高中数学复习指导 朱俊杰&康秀玲 共 NUMPAGES MERGEFORMAT 3页 第 PAGE MERGEFORMAT 3页

单元复习一、 知识点梳理本单元主要学习了：1．指数的概念及其运算；2．对数的概念及其运算；3．指数函数、对数函数、幂函数三类基本函数产生的背景、定义、图象、性质、及简单应用．二、 学法指导1．分数指数幂的运算性质有(1)m n m n a a a +⋅=；(2)()m m m a b ab ⋅=；(3)()()m n n m mn a a a ==其中 ,0a b >．分数指数幂与根式共存时，常将根式先化为分数指数幂，再化为同底指数幂进行运算．2．通过b a N =与log (0,1)a N b a a =>≠的关系可实现指数式与对数式的互化，由对数的定义得对数恒等式log (0,1,0)a b a b a a b =>≠>．3．对数的常用运算性质有(1)log log log a a a x y xy +=；(2)log log log a a ax x y y -=； (3)log log n a a x n x =(0,0,0,1x y a a >>>≠)，这些公式应用的前提是同底.而换底公式log log (,0,1log c a c N N N a N a a=>≠且）的作用就是将不同底的对数化为同底对数. 由换底公式还可推得两个常用公式：(1)1(,0,1)a b log b log a a b a b ⋅=>≠且(2)log log (0,1,0)m n a a n x x a a x m=>≠> 4．同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，定义域、值域、单调性等性质有着紧密的联系，理解和记忆时可将它们进行对比.5．利用指数函数和对数函数的图象进一步理解前一单元中有关图象的平移变换、对称翻折变换等知识.6．注意对形如(),log (),(),(log )f x x a a y ay f x y f a y f x ====等复合函数处理方法的总结.7．幂函数主要掌握其定义和2312,,,,,y x y x y x y x y x y --=====数，了解幂函数在第一象限的图象分布规律和性质，其它象限由奇偶性对称而得.三、 单元自测(一)填空题(每小题5分，共70分)1．若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为__________．2．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是___________ ．3．把函数)(x f y =的图象向右、向下分别平行移动2个单位长度，得到函数x y 2=的图象，则_____________)(=x f ． 4．设⎩⎨⎧>≤=0,ln 0,)(x x x e x g x ，则_______))21((=g g ． 5．函数)32lg(2++-=x x y 的单调递增区间是__________________．6．设)1,0(∈x ，幂函数αx y =的图象在x y =的上方，则 α 的取值范围是__________．7．已知2212(),24x x x x y +-≤=则的值域为____________． 8．下列命题中正确的是___________． ①当0=α时，函数αx y =的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0，0)、(1，1)两点；③幂函数αx y =的图象不可能在第四象限；④若幂函数αx y =是奇函数，则在定义域内是增函数． 9．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是______________． 10．已知⎩⎨⎧>≤+-=1,lo g 1,4)13()(x x x a x a x f a是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是_______________．11．)0)(()1221()(≠⋅-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f 是_____函数(填奇偶性). 12．已知实数b a ,满足等式ba )31()21(=，下列五个关系式：①a b <<0②0<<b a③b a <<0④0<<a b ⑤a b =其中不可能成立的关系式有_____个. 13．对于函数x x f lg )(=定义域中任意的)(,2121x x x x ≠，有如下结论：①)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，②)()()(2121x f x f x x f +=⋅，③0)()(2121>--x x x f x f ，④2)()()2(2121x f x f x x f +<+，上述结论中正确的是_______________．. 14．现有某种细胞100个，每小时都有占总数21的细胞分裂一次，即由一个细胞分裂成两个细胞，按这种规律发展下去，经过_________小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：301.02lg ,477.03lg ==)．(二)解答题(共90分)15．(本小题满分14分)计算： (1)212111----a a a212111aa ++--； (2)⋅+)2log 2(log 93⋅+)3log 3(log 84 ． 16．(本小题满分14分) (1)求函数1)21()41(+-=x x y 在]2,3[-∈x 上的值域．(2)已知)41(log 1)(2≤≤+=x x x f ，)()()(22x f x f x g +=,求函数)(x g 的值域．17．(本小题满分15分)设a >0，a ≠1，函数y ＝a2lg(23)x x -+有最大值，求函数f (x )＝log a (3－2x －x 2)的单调区间．18．(本小题满分15分)一幂函数)(x f y =的图象过点)22,4(，另一幂函数)(x g y =的图象过点)2,8(--，(1)求这两个幂函数的解析式；(2)判断这两个函数的奇偶性；(3)作出这两个函数的图象，观察得)()(x g x f <的解集． 19．(本小题满分16分)已知函数)1(11)(>+-=a a a x f x x ， (1)判断函数)(x f 的奇偶性；(2)求)(x f 的值域；(3)证明)(x f 在),(+∞-∞上是增函数．20．(本小题满分16分)已知函数)()(322Z m x x f m m ∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <，(1)求m 的值，并确定)(x f 的解析式；(2)当21<<a 时，讨论])([log )(ax x f x g a -=在[2，3]上的单调性；(3)若)1,0]()([log )(≠>-=a a ax x f x g a 在[2，3]上为增函数，求实数a 的取值范围。

第16讲“概率”复习重在模型概率是高中数学的重要内容，高考对概率的考查，往往以实际问题为背景，重点考查古典概型，几何概型，尤其是相互独立事件和独立重复试验．对概率的复习，要做到审准题意，弄准概型，用准公式．1．明确概念，分清概型．抓住古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验这些基本概型的特征，能根据试验的特点与过程，判断其概率模型，正确运用相应的概率计算公式．古典概型与几何概型是基本的概率模型，前者能一一列举，后者是“连续的”，需用长度、面积或体积度量，至于是用长度、面积还是体积度量，取决于试验的基本事件的变量个数．弄清相互独立事件与独立重复试验的区别．2．把握常见事件，理清关系．把握常见事件的概念，如随机事件，必然事件，不可能事件，基本事件，包含关系，互斥事件，对立事件，相互独立事件．理清相互关系，如必然事件的对立事件是不可能事件；互斥不一定对立，对立一定互斥；若A、B相互独立，则A与B，A与B 也相互独立，等等．掌握互斥事件的和事件的概率加法公式，相互独立事件的积事件的概率乘法公式．3．会分解、转化复杂事件．把一个复杂事件表示为几个互斥事件的和事件，或转化为对立事件，是解决概率问题的重要策略．例1已知关于x的一元二次方程9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.(1)若a是从1，2，3三个数中任意取的一个数，b是从0，1，2三个数中任意取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a是从0，3]内任意取的一个数，b是从0，2]内任意取的一个数，求已知方程有实根的概率；解后反思古典概型往往用列表、图示等方法将基本事件罗列出来，确定事件所包含的基本事件，要有规律地列举基本事件，避免基本事件的“重”和“漏”．对于几何概型，若基本事件对应直线上的点，需用长度度量；若基本事件对应平面内的点，需用面积度量；若基本事件对应空间内的点，需用体积度量.例2两台车床加工同一种机械零件如下表从这100解后反思在古典概型下，P(B|A)＝P（AB）P（A）.例3为推行新课程改革，某校决定开设一批选修课程，分别为文学、艺术、竞赛三类，这三类课程所含科目的个数分别占总数的12、14、14，现在3名学生独立地从中任选一个科目参加学习．(1)求他们选择的科目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的科目属于文学或竞赛的人数，求ξ＝2的概率．解后反思1．两个事件相互独立是指这两个事件彼此没有影响．独立重复实验是指在相同条件下多次进行，每次实验只有两个结果：A发生或A不发生，每次实验A发生的概率都一样．在例3中，3名学生独立地从中任选一个科目参加学习，可看作3次实验，尽管每次实验都有3个结果：文学、艺术、竞赛，可转化为两个结果：选艺术、不选艺术，每次实验选艺术的概率都是14，即为独立重复实验．2．概率计算首先要根据条件分清概型，然后理清事件之间的关系，把随机事件表示为几个互斥事件的和，把每个互斥事件表示为基本事件的积．总结感悟1．求解概率问题时，首先要根据条件定准概型，然后理清事件之间的关系，根据相关公式进行计算；2．概率计算时，往往把一个复杂事件表示为几个互斥的事件的和，或转化为对立事件，然后再把这些事件表示为基本事件的积；3．古典概型往往用列表、图示等方法，将基本事件有规律地罗列出来，避免基本事件的“重”和“漏”．对于几何概型，需用长度、面积或体积度量，度量的“维度”，取决于试验的基本事件的变量个数.4．两个事件相互独立是指这两个事件之间彼此没有影响．独立重复实验是指在相同条件下多次进行，每次实验只有两个结果：A发生或A不发生，每次实验A发生的概率都一样．A级1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．2．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．3．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为________．4．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(AB)＝________．5．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(AB)＝________；P(AB)＝________．6．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．7．(2016·全国Ⅰ改编)某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．B级8．先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y.设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则概率P(B|A)＝________．9．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．10．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.则质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为____________．11.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________．12．甲、乙两人投篮命中的概率分别为p 、q ，他们各投两次，若p ＝12，且甲比乙投中次数多的概率恰好等于736，则q 的值为________．13．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？第16讲“概率”复习重在模型题型分析例1解设“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有两个不相等实根”为事件A，“方程9x2＋6ax－b2＋4＝0有实根”为事件B.(1)由题意，得基本事件有9个，它们为(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的值，第二个数表示b的值．由Δ＝36a2－36(－b2＋4)＝36a2＋36b2－36×4>0，得a2＋b2>4.可知(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)满足条件，所以事件A发生的概率为P(A)＝69＝23；(2)a，b的取值记为(a，b)，构成一个矩形区域，如图．构成事件B的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a2＋b2≥4}，所以事件B发生的概率为P(B)＝2×3－14×π×222×3＝1－π6.例2解记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B.则P(B|A)＝P（AB）P（A）＝35100÷40100＝3540＝0.875.例3解记第i名学生选择的科目属于文学、艺术、竞赛分别为事件A i、B i、C i、i＝1，2，3.由题意知A1A2A3相互独立，B1B2B3相互独立，C1C2C3相互独立，A i、B j、C k(i，j，k＝1，2，3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(A i)＝1 2，P(B j)＝14，P(C k)＝14.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的事件分别为：A1B2C3，A1C2B3，，B1A2C3，B1C2A3，C1A2B3，C1B2A3，则他们选择的科目所属类别互不相同的概率为：P＝P(A1B2C3)＋P(A1C2B3)＋P(B1A2C3)＋P(B1C2A3)＋P(C1A2B3)＋P(C1B2A3)＝6×12×14×14＝316.(2)设3名学生中选择的科目属于艺术的人数为η，由已知，得η～B (3，14)，且ξ＝3－η.所以P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(14)(34)2＝2764. 线下作业 1.110解析 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110. 2.509解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为46×46＝49，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－49＝59，用X 表示10次试验中成功的次数，则X ～B (10，59)，E (X )＝10×59＝509. 3．1－π12解析 如图，三角形ABC 的面积为12×3×4＝6，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S ＝12×π·12＝π2，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P ＝6－π26＝1－π12. 4.215解析 P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215. 5.16 16解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝23， ∴P (A )＝12，P (B )＝13.∴P (AB )＝P (A )P (B )＝12×13＝16， P (AB )＝P (A )P (B )＝12×13＝16. 6．0.048 6解析 P ＝C 24(0.1)2(1－0.1)2＝0.048 6.7.12解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12. 8.13解析 由题意知P (A )＝P (x 是偶数)·P (y 是偶数)＋P (x 是奇数)·P (y 是奇数)＝12×12＋12×12＝12.记事件AB 表示“x ＋y 为偶数，x ，y 中有偶数，且x ≠y ”即“x 、y 都是偶数且x ≠y ”， 所以P (AB )＝16， 故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝13.9.12解析 设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ，则C ＝(AB )∪(AB )，且AB 和AB 互斥．故P (C )＝P (AB )∪P (AB ) ＝P (AB )＋P (AB ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×(1－13)＋(1－12)×13＝12. 10.516解析 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为12，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为 C 25(12)2(12)3＝C 25(12)5＝516. 11．(1)2π (2)14解析 (1)由题意可得，事件A 发生的概率 P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π. (2)事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”， 则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π. 故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝12π2π＝14.12.23解析 所有可能情形有：甲投中1次，乙投中0次；甲投中2次，乙投中1次或0次．依题意有：C 12p (1－p )·C 02(1－q )2＋C 22p 2C 02(1－q )2＋C 12q (1－q )]＝736，解得q ＝23或q ＝103(舍去)．13．解 方法一 (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P(X＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝11 15，即这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)．由已知可得，X1～B(2，23)，X2～B(2，25)，所以E(X1)＝2×23＝43，E(X2)＝2×25＝45，从而E(2X1)＝2E(X1)＝8 3，E(3X2)＝3E(X2)＝12 5，因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．方法二(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P(X＝2)＝23×(1－25)＝25，P(X＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝11 15，即这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的概率分布如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．。

高考常用公式、重要概念、注意点、易错点（失分点）整理与提示（基础知识、常用公式、重要题型复习指导）一、考前提醒：考前复习应该以熟悉公式的基本题型练习为主（尤其中差学生），其次是查漏补缺（错题再次出错频率70%），总结以前老师批改过的试卷上自己的错题（尤其是会做而丢分的题，对多数同学不是去补不得分的难题），找出常失分点，争取会做的题不失分。

1．提高得分率的关键是：①容易题争取不失分，措施是“规范书写不跳步”；②中等题争取少丢分，措施是“得分点不能省”，如概率题，设对应关系，列树狀图、并列出所有基本事件和该步中满足条件的基本事件，主要公式不能缺（代入前一定要把公式写出来，就是算错至少给你1分）答；③难题争取多得分，措施是“能写就写”（大前提是有时间时），如求闭区间上的最值，先求出端点值再说，又如遇到直线与圆锥曲线的综合题，没有思路时，先联立解方程组得一元二次方程，写出韦达定理再说，有时还需写出判别式，也许下面就柳暗花明拉。

④不在一个选择或一个填空难题上纠缠太多时间，该放弃就放弃，有失必有更大的收获（有时也可以用非常规方法预测个答案），千万不要认为前面的题一定容易，由于对各部分知识熟练程度的不同，也许你的第一个解答题就是拦路虎，下定决心大干一个小时，那你肯定要失败，一定要把试卷中你会做的题目都关注到，减少失误，你一定会考出好成绩；⑤每个解答题的每一步都要有个总结性的结论（或答，尤其应用题）。

⑥选择填空题别忘记考虑端点的值，要区间的题目（如单调区间）就不能写成大括号的集合。

解集的不能写成范围。

⑥时间分配要合理：对于基础一般的同学重心要放在前19题，而最后两个题不能完全放弃，给他们每个题分配的时间是4-6分钟，看懂一步写一步，，5分钟破不了题就放弃，一般规律拿个3-5分并不是太难，这样可以弥补选择、填空题中的失分，加上18、19题有时难以拿全分（有时后一步难度大或讨论不完整，考虑不全，丢失10分左右），如果16、17做得比较完整，拿到110分以上还是比较容易的；剩余时间不是去攻难题，而是去审查解答题中第一步计算或推理会影响后一步结果的题目和审查填空题和选择题中把握不准的题目，基础差的学生重心放在前17题，18、19重点解答第一步，后面的能写就写，这样考到90分并不难；基础好的学生，做前面的题一定要细心，提高准确率是第一要素，其次是速度，根据我们平时情况，最后两个难题（不一定是最后两个题）花的时间不要超过25分钟，不要一个题搞半个小时，那样肯定后悔，一定要挤出十几分钟检查计算题中第一步对后面步骤有影响的题和填空题，减少失误，争取会做的题不丢大分，考到120分肯定不难2．基本题型要抓好落实，尤其是重点题型的规范化解题要强化练习：①立体几何证明中的条件不能少，角的概念要搞清；②概率中基本的文字表述不能少；③三角是必考内容，基本训练不能少、公式要记牢；④求单调区间时不要忘记和定义域取交集（尤其是与对数有关函数）；⑤以导数为核心的综合题要关注，书写最好列表，不要忘记判断极值点两端的符号；⑥数列与解析几何对多数学生只要求掌握到中等题，优秀学生才要求攻难度较大的题目。

名师指导高考数学：明确考什么、考多难、怎样考数学能力的提高离不开做题，但考前最后30天，与其再大汗淋淋地重复练习，不如深入透彻地研读《考试说明》和样卷，这是杭十四中数学教研组长、数学高级教师朱豪和杭州高级中学高三年级组长费红亮共同的建议。

答题可采取“一慢一快”战术杭十四中数学教研组长、数学高级教师朱豪高考数学的复习面广、量大，不少考生会觉得无从下手。

考前最后30天，如何提高数学复习的针对性和实效性？最重要的当然是认真研读《考试说明》和《参考试卷》，通过《考试说明》、《参考试卷》，考生可以明确“考什么”、“考多难”、“怎样考”这三个问题。

除此之外，还有一些复习和答题要点要特别注意。

重例题，扩展思维空间参考书上的例题不能看一下就过去了，因为往往看的时候觉得什么都懂，但其实很多学生并没有理解透彻，所以在看例题时可以把解答盖住，自己去做，做完或做不出时再去看，这时候要想一想，自己做的哪里与解答不同，哪里没想到、该注意什么、哪一种方法更好，还有没有另外的解法等。

经过这样的训练，思维空间就能得到扩展，如果在题后加上几个批注，说明此题的“题眼”及巧妙之处，收益将更大。

精做题，学会举一反三数学能力的提高离不开做题，但做题不是搞题海战术，要通过一题联想到很多题。

一节课与其抓紧时间大汗淋淋地做二三十道考查思路重复的题，不如深入透彻地掌握一道典型题。

例如深入理解一个概念的多种内涵，对一个典型题，尽力做到从多条思路用多种方法处理，即一题多解；对具有共性的问题要努力摸索规律，即多题一解；不断改变题目的条件，从各个侧面去检验自己的知识，即一题多变。

—道题的价值不在于做对、做会，而在于弄明白这道题想考的是什么。

分析试卷，做好改错反思每次考试结束试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训，特别是将试卷中出现的错误进行分类：(1)遗憾之错：就是分明会做，反而做错了的题，比如“审题之错”、“计算之错”、“抄写之错”、“表达之错”等。

高考数学复习（特长生，艺术生）短时间速成秘籍------等差数列（详解答案）一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143a a a +=（ ） A ．7B ．5C ．3D ．22．已知等差数列{}n a 的公差为4，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则10a =（ ） A ．26B ．30C ．34D ．383．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程2410x x -+=的两根，则13S = （） A ．21B ．24C ．25D ．264．朱世杰是元代著名数学家，他所著《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中提到一些堆垛问题，如“三角垛果子”，就是将一样大小的果子堆垛成正三棱锥，每层皆堆成正三角形，从上向下数，每层果子数分别为1，3，6，10，…，现有一个“三角垛果子”，其最底层每边果子数为10，则该层果子数为（ ） A ．50B ．55C ．100D ．1105．在等差数列{}n a 中，12012a =-，其前n 项和为n S ，若2012102002201210S S-=，则的值等于（ ） A ．2011B ．-2012C ．2014D ．-20136．在等差数列{}n a 中，157913100a a a a a ++++=，6212a a -=，则1a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．198． 已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若1010S =，2060S =，则40S =（ ） A ．110B ．150C ．210D ．28010．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．2B ．7C ．14D ．2811．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差0d >，()()85950S S S S --<，则( ) A ．70a =B ．78a a =C ．78a a >D ．78a a <12．已知数列 是等差数列， ，则 （ ） A ．36B ．30C ．24D ．1813．已知数列{}n a 是等差数列，且313650,19a a a +==，则2a =（ ） A ．3B ．4C ．7D ．814．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a =，则9a 等于（） A ．2B ．3C ．4D ．815．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为（ ）A ．165 B ．1615 C ．1629 D ．163116．数列{}n a 满足112n n n a a a -+=+，n S 是数列{}n a 的前n 项和，22019,a a 是函数2()65f x x x =-+的两个零点，则2020S 的值为（ ）A ．6B ．12C ．2020D ．606017．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57918a a a ++=，则13S =（ ） A ．39B ．78C ．117D ．15618．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，63363S S -=，则5a =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．919．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知560a a +=，1224S =，则n nS 的最小值为 （ ） A ．144-B ．145-C ．146-D ．147-20．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin 2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．201921．已知数列{}n a 满足2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈，数列2211log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S ，则2019S =（ ） A ．20192020B ．12019C ．12020D ．2018201922．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，满足1n a =，则516810024246810011111(1)11111a a a a a S S S S S +++++-+-++-=-----（ ） A ．100101B ．102101C ．200201D ．20220123．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（ ） A ．66B ．132C ．-66D ．-13224．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1127m m m a a a -+++=，且45m S =，则m =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1125．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77b a =，则13S =（ ）A ．26B ．52C ．78D ．10426．在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ） A ．150B ．160C ．200D ．30027．正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2396150a a a +-+=，则11S =（ ）A ．35B ．36C ．45D ．5528．已知{}n a 为等差数列，352a =，147147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是（ ） A ．19 B ．20 C ．39D ．4029．等差数列{}n a 中，若159371139,27a a a a a a ++=++=，则数列{}n a 前11项的和为 A ．121B ．120C ．110D ．13230．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149B ．73C ．32D ．2参考答案1．B 【解析】 【分析】根据三项成等比数列可构造出关于1a 和d 的方程，解方程得到1a d =；根据等差数列通项公式，利用1a 和d 表示出所求式子，化简可得结果. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d1a 、2a 、4a 成等比数列 2214a a a ∴= 即()()21113a d a a d +=+，解得：1a d =11413121315523a a a d da a d d++∴===+ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查等差数列通项公式应用、等比中项的应用，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】由题意首先求得2a 的值，然后结合等差数列的性质即可确定10a 的值. 【详解】由题意可得：2026a a a =，即()()22224a d a a d +=+，结合题意有：()2222(4)16a a a +=+，解得22a =，则102828434a a d =+=+⨯=. 故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D 【解析】 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系，得到4104a a +=，再由等差数列的性质和前n 项和公式，即可求解. 【详解】因为410,a a 是方程2410x x -+=的两根，所以4104a a +=， 又由113101313)13426222a a a a S ++⨯====413（）（，故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和前n 项和公式，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】根据题意归纳出本质是等差数列求和问题，利用求和公式可得. 【详解】由题意可得每层果子数分别为1，3，6，10，…，即为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…， 其最底层每边果子数为10，即有该层的果子数为1+2+3+…+10=12×10×11=55． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查以数学传统文化为背景的数列求和问题，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 5．C 【解析】试题分析：等差数列中，11(1)=n ,=(1),2n 2n n S n n dS a d a n -++-即数列{}nn S 是首项为12012a =-，公差为2d的等差数列；因为，2012102002201210S S -=，所以，(201210)20022d -=，12d=，所以，，选C .考点：等差数列的求和公式，等差数列的通项公式. 6．B 【解析】 【分析】先由题意求出720a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，求出公差，进而可求出结果. 【详解】因为157913100a a a a a ++++=， 所以75100a =，即720a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，又6212a a -=，所以412d =，故3d =， 所以17620182a a d =-=-= 故选B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型. 7．C 【解析】 【分析】先由8109S S S <<，得到90a >，100a <，9100a a +>，公差大于零，再由数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零. 又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的性质与求和公式即可，属于常考题型. 8．C 【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件． 9．D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列，由此求得40S 的值. 【详解】 解：等差数列{}n a 前n 项和为n S∴10S ，1200S S -，3020S S -，4030S S -也成等差数列故1000132020()2()S S S S S -+=- ，30=150S ∴又102040303020)(2()()S S S S S S =---+40=280S ∴故选D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义和性质，等差数列前n 项和公式的应用.【解析】 【分析】利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于4a 的方程，由此解得4a 的值，利用等差数列前n 项和的性质，求得7S 的值. 【详解】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 11．D 【解析】 【分析】根据公差0d >及()()85950S S S S --<,可知859S S S <<,因而可得7a 与8a 的关系,即可得解. 【详解】公差0d >,()()85950S S S S --<98S S ∴>859S S S ∴<<,850S S -<,950S S -> 678730a a a a ∴++=<67897820a a a a a a ∴+++=+>（） 70a ∴<,780a a +>78a a ∴<【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质和应用,等差数列的单调性与项大小的比较,属于基础题. 12．B 【解析】试题分析： 考点：等差数列性质 13．C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据条件列出方程组，解得. 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ； 313650,19a a a +==1121450519a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得134d a =⎧∴⎨=⎩ 21347a a d ∴=+=+=故选：C 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的基本量的计算，属于基础题. 14．B 【解析】 【分析】根据1530S =，可算出8a ，又104a =，根据等差中项的性质求解即可 【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a =，98109263a a a a =+=⇒= 答案选B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算15．B【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且1315,390a S ==，由于131230a a a a +=+，且()()131230133124301615,22a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=。

数学能力专题训练一（选择题解法）要点：①充分利用题干和选择支两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略。

②解选择题的基本思想是：既要看到通常各类常规题的解题思想，原则上都可以指导选择题的解答；更应看到。

根据选择题的特殊性，必定存在着若干异于常规题的特殊解法。

我们需把这两方面有机地结合起来，对具体问题具体分析。

一、直接求解法：由因导果，对照结论。

1．已知f(x)=x(sinx+1)+ax 2,f(3)=5,则f(－3)=( )(A)－5 (B)－1 (C)1 (D)无法确定2．若定义在实数集R 上的函数y=f(x+1)的反函数是y=f －1(x －1),且f(0)=1,则f(2001) 的值为( )(A)1 (B)2000 (C)2001 (D)20023.已知奇函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，且当x ∈(0,1)时，f(x)=2x －1,则)24(log 21f 的值为（A ）21- （B ）25- （C ）245- （D ）2423-4．已知两点M(1,45),给出下列曲线方程：①4x+2y －1=0;②x 2+y 2=3;③1222=+y x ; ④1222=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）（A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④5．设a>b>c,n ∈N,且ca nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)56.如果把y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线的一段，设a ≤c ≤b ，那么f(c)的近似值可表示为（ ）(A)[])()(21b f a f + (B))()(b f a f(C))]()([)(a f b f ab ac a f ---+ (D) )]()([)(a f b f ab ac a f ----二、逆推验证法：执果索因，逆推检验。

关于函数单调性的几点说明
山东 孙亦建
函数单调性是函数非常重要的性质，由于定义比较抽象，学生理解起来有困难，在认识上很容易出现现偏差，现对定义的理解和应用作以下几点说明。

（一）函数单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两字是必不可少的。

如果只知道确定两点的函数值大小比较（比如说端点值）是不能确定函数的单调性的。

（二）函数单调性是在一定的区间内讨论的，对于同一个函数在不同的区间内可以有不同的单调性，即使在两个区间上分别是增（减）函数，在这两个区间的并集上也不一定是增（减）函数。

最典型的例子是函数x
x f 1)(=在),0(),0,(+∞-∞分别是减函数，但在),0()0,(+∞-∞ 却不是减函数，因为12<-但)1()2(f f <-，与减函数定义矛盾
（三）函数单调性反映的是函数的自变量与函数值的相互变化关系，增减函数的定义可以有如下的变形形式:若0))()()(()(2121>--=x f x f x x x f y 为增函数则 若0))()()(()(2121<--=x f x f x x x f y 为减函数则
（四）如果 )(x f y =是增（减）函数,若21x x <,则)()(21x f x f <（)()(21x f x f >），反之亦然，这就为我们比较大小提供了一个方法
例题：若)(x f 是定义在（0，+∞）的增函数，且有)13()1(-<+a f a f ，求a 的取值范围
解： )(x f 是定义在（0，+∞）的增函数，)13()1(-<+a f a f
∴a
a得1
>
a
-
>
1
1
3>
+。