如皋市高考数学一轮复习空间向量基本定理活动单教案

【考纲解读】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定. 【要点梳理】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

b a AB OA OB+=+= b a OB OA BA-=-=)(R a OP ∈=λλ加法交换率：.a b b a+=+加法结合率：).()(c b a c b a++=++数乘分配率：.)(b a b aλλλ+=+说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于b 记作a ∥b。

注意：当我们说a 、b共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a 、b平行时，也具有同样的意义。

§7.6空间向量的概念与运算考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量空间中既有大小又有方向的量相等的向量方向相同且大小相等的向量相反向量大小相等而方向相反的向量共线向量(或平行向量)两个非零向量的方向相同或者相反共面向量空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一个平面内2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一组基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·b a1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角余弦值cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b234.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量v为直线l的一个方向向量．(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量．(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(×)(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.(√)(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(×)教材改编题1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列向量中与C 1M —→相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b －cD ．－12a －12b ＋c答案C解析C 1M —→＝C 1C —→＋CM →＝C 1C —→＋12(CB →＋CD →)＝A 1A —→＋12DA →＋12BA →＝－12a －12b －c .2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是()A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案B解析分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为A 1M ＝AN ＝2a 3，所以，23a ，23a ，MN →－a 3，0，23a又C 1(0,0,0)，D 1(0，a ,0)，所以C 1D 1—→＝(0，a ,0)，所以MN →·C 1D 1—→＝0，所以MN →⊥C 1D 1—→.因为C 1D 1—→是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.答案10解析∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.题型一空间向量的线性运算例1(1)在空间四边形ABCD 中，AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为()A ．(2,3,3)B ．(－2，－3，－3)C ．(5，－2,1)D ．(－5,2，－1)答案B解析因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE →，OF →＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)＝12×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．(2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是四边形BB 1C 1C 的中心，且AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则A 1D —→等于()A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c答案D解析A 1D —→＝A 1A —→＋AB →＋BD→＝－AA 1—→＋AB →＋12(BB 1—→＋BC →)＝－AA 1—→＋AB →＋12AA 1—→＋12(AC →－AB →)＝－12AA 1—→＋12AB →＋12AC→＝－12a ＋12b ＋12c .思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．(2)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．①化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________；②用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________.答案①A 1A—→②12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析①A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.②因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.题型二空间向量基本定理及其应用例2(1)下列命题正确的是()A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若空间向量a ，b ，c 不共面，则a ，b ，c 都不为0D ．若a ，b ，c 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c 答案C解析若b ＝0，则满足a 与b 共线，b 与c 共线，但是a 与c 不一定共线，故A 错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a ，b ，c 共面，但它们所在的直线不一定共面，故B 错误；假设a ，b ，c 至少有一个为0，则空间向量a ，b ，c 共面，故假设不成立，故C 正确；假设b ＝0，若a ,c 共线，则存在无数个实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c ，若a ,c 不共线，则不存在实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c ，故D 错误．(2)(多选)下列说法中正确的是()A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18→＋18OC →，则P ，A ，B ，C四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件答案CD解析由|a |－|b |＝|a ＋b |，可知向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确；若AB →，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确；由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，所以C 正确；若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA →－PC →＝λ(PB →－PC →)，即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确．思维升华应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较三点(P ，A ，B )共线空间四点(M ，P ，A ，B )共面PA →＝λPB→MP →＝xMA →＋yMB→对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋(1－x )OB→对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB→跟踪训练2(1)已知空间中A ，B ，C ，D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若BD →＝6PA →－4PB →＋λPC →，则λ等于()A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案B解析BD →＝6PA →－4PB →＋λPC →，即PD →－PB →＝6PA →－4PB →＋λPC →，整理得PD →＝6PA →－3PB →＋λPC →，由A ，B ，C ，D 四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且满足DE →＝xDA →＋yDC →＋(1－x －y )DD 1—→，则|DE →|的最小值是()A.13B.23C.33D.23答案C解析因为DE →＝xDA →＋yDC →＋(1－x －y )DD 1—→，由空间向量的共面定理可知，点E ，A ，C ，D 1四点共面，即点E 在平面ACD 1上，所以|DE →|的最小值即为点D 到平面ACD 1的距离d ，由正方体的棱长为1，可得△ACD 1是边长为2的等边三角形，则1ACD S △＝12×(2)2×sin π3＝32，S △ACD ＝12×1×1＝12，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=，所以13×32×d ＝13×12×1，解得d ＝33，所以|DE →|的最小值为33.题型三空间向量数量积及其应用例3(1)已知点O 为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是______．答案，43，解析∵OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，又∵OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，∴QA →＝OA →－OQ →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB →－OQ →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时OQ →，43，(2)如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.①求线段AC 1的长；②求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值；③求证：AA 1⊥BD .①解设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1.因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→＝a ＋b ＋c ，所以|AC 1—→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋4＋0－2－2＝2，所以线段AC 1的长为2.②解因为AC 1—→＝a ＋b ＋c ，A 1D —→＝b －c ，所以AC 1—→·A 1D —→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋1－4＝－2，|A 1D —→|＝|b －c |＝(b －c )2＝|b |2＋|c |2－2b ·c＝1＋4＋2＝7，设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC 1—→，A 1D —→〉|＝|AC 1—→·A 1D —→||AC 1—→||A 1D —→|＝|－2|2×7＝147，即异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147.③证明由①知AA 1—→＝c ，BD →＝b －a ，所以AA 1—→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1＋1＝0，即AA 1—→·BD →＝0，所以AA 1⊥BD .思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．跟踪训练3(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P －ABC 中，O 是△ABC 的中心，PA ＝AB ＝2，则PO →·PA →等于()A.59B.63C.423D.83答案D解析∵P －ABC 为正三棱锥，O 为△ABC 的中心，∴PO ⊥平面ABC ，∴PO ⊥AO ，∴PO →·OA →＝0，|AO →|＝23·|AB →|·sin 60°＝233，故PO →·PA →＝PO →·(PO →＋OA →)＝|PO →|2＝|AP →|2－|AO →|2＝4－43＝83.(2)(2022·营口模拟)已知A (－1,2,1)，B (－1,5,4)，C (1,3,4)．①求〈AB →，BC →〉；②求AC →在AB →上的投影的数量．解①因为A (－1,2,1)，B (－1,5,4)，C (1,3,4)，所以AB →＝(0,3,3)，BC →＝(2，－2,0)．因为AB →·BC →＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，|AB →|＝32，|BC →|＝22，所以cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝－632×22＝－12，故〈AB →，BC →〉＝2π3.②因为AC →＝(2,1,3)，AB →＝(0,3,3)，所以AC →·AB →＝0＋1×3＋3×3＝12.因为|AB →|＝32，|AC →|＝14，所以cos 〈AC →，AB →〉＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝1214×32＝277，所以AC →在AB →上的投影的数量为|AC →|cos 〈AC →，AB →〉＝14×277＝22．题型四向量法证明平行、垂直例4如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(1)证明以A 为原点，AB →，AD →，AA 1—→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，1，B 1(a ,0,1)．故AD 1—→＝(0,1,1)，B 1E —→－a2，1，－因为B 1E —→·AD 1—→＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E —→⊥AD 1—→，即B 1E ⊥AD 1.(2)解存在满足要求的点P ，假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)，设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．AB 1→＝(a ,0,1)，AE →1，因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1—→，n ⊥AE →，z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，故n ，－a2，－要使DP ∥平面B 1AE ，只需n ⊥DP →，则a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：平面A 1B 1D ⊥平面ABD ；(2)求证：平面EGF ∥平面AB D.证明以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)．设BA ＝a ，则A (a ,0,0)，1，(1)因为BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D —→＝(0,2，－2)，所以B 1D —→·BA →＝0，B 1D —→·BD →＝0.所以B 1D —→⊥BA →，B 1D —→⊥BD →，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ⊂平面ABD ，所以B 1D ⊥平面ABD .因为B 1D ⊂平面A 1B 1D ，所以平面A 1B 1D ⊥平面AB D.(2)方法一因为EG →1，EF →＝(0,1,1)，B 1D —→＝(0,2，－2)，所以B 1D —→·EG →＝0，B 1D —→·EF →＝0.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .因为EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EGF ，所以B 1D ⊥平面EGF .又由(1)知B 1D ⊥平面ABD ，所以平面EGF ∥平面AB D.方法二因为GF →－a2，0，所以GF →＝－12BA →，∴GF ∥BA ，又GF ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以GF ∥平面ABD ，同理EF ∥平面ABD ，又GF ∩EF ＝F ，GF ，EF ⊂平面EGF ，所以平面EGF ∥平面ABD .课时精练1．已知直线l 的一个方向向量为m ＝(x ,2，－5)，平面α的一个法向量为n ＝(3，－1,2)，若l ∥α，则x 等于()A ．－6B ．6C ．－4D ．4答案D解析若l ∥α，则m ⊥n ，从而m ·n ＝0，即3x －2－10＝0，解得x ＝4.2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有()A ．若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a ∥bB ．若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则有a ∥cC ．若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则A ，B ，C ，D 四点共面D ．若向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是空间的一组基底，则a ，b ，c 也是空间的一组基底答案ACD解析对于A ，若向量a ，b 与空间任意向量都不能构成基底，则a ，b 为共线向量，即a ∥b ，故A 正确；对于B ，若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c 不一定共线，故B 错误；对于C ，若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则OD →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)，即AD →＝13AB →＋13AC →，可得A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ，若向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是空间的一组基底，则空间任意一个向量d 存在唯一实数组(x ，y ，z ),使d ＝x (a ＋b )＋y (b ＋c )＋z (c ＋a )＝(x ＋z )a ＋(x ＋y )b ＋(y ＋z )c ，则a ，b ，c 也是空间的一组基底．3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝1，则BD 1—→·AD →等于()A ．1B ．2C ．3 D.63答案A解析由长方体的性质可知AD ⊥AB ，AD ⊥BB 1，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝1，BD 1—→＝BA →＋BC →＋BB 1—→，所以BD 1—→·AD →＝(BA →＋BC →＋BB 1—→)·AD →＝BA →·AD →＋BC →·AD →＋BB 1—→·AD →＝0＋BC →2＋0＝1.4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是()A ．(1，－1,1)，3，－31，3答案B解析对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，PA →·n ＝5，所以PA →与n 不垂直，排除A ；同理可排除C ，D ；对于选项B ，有PA →，－4PA →·n ＝0，因此B 项正确．5.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB ＝2，AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．4答案B解析∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →，∵CA →⊥AB →，BD →⊥AB →，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，CA →·BD →＝|CA →||BD →|cos(180°－120°)＝12×1×2＝1.∴CD →2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|CD →|＝3.6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a ＝(2，－2,1)，b ＝(3,0,4)，则下列说法正确的是()A ．向量c ＝(－8,5,6)与a ，b 垂直B ．向量d ＝(1，－4，－2)与a ，b 共面C ．若a 与b 分别是异面直线l 1与l 2的方向向量，则其所成角的余弦值为23D ．向量a 在向量b 上的投影的数量为3答案BC解析对于A ，a ·c ＝－16－10＋6≠0，b ·c ＝－24＋24＝0，故a ，c 不垂直，故A 错；对于B ，设d ＝m a ＋n b ，则m (2，－2,1)＋n (3,0,4)＝(1，－4，－2)，m ＋3n ＝1，2m ＝－4，＋4n ＝－2，＝2，＝－1，即2a －b ＝d ，故B 对；对于C ，因为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝103×5＝23，所以异面直线l 1与l 2所成角的余弦值为23，故C 对；对于D ，向量a 在向量b 上的投影的数量为|a |cos 〈a ，b 〉＝3×23＝2，故D 错．7．已知直线l 的方向向量是m ＝(1，a ＋2b ，a －1)(a ，b ∈R )，平面α的一个法向量是n ＝(2,3,3)．若l ⊥α，则a ＋b ＝________.答案2解析∵m ＝(1，a ＋2b ，a －1)(a ，b ∈R )是直线l 的方向向量，n ＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l ⊥α，∴m ∥n ，∴12＝a ＋2b 3＝a －13，解得a ＝52，b ＝－12，∴a ＋b ＝2.8．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN→＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．答案VA ∥平面PMN解析如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .9．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)．(1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)解(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB →(t ∈R )，AB →＝(1，－1，－2)，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时点E －65，－145，10.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ；(2)PD ⊥平面AHF .证明(1)∵E ，H 分别是线段AP ，AB 的中点，∴PB ∥EH .∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH .(2)建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，H (1,0,0)．PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.∴PD →⊥AF →，PD →⊥AH →，∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH .∵AH ∩AF ＝A ，且AH ，AF ⊂平面AHF ，∴PD ⊥平面AHF .11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论不正确的是()A ．当A 1C —→＝2A 1P —→时，B 1，P ，D 三点共线B ．当AP →⊥A 1C —→时，AP →⊥D 1P—→C ．当A 1C —→＝3A 1P —→时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当A 1C —→＝5A 1P —→时，A 1C ⊥平面D 1AP 答案B解析如图，建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C (0，3，0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，B 1(1，3，1)，D (0,0,0)，B (1，3，0)，C 1(0，3，1)，当A 1C —→＝2A 1P —→时，A 1P —→－12，32，－DP →＝DA 1—→＋A 1P —→，32，而DB 1—→＝(1，3，1)，∴DP →＝12DB 1—→，∴B 1，P ，D 三点共线，A 正确；设A 1P —→＝λA 1C —→，A 1C —→＝(－1，3，－1)，则AP →＝AA 1—→＋A 1P —→＝AA 1—→＋λA 1C —→＝(－λ，3λ，1－λ)．当AP →⊥A 1C —→时，有AP →·A 1C —→＝5λ－1＝0，∴λ＝15，∴AP →·D 1P —→－15，35，，35，－＝－15≠0，∴AP →与D 1P —→不垂直，B 不正确；当A 1C —→＝3A 1P —→时，A 1P —→－13，33，－D 1P —→＝A 1P —→－A 1D 1—→，33，－又DB →＝(1，3，0)，DC 1—→＝(0，3，1)，∴D 1P —→＝23DB →－13DC 1—→，∴D 1P —→，DB →，DC 1→共面，又D 1P ⊄平面BDC 1，∴D 1P ∥平面BDC 1，C 正确；当A 1C —→＝5A 1P —→时，A 1P —→－15，35，－AP →－15，35，又AD 1—→·A 1C —→＝(－1,0,1)·(－1，3，－1)＝0，∴A 1C ⊥AD 1，AP →·A 1C —→－15，35，－1，3，－1)＝0，∴A 1C ⊥AP ，∵AD 1∩AP ＝A ，AD 1，AP ⊂平面D 1AP ，∴A 1C ⊥平面D 1AP ，D 正确．12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含端点)．若D 1M ⊥MN ，则下列命题正确的是()A ．MN ⊥A 1MB ．MN ⊥平面D 1MCC ．线段BN 长度的最大值为34D ．三棱锥C 1－A 1D 1M 体积不变答案ACD解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，B (3,3,0)，设M (3，y ,0)，N (3,3，z )，y ，z ∈(0,3)，D 1M —→＝(3，y ，－3)，MN →＝(0,3－y ，z )，而D 1M ⊥MN ，则D 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，即z ＝13y (3－y )．对于A 选项，连接A 1M ，A 1M —→＝(0，y ，－3)，则A 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，则A 1M —→⊥MN →，MN ⊥A 1M ，A 正确；对于B 选项，CM →＝(3，y －3,0)，CM →·MN →＝(y －3)(3－y )＝－(3－y )2<0，即CM 与MN 不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，B 不正确；对于C 选项，BN →＝(0,0，z )，则线段BN 长度|BN →|＝z ＝13－y －32＋94≤34，当且仅当y ＝32时等号成立，C 正确；对于D 选项，连接D 1M ，A 1C 1，MC 1，不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而111111111133C AD M M A D C A D C V V S --==⋅⋅△＝92，所以三棱锥C 1－A 1D 1M 体积为定值，即D 正确．13．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．答案15解析如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A0，32，0，B 1－12，0，2，C 12，0，0，C 112，0，2M (0,0,0)，设因为C 1N —→＝λNC →，所以所以AB 1—→－12，－32，MN →又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1—→·MN →＝0，所以－14＋41＋λ＝0，解得λ＝15.14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1，BB 1的中点，则cos ∠EAF ＝________，EF ＝________.答案2562解析如图，以A 为坐标原点，AB ，AD，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，则，12，，0∴AE →，12，AF →，0EF →，－12，－cos 〈AE →，AF →〉＝AE →·AF →|AE →||AF →|＝1252×52＝25，∴cos ∠EAF ＝25，EF ＝|EF →|＝62.15．已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中PD ＝8，CE ＝6，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F 满足AF →＝λAB →(0＜λ＜1)时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为()A.12 B.23 C.35 D.45答案C 解析由题意，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,4,0)，E (4,0,2)，C (4,4,0)，P (0,0,4)，A (0,0,0)，B (4,0,0)，设F (t ,0,0)，0<t <4，AF →＝λAB →(0＜λ＜1)，则(t ,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t ＝4λ，∴F (4λ，0,0)，DE →＝(4，－4,2)，DF →＝(4λ，－4,0)，PC →＝(4,4，－4)，PE →＝(4,0，－2)，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，n ·DE →＝4x －4y ＋2z ＝0，n ·DF →＝4λx －4y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，m ·PC →＝4a ＋4b －4c ＝0，m ·PE →＝4a －2c ＝0，取a ＝1，得m ＝(1,1,2)，∵平面DEF ⊥平面PCE ，∴m ·n ＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝35.16.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA →·AB →＝PA →·AC →＝AB →·AC →＝0，|PA →|2＝|AC →|2＝4|AB →|2.(1)求证：AB ⊥平面PAC ；(2)若M 为线段PC 上的点，设|PM →||PC →|＝λ，当λ为何值时，直线PC ⊥平面MAB ?(1)证明因为PA →·AB →＝PA →·AC →＝AB →·AC →＝0，所以PA ⊥AB ，AB ⊥AC ，因为PA ∩AC ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC .(2)解当M 为PC 的中点，即λ＝12时，直线PC ⊥平面MAB .如图，以A 为坐标原点，射线AC ，AB ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系Axyz .由|PA →|2＝|AC →|2＝4|AB →|2可得PA ＝AC ＝2AB .设AP ＝2，则P (0,0,2)，A (0,0,0)，C (2,0,0)，B (0,1,0)，M (1,0,1)．PC →＝(2,0，－2)，AM →＝(1,0,1)，MB →＝(－1,1，－1)．PC →·AM →＝2×1＋0×0＋(－2)×1＝0，所以PC →⊥AM →，即PC ⊥AM .PC →·MB →＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，所以PC →⊥MB →，即PC ⊥BM .又因为AM ∩BM ＝M ，AM ，BM ⊂平面MAB ，所以PC ⊥平面MAB .1故当λ＝2时，PC⊥平面MAB.。

2019-2020学年高考数学一轮复习《空间向量》教案1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直第1课时 空间向量及其运算(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ．(3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ． 4．共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量．(2) 共面向量定理：两个向量a 、b 不共线，则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,)，使P ．共面向量定理的推论： ． 5．空间向量基本定理(1) 空间向量的基底： 的三个向量．(2) 空间向量基本定理：如果a ，b ，c 三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．空间向量基本定理的推论：设O ，A ，B ，C 是不共面的的四点，则对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组z y x ,,，使 ．6．空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角： ．(2) 空间向量的长度或模： ．(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a 、b ，则a ·b ＝ ． 空间向量的数量积的常用结论： (a) cos 〈a 、b 〉＝ ；(b) ⎪a ⎪2＝ ； (c) a ⊥b ⇔ ． (4) 空间向量的数量积的运算律：(a ) 交换律a ·b ＝ ； (b ) 分配律a ·(b ＋c )＝ ．例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值.解：易求得0,21=-∴==y x y x变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中与B 1相等的向量是( )A ．-21a ＋21b ＋c B ．21a ＋21b ＋cC ．21a -21b ＋cD ．-21a -21b ＋c解：A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，ACD A1B 1求证：AB 1∥平面C 1BD. 证明：记,,,1AA ===则c b CC DC DC b a AD AB DB c a AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB c a DC DB =+=+,∴11,,DC DB AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2：正方体ABCD －EFGH 中，M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点，且AM ＝EN ． (1) 求证：MN∥平面FC ； (2) 求证：MN⊥AB；(3) 当MA 为何值时，MN 取最小值，最小值是多少？ 解：(1) 设.)1(,BF k BC k MN k ACMCEB NB +-===则变式训练3：已知平行六面体1111D C B A ABCD -，E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点．求证：E 、F 、G 、H 四点共面． 解：+=＝1GC +＝1FC GF HC ++＝GF FC F A ++11＝GF EF +2， 所以EH EG EF ,,共面，即点E 、F 、G 、H 共面．例4. 如图，平行六面体AC 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝GB 21，过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ，求AP:PC 1的值．解：设1m =ADAA AB C B BB AB AC 234311111++=++=++=∴m m m 2343++=又∵E、F 、G 、P 四点共面，∴12343=++m m m ∴193=m ∴AP︰PC 1＝3︰16 变式训练4：已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为O B 的中点，若AB ＝OC ，求证QN PM ⊥． 证明：法一：)(21OC OB OM +=)(21OC OA ON +=)(21OC AB OM PO PM +=+=∴ )(21AB OC ON QO QN -=+=0)41==⋅∴QN PM 故QN PM ⊥法二：·＝(＋)·(＋) ＝)(21+·)(21+ ＝)(4122-＝01．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果．13．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ．4．异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线l1、l2，AB为其公垂线段，C、D分别为l1、l2上的任意一点，为与共线的向量，则｜.5．设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且P o∈α，则点P到平面α的距离是do||n。

高三数学第一轮复习讲义（61）2004.12.9空间向量及其运算一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质．二．主要知识：1．向量共线的充要条件：；2．三点共线：；3．三向量共面：；4．四点共面：；5．两向量夹角的范围；三．课前预习：1．如图：在平行六面体中，为与的交点。

若，，，则下列向量中与相等的向量是（）2．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）①②①③②③①②③3．下列命题正确的是（）若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）四．例题分析：例1．已知在正三棱锥中，分别为中点，为中点，求证：例2．已知分别是空间四边形的边的中点，（1）用向量法证明四点共面；（2）用向量法证明：//平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有例3．在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，求（1）的长；（2）直线与所成角的余弦值。

五．课后作业：班级学号姓名1．对于空间任意一点和不共线三点，点满足是点共面的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件2．棱长为的正四面体中，。

3．向量两两夹角都是，，则。

4．已知正方体，点分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的的值：（1），则；（2），则；；（3），则；；5．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：（1）；（2）。

6．设是平行六面体，是底面的中心，是侧面对角线上的点，且，设，试求的值。

7．空间四边形中，，求与夹角的余弦值。

8．如图，在平行六面体中，分别为平行六面体棱的中点，求证：（1）（2）六点共面.。

向量一、向量的概念及表示1.定义（两个关键词：方向和长度）2.平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任一向量共线． 相等向量：大小相等且方向相同的向量．（向量具有可平移性）3.两个特殊向量：单位向量与零向量．【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)向量AB 与是共线向量，则D C B A 、、、四点在一直线上； (2)若四边形ABCD 中有AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； (3)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝DC ； (4)若a b =，则a ∥b ； (5)单位向量都相等；(6)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． 二、 向量的线性运算1.向量的加法：平行四边形法则（共起点）与三角形法则（首尾相连，起点到终点）； 向量的加法运算律满足交换律和结合律.2.向量的减法：三角形法则（共起点，连接终点，指向被减向量）记=，=. 则=+=+，==--.●≤±≤.【例2】在ABC ∆则=∠BAC .【例3】已知: O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若AB a =,DA b =,OC c =.试证明：b c a OA +-=．3．向量的数乘：①数乘的结果仍是向量； ②注意λ的大小和方向受λ的影响. ●中线公式：已知点D 为ABC ∆边BC 的中点，则1()2AD AB AC =+.●已知点O 是ABC ∆的内一点，则点O 是ABC ∆的重心⇔0OA OB OC ++=.4. 向量共线定理：b ∥a ）（≠⇔有且仅有一个实数λ，使b a λ=.【例4】设12,e e 是平面内的不共线向量,如果122AB ke e =-,124BC e e =+，1283CD e ke =-若,,A B D三点共线,则k 的值为 ．【例5】O 为ABC ∆所在平面的任意一点，P 为该平面内一动点且满足(),AB AC OP OA R ABACλλ=++∈ ,则点P 经过ABC ∆的 心.●若与不共线，点C 满足OB OA OC μλ+=，则C B A 、、三点共线⇔1=+μλ.三、向量的坐标表示 1.平面向量基本定理：如果向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. ●平面内的基底不是唯一的，有无数组.【例6】在边长为1的正三角形ABC ∆中，点E D ，在边AC 上，AC AD 31=，E 是AC 的中点，则=∙ .2. 平面向量的坐标表示及坐标运算在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面上的向量a ，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a y x +=.我们把有序实数对()y x ，称为向量a 的（直角）坐标，记作=()y x ，. ●设()11y x ，=，()22y x ，=和实数λ，则=+ ，=- ，=λ .已知坐标原点O ，()11y x A ，，()22y x B ，,则=-= . 3.向量平行的坐标表示：设()11y x ，=，()22y x ，=，则⇔// .【例7】已知)0,1(=a，)1,2(=b ，当实数k 为何值时，向量b a k -与b a 3+ 平行？并确定此时它们是同向还是反向.四、向量的数量积1．定义：①cos a b a b θ⋅=（定义式：θ强调共起点，,a b 为非零向量）.1212x x y y =+（坐标式）②0与任一向量的数量积为0.2．模：2222a a x y ==+. 3．夹角：12cos a b a bx θ⋅==+,a b 为非零向量）.4．()121200,00a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=≠≠⇔+=.【例8】①ABC ABC ∆>⋅∆则中，若在,0为__________三角形(锐角或钝角).②在边长为1的等边ABC ∆中，设=⋅+⋅+⋅===a c c b b a c AB b CA a BC 则,,,____.【例9】直角三角形ABC 中，),1(),3,2(kAC AB==，求实数k 的值.【例10】已知向量()m a ,1=，()1,2-=b =m 的值.【例11】若()()2,,1,3a x b ==的夹角为锐角，则x 的取值范围是 .●注意00cos 102a b πθθ<<⇔<<⇔⋅>且与的共线的去除.【例125=+，则向量a 与b 的夹角为____.【例13】如图，AB 是半圆O 的直径，D C 、是弧AB 三等分点，N M ，是线段AB 的三等分点，若6=OA ，则∙的值是．●向量的数量积一般有三种方法：定义法、坐标法、基底法.尤其当题中出现直角三角形、正三角形、正方形、矩形、菱形等几何图形时可以优先考虑建系. 五、向量法的综合运用在平行四边形ABCD 中，=，=⇔平行四边形ABCD 是菱形；⇔平行四边形ABCD 是矩形.【例13】平面向量a ，b 中，已知(4,3)a =-，1b =，且5a b ⋅=，则向量b = .【例14】设向量)(),31cos ,59(cos ),76cos ,14(cos R t b t a u b a ∈+=== ,则||u 的最小值是 ．法一：代数法； 法二：几何法（考察的几何意义）【例14】设点O 是ABC ∆的外心，5AB =，4AC =，则BC OA ⋅= .【例15】已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，设c 1=-a 的范围.【例16】边长为ABC ∆中，D 为边AB 的中点，若P 为线段CD 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值为 .【例17】在ABC ∆中，3,2,60AB AC BAC ︒==∠=.（1）求BC 边的长；（2）求BC 边的中线AD 的长.。

第八章 立体几何第四课时 空间向量及其运算一要点梳理：1.空间向量的相关概念2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量a,b （b ≠0）,a 与b 共线的充要条件是存有实数 ， 使得a= b .（2）共面向量定理的向量：如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与a,b 向量共线的充要条件是存有有序实数对（x,y ）使得p=x a+y b,（3）空间向量基本定理：如果三个向量e 1,e 2,e 3不共面，那么对空间任一向量p ,存有惟一的有序实数组（x,y,z ），使得p= x e 1+y e 2+z e 3 ,把{e 1，e 2,e 3}叫做空间的一个基底。

如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底。

特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{}k j i ,,表示。

推论：设C B A O ,,,是不共线的四点，则对空间任意一点P ，都存有惟一的有序实数组()z y x ,,，使得OC z OB y OA x OP ++=。

3.空间向量的数量积及运算律（1）数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O ，作 =a ， =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a,b 〉 ,其范围是 0≤〈a,b 〉≤π ,若〈a,b 〉= ,则称a 与b 互相垂直 ,记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b ,则|a||b|cos 〈a,b 〉叫做向量a,b 的数量积,记作a ·b 即a ·b=|a||b|·cos 〈a,b 〉4.空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算λλOA OB π2若a=（a 1,a 2,a 3）,b=（b 1,b 2,b 3）,则a ·b= （2）共线与垂直的坐标表示 设a=（a 1,a 2,a 3）,b=（b 1,b 2,b 3）,则a ∥b ⇔a ⊥b ⇔ （a,b 均为非零向量）.（3）模、夹角和距离公式设a=（a 1,a 2,a 3）,b=（b 1,b 2,b 3）,则|a|= = ，cos 〈a,b 〉= = .二、随堂练习：1、如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设 =a ， =b ， =c ， M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示向量 =2、若a=（2x,1,3）,b= （1,-2y,9）,且a ∥b ，则x= ,y= .3、已知a=（1-t ，1-t ，t ），b=（2，t ，t ），则|b-a|的最小值为 .4、在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B （1，-3，1），点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是 .5、A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足 =0， =0， =0，则△BCD 是 三角形（用“锐角”、“直角”、“钝角”填空）.6、 已知空间四边形ABCD 的每条边和 对角线的长都等于a,点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则 · 的值为 .a a ⋅||||ab a b ⋅⋅1AA AB AD AB AC⋅AC AD ⋅AB AD⋅1MP NC +AE AF7、 如图所示，已知空间四边形ABCD ，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若 则 = .8、 已知A （1，2，3），B （2，1，2），P （1，1，2），点Q 在直线OP 上运动，则当 · 取最小值时，点Q 的坐标为9、如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的 三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.（1）求AC 1的长；（2）求BD 1与AC 夹角的余弦值.EF(),AB DC λ=+λQA QB。

第三课时 空间向量及其运算强化训练一、复习目标：1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练，使学生进一步熟练理解和掌握上述概念和运算方法，提高学生的灵活和综合运用能力。

二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程 （一）、基础自测（分组训练、共同交流） 1.有4个命题：①若p =x a +y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p =x a +y b ； ③若MP =x MA +y MB ，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是（ B ）。

A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列命题中是真命题的是( D )。

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若|a |=|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB ，CD 满足|AB |＞|CD |，且AB 与CD 同向，则AB ＞CDD.若两个非零向量AB 与CD 满足AB +CD =0，则AB ∥CD 3.若a =(2x,1,3),b =(1,-2y,9),且a ∥b ，则（ C ）。

A.x=1,y=1B.x=21，y=-21C.x=61，y=-23D.x=-61，y=234.已知A （1，2，3），B （2，1，2），P （1，1，2），点Q 在直线OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是 . 答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34,345.在四面体O-ABC 中，OA =a ,OB =b , OC =c ,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点，则OE = (用a ,b ,c 表示).答案 21a +41b +41c（二）、典例探析例1、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，设1AA =a ，AB =b ，AD =c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： （1）AP ；（2）N A 1；（3）MP +1NC .解 （1）∵P 是C 1D 1的中点，∴AP =1AA +11D A +P D 1=a +AD +2111C D =a +c +21AB =a +c +21b . （2）∵N 是BC 的中点，∴N A 1=A A 1+AB +BN =-a +b +21BC =-a +b +21AD =-a +b +21c . （3）∵M 是AA 1的中点，∴MP =MA +AP =21A A 1+AP =-21a +(a +c +21b )= 21a +21b +c ， 又1NC =NC +1CC =21BC +1AA =21AD +1AA =21c +a ，∴MP +1NC =(21a +21b +c)+(a +21c )=23a +21b +23c . 例2、如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N分别是AB 、CD 的中点.（1）求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；（2）求MN 的长； （3）求异面直线AN 与CM 夹角的余弦值. （1）证明 设AB =p , AC =q ，AD =r .由题意可知：|p |=|q |=|r |=a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.MN =AN -AM =21（AC +AD ）-21AB =21（q +r -p ），∴MN ·AB =21（q +r -p ）·p =21（q ·p +r ·p -p 2）=21（a 2·cos60°+a 2·cos60°-a 2）=0. ∴MN ⊥AB,同理可证MN ⊥CD.（2）解 由（1）可知MN =21（q +r -p ）∴|MN |2=MN 2=41（q +r -p ）2=41［q 2+r 2+p 2+2（q ·r -p ·q -r ·p ）］=41[a 2+a 2+a 2+2（22a -22a -22a ）] =41×2a 2=22a . ∴|MN |=22a,∴MN 的长为22a. (3)解 设向量AN 与MC 的夹角为θ.∵AN =21(AC +AD )=21(q +r ), MC =AC -AM =q -21p ,∴AN ·MC =21（q +r ）·（q -21p ）=21（q 2-21q ·p +r ·q -21r ·p ）=21(a 2-21a 2·cos60°+a 2·cos60°-21a 2·cos60°)=21（a 2-42a +22a -42a ）=22a .又∵|AN |=|MC |=a 23，∴AN ·MC =|AN |·|MC |·cos θ=a 23·a 23·cos θ=22a . ∴cos θ=32， ∴向量AN 与MC 的夹角的余弦值为32，从而异面直线AN 与CM 夹角的余弦值为32.例3、 （1）求与向量a =(2,-1,2)共线且满足方程a ·x =-18的向量x 的坐标；（2）已知A 、B 、C 三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P 的坐标使得AP =21（AB -AC ）； （3）已知a =（3，5，-4），b =（2，1，8），求：①a ·b ；②a 与b 夹角的余弦值；③确定λ，μ的值使得λa +μb 与z 轴垂直，且（λa +μb ）·（a +b ）=53.解 （1）∵x 与a 共线，故可设x =k a ，由a ·x =-18得a ·k a =k|a |2=k （414++）2=9k ，∴9k=-18，故k=-2. ∴x =-2a =（-4，2，-4）.（2）设P （x ，y ，z ），则AP =（x-2，y+1，z-2）， AB =（2，6，-3），AC =（-4，3，1），∵AP =21（AB -AC ）. ∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x ∴P 点坐标为(5，21，0).（3）①a ·b =（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a |=222)4(53-++=52, |b |=222812++=69,∴cos 〈a ,b 〉=b b a a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387.③取z 轴上的单位向量n =（0，0，1），a +b =（5，6，4）.依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b b b a a a a μλμλ 即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ 故⎩⎨⎧=+=+-531829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ. （三）、强化训练：如图所示，正四面体V —ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M. （1）求证：AO 、BO 、CO 两两垂直； （2）求〈DM ,AO 〉.(1)证明 设VA =a ,VB =b , VC =c ,正四面体的棱长为1, 则VD =31(a +b +c ),AO =61(b +c -5a ),BO =61(a +c-5b ), CO =61(a +b -5c ) ∴AO ·BO =361（b +c -5a ）·（a +c -5b ）=361（18a ·b -9|a |2） =361（18×1×1·cos60°-9）=0.∴AO ⊥BO ，∴AO ⊥BO ，同理AO ⊥CO ，BO ⊥CO ， ∴AO 、BO 、CO 两两垂直.（2）解 DM =DV +VM =-31（a +b +c ）+21c =61(-2a -2b +c ).∴|DM |=()22261⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--c b a =21，|AO |=()2561⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+a c b =22，DM ·AO =61（-2a -2b +c ）·61（b +c -5a ）=41，∴cos 〈DM ,AO 〉=222141⋅=22，∵〈DM ,AO 〉∈(0,π),∴〈DM , AO 〉=45°. （四）、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。

第6节空间向量及其运算和空间位置关系1．空间向量及其有关概念 语言描述共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b≠0)，a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 共面向量定理若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝xa ＋yb空间向量 基本定理定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }使得p ＝x a ＋y b ＋z c推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对平面ABC 内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC 且x ＋y ＋z ＝12．数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： ①a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉；②a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)； ③|a |2＝a 2，|a |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)向量的坐标运算：a＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3) 向量和 a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) 向量差 a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积 a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线 a ∥b ⇒a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ，b ≠0)垂直 a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 夹角 公式cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 231．共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb 易忽视b ≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x ，y )是唯一存在的．3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量． 『试一试』1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ―→，OB ―→，OC ―→不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底．其中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．『解析』对于①，“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．『答案』②③ 2．在下列命题中：①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行；②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面；④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p ＝xa ＋yb ＋zc .其中正确命题的个数是________．『解析』a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；据空间向量的意义知，a ，b 所在直线异面，则a ，b 必共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ，故④不正确．综上可知四个命题中正确的个数为0.『答案』01．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB ―→为直线l 的方向向量，与AB ―→平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2．建立空间直角坐标系的原则：(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直； (2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．『练一练』1．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标是(x,0，y )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标是________．『解析』PA ＝(－x,1，－y )，AB ＝(－1，－1，－1)，AC ＝(2,0,1)，∵P A ⊥平面ABC ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即PA ·AB ＝x ＋y －1＝0，PA ·AC ＝2x ＋y ＝0， ∴x ＝－1，y ＝2，故P 点的坐标是(－1,0,2)． 『答案』(－1,0,2)2．已知a ＝(cos θ，1，sin θ)，b ＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________． 『解析』∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2θ＋1＋sin 2θ)－(sin 2θ＋1＋cos 2θ)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )，即向量a ＋b 与a －b 的夹角为90°. 『答案』90°3．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是________．『解析』建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，1，12，则1A M ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，－1，DN ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，所以cos 〈1A M ，DN 〉＝1A M ·DN|1A M |·|DN |＝0，所以1A M ⊥DN ，故异面直线A 1M 与DN 所成角的大小为90°.『答案』90°考点一空间向量的线性运算1．在四面体O ­ABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．『解析』OE ＝12(OD ＋OA )＝12⎣⎡⎦⎤12OC ＋OB＋OA＝12a ＋14b ＋14c . 『答案』12a ＋14b ＋14c2.如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简1A O －12AB －12AD ＝________；(2)用AB ，AD ，1AA 表示1OC ，则1OC ＝________. 『解析』(1) 1A O －12AB －12AD ＝1A O －12(AB ＋AD )＝1A O －AO ＝1A O ＋OA ＝1A A . (2)OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )，∴1OC ＝OC ＋1CC ＝12(AB ＋AD )＋1AA＝12AB ＋12AD ＋1AA . 『答案』(1)1A A (2)12AB ＋12AD ＋1AA『备课札记』2题中条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE ＝231DD ，若EO ＝x AB ＋y AD ＋z 1AA .试求x ，y ，z 的值. 『解』EO ＝ED ＋DO ＝－231DD ＋12(DA ＋DC )＝12AB －12AD －231AA ，由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.考点二共线、共面向量定理的应用『典例』 已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH . 『证明』 (1)连结BG ， 则EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH ， 由共面向量定理知： E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH ＝AH －AE＝12AD －12AB ＝12(AD －AB )＝12BD ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .『备课札记』 『类题通法』1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决． 2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确． 『针对训练』已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM ＝13(OA ＋OB＋OC )．(1)判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 『解』(1)由OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ∴MA ，MB ，MC 共面． (2)由(1)知MA ，MB ，MC 共面，且共过同一点M ，∴四点M ，A ，B ，C 共面．从而点M 在平面ABC 内．考点三利用空间向量证明平行或垂直『典例』 (2014·汕头模拟)如图所示的长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；『证明』 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)，∴1OD ＝(－1，－1，2)． 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)，∴1OD ＝BM .又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连结OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .『备课札记』 『类题通法』利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R)．l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.『针对训练』已知在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 是CC 1的中点，点F 为BD 1的中点．(1)证明AC 1∥平面BDE ； (2)证明平面BDE ⊥平面AA 1C 1C . 证明：(1)以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C ­xyz ，则B (0,1,0)，D (1,0,0)，D 1(1,0,2)，F (12，12，1)， C 1(0,0,2)，E (0,0,1)，A (1,1,0)． 则BD ＝(1，－1,0)，DE ＝(－1,0,1)， 设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，由⎩⎨⎧n ·BD ＝x －y ＝0，n ·DE ＝－x ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故平面EBD 的一个法向量为n ＝(1,1,1)． 又1AC ＝(－1，－1,2)，则1AC ·n ＝(－1，－1,2)·(1,1,1)＝－1－1＋2＝0，所以1AC ⊥n ，即直线AC 1的方向向量与平面BDE 的一个法向量垂直， 又AC 1不在平面BDE 内，故AC 1∥平面BDE .(2)由(1)知平面BDE 的一个法向量n ＝(1,1,1)，又BD 为平面AA 1C 1C 的一个法向量且BD ＝(1，－1,0)．又BD ·n ＝(1，－1,0)·(1,1,1)＝0，所以BD ⊥n ，即两个平面的法向量互相垂直． 所以平面BDE ⊥平面AA 1C 1C .『课堂练通考点』1．在空间四边形ABCD 中，AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝________. 『解析』如图，令AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则AB ·CD ＋AC ·DB ＋AD ·BC ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0 『答案』02．A ，B ，C ，D 是空间四点，有以下条件：①OD ＝OA ＋12OB ＋13OC ；②OD ＝12OA＋13OB ＋14OC ；③OD ＝12OA ＋13OB ＋15OC ；④OD ＝12OA ＋13OB ＋16OC .能使A ，B ，C ，D 四点一定共面的条件是________．(填序号)『解析』对于共面四点A ，B ，C ，D ，当能写成OD ＝x OA ＋y OB ＋z OC 时，应有x ＋y ＋z ＝1.经检验只有④满足．『答案』④3．(2014·上饶模拟)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |＝________.『解析』以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ， 则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2.设M (x ，y ，z ) ∵点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN |＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32 ＝216a . 『答案』216a 4．在空间四边形ABCD 中，G 为CD 的中点，则AB ＋12(BD ＋BC )＝________.『解析』依题意有AB ＋12(BD ＋BC )＝AB ＋12×2BG ＝AB ＋BG ＝AG .『答案』AG5.如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值． 『解』∵BC ＝AC －AB ， ∴OA ·BC ＝OA ·(AC －AB ) ＝OA ·AC －OA ·AB＝|OA ||AC |cos 〈OA ，AC 〉－|OA ||AB |cos 〈OA ，AB 〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA ，BC 〉＝OA ·BC |OA ||BC |＝24－1628×5＝3－225.故OA 与BC 夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.。

向量一、向量的概念及表示1.定义（两个关键词：方向和长度）2.平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任一向量共线． 相等向量：大小相等且方向相同的向量．（向量具有可平移性）3.两个特殊向量：单位向量与零向量．【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)向量AB u u u r与CD 是共线向量，则D C B A 、、、四点在一直线上；(2)若四边形ABCD 中有AB DC =u u r u u u r，则四边形ABCD 是平行四边形； (3)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB u u r ＝DC uu u r；(4)若a b =r r，则a r ∥b r ；(5)单位向量都相等；(6)若a r ∥b r ，b r ∥c r ，则a r∥c r ． 二、 向量的线性运算1.向量的加法：平行四边形法则（共起点）与三角形法则（首尾相连，起点到终点）； 向量的加法运算律满足交换律和结合律.2.向量的减法：三角形法则（共起点，连接终点，指向被减向量）记a OA =，b OB =. 则OC OB OA b a =+=+，BA OB OA b a ==--.●b a b a b a +≤±≤-.【例2】在ABC ∆中，若AC AB AC AB -==,则=∠BAC .【例3】已知: O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若AB a =u u u r r ,DA b =uuu r r,OC c =u u u r r .试证明：b c a OA +-=r r r u u u r．3．向量的数乘：①数乘的结果仍是向量； ②注意a λ的大小和方向受λ的影响. ●中线公式：已知点D 为ABC ∆边BC 的中点，则1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r.BO CA●已知点O 是ABC ∆的内一点，则点O 是ABC ∆的重心⇔0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r.4. 向量共线定理：b r ∥a r）（0≠a ⇔有且仅有一个实数λ，使b a λ=r r .【例4】设12,e e u r u u r 是平面内的不共线向量,如果122AB ke e =-u u u r u r u u r ,124BC e e =+u u u r u r u u r ，1283CD e ke =-u u u r u r u u r若,,A B D三点共线,则k 的值为 ．【例5】O 为ABC ∆所在平面的任意一点，P 为该平面内一动点且满足(),ABAC OP OA R ABACλλ=++∈u u ru u u ru u r u u ru u r u u u r ,则点P 经过ABC ∆的 心.●若OA 与OB 不共线，点C 满足OB OA OC μλ+=，则C B A 、、三点共线⇔1=+μλ.三、向量的坐标表示 1.平面向量基本定理：如果向量12,e e u r u r是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+r u r u r. ●平面内的基底不是唯一的，有无数组.【例6】在边长为1的正三角形ABC ∆中，点E D ，在边AC 上，AC AD 31=，E 是AC 的中点，则=•BE BD .2. 平面向量的坐标表示及坐标运算在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a j y i x +=.我们把有序实数对()y x ，称为向量a 的（直角）坐标，记作a =()y x ，. ●设()11y x a ，=，()22y x b ，=和实数λ，则=+b a ，=b a - ，=a λ .已知坐标原点O ，()11y x A ，，()22y x B ，,则=-=OA OB AB . 3.向量平行的坐标表示：设()11y x a ，=，()22y x b ，=，则⇔b a // .【例7】已知)0,1(=a ρ，)1,2(=b ρ，当实数k 为何值时，向量b a k ρρ-与b a ρρ3+ 平行？并确定此时它们是同向还是反向.MO N BAD C四、向量的数量积1．定义：①cos a b a b θ⋅=r r r r（定义式：θ强调共起点，,a b r r 为非零向量）.1212x x y y =+（坐标式）②0r与任一向量的数量积为0. 2．模：2222a a x y ==+r r . 3．夹角：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++r r r r （,a b r r为非零向量）.4．()121200,00a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=≠≠⇔+=r r r r r r r r.【例8】①ABC BC AB ABC ∆>⋅∆则中，若在,0为__________三角形(锐角或钝角).②在边长为1的等边ABC ∆中，设=⋅+⋅+⋅===a c c b b a c AB b CA a BC 则,,,____.【例9】直角三角形ABC 中，),1(),3,2(k AC AB ==，求实数k 的值.【例10】已知向量()m a ,1=，()1,2-=b ，若b a b a -=+，求实数m 的值.【例11】若()()2,,1,3a x b ==r r的夹角为锐角，则x 的取值范围是 .●注意00cos 102a b πθθ<<⇔<<⇔⋅>r r且a 与b 的共线的去除.【例12】已知a ，b 均为单位向量，若52=+b a ，则向量a r与b r 的夹角为____.【例13】如图，AB 是半圆O 的直径，D C 、是弧AB 三等分点，N M ，是线段AB 的三等分点，若6=OA ，则NC MD •的值是 ．●向量的数量积一般有三种方法：定义法、坐标法、基底法.尤其当题中出现直角三角形、正三角形、正方形、矩形、菱形等几何图形时可以优先考虑建系. 五、向量法的综合运用在平行四边形ABCD 中，=，=b a 平行四边形ABCD 是菱形；⇔-=+b a b a 平行四边形ABCD 是矩形.【例13】平面向量a ，b 中，已知(4,3)a =-r ，1b =r，且5a b ⋅=r r ，则向量b r = .【例14】设向量)(),31cos ,59(cos ),76cos ,14(cos R t b t a u b a ∈+===οοοο,则||u 的最小值是 ．法一：代数法； 法二：几何法（考察u 的几何意义）【例14】设点O 是ABC ∆的外心，5AB =，4AC =，则BC OA ⋅=u u u r u u u r.【例15】已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=r r ，设c r满足1=--b a c ，求c 的范围.【例16】边长为23ABC ∆中，D 为边AB 的中点，若P 为线段CD 上的动点，则()PA PB PC +⋅u u r u u u r u u u r的最小值为 .【例17】在ABC ∆中，3,2,60AB AC BAC ︒==∠=.（1）求BC 边的长；（2）求BC 边的中线AD 的长.。