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同步练习g3.1029数学归纳法1．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n=1时，f （n ）为 （A ）1 （B ）31 （C ）1+3121+ （D ）非以上答案 2．用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=a a n --+112（a ≠1，n ∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（A ）1（B ）1+a （C ）1+a+a2 （D ）1+a+a 2+a3 3.用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141N n nn n n n ∈+++++=--++ ,则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为 (A)121+k (B) 421221+-+k k (C) －221+k (D) 121+k －221+k 4．某个（A ）当n=6时该（C ）当n=4时该5.),,3,2,1(21312111 =+++++++=k kk k k S k 则S k+1 = (A) S k + )1(21+k (B) S k + 11221+-+k k (C) S k + 221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 6．由归纳原理分别探求：(1)凸n 边形的内角和f(n)= ;(2)凸n 边形的对角线条数f(n)= ;(3)平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f(n)= .为真，进而需验证n= ，7．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ⨯1⨯2⨯3⨯…(2n─1)(n∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .8.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n ＋1)2＝12)1(+n n (an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 成立？并证明你的结论.9. 求证：212131211n n >-++++ （*∈N n ） 10. （年全国高考理）设数列满足，，，，……2002112312∙=-+=+{}a a a na n n n n n （）当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；121234a a a a a n =（）当时，证明对所有的，有231a n ≥≥<>≥+12a n n ；<>++++++≤21111111212a a a n ……。
第一章参考答案同步练习g3.1001集合11—10、DCDBB DBDCA11、7. 12、必要不充分. 13、{-3，0，1，2，4，5，6，9}. 14、a=0或a=1.15、a=2或a=3;3.m m -<= 16、 2.a ≥17、各元素 之和为1(0)2(0)b b b -=⎧⎨--≠⎩同步练习g3.1002集合21—8、ADC(A,D)D CAC 9、(,3-∞-- 10、5[2,).2 11、1||,(1).a b a --≥<-同步练习g3.1003解不等式11—8、DBBCB BAB9、 2.± 10、x<-3. 11、（1，2）. 12、（2，10）.13、2. 14、a=4,b=2. 15、{x| -1<x<2或x>3}. 16、n=0,1.17、01a <<时，22;1a x a -<<- a>1时，2 2.1a x a -<-或 a=1时，x>2.同步练习g3.1004解不等式21—10、BCDDD DBBCA11、{|153}.x x <<≠且 12、13{|}.22x x <<13、{|121}.x x x ≤≤=-或 14、{|3,7}x x x >≠15、{|130}.x x x <<<或 16、{|24}.x x x ≤-≥或 17、a =1.同步练习g3.1005解不等式31—5、BCADD 6、4{|0log 3}.x x << 7、15{|}.22x x x ≤≥或8、77{|}.22x x --+<< 9、{|12}.x x << 10、4{|01}.5x x x <<>或11、3[,).4+∞ 12、{|x x a << 13、当0<a <1时，0<x <a 2 ,当a >1时，x >a 2 .14、 当0<a <1时，{|log 4log 2};a a x x <≤当a >1时，2{|log 2log 4}.a x x ≤<15、（1，2）.同步练习g3.1006简易逻辑11、B2、A3、C4、C5、D6、B7、B8、C9、D 10、A11、φ 12、25，60 13、-1≤a ≤114、若a 、b 均不为0，则ab ≠015、a ≥1或a ≤-1，提示：画图 16、3＜m ≤310 17、⎩⎨⎧=-=16q 8p ，或⎩⎨⎧=-=10q 20p ，或⎩⎨⎧=-=40q 14p 同步练习g3.1007简易逻辑21—8、AABBA ABA 9、(,0)[3,).-∞+∞ 10、25(0,).3k ∈ 11. 7 12. ③④13、(0,).+∞ 14、1(0,][1,).2+∞ 参考答案：同步练习g3.1008映射与函数1—7、ACDDA AB 8、(2,-1) 9(1)(,2)-∞ (2)2{|1}3x x x >≠且 10(1)[-2, 2] (2)(],4-∞ (3)[2, 8] 11、售价为14元/件，利润最大为360元12（1）当0a ≤时，[x ∈；当0a >时，[[,]x a b ∈(2)当0a =时，{0}x ∈；当0a >时，x φ∈，函数无意义；当0a <时，[,]x a a ∈-（3）当2b a m -=时，{}2a b x +∈；当2b a m ->时，无意义；当2b a m -<时，[],x a m b m ∈+-。
![[高考数学复习]2020年高考数学第一轮知识点总复习ppt课件](https://img.taocdn.com/s1/m/e5b7761ff61fb7360a4c655f.png)
g3.1029数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n 有关的数学1.用数学归纳法证明①验证当n 取第一个值0n 时②假设当n=k ),(0*n k N k ≥∈时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n 时○3结论. 2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意0n 不一定为1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k 到k+1时二．基本训练1.已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该A 4=n 时该命题成立B 6=n 时该C 4=n 时该命题不成立D 6=n 时该2．用数学归纳法证明2n >n 2 (n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ;3．用数学归纳法证明:*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 .三、例题分析例1:已知*N n ∈,证明:n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-nn n 212111+⋅⋅⋅++++=. 例2、求证：n n n +≤++++≤+21213121121 例3.是否存在正整数m 使得()()9372+⋅+=n n n f 对任意自然数n 都能被m 整除，若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论。
若不存在说明理由。
例4.平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分. 例5.设f(k)满足不等式()()*-∈-≥-⋅+Nk k x x k 1223log log 122的自然数x 的个数 （1）求f(k)的解析式；（2）记)()2()1(n f f f S n +++= ，求n S 的解析式；（3）令()*∈-+=N n n n P n 12，试比较n S 与n P 的大小。
高考数学第一轮复习归纳法
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数学归结法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或许局部)自然数范围内成立。
(一)第一数学归结法
普通地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤(1)证明当n取第一个值时命题成立，关于普通数列取值为1，但也有特殊状况，
(2)假定当n=k(k[n的第一个值]，k为自然数)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
(二)第二数学归结法
关于某个与自然数有关的命题，
(1)验证n=n0时P(n)成立，
(2)假定no
综合(1)(2)对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立，
(三)螺旋式数学归结法
P(n)，Q(n)为两个与自然数有关的命题，
假设(1)P(n0)成立，
(2)假定P(k)(kn0)成立，能推出Q(k)成立，假定Q(k)成立，能推出P(k+1)成立，综合(1)(2)，关于一切自然数n(n0)，
P(n)，Q(n)都成立，
(四)倒推数学归结法(又名反向数学归结法)
(1)关于无量多个自然数命题P(n)成立，
(2)假定P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立，
综合(1)(2)，对一切自然数n(n0)，命题P(n)都成立
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g3.1029数学归纳法一、知识回顾数学归纳法是一种证明与正整数n 有关的数学命题的重要方法. 1.用数学归纳法证明命题的步骤为:①验证当n 取第一个值0n 时命题成立,这是推理的基础;②假设当n=k ),(0*n k N k ≥∈时命题成立.在此假设下,证明当1+=k n 时命题也成立是推理的依据. ○3结论. 2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察,归纳,猜想,推理论证. 3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立,注意0n 不一定为1; (2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化 二．基本训练1.已知某个命题与正整数有关,如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立,那么可以推得1+=k n 时该命题也成立.现已知5=n 时该命题不成立,则( )A 4=n 时该命题成立B 6=n 时该命题不成立C 4=n 时该命题不成立D 6=n 时该命题成立2．用数学归纳法证明2n >n 2 (n ∈N,n ≥5),则第一步应验证n= ;3．用数学归纳法证明:*1111(,1)2321nn n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时, ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从n=k 到n=k+1成立时,左边增加的项数是 . 三、例题分析例1:已知*N n ∈,证明:n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-nn n 212111+⋅⋅⋅++++=.例2、求证：n n n +≤++++≤+21213121121例3.是否存在正整数m 使得()()9372+⋅+=n n n f 对任意自然数n 都能被m 整除，若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论。
若不存在说明理由。
例4.平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.例5.设f(k)满足不等式()()*-∈-≥-⋅+N k k x x k 1223log log 122的自然数x 的个数 （1）求f(k)的解析式；（2）记)()2()1(n f f f S n +++= ，求n S 的解析式；（3）令()*∈-+=N n n n P n 12，试比较n S 与n P 的大小。
三、课堂小结1数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法; 2用数学归纳法证明命题时,两个步骤缺一不可,且书写必须规范;3两个步骤中,第一步是基础,第二步是依据.在第二步证明中,关键是一凑假设,二凑结论 四、作业 同步练习g3.1029数学归纳法1．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n =1时，f （n ）为（A ）1 （B ）31（C ）1+3121+ （D ）非以上答案2．用数学归纳法证明1+a +a 2+…+an+1=aa n --+112（a ≠1，n ∈N *），在验证n =1成立时，左边计算所得的项是（A ）1 （B ）1+a（C ）1+a +a 2（D ）1+a +a 2+a 3 3.用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141N n n n n n n ∈+++++=--++ ,则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为(A) 121+k (B) 421221+-+k k(C) －221+k (D) 121+k －221+k4．某个命题与自然数n 有关，如果当n =k （k ∈N *）时，该命题成立，那么可推得当n =k +1时命题也成立．现在已知当n =5时，该命题不成立，那么可推得 （A ）当n =6时该命题不成立； （B ）当n =6时该命题成立 （C ）当n =4时该命题不成立 （D ）当n =4时该命题成立5.),,3,2,1(21312111 =+++++++=k k k k k S k 则S k+1 = (A) S k + )1(21+k (B) S k + 11221+-+k k (C) S k +221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 6．由归纳原理分别探求：(1)凸n 边形的内角和f(n)= ; (2)凸n 边形的对角线条数f(n)= ;(3)平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f(n)= .为真，进而需验证n= ，命题为真。
7．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ⨯1⨯2⨯3⨯…(2n─1)(n∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .8.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n ＋1)2＝12)1(+n n (an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 成立？并证明你的结论.9. 求证：212131211nn>-++++ （*∈N n ） 10. （年全国高考理）设数列满足，，，，……2002112312∙=-+=+{}a a a na n n n n n （）当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；121234a a a a a n =（）当时，证明对所有的，有231a n ≥≥<>≥+12a n n ； <>++++++≤21111111212a a a n ……。
11．已知A n =(1+lgx)n ,B n =1+nlgx+2)1(-n n lg 2x,其中n ∈N,n ≥3,),101(+∞∈x ,试比较 A N 与B n 的大小.答案基本训练 1.C 2. 5 3. k 2 例题分析1.证明:用数学归纳法证明.(1)当1=n 时,左边=21211=-,右边21=,等式成立; (2)假设当k n =时等式成立,即有: k k 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-k k k 212111+⋅⋅⋅++++=. 那么当1+=k n 时,左边=)1(211)1(21211214131211+--++--+⋅⋅⋅+-+-k k k k k k k 212111+⋅⋅⋅++++=)1(21121+-++k k ++++⋅⋅⋅++++=121213121k k k k ])1(2111[+-+k k +⋅⋅⋅++++++=2)1(11)1(1k k )1()1(1)1(1++++++k k k k =右边;所以当1+=k n 时等式也成立.综合(1)(2)知对一切*N n ∈,等式都成立.思维点拨：仔细观察欲证等式的结构特征,在第二步证明当1+=k n 时向目标式靠拢是关键.2.证明：（1）当n=1时，211)1(+=f ，原不等式成立（2）设n=k ()*∈N k 时，原不等式成立 即k k k +≤++++≤+21213121121 成立，当n=k+1时， ()()21121212*********22112121212211211211111++=++=+++++>+++++++≥++++++=++++++k k k k k f k f k k k k k k k k k k 项共 ()() 项共k kk k k k k k k k k k k f k f 211121121121212122112121212211211++++++++<+++++++≤++++++=+++ ()()1211++<+∴k k f 即n=k+1时，命题成立 综合（1）、（2）可得：原命题*∈N n 对恒成立。
3.证明：由()()9372+⋅+=n n n f 得，()361=f ，()3632⨯=f ，()36103⨯=f ，()36344⨯=f ，由此猜想m=36 下面用数学归纳法证明（1）当n=1时，显然成立。
（2）假设n=k 时，f(k)能被36整除，即()()9372+⋅+=k k k f 能被36整除；当n=k+1时，()[]()[]()1318937239371211-++⋅+=+⋅++-+k k k k k由于131--k 是2的倍数，故)13(181--k 能被36整除，这就说，当n=k+1时，f(n)也能被36整除由（1）（2）可知对一切正整数n 都有()()9372+⋅+=n n n f 能被36整除，m 最大值为36。
4.解: (1)当1=n 时,一个圆把平面分成两部分,此时222=+-n n , 即命题成立;(2)假设当k n =时命题成立,即k 个圆把平面分成22+-k k 个部分.那么当1+=k n 时,这1+k 个圆中的k 个把平面分成22+-k k 个部分.第1+k 个圆被前k 个圆分成k 2条弧,这k 2条弧中的每一条把所在的部分分成了2块,这时共增加k 2个部分,故1+k 个圆把平面分成22+-k k 2)1()1(22++-+=+k k k 个部分,这说明当1+=k n 时命题也成立.综上所述,对一切*N n ∈,命题都成立.例5.设f(k)满足不等式()()*-∈-≥-⋅+N k k x x k 1223log log 122的自然数x 的个数 （1）求f(k)的解析式；（2）记)()2()1(n f f f S n +++= ，求n S 的解析式； （3）令()*∈-+=N n n n P n 12，试比较n S 与n P 的大小。
5.解：（1）原不等式()()()k k k k k k k k x x x x x x x x x 220222302232301111211≤≤⎪⎩⎪⎨⎧⇔≤--⋅<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅⋅⋅<>⇔------ ()1212211+=+-=--k k k k f（2）12222)()2()1(110-+=++++=+++=-n n n f f f S n n n （3）22n P S n n n -=-n=1时，;01221>-；n=2时，;02222=- n=3时，;03223<-；n=4时，;04224=- n=5时，;05225>-；n=6时，;06226>- 猜想：5≥n 时n n P S >下面用数学归纳法给出证明（1） 当n=5时，55P S >，已证（2）假设()5≥=k k n 时结论成立即22,k P S k k k >>那么n=k+1时，112++>k k P 而()()2112122222--=--=+-k k k k k 在5≥k 范围内，()0212>--k 恒成立则()2212+>k k ，即11++>k K P S由（1）（2）可得，猜想正确，即5≥n 时，n n P S >综述：当n=2,4时，n n P S =当n=3时，n n P S <n=1或5≥n 时，n n P S >。
