初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题19 平行四边形、矩形、菱形[精品]

专题19 平行四边形、矩形、菱形例1 75° 例2 A 只有命题③正确.例3 （1）△BEF 为正三角形 提示：由△ABD 和△BCD 为正三角形，可证明△BDE ≌△BCF ， 得：BE=BF ，∠DBE =∠CBF .∵∠DBC=∠CBF +∠DBF =∠DBE +∠DBF =60°，即∠EBF=60°，故△BEF 为等边三角形.(2)设BE BF EF x ===，则可得：24S x =，当BE ⊥AD 时，x .∴2minS ==当BE 与AB 重合时，x 有最大值为2，∴()2max 2S =⨯=S ≤≤例4 提示：PC=EF=PD ，4545CPB PFC EPG GPA BPD ︒︒∠=+∠=+∠=∠=∠，可证明 △CPB ≌△DPB .例5 （1）略 （2）45° （3）60°如图，延长AB 至H ，使AH=AD ，连DH ，则 △AHD 是等边三角形. ∵AH=AD=DF ，∴BH=GF ， 又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF ， ∴△DBH ≌△DGF ，∠BDH=∠GDF ，∴()1206060BDG ADC ADB GDF ADC ADB BDH ︒︒︒∠=∠-∠-∠=∠-∠+∠=-=例6 如图过M 作ME AN ，连NE ，BE ，则四边形AMEN 为平行四边形，得NE=AM ，ME ⊥BC . ∵ME=CM ，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC .∴△BEM ≌△AMC ，得BE=AM=NE ，∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE . ∴△BEN 为等腰直角三角形，∠BNE=45°. ∵AM ∥NE ，∴∠BPM=∠BNE=45°.A 级1. 2α3. 26° 提示：作FG 边上中线，连接EC ，则EF=EC=AC .4. 20° 提示：连接AC ，则△AFC ≌△AEB ，△AEF 为等边三角形.5.C6.B7.D8. A 提示：E 、F 分别为AB 、BC 中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD 是平行四边形的有以下9种 情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥. 10. 提示：（2）当D 为BC 中点时，满足题意.11. 提示：连AM ，证明△AMF ≌△BME ，可证△MEF 为等腰直角三角形.12. 6 提示：由△ABC ≌△DBF ，△ABC ≌△EFC 得：AC=DF=AE ，AB=EF=AD .故四边形AEFD 为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE =360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F 到AD 的距离为2，故326AEFDS=⨯=.B 级1. 92cm2. 提示：可以证明2222PA PC PB PD +=+. 3.152cm 4. 10 提示：可先证：AF=CF .设AF CF x ==，则8BF x =-， ∴()22284x x =-+. ∴5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆==⨯⨯=. 5.6013提示：过A 作AG ⊥BD 于G 可证PE+PF=AG ， 由AG BD AB AD =可得：512601313AG ⨯==.6. 提示：A ，C 关于BD 对称，连AE 交BD 于P . ∴PE+PC=AE .又∵AE ⊥BC 且∠BAE=30°，∴AE =. 7. B8. B 提示：取DE 中点为G ，连结AG ，则AG=DG=EG .9. C10.(1)=；图略 （2）1；图略 （3）3；图略 （4）以AB 为边的矩形周长最小，用面积法证明．11．证明：连AC ，如图，则易证△ABC 与△ADC 都为等边三角形． (1)若∠MAN ＝60°，则△ABM ≌△ACN ． ∵AM ＝AN ，∠MAN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．(2)∠AMN ＝60°，过M 作CA 的平行线交AB 于P ． ∵∠BPM ＝∠BAC ＝60°，∠B ＝60°，∴△BPM 为等边三角形，BP ＝BM ，BA ＝BC ．∴AP ＝MC ． 又∠APM ＝120°＝∠MCN ．∠PAM ＝∠AMC －∠B ＝∠AMC －60°＝∠AMC －∠AMN ＝∠CMN ， ∴△PAM ≌△CMN ．∴AM ＝MN ，又∠AMN ＝60°． 故△AMN 为等边三角形．12．提示：如图，分别过点A 作AM ∥EF ，过点C 作CP ∥AB ，过点E 作EN ∥AF ，它们分别交于N ，M ，P 点，得□ABCM 、□CDEP 、□EFAN ，则EF ＝AN ，AB＝CM ，CD ＝PE ，BC ＝AM ，CP ＝DE ，AF ＝NE ，由条件得△NMP 为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．AMNPBDA B CD EP N MF。

矩形、菱形【思维入门】1．如图8－25－1所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于()A．3.5C．7B．4D．142．有4个命题：图8－25－1(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)O是四边形ABCD内一点，若AO＝BO＝CO＝DO，则四边形ABCD是矩形；(4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．33．如图8－25－2，在ABCD中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是()①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①或③C．③或④图8－25－2B．②或③D．①或②或③4．如图8－25－3，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连结BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为()图8－25－3A．23B．33C．639D.235．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积等于____．6．已知：如图8－25－4，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．图8－25－4【思维拓展】17．如图8－25－5，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝3AB.将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q.对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4△EQ；④PBF是等边三角形．其中正确的是()A．①②C．①③图8－25－5B．②③D．①④28．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋3CD，则BC＝______．图8－25－69．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，，若△BE ABE是等边三角形，则DCE＝____．△S△S ABE图8－25－710．如图8－25－△8，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图8－25－811．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：A M＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．图8－25－912．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图8－25－10①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且△SACD＝△S BCD.CD，若△A′与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的4，请直接写出△1ABC的应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F 在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O.(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)连结△OD，若AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连结CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD面积．图8－25－10【思维升华】13．菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为() 1A.2L2－4S1C.22L－4S1B.2L2－2S1D.24S－L214．如图8－25－11，四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ABC＝30°，AB＝6，AD＝CD，AB∥CD，那么BD的长度是()A．7C．27图8－25－11B．4D．4215．如图8－25－12，将两个长为8，宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱形ABCD，当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，这个最大值是____．图8－25－1216．如图8－25－13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是____.图8－25－13【思维入门】1．如图8－25－1所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5C．72．有4个命题：B．4D．14(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；图8－25－1(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)O是四边形ABCD内一点，若AO＝BO＝CO＝DO，则四边形ABCD是矩形；(4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形．其中正确的命题个数是(B)A．0B．1C．2D．3【解析】(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故(1)错误；(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，可证出另一组对边也平行，故(2)正确；(3)O是四边形ABCD内一点，若AO＝BO＝CO＝DO，则四边形ABCD是矩形，只有点O是四边形ABCD对角线的交点时，上述说法才成立，故(3)错误；(4)若四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形，故(4)错误．3．如图8－25－2，在ABCD中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是(A)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A．①或③C．③或④图8－25－2B．②或③D．①或②或③4．如图8－25－3，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连结BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为(B)A．23 C．63图8－25－3B．339D.23【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∠EBO＝∠DBF.∵EF＝AE＋FC，AE＝CF，EO＝FO，∴AE＝EO＝CF＝FO.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO，∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，BE＝2 3.∴BF＝BE＝2 3.∴CF＝AE＝ 3.∴BC＝BF＋CF＝3 3.5．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积等于__2__．【解析】由题意，得a－1＝0，b－4＝0，解得a＝1，b＝4.∵菱形的两条对角线的长为a和b，1∴菱形的面积＝2×1×4＝2.6．已知：如图8－25－4，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．图8－25－4解：(1)证明：∵在ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，△在DOE△和BOF中，⎧∠EDO＝∠FBO，⎨DO＝BO，⎩∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF(ASA)．(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形．理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF＝DE，又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形．∵BO＝DO，∠EOD＝90°，∴EB＝DE.∴四边形BFDE为菱形．【思维拓展】17．如图8－25－5，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝3AB.将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q.对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4△EQ；④PBF是等边三角形．其中正确的是(D)A．①②C．①③图8－25－5B．②③D．①④DE，，若△BEABE是等边三角形，则DCE＝__3__．设AB＝AE＝BE＝2a，则BC＝2aa⎭⎝28．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋3CD，则BC＝__25____．图8－25－69．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结△S1△S ABE图8－25－7【解析】如答图，过E作EM⊥AB于M，交DC于N.第9题答图∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB，DC∥AB，∠ABC＝90°.∴MN＝BC，EN⊥DC.∵沿AC折叠，B和E重合，△AEB是等边三角形，∴∠EAC＝∠BAC＝30°.23233＝3a，即MN＝3a.∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB，∴A M＝a，由勾股定理得EM＝（2a）2－a2＝3a，11⎛23⎫3∴△DCE的面积是2×DC×NE＝2×2a× 3a－3⎪＝3a2.31∴△SDCE＝＝3.11△ABE的面积是2AB×EM＝2×2a×3a＝3a2.3a2△S ABE3a210．如图8－25－△8，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图8－25－8解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE.∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC.(2)四边形ADCF是菱形．理由：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，1∴AD＝2BC＝DC.∴平行四边形ADCF是菱形．11．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：A M＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．图8－25－9解：(1)证明：∵∠α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴∠α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴A M＝AN.(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵∠α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°，又∵∠B＝∠F＝60°.∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠BAF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF，∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴ABPF是菱形．12．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图8－25－10①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD 是“友好三角形”，并且△SACD＝△S BCD.应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F 在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O.CD，若△A′与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的4，请直接写出△1ABC的△S AOE＝△S AOB＝△S AOE＝△S AOD＝(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)连结△OD，若AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连结CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD面积．图8－25－10解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO，又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝BF，∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO.∴△AOB△和AOE是“友好三角形”．(2)∵△AOE△和DOE是“友好三角形”，∴1△S DOE，AE＝ED＝2AD＝3.∵△AOB△和AOE是“友好三角形”，∴△S AOE.∵△AOE≌△FOB，∴△S FOB，∴△SABF，∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2△SABF1＝4×6－2×2×4×3＝12.探究：2或2 3.【思维升华】13．菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为(A) 1A.2L2－4S1C.22L－4S1B.2L2－2S1D.24S－L21【解析】设边长为m，一条对角线为2a，另外一条为2b，则a＋b＝2L，2ab＝S.1∵m2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4L2－S.1∴m＝2L2－4S.14．如图8－25－11，四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ABC＝30°，AB＝6，AD＝CD，AB∥CD，那么BD的长度是(C)A．7C．27图8－25－11B．4D．42【解析】如答图，过点C作CE∥AD交AB于E，过点D作DF⊥AB于F，则四边形ADCE是菱形，第14题答图∠CEB＝∠A＝60°.∵∠ABC＝30°1∴AD＝EC＝DC＝AE＝2BE.∵AB＝6，∴AD＝EC＝DC＝AE＝2.∴AF＝1，DF＝3，BF＝5.由勾股定理得BD＝27.15．如图8－25－12，将两个长为8，宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱形ABCD，当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，这个最大值是__17__．图8－25－12【解析】当两个塑料片如答图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，在Rt△AEB中，第15题答图由勾股定理得x2＝(8－x)2＋22，17解得x＝4.∴4x＝17.即菱形的最大周长为17.16．如图8－25－13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，1且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是__y＝－3x11__.＋3图8－25－13⎪⎩b ＝11.3【解析】 如答图，延长 BC 交 x 轴于点 F ，连结 OB ，AF ，连结 CE ，DF 相交于点N .第 16 题答图由已知得点 M (2，3)是 OB ，AF 的中点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心，所以直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点 N (5，2)是矩形 CDEF 的中心，所以过点 N (5，2)的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线 MN 即为所求的直线 l.设直线 l 的函数表达式为 y ＝kx ＋b ，则⎧2k ＋b ＝3， ⎨⎩5k ＋b ＝2， ⎧⎪k ＝－1，解得 ⎨3 1 11故所求直线 l 的函数表达式为 y ＝－3x ＋ 3 .。

第五讲数学培优——平行四边形与矩形【学习目标】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理；2．理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．3. 理解矩形的概念.4. 掌握矩形的性质定理与判定定理.专题一：平行四边形【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点二、平行四边形的性质（1）_____________________________；（2）_____________________________；（3）_____________________________；（4）_____________________________；（5）对称性：_____________________________；要点三、平行四边形的判定（1）_____________________________；（2）_____________________________；（3）_____________________________；（4）_____________________________；要点四、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：三角形有三条中位线，三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.要点五、平行线间的距离（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等（3）平行线间的平行线平行且相等【典型例题】类型一、平行四边形的性质例1、如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线．求证：DF＝EC．1214类型二、平行四边形的判定例2、如图所示，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 上的点，且四边形AECF 和DEBF 都是平行四边形，AF 和BE 相交于点G ，DF 和CE 相交于点H ．求证：四边形EGFH 为平行四边形．【变式】如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ，若CE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．类型三、平行四边形与面积有关的计算例3、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．若∠EAF ＝60°，BE ＝2，DF ＝3，求AB ，BC 的长及ABCD 的面积．【变式】如图，已知ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM ＝9，BD ＝12，AD ＝10，求该平行四边形的面积.类型四、三角形的中位线例4、如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点．求证：∠PMN=∠PNM ．cm cm专题二：矩形【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点二、矩形的性质（1）_____________________________；（2）_____________________________；（3）_____________________________；（4）_____________________________；（5）对称性：_____________________________；要点三、矩形的判定（1）_____________________________；（2）_____________________________；（3）_____________________________；（4）_____________________________；【典型例题】类型一、矩形的性质例1、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB=3∠CBN．（1）求证：∠PNM=2∠CBN；（2）求线段AP的长．【变式】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是类型二、矩形的判定例2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE.（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.例3、如图所示，ABCD四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质例4、如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．13【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD相交于点O，P是平行四边形ABCD外一点，且∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD是矩形．。

八年级数学培优平行四边形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN八年级数学培优专题三---------平行四边形一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，AB=CB ，BO ⊥AC ，把△ABC 折叠，使AB 落在AC 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连接DE 、EF ．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将△DEF 沿EF 折叠，则点D 不一定落在AC 上；③BD=BF ；④S 四边形DFOE=S △AOF ，上述结论中正确的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为A ．23B ．43C ．4D ．83．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，⑤S △CEF =2S △ABE ．其中正确结论有【 】个．A ．2B ．3C ．4D ．54．下列给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是 （ ）.(A)AB ∥CD ，AD=BC (B)AB=AD ，CB=CD (C)AB=CD ，AD=BC (D)∠B=∠C ，∠A=∠D5．已知,如图,在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线与AD 相交于点P,下列说法中正确的是（ ）①△APB 是等腰三角形 ②∠ABP+∠BPD=180°③PD+CD=BC ④PDCB APB S S 梯形=∆ A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④6．已知△ABC 的面积为36，将△ABC 沿BC 的方向平移到△A /B /C /的位置，使B / 和C 重合，连结AC / 交A /C 于D ，则△C /DC 的面积为 （ ）AA 'C ')(B 'C BD第2题第5A. 6B. 9C. 12D. 187．已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC的方向平移到△A′B′C的位置，使B′和C重合，连接AC′交A′C于D，则△C′DC的面积为（）A． 6 B ． 9 C． 12 D． 188．如图，在平行四边形ABCD中，对角线A C,BD相交于点 O，若BD，AC的和为18 cm，CD∶DA=2∶3，△AOB的周长为13 cm，那么BC的长是（）A.6 cmB.9 cmC.3 cmD.12 cm9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＞CD，按以下步骤作图：以A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、CD于E、F；再分别以E、F为圆心，大于12EF的长半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H。

专题19平行四边形、矩形、菱形（吴梅录入）阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】如图，矩形的对角线相交于。

，AE^ZBAD,交3。

于E, ZCAE= 15°,那么ZBOE=.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2］下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.lB. 2C. 3D.4（全国初中数学联赛试题）解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD的边长为2, BD=2, E, F分别是边AD, CD上的两个动点且满足AE+CF=2.（1）判断的形状，并说明理由；（2）设ABEF的面积为S,求S的取值范围.（烟台中考试题）解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2）,只需求出BE的取值范围.【例4】如图，设F为等腰直角三角形ACB斜边上任意一点，PE±AC于点E, PF ±BC于点F, FG1EF于点G,延长GP并在春延长线上取一点Z）,使得PD=PC.求证：BCLBD, BC=BD.（全国初中数学联赛试题）解题思路：只需证明左CPB^ADPB,关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在口ABCZ）中，ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线OC的延长线于点F.(1)在图1中证明CE=CF；(2)若ZABC=90°, G是EF的中点(如图2),直接写出ZBDG的度数；(3)若ZABC= 120°, FG//CE, FG=CE,分别连结QB, DG (如图3),求/BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于(1),由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于(2),用测量的方法可得ZBDG=45°,进而想到等腰直角三角形，连CG, BD,只需证明4BGC盆DGF,这对解决(3),有不同的解题思路.对于(3)【例6】如图，△ABC中，/C=90。

初二下培优辅导资料9平行四边形、菱形、矩形例1. 已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ．（1）如图1，当点D 在边BC 上时，①求证：∠ADB=∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立；（2）如图2，当点D 在边B C 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的等量关系．例2.如图，直角△ABC 中，∠ACB=90°，Q 为斜边AB 的中点，P 为线段QB 上一点，连接CP ，分别过点A 、B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E 、F ．连接QF 、QE .（1）若AC=CP ，BF=2，AE=4，求线段BC 的长度； （2）求证：QF=QE.图1 图2 图3 E FQ PCB A练习题1.在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5：4，则∠C 等于（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°2.四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判别四边形ABCD 是平行四边形，还需满足条件（ ）A.∠A +∠C =180°B.∠B +∠D =180°C.∠A +∠B =180°D.∠A +∠D =180°3.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ） A.43 B.83 C.103 D.1234.菱形的周长为12 cm ，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（ ）A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.0.75 cm5.如图，D 为△ABC 内部一点，E 、F 两点分别在AB 、BC 上，且四边形DEBF 为矩形，直线CD 交AB 于G 点．若CF ＝6，BF ＝9，AG ＝8，则△ADC 的面积为（ ）A ．16B ．24C ．36D ．546.用一条直线截去七边形的一个角，则所得多边形的内角和不可能的是（ ）A.720°B. 900°C. 1080°D. 1260°7.矩形ABCD 中，AB=2BC ，E 为CD 上一点，且AE=AB ，则∠BEC= ；8.如图，在□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为 8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为 ；9.已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM +PN 的最小值为 ．10.如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°， 那么∠EFC ′的度数为 ；11.如图矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形沿对角线BD 折叠，那么BE 长为 ；12.如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =16，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EFEF B C D A 5题图8题图 9题图 F E D CC 'B A 10题图 E C BA D C 'P G F E D CB A 11题图 12题图 13题图 14题图的长为；13.如图，矩形ABCD 中，BD=5cm ，AD=4cm ，E 是边AD 上一点，且BE = ED ，P 是对角线上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足分别为F 、G ，则PF + PG 的长为 .14.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB ．若DG=3，EC=1，则DE 的长为 ；15.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，BG 平分∠ABC ，GF ⊥BC 于点F ，AD ⊥BC 于点D ，交BG 于点E ，连接EF ，AD=8，BD=6，则AE= ；16.如图，已知矩形ABCD ，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连接DE 、BE ，若△ABE 是等边三角形，则ABEDCE S S ∆∆= ．17.如图，△ACE 是以▱ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称．若E 点的坐标是（7，﹣3），则D 点的坐标是 ．18.如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为 ；19.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：AF=DC ；（2）若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．E A B DFG C 18题图 A B DH E ① ② ③ ④⑤ 15题图 16题图 17题图20.如图，过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 交AB 、DC 分别于E 、F ，点G 为AE 的中点，若∠AOG=30°．求证：（1）BE=OF ；（2）OG=31DC ．21.如图菱形ABCD 中，E 为AD 边上的中点，M 是AD 边上一点，且有CM ＝AM ＋BC ，F 为AB 边上一 点，连接CE 、CM 、CF ，∠BFC=∠DEC .（1）求证：点F 是AB 边的中点；（2）求证：∠MCB ＝2∠D C E ．最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word 文本 --------------------- 方便更改 O G E FD C B A F ME D C BA。

矩形、菱形【思维入门】1．如图8－25－1所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于 ( )A ．3.5B ．4C ．7D ．142．有4个命题：(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形； (2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形； (4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形． 其中正确的命题个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如图8－25－2，在▱ABCD 中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是 ()图8－25－2①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°； ③AB ＝BC ；④AC ＝BD . A ．①或③ B ．②或③ C ．③或④D ．①或②或③4．如图8－25－3，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连结BE ，DF ，EF ，BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE ＋FC ，则边BC 的长为()图8－25－3A ．2 3B ．33图8－25－1C．6 3 D.92 35．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积等于____．6．已知：如图8－25－4，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．图8－25－4【思维拓展】7．如图8－25－5，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝13AB.将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连结BP交EF于点Q.对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是()图8－25－5A．①②B．②③C．①③D．①④8．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋23CD，则BC＝______．图8－25－69．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE ，BE ，若△ABE 是等边三角形，则S △DCES △ABE＝____．图8－25－710．如图8－25－8，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连结CF . (1)求证：AF ＝DC ；(2)若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．图8－25－811．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P . (1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．图8－25－912．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图8－25－10①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD ＝S △BCD .应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F 在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O.(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)连结OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连结CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14，请直接写出△ABC的面积．图8－25－10【思维升华】13．菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为()A.12L2－4S B.12L2－2SC.122L－4S D.124S－L214．如图8－25－11，四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ABC＝30°，AB＝6，AD＝CD，AB∥CD，那么BD的长度是()图8－25－11A．7 B．4C．27 D．4 215．如图8－25－12，将两个长为8，宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱形ABCD，当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，这个最大值是____．图8－25－1216．如图8－25－13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是____.图8－25－13【思维入门】1．如图8－25－1所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH 的长等于 ( A ) A ．3.5 B ．4 C ．7D ．142．有4个命题：(1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；(3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形； (4)若四边形的两条对角线互相垂直，则这个四边形是菱形． 其中正确的命题个数是( B ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 (1)一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故(1)错误；(2)一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，可证出另一组对边也平行，故(2)正确；(3)O 是四边形ABCD 内一点，若AO ＝BO ＝CO ＝DO ，则四边形ABCD 是矩形，只有点O 是四边形ABCD 对角线的交点时，上述说法才成立，故(3)错误； (4)若四边形的两条对角线平分且互相垂直，则这个四边形是菱形，故(4)错误． 3．如图8－25－2，在▱ABCD 中，添加下列条件之一能使它成为菱形的是 ( A)图8－25－2①AC ⊥BD ；②∠BAD ＝90°； ③AB ＝BC ；④AC ＝BD . A ．①或③ B ．②或③ C ．③或④D ．①或②或③4．如图8－25－3，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连结BE ，DF ，EF ，BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE ＋FC ，则边BC 的长为( B)图8－25－1图8－25－3A ．2 3B ．3 3C ．6 3D.92 3【解析】 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC ＝90°， ∵四边形BEDF 是菱形， ∴EF ⊥BD ，∠EBO ＝∠DBF .∵EF ＝AE ＋FC ，AE ＝CF ，EO ＝FO ， ∴AE ＝EO ＝CF ＝FO .∴AB ＝BO ＝3，∠ABE ＝∠EBO ，∴∠ABE ＝∠EBD ＝∠DBC ＝30°，BE ＝2 3. ∴BF ＝BE ＝2 3. ∴CF ＝AE ＝ 3. ∴BC ＝BF ＋CF ＝3 3.5．如果菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足(a －1)2＋b －4＝0，那么菱形的面积等于__2__．【解析】 由题意，得a －1＝0，b －4＝0，解得a ＝1，b ＝4. ∵菱形的两条对角线的长为a 和b ， ∴菱形的面积＝12×1×4＝2.6．已知：如图8－25－4，在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF . (1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．图8－25－4解：(1)证明：∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝DO ，∠EDB ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠EDO ＝∠FBO ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )．(2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形． 理由：∵△DOE ≌△BOF ， ∴BF ＝DE ， 又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形． ∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°， ∴EB ＝DE .∴四边形BFDE 为菱形．【思维拓展】7．如图8－25－5，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB .将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连结BP 交EF 于点Q .对于下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是( D )图8－25－5A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④8．如图8－25－6，矩形ABCD中，AB＝60，BD＝BC＋23CD，则BC＝__25____．图8－25－69．如图8－25－7，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，BE，若△ABE是等边三角形，则S△DCES△ABE＝__13__．图8－25－7【解析】如答图，过E作EM⊥AB于M，交DC于N.第9题答图∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB，DC∥AB，∠ABC＝90°.∴MN＝BC，EN⊥DC.∵沿AC折叠，B和E重合，△AEB是等边三角形，∴∠EAC＝∠BAC＝30°.设AB＝AE＝BE＝2a，则BC＝2a3＝233a，即MN＝233a.∵△ABE是等边三角形，EM⊥AB，∴AM＝a，由勾股定理得EM＝（2a）2－a2＝3a，∴△DCE的面积是12×DC×NE＝12×2a×⎝⎛⎭⎪⎫3a－233a＝33a2.△ABE的面积是12AB×EM＝12×2a×3a＝3a2.∴S△DCES△ABE＝33a23a2＝13.10．如图8－25－8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.(1)求证：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图8－25－8解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝ED.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠F AE＝∠BDE，∴△AFE≌△DBE.∴AF＝DB.∵AD是BC边上的中线，∴DB＝DC，∴AF＝DC.(2)四边形ADCF是菱形．理由：由(1)知，AF＝DC.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．又∵AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵AD是BC边上的中线，∴AD＝12BC＝DC.∴平行四边形ADCF是菱形．11．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图8－25－9①所示位置放置，现将Rt △AEF 绕A 点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图8－25－9②，AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P . (1)求证：AM ＝AN ；(2)当旋转角α＝30°时，四边形ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由．图8－25－9解：(1)证明：∵∠α＋∠EAC ＝90°，∠NAF ＋∠EAC ＝90°， ∴∠α＝∠NAF .又∵∠B ＝∠F ，AB ＝AF ， ∴△ABM ≌△AFN ， ∴AM ＝AN .(2)四边形ABPF 是菱形．理由：∵∠α＝30°，∠EAF ＝90°， ∴∠BAF ＝120°， 又∵∠B ＝∠F ＝60°.∴∠B ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°， ∠F ＋∠BAF ＝60°＋120°＝180°. ∴AF ∥BC ，AB ∥EF ， ∴四边形ABPF 是平行四边形． 又∵AB ＝AF ，∴▱ABPF 是菱形．12．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图8－25－10①，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友好三角形”，并且S △ACD ＝S △BCD .应用：如图8－25－10②，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 在AD 上，点F 在BC 上，AE ＝BF ，AF 与BE 交于点O .(1)求证：△AOB 和△AOE 是“友好三角形”；(2)连结OD ，若△AOE 和△DOE 是“友好三角形”，求四边形CDOF 的面积． 探究：在△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，点D 在线段AB 上，连结CD ， △ACD 和△BCD 是“友好三角形”，将△ACD 沿CD 所在直线翻折，得到 △A ′CD ，若△A ′CD 与△ABC 重合部分的面积等于△ABC 面积的14，请直接写出△ABC 的面积．图8－25－10解：(1)证明：∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠EAO ＝∠BFO ，又∵∠AOE ＝∠FOB ，AE ＝BF ， ∴△AOE ≌△FOB ， ∴EO ＝BO .∴△AOB 和△AOE 是“友好三角形”． (2)∵△AOE 和△DOE 是“友好三角形”， ∴S △AOE ＝S △DOE ，AE ＝ED ＝12AD ＝3. ∵△AOB 和△AOE 是“友好三角形”， ∴S △AOB ＝S △AOE . ∵△AOE ≌△FOB ， ∴S △AOE ＝S △FOB ， ∴S △AOD ＝S △ABF ，∴S 四边形CDOF ＝S 矩形ABCD －2S △ABF ＝4×6－2×12×4×3 ＝12.探究：2或2 3.【思维升华】13．菱形的两条对角线之和为L，面积为S，则它的边长为(A)A.12L2－4S B.12L2－2SC.122L－4S D.124S－L2【解析】设边长为m，一条对角线为2a，另外一条为2b，则a＋b＝12L，2ab＝S.∵m2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝14L2－S.∴m＝12L2－4S.14．如图8－25－11，四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠ABC＝30°，AB＝6，AD＝CD，AB∥CD，那么BD的长度是(C)图8－25－11A．7 B．4C．27 D．4 2【解析】如答图，过点C作CE∥AD交AB于E，过点D作DF⊥AB于F，则四边形ADCE是菱形，第14题答图∠CEB＝∠A＝60°.∵∠ABC＝30°∴AD＝EC＝DC＝AE＝12BE.∵AB＝6，∴AD＝EC＝DC＝AE＝2.∴AF＝1，DF＝3，BF＝5.由勾股定理得BD＝27.15．如图8－25－12，将两个长为8，宽为2的矩形透明塑料片交叉摆放，重叠部分是菱形ABCD，当两个塑料片不重合但有一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，这个最大值是__17__．图8－25－12【解析】当两个塑料片如答图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，在Rt△AEB中，第15题答图由勾股定理得x2＝(8－x)2＋22，解得x＝17 4.∴4x＝17.即菱形的最大周长为17.16．如图8－25－13，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是__y＝－1 3x＋113__.图8－25－13【解析】 如答图，延长BC 交x 轴于点F ，连结OB ，AF ，连结CE ，DF 相交于点N .第16题答图由已知得点M (2，3)是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N (5，2)是矩形CDEF 的中心，所以过点N (5，2)的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l .设直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则 ⎩⎨⎧2k ＋b ＝3，5k ＋b ＝2， 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，b ＝113.故所求直线l 的函数表达式为y ＝－13x ＋113.。

1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：a a b a b a ab b a ()()()-+---322222. 利用提公因式法简化计算过程 例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(1368987+++⨯= 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。