，则函数()f x 的极小值点应落在(,)m +∞内.令2()10f x x mx '=+-=，求得1x =，2x = 此时可得，()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减；所以2x x =是函数()f x 的极小值点，3m m >⇔>， 当0m ≤时，不等式恒成立，当0m >时，2249m m +>，解之可得02m <<所以m < 20．（1）2302x y ππ---=；（2）证明见解析.【分析】（1）当2a =时，求得()sin f x x x '=-，得到()232f ππ=-，()f ππ'=，结合直线的点斜式，即可求解；（2）求得()[]sin ,0,22a f x x x x '=-∈，令()sin 2a x x g x =-，得到()cos 2a x x g '=-，当2a ≥时，得到()f x 为增函数，得到()()2cos20f x f =<≤；当[)1,2a ∈时，存在()00,2x ∈，使()00cos 02a x g x =-='，结合函数()g x 的单调性得出()f x 单调性，得到()0f x <.【详解】（1）当2a =时，函数()212cos 2f x x x =-+， 可得()sin f x x x '=-，则()232f ππ=-，()f ππ'=， 所以曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为()232y x πππ-+=-， 即2302x y ππ---=.（2）由函数()211cos 4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可得()[]sin ,0,22a f x x x x '=-∈， 令()sin 2a x x g x =-，则()cos 2a x x g '=-， 当2a ≥时，()0g x '≥，所以()g x 为增函数，()()00g x g ≥=，所以()0f x '≥，()f x 为增函数，所以()()2cos20f x f =<≤.当[)1,2a ∈时，1,122a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，又因为[]0,2x ∈，所以[]cos cos2,1x ∈， 所以存在()00,2x ∈，使0cos 2a x =，即()00cos 02a x g x =-='， 所以函数()g x 在[)00,x 上为减函数，在()02x ,上为增函数，因为()00g =，所以()00g x <，而()2sin 20g a =->，所以存在()10,2x x ∈，使()10g x =，当()10,x x ∈时，()0g x <，即()0f x '<；当()1,2x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,2x 上单调递增，又因为()010f a =-≤，()2cos20f =<，所以()0f x <.综上可得，当1a ≥时，对任意[]0,2x ∈，都有()0f x ≤.【点睛】利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式()()()()()f x g x f x g x ><转化为证明()()0f x g x ->()()(0)f x g x -<，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

导数单元测试题〔实验班用〕一、选择题1．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( )A .31y x =-B .35y x =-+C .35y x =+D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=⋅,[]1,2-∈x 的最大值为( )．A .14e -B . 0C .2eD . 23e 3.假设函数3()3f x x x a 有3个不同的零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A.(2,2)B.2,2C.(,1)D.(1,)4.假设函数3()63f x x bxb 在(0,1)内有极小值，那么实数b 的取值范围是〔 〕A.1(0,)2B. (,1)C. (0,)D. (0,1)5.假设2a >，那么函数321()13f x x ax 在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．3个零点C ．2个零点D ．1个零点6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔 〕Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．函数()f x 的图象如下图，以下数值排序正确的选项是( )．A .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-B .(3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-C . (3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-D .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x时,''()()()()0f x g x f x g x ,且(3)0g ，那么不等式()()0f x g x 解集是( )A ．(3,0)(3,) B ．(3,0)(0,3) C ．(,3)(3,) D ．(,3)(0,3)9．函数ln ln ()a x f x x+=在1,上为减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a eB ．0a eC ．a eD ．10ea <<10．假设函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，那么函数()(1)g x f x =--的单调减区间是( )A ．(1,0)-B ．(,1),(0,)-∞-+∞C ．(2,1)--D ．(,2),(1,)-∞--+∞ 11．二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，那么(1)'(0)f f 的最小值为〔 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3212．函数2()ln 22a f x x x x =--存在单调递减区间，那么a 的取值范围是〔 〕(A)[1,)-+∞ (B) (1,)-+∞ (C) (,1)-∞- (D) (,1]-∞- 二、填空题13.假设函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是 . 14．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，那么α的取值范围是15．函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，那么M m -=_________16．函数()f x 的定义域为[]15,-，局部对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如下图. 以下关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4个． 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题17．函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f ，当1-=x 时()f x 取得极值5，且11)1(-=f ．〔1〕求()f x 的单调区间和极小值；〔2〕证明对任意12,x x )3,3(-∈，不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立． 18．函数)1ln(2)(2++=x ax x f ,其中a 为实数． 〔1〕假设()f x 在1=x 处有极值，求a 的值；(2) 假设()f x 在]32[，上是增函数，求a 的取值范围． 19．函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈． 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的最值； 〔2〕求函数)(x f 的单调区间．20．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的本钱20元，并且每公斤蘑菇的加工费为x －1 0 4 5 ()f x1221t 元〔t 为常数，且25)t ≤≤，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元〔2540x ≤≤〕，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．〔1〕求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；〔2〕假设5=t ，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，求最大值．21．函数1ln ()x f x x+=．〔1〕假设函数在区间1(,)2a a +(0)a >上存在极值，求实数a 的取值范围；〔2〕如果当1≥x 时，不等式()1≥k f x x +恒成立，求实数k 的取值范围．22．设函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当11,1xe e时,()f x m 不等式<恒成立，求实数m 的取值范围； 〔3〕假设关于x 的方程2()f x x x a =++在0,2上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．导数单元测试题答案一、选择题 ACAAD DBDAA CB 二、填空题13.312k14.30,,2415.32 16. ①②⑤三、解答题17.解：〔1〕2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，由题意得(1)11(1)5(1)0f f f =-⎧⎪-=⎨⎪'-=⎩ ，即115320a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ ，解得139a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，.因此x x x x f 93)(23--=，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-．当 ),3()1,(+∞--∞∈ x 时，'()0f x >；当)3,1(-∈x 时，'()0f x <． 所以函数()f x 的单调增区间为)1,(--∞和),3(+∞；单调减区间为)3,1(-. 故函数()f x 在3=x 处取得极小值，()(3)27f x f ==-极小值．〔2〕由〔Ⅰ〕知32()39f x x x x =--在)1,3(--上递增，在)3,1(-上递减， 所以max ()(1)5f x f =-=；min ()(3)27f x f =±=-．所以，对任意12,x x )3,3(-∈恒有 12|()()||5(27)|32f x f x -<--=．18．解：〔1〕由得()f x 的定义域为)1(∞+-，. 又2()2,1f x ax x '=++ 因为()f x 在1=x 处有极值，(1)210f a '∴=+=，解之得 1.2a =-〔2〕依题意得()0≥f x '对[23]x ∀∈，恒成立， 即 201≥ax x 2++对[23]x ∀∈，恒成立． 221111()24a x x x ∴>=---++ 对[23]x ∀∈，恒成立．211[23]()24x x ∈∴-++，， [12,6],∈-- 41)21(12++-∴x 11[,],612∈-- 112≥a ∴-．19．解：〔1〕函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,)+∞．当1a =时，32()12()2111x x f x x x x -'=--=--， 所以()f x 在3(1,)2为减函数在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.〔2〕22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--， ①假设0a ≤时，那么22()221,()21a x x a f x x +-+=-≤>0在(1,)+∞恒成立， 所以()f x 的增区间为(1,)+∞．②假设20,12a a +>>则，故当2(1)2a x +∈，，22()2()01a x x f x x +-'=-≤； 当2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-=-≥． 所以当0a >时，()f x 的减区间为2(1,)2a +，()f x 的增区间为2(,)2a ++∞.20．解：〔1〕设日销量3030,100,100e e e则x k k q k ==∴=, ………………2分所以日销量30100e e xq =．30100e (20)(2540)e x x t y x --∴=≤≤．………………7分〔2〕当5=t 时，30100e (25)exx y -=． ………………8分30100e (26)e xx y -'∴=． ………………9分026由得y x '≥≤，026由得,y x '≤≥[2526][2640]在，上单调递增，在，上单调递减.y ∴4max 26,100e 当时x y ∴==．………………11分当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．……12分 21．解：〔Ⅰ〕因为1ln ()x f x x +=， x >0，那么2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在〔0，1〕上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1(,)2a a +〔其中0a >〕上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<． 〔Ⅱ〕不等式(),1k f x x +≥即为(1)(1ln ),x x k x ++≥记(1)(1ln )(),x x g x x ++=那么min (), 1.k g x x ≤≥所以2[(1)(1ln )](1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x xx-=． 令()ln h x x x =-，那么1()1h x x'=-，1x ≥，()0,h x '∴≥[()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)10h x h ∴==>，从而()(1)0h x h >≥，所以()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， 所以min ()(1)2g x g ==． 所以2k ≤．22．解：〔2〕函数的定义域为。