小学数学解题技巧：用比例法巧求面积

小学四年级数学的解题策略和技巧对于小学四年级的数学来说，学习方法没有解题策略和技巧来的重要，很多人不清楚要怎么解题，所以成绩很难提升。

这里跟大家分享一些小学四年级数学的解题策略和技巧，希望对大家有所帮助。

小学四年级数学应用题解题技巧小学四年级数学的应用题，一般很多数量关系交织在一起，结构相对复杂，类型一般接近生活的真实题，有一定的灵活性，但解题方法还是有一定的规律性。

但还是有许多的学生在解题时会错，要不题意理解错误导致列错算式，要不就在计算过程中出错导致错误。

所以，在此很有必要让学生在已学知识的基础上，由题中已知条件和所要求的问题来分析推理，选用一定的解题方法，方能引导学生走出困境，达到化难为易、化繁为简的目的。

在此列举几个典例来说明：例l1:修路队要铺8500米水泥路面，第一星期铺了2500米，第二星期铺了4000米。

剩下的路准备 4天铺完，平均每天要铺多少米?分析与解：剩下的路就是全长减去第一，二星期铺完了的路，所以剩下的路就是8500-(2500+4000)=2000(米)，剩下的路要4天铺完，那么就是2000÷4=500(米);这题也可以这样去解，剩下的路会等于全长减去第一星期铺了的路再减去第二兴趣铺了的路，用算式表示：8500-2500-4000=2000(米)，因为题目接近实际所以比较灵活，没有固定的解题方法例2:有一个六位数1abcde，乘以3后就变成abcde1，这个六位数是多少呢?分析与解：要想求得这个六位数是多少，只需要知道a、b、c、d、e各是多少就可以了，可是，这五个字母不是那么容易求得的。

如果把这五个字母当作—个整体，求解就变得容易很多了。

解：假设这五个字母abcde=x，由题意可以列出方程(100000+x)×3=10x+1.解得x=42857，因此这个六位数就是142857.例3:兴趣小组有四名学生，这四名同学的年龄刚好一个比另一个大一岁。

四名学生的年龄之积为11880.这四个同学的年龄分别是多少?分析与解：如果用列方程的方法来解答，很容易就得出x(x+1)(x+2)(x+3)，可是要小学生解这个方程是不行的。

解决比例和百分比问题的小学数学技巧数学作为一门重要的学科，对于小学生来说是必不可少的。

在学习数学的过程中，解决比例和百分比问题是一个重要的环节。

本文将介绍一些小学数学技巧，帮助学生更好地解决这类问题。

首先，我们来讨论比例问题。

比例是指两个或多个数之间的相对关系。

在解决比例问题时，我们需要确定两个关键元素：已知比例和未知数。

已知比例是给定的两个数之间的关系，而未知数则是需要求解的数。

一个常见的比例问题是找出两个数之间的比例关系。

例如，如果一个苹果的价格是2元，那么5个苹果的价格是多少？为了解决这个问题，我们可以使用比例的方法。

首先，我们可以设定一个比例关系：2元/1个苹果 = x元/5个苹果。

通过交叉乘积法，我们可以得到x = 10元。

因此，5个苹果的价格是10元。

除了找出比例关系，还有一种常见的比例问题是求解未知数。

例如，如果一个班级有30个男孩和20个女孩，男孩和女孩的比例是多少？为了解决这个问题，我们可以使用比例的方法。

首先，我们可以设定一个比例关系：男孩/女孩 = 30/20。

通过交叉乘积法，我们可以得到男孩和女孩的比例是3/2。

因此，男孩和女孩的比例是3:2。

接下来，我们来讨论百分比问题。

百分比是指一个数相对于另一个数的百分比。

在解决百分比问题时，我们需要将百分数转化为小数，并进行相应的计算。

一个常见的百分比问题是求解百分比。

例如，如果一个班级有50个学生，其中有30个男孩，男孩所占的百分比是多少？为了解决这个问题，我们可以使用百分比的方法。

首先，我们可以设定一个比例关系：男孩/学生总数 = 30/50。

通过交叉乘积法，我们可以得到男孩所占的百分比是60%。

因此，男孩所占的百分比是60%。

除了求解百分比，还有一种常见的百分比问题是求解未知数。

例如，如果一个商品原价是100元，现在打折20%，打折后的价格是多少？为了解决这个问题，我们可以使用百分比的方法。

首先，我们可以设定一个比例关系：打折后的价格/原价 = 80%/100%。

一、相加相减法【点拨】：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，相加求出整个图形的面积. 或者将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.【例题1】：求组合图形的面积。

（单位：厘米）【分析与解答】：上图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.4÷2=2（米）4×4+2×2×3.14÷2=22.28（平方厘米）【例题2】：长方形长6厘米，宽4厘米，求阴影部分的面积。

【分析与解答】：上图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.4÷2=2（米）6×4-2×2×3.14÷218.28（平方厘米）二、用比例知识求面积【点拨】：利用图形之间的比例关系解题。

【例题3】一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？【分析与解答】：因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.直接按比例关系来理解。

因为（a×c）:(d×c)=(a×b):(d×b),a:d=15：18=阴影面积：30，阴影面积为15×30÷18＝25（公顷）。

三、等分法【点拨】：根据所求图形的对称性，将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份面积，然后求总面积。

【例题4】：求阴影部分的面积（单位：厘米）【分析与解答】：把原图平均分成八分，就得到下图，先求出每个小扇形面积中的阴影部分：3.14×22÷4－2×2÷2=1.14(平方厘米 )阴影部分总面积为：1.14×8=9.12(平方厘米 )四、等积变形【点拨】：将题中的条件或问题替换成面积相等的另外的条件或问题，使原来复杂的图形变为简单明了的图形。

组合图形面积计算技巧“十法"一、相加相减法【点拨】：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，相加求出整个图形的面积.或者将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.【例题1】：求组合图形的面积。

（单位：厘米）【分析与解答】：上图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.4÷2=2（米）4×4+2×2×÷2=（平方厘米）【例题2】：长方形长6厘米，宽4厘米，求阴影部分的面积。

【分析与解答】：上图中，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.4÷2=2（米）6×4-2×2×÷（平方厘米）二、用比例知识求面积【点拨】：利用图形之间的比例关系解题。

【例题3】一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，图中阴影部分的面积是多少？【分析与解答】：因为阴影部分也是一长方形，所以只要求出它的长、宽是多少就行，为此设它的长、宽分别为a、b，面积为18公顷的长方形的长、宽分别为c、d.直接按比例关系来理解。

因为（a×c）:(d×c)=(a×b):(d×b),a:d=15：18=阴影面积：30，阴影面积为15×30÷18＝25（公顷）。

三、等分法【点拨】：根据所求图形的对称性，将所求图形面积平均分成若干份，先求出其中的一份面积，然后求总面积。

【例题4】：求阴影部分的面积（单位：厘米）【分析与解答】：把原图平均分成八分，就得到下图，先求出每个小扇形面积中的阴影部分：×22÷4－2×2÷2=(平方厘米)阴影部分总面积为：×8=(平方厘米)四、等积变形【点拨】：将题中的条件或问题替换成面积相等的另外的条件或问题，使原来复杂的图形变为简单明了的图形。

六年级面积求解题技巧求解面积的问题在六年级数学中是非常常见的。

面积是一个物体所占的平面区域的大小，通常以平方单位（如平方厘米、平方米等）来衡量。

在六年级中，学生会学习到各种形状的面积求解方法。

下面就是一些六年级面积求解题的技巧。

1. 矩形和正方形的面积求解：矩形的面积公式为：面积 = 长×宽正方形的面积公式为：面积 = 边长×边长使用这两个公式可以很容易地求解矩形和正方形的面积问题。

注意，单位要保持一致。

2. 三角形的面积求解：三角形的面积公式为：面积 = 底×高÷ 2底表示三角形的底边的长度，高表示从底边到顶点的垂直距离。

求解三角形面积的关键是找到底和高的值，并将其代入公式进行计算。

3. 平行四边形的面积求解：平行四边形的面积公式为：面积 = 底×高平行四边形和矩形相似，但关键是要找到平行四边形的底和相应的高。

4. 梯形的面积求解：梯形的面积公式为：面积 = （上底 + 下底）×高÷2上底和下底分别表示梯形的上底和下底的长度，高表示从上底到下底的垂直距离。

求解梯形的关键是要找到上底、下底和高，并将其代入公式进行计算。

5. 圆的面积求解：圆的面积公式为：面积 = π×半径×半径其中，π是一个近似值，一般近似取为3.14。

求解圆的面积的关键是要找到半径的值，并将其代入公式进行计算。

在解决面积问题时，还需注意以下几点：1. 单位要统一：在问题中给出的尺寸需要统一单位，如果单位不同，需要进行换算。

2. 阅读理解：仔细阅读题目，确保理解题目要求，明白需要求解的是面积。

3. 描绘图形：在纸上画出题目中的图形，有助于理清思路和找到问题的关键信息。

4. 根据公式计算：根据求解具体形状的公式，将已知的尺寸代入公式中进行计算。

5. 检查答案：计算完面积后，要将答案与题目要求进行验证，确保答案的正确性。

通过掌握以上的面积求解技巧，六年级的学生们能够更加熟练地解答面积问题。

巧用比例解决面积问题2,如图,在三角形ABC中,BC和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积为多少?【解】连接DE,则DE∥BC,且DE=½BC, S△ADE=S△DEB=½S△BCD,S梯形BCDE=¾S△ABC,作DF∥EC,与BC延长线交于F,则BD⊥DF,EC=DF,且S梯形=S△BDF=½•4•6BCDE=12,∴S△ABC=16 【完】3,如图,四边形ABCD为普通凸四边形,如何过A点作一条直线,把四边形ABCD分成面积相等的两个部分?【解】如图2,连接AC,过B点作BE∥AC,交DC延长线于E,连接AE,则S△ACE=S△ABC,故S梯形ABCD=S△ADE,取DE的中点F,连接AF,则有S△ADF=S△AEF=½S△ADE=½S梯形ABCD,故直线AF 为所求的直线｡【完】(面积问题)4,如图,延长△ABC的三边分别至D､E､F点,使得BD=αAB,CE=αBC,AF=αAC,求S△DEF:S△ABC｡【解】如图2,连接AE,BF,CD,设S△ABC=X,则S△ACE=S△BCD=S△ABF=αX;S△AEF=S△CDE=S△BDF=α²X;∴S△DEF=X+3αX+3α²X,即S△DEF:S△ABC=1+α+α²【完】5.(1)如图1,在D､E､F分别在△ABC的AB､AC､BC边上,且DE∥BC,EF∥AB,△EFC的面积为S1,△ADE面积为S2,四边形DEFB的面积为S,证明:S²=4S1•S2;(2)如图2,已知平行四边形DEFG的四个顶点在△ABC的三边上,若△ADG､△BDE､△GFC的面积分别为2､3､5,求△ABC的面积｡【证明】(1)过A作AN⊥BC,交DE于M,交BC于N,过E作EP⊥BC,交BC于P,则S2=½DE•AM,S=DE•MN,S1=½CF•MN,由四边形DEFG为平行四边形知,△ADE∽△EFC,△AME∽△EPC,且MN=EP,于是DE:FC=AE:EC=AM:EP,∴AM•FC= DE•EP=DE•MN,∴4S1•S2=4·½•CF•MN•½DE•AM=CF·AM·DE·MN=(DE·MN)²=S²【证毕】(2)如图4,过G点作GK∥AB,交BC于K，∵GF=DE,∠GFK=∠DEB，∠B=∠GKF，∴△GKF≌△DEB,故△GFK的面积为5，△CGK的面积为3+5=8，根据(1)中的结论,平行四边形DGKB的面积的平方为:4•2•8=64，∴平行四边形DGKB的面积为8，故△ABC的面积为:2+8+8=18 【完】6,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE是∠BCD的角平分线,且CE⊥AB于E,BE=2AE,若四边形AECD的面积为1,求梯形ABCD的面积｡【解】如图2分别延长CD､BA,交于F点,∵ CE是∠BCD的角平分线,且CE⊥AB,∴△BCF为等腰三角形,且CB=CF,又BE=EF=2AE,∴FA=AE,FA:FB=1:4,S△ADF::S△BCF=1:16,设S△ADF=X,则S△BCF=16X,S△ECF=8X,于是有:8X=X+1,X=1/7,∴S梯形ABCD=1+8•1/7=15/7【完】7,如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB+CD=BC,点P为AD的中点,如果AB=X,CD=Y,且Y>X,那么在BC边上是否存在一点Q,使得PQ所在直线将四边形ABCD分成相等的两部分?【解】如图2,延长CD至F,使得DF=X,延长BA至E,使得AE=Y,则BE∥CF,且BE=CF=X+Y,又BE=BC=X+Y,所以BCFE为菱形,连接BF,交AD于N点,则△ABN≌△DFN,于是DN=NA,故N和P点重合,且P为BF的中点｡设P到各边的距离为Z,在BC边上取Q 点,使得BQ=Y,连接PQ,S四边形ABQP=S△ABP+S△BPQ=½X•Z+½Y•Z=½Z•(X+Y);S四边形PQCD=S△PQC+S△PCD=½X•Z+½Y•Z=½Z•(X+Y),故直线PQ将四边形ABCD分成相等的两部分｡综上所述,在BC边上存在一点Q,使得PQ所在直线将四边形ABCD分成相等的两部分｡【完】8,如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC､△ADF､△BEF的面积分别记为S△ABC､S△ADF､S△BEF,且S△ABC=12｡则S△ADF-S△BEF=?【解】如图2,连接CF,设S△BEF=x,S△ADF=y,则S△CFE=2x,S△CFD=2x,∵ S△ABD=S△BCD,∴S△ABF=3x;∵ 2S△ABE=S△ACE,∴2(3x+x)=2x+2y,解得:y=3x;又S△ABC=12,∴x+2x+y+y+3x=12,即12x=12,x=1,y=3;∴S△ADF-S△BEF=y-x=2｡【完】9,如图,已知正方形ABCD的边长为1,M､N为BD所在直线上的两点,且AM=√5,∠MAN=135°,则四边形AMCN的面积为多少?【解】如图2,连接AC,与MN交于P点,则AP=√2/2,MP=3√2/2,MB=√2;因为∠MAN=135º,∴∠ANM+AMN=45°,而∠NAD+∠AND=45°,∴∠NAD=∠AMN,从而∠AND=∠MAD,于是△ADN∽△ABM∽△AMN,ND:AD=AB:MB,ND=1/MB=√2/2,所以MN=MP+PD+ND=5√2/2,S四边形AMCN=2·½·5√2/2·√2/2=5 【完】10,如图,正六边形ABCDEF的边长为2√3cm,P为正六边形内一点,则点P到各边距离之和为多少?【解】如图2,连接PA､PB､PC､PD､PE､PF,则正六边形ABCDEF被分成了六个三角形,设P到六个边的距离之和为xcm,那么这六个三角形面积之和为:½·2√3·x=√3x;另一方面,正六边形的面积为:6·½·2√3·√3=18,∴√3x=18,x=6√3,即点P到各边距离之和为6√3 【完】11,如图,E､F分别为矩形ABCD的边,AB､BC的中点,连接AF､CE,交于点G,则S四边形∶ S矩形ABCD等于多少?AGCD【解】如图2,连接BG,设AD=a,AB=b,S△AEG=x,S△CFG=y,则S△BEG=x,S△BFG=y,2x+y=ab/4,x+2y=ab/4,于是3(x+y)=ab/2,得到:x+y=ab/6,S四边形AGCD=ab-2(x+y)=2ab/3,故S∶ S矩形ABCD=2∶3 【完】四边形AGCD12,如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连接BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP=CQ=2,求正方形ABCD的面积｡【解】如图2,过P作AD的平行线,交AB于M,交CD于N,过P作PL⊥AD,交AD于L｡则PM=PL=ND,MB=PN,∠NPQ=∠MBP,∴△NPQ≌△MBP,得到:PM=NQ,故NQ=ND=√2,CD=2+2√2,S正方形ABCD=(2+2√2)²=12+8√2 【完】13,△ABC所在平面上的点P,使得△PAB､△PBC､△PAC的面积相等,这样的点P的个数为多少?【解】如图1,取AB的三等分点D,E,BC的三等分点F,G,CA的三等分点H,I,连接DG､HE､IF,则三线交于一点P,连接PA,PB,PC,由于AI:AC=1:3,所以S△PAB:S△ABC=1:3,即S△PAB=S△ABC/3,同理,S△PAC=S△PBC=S△ABC/3,故这样的P点符合要求;如图2,过点C作CP∥AB,过点B作BP∥AC,CP和BP交于P点｡连接PA,PB,PC｡则S△PAC=S△PAB=S△PBC=½S△ABC,这样的点P有三个,均符合要求｡综上所述,符合要求的P点共有4个｡【完】14,如图,设点E､F､G､H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB､BC､CD､DA上,且AE∶EB=BF∶FC=CG∶GD=DH∶HA=k(k是正数),求四边形EFGH的面积【解】如图14-2,连接BD,∵AH∶AD=1∶(1+k),AE∶AB=k∶(k+1)∴S△AEH∶S△ABD=k∶(1+k) ²,即S△AEH=kS△ABD/(1+k) ²;同理,S△CFG=kS△CBD/(1+k) ²,故S△AEH+S△CFG=(S△ABD+kS△CBD)k/(1+k) ²=S四边形ABCD•k/(1+k) ²= k/(1+k) ²;同理,S△DHG+S△BEF= k/(1+k) ²,于是:S△AEH+S△CFG +S△DHG+S△BEF=2k/(1+k) ²,故S四边形EFGH=S四边形ABCD-(S△AEH+S△CFG +S△DHG+S△BEF)=1-2k/(1+k) ²=(1+k²)/(1+k)²【完】15,如图15-1,设凸四边形ABCD的一组对边AB､CD的中点分别为K､M,求证:S四边形=S△ABM+S△CDKABCD【解】如图15-2,分别过D､M､C作BA的垂线DE､MF､CG,垂足分别为E､F､G,S△ADK=½•AK•DE;S△BCK=½•BK•CG;由于AK=BK,∴S△ADK+S△BCK=½AK•(DE+CG),在梯形DEGC中,FM为其中位线,∴FM=½(DE+CG),故S△ADK+S△BCK=AK•FM=½•2AK•FM=½•AB•FM=S△AMB,所以,S四边形=(S△ADK+S△BCK)+S△CDK =S△ABM+S△CDK 【证毕】ABCD16,如图16-1,在梯形ADEB中,∠D=∠E=90°,△ABC是等边三角形,且点C在DE上,如果AD=7,BE=11,求△ABC的面积｡【解】如图16-2,过A作BE的垂线AF,垂足分别为F,设DC=x,CE=y,17,如图17-1,矩形ABCD的面积为1,边AB､AD的中点分别为E､F,连接EC､ED､FB､FC,交点如图所示,求四边形CGHI的面积S四边形CGHI｡【解】如图17-2,分别延长BF､CD,交于点M;延长DE､CB交于N,连接CH｡则因为F､E 分别为AD､AB的中点,所以F､E分别为BM､DN的中点,且D､B分别为CM､CN的中点｡于是得到下列比例关系:18,如图18-1,D､E､F分别为△ABC的三边AB､BC､CA上的点,且BD∶DA=AF∶FC=CE∶EB=1∶3,连接AE､BF､CD,AE分别交BF､CE于H､I,CD､BF 交于点G,求S△GHI∶S△ABC｡【解】如图18-2,连接AG､BI､CH,设S△AFH=x,S△CEI=y, S△BDG=z, S△CIH=m,S△BIG=n,S△AGH=p,则S△CFH=3x,S△BEI=3y,S△ADG=3z,根据题意,有:S△ABC = x+3x+y+3y+z+3z+m+n+p+ S△GHI =4(x+y+z)+(m+n+p) + S△GHI;……①比较△AFG和△CFG,有:S△GHI+m+3x=3(p+x),即3p=m+S△GHI ;同理,3m=n+S△GHI;3n=p+S△GHI;此三式相加,得:3(m+n+p)=(m+n+p)+3S△GHI,即:m+n+p=1.5S△GHI;……②又比较△ABF和△BCF,有:4y+m+n+3x+ S△GHI =3(4z+p+x),即:3p+12z=4y+m+n+ S△GHI;同理,3m+12x=4z+p+n+S△GHI;3n+12y=4x+p+m+S△GHI;此三式相加,得:3(m+n+p)+12(x+y+z)=3S△GHI+2(m+n+p)+4(x+y+z),整理,得:8(x+y+z)=3 S△GHI-(m+n+p)= 3S△GHI-1.5S△GHI=1.5S△GHI,即4(x+y+z)=0.75S△GHI;……③将②､③代入①,得:S△ABC =0.75S△GHI +1.5S△GHI + S△GHI =3.25 S△GHI故S△GHI∶S△ABC=4∶13 【完】19,如图18-1,四边形ABCD和CHFG都是正方形,边长分别为a和b,四边形CDEH为长方形,S△ADO∶S△FOH=1∶8,求a∶b的值｡【解法一】过点O分别作OM⊥AE于M､ON⊥EF于N,则S△ADO=½a•OM,S△FOH=½b•ON;∵OM∶EH=AM∶AE,得:AM=OM•(a+b)/a;∵OM∶EF=DM∶DE,得:OM∶(a+b)=(AM-a)∶b,于是:AM=a+[b•OM/(a+b)],∴a+[b•OM/(a+b)]= OM•(a+b)/a,化简,得:OM=a2(a+b)/(a2+b2+ab);同理,ON= b2(a+b)/(a2+b2+ab);所以S△ADO∶S△FOH=[a•a2(a+b)/(a2+b2+ab)]∶[b•b2(a+b)/(a2+b2+ab)]=1∶8,化简,得:a3∶b3=1∶8,故:a∶b=1∶2 【完】【解法二】如图19-3,连接AF,OE,则A､C､F在同一直线上｡由“燕尾定理”※,S△AEO∶S△AFO=EH∶HF=a∶b;S△AFO∶S△EFO=AD∶DE=a∶b,∴(S△AEO•S△AFO)∶(S△AFO•S△EFO)=a2∶b2,即S△AEO∶S△EFO=a2∶b2,∵AE=EF=a+b,∴OM∶ON= a2∶b2,故S△ADO∶S△FOH=(a•OM)∶(b•ON)=a3∶b3=1∶8,因此,a∶b=1∶2 【完】※注:“燕尾定理”及其证明:如图19-4,点O为△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO,并延长AO交BC于D,则S△ABO∶S△ACO=BD∶DC证明方法:如图19-4,分别过C､B作AD的垂线,与AD(或AD延长线)交于E､F,则BF∥CE,∴△BDF∽△CDE,BF∶CE=BD∶DC;S△ABO∶S△ACO=½•AO•BF∶½•AO•CE=BF∶CE=BD∶DC｡【证毕】“燕尾定理”､“鸟头原理”常被运用于求图形面积的问题,如何发现､构造并利用这些定理是解决面积问题的关键｡。

我们在解一些数学问题时，常发现其中的几个数量互相关联，一种量变化时，另一种量也随着变化，并且存在一定的比例关系。

我们可以对比加以分析，从而找到问题的答案。

这种解题的方法叫做比例法。

一般的比例关系分为两种，当这两种量的商一定时，为正比例关系；当这两种量的积一定时，则为反比例关系。

正比例的数量关系式可以概反比例的数量关系式可以概括为:x×y=k(k- 定)。

用比例法解题的关键在于找到相关联的量再确定题中隐蔽的定量，正确判断两个相关联的量之间的比例关系，建立比例式求解。

[例1]袋子里红球与白球数量之比是19:13。

放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5:3，再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:11。

已知放入的红球比自球少80只。

那么原先袋子里共有分析与解答红球:白球=19:13"…··①当放入红球后。

此时红球:白球:5:3……②再放入若干只白球后，红球:白球=13:11……③比较①和②白球没有变动，比较②和③红球没有变动，由此红球和白球的比是红球:白球=19:13=57:39-…··①红球:白球=5:3=65:39．…··②红球:白球=13:11=65:55……③由此求出每份是80÷[(55-39)-(65-57)] =10(个)[例3】少先队员郊游去爬山，往返一次所用时问是6小时，已知上山时每小时5千米，下山时每小时10千米，求山顶到山脚的距离是多少千米?思路剖析本题如果不利用比的知识，做起来会感到困难，但是如果将比的知识与分数应用题巧妙地沟通起来，那么解起来会觉得容易多了。

解答由于上山与下山的路程一样，所以在路程一定的条件下，少先队员爬山的速度与所用的时间成反比例，即爬山往返的速度比，等于他们往返时间的反比。

爬山速度的比是5:10，那么往返时间的比应该是10:5，也就是2:1。

已知上下山一次共用6小时，那么去时的时间应是f小时)；从而可以求出山顶到山脚的距离是5×4=20(千米)。

方中圆圆中方教材：学习了正方形及圆的面积之后整合的一节课课题：方中圆圆中方的面积关系教学目标：1、经历综合运用知识推导计算面积比的过程。

2、能综合运用所学知识，推导计算出面积比。

3、能运用推导出的规律解决一些数学问题。

4、积极参加数学活动，发展数学思维，感受利用这个规律解题的简单重难点分析：重点：面积比的推导过程及应用难点：面积比的推导过程及应用教具：PPT教学过程一、创设情境，导入新课生活中因为有了棱角分明的“正方形”而个性鲜明，因为有了完整和谐的“圆”而婀娜多姿。

当正方形和圆巧妙结合后，刚中有柔---更加令人神往。

想不想欣赏一下它们在现实生活中的一些巧妙结合。

生：想师：让我们一起来欣赏出示图片古代建筑上的窗户屏风（客厅的装饰隔断）咱们学校的窗户师：前两个跟后面这一个有什么区别和联系？联系：都是由正方形和圆组合成的图形区别：前两个是正方形里最大的圆，后面一个是圆里最大的正方形。

像这样，正方形与它里面最大的圆组合成的图形称为“方中圆”，圆与它里面最大的正方形组合成的图形称为“圆中方”。

出示不是圆中方或者方中圆的图片让学生辨认，进一步加深学生对方中圆圆中方的理解。

所以一定要理解清正方形与它里面最大的圆组合成的图形称为“方中圆”，圆与它里面最大的正方形组合成的图形称为“圆中方”。

其实在它们里面隐藏着很多数学规律，今天这节课我就跟同学们一同探求“方中圆圆中方”里，正方形与圆面积的比例关系，巧妙利用它们中存在的面积关系,可以灵活解决一些面积计算题，相信同学们一定会有很多美妙的发现。

二、探究新知1、举例求出出示这两个图上图中两个圆的半径都是1米，你能求出正方形和圆的面积比吗？（圆周率用π表示）师：要想求面积比应该先求什么？再求什么？生：先求正方形跟圆的面积，再求他们的比学生独立求出方中圆：S 方=(1×2)2=4(m 2) 圆中方：S 方=22121⨯⨯⨯=2(m 2) S 圆=π×12=π(m 2) S 圆=π×12=π(m 2)S 方：S 圆=4:π S 方：S 圆=2:π2、一般验证如果圆的半径不是1米，正方形和圆的面积发生变化吗？假如是2米呢？3米呢？......生：不变（如果有说变的可以让他用2米验证一下）师：你说不变也得一个一个去验证，如果咱们这样一个个去验证是永远验证不完的。

用比例解决问题知识点总结一、知识点总结。

1. 比例的意义。

- 表示两个比相等的式子叫做比例。

例如：2:3 = 4:6，因为2×6 = 3×4 = 12。

2. 比例的基本性质。

- 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

如果a:b = c:d，那么ad = bc。

例如在3:4 = 9:12中，3×12 = 4×9 = 36。

3. 解比例。

- 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

- 例如：解比例x:2 = 3:4，根据比例的基本性质4x = 2×3，4x = 6，解得x=(6)/(4)=(3)/(2)。

4. 正比例关系。

- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

- 例如：汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间成正比例关系。

因为(路程)/(时间)=速度（一定）。

5. 正比例关系的图像。

- 正比例关系的图像是一条经过原点的直线。

6. 反比例关系。

- 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

- 例如：长方形的面积一定，长和宽成反比例关系。

因为长×宽 = 面积（一定）。

二、20题带解析。

（一）比例的意义和基本性质相关题目。

1. 判断12:15和8:10是否能组成比例。

- 解析：根据比例的意义，判断两个比是否相等。

12:15=(12)/(15)=(4)/(5)，8:10=(8)/(10)=(4)/(5)，因为(12)/(15)=(8)/(10)，所以12:15和8:10能组成比例。

2. 在比例3:5 = 6:x中，求x的值。

- 解析：根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。

小五数学培优用比例法进行三角形面积的计算比例法是数学中一种重要的计算方法，尤其在三角形面积的计算中，它能够简捷地帮助我们求解。

下面我将详细介绍小五在数学培优课上学到的比例法求解三角形面积的方法。

首先，我们来了解一下三角形的面积计算公式。

对于任意三角形ABC，假设它的底边为a，高为h，则三角形的面积S可以表示为：S=1/2*a*h。

这个公式在我们计算三角形面积时非常常见，但是有时候我们并没有给出明确的底边和高，这时候我们就需要利用比例法来求解面积。

比例法的核心思想就是利用三角形的相似性与比例关系来求解面积。

接下来，我们通过一个具体的例子来理解比例法的应用。

假设我们要求解以下三角形ABC的面积：```A/\h/\/\B-------Cb```假设我们已知边BC的长度为12，边AB的长度为8，边AC的长度为10。

取任意一点D，使得BD为BC的一半，即BD=6```A/\h/\/\B-------CDb```根据相似三角形的性质，我们可以发现三角形ABD与三角形ABC相似，所以它们的对应边长的比例相等。

即：```AD/AB=BD/BC```带入已知数据可得：```AD/8=6/12```进一步计算可得：```AD=4```由于三角形ABD的底边长为4，我们需要求解的三角形ABC的底边长为10，两个三角形的底边之比为：```10/4=5/2```根据底边长度的比例，我们可以得到两个三角形的面积之比为：```S_ABC/S_ABD=(ABD底边长度/ABC底边长度)的平方=(4/10)^2=16/100=4/25```由于两个三角形的面积之比和底边长度之比相等，所以我们可以得到两个三角形的面积之比：```S_ABC/S_ABD=S_ABC/(1/2*4*h)=4/25```化简之后可得：```S_ABC=(4/25)*(1/2*4*h)=2/25*4h=8/25*h```所以，我们得到了三角形ABC的面积与高h之间的比例关系：```S_ABC/h=8/25```根据上述比例关系，我们可以得到三角形ABC的面积为：```S_ABC=(8/25)*h```这样，我们通过比例法成功地求解了三角形ABC的面积。