函数导数公式及证明.doc

1.2.2基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则
公式一:
C

= 0 (C为常数)
公式二: ( x
) x
1
( 是常数)
算一算：求下列函数的导数 (1)
4 y=x
;
(2)
-5 y=x
;
4x3
(3) y x ;
-6 -5x
1 1 -3 2 -2x x 2 注意公式中,n的任意性.
3 2
例2:求下列函数的导数:
答案: (1) y 3x2 2;
1 4 3; 2 x x 1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) (2) y
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 1 x2
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
t p (t ) 1.05 ln1.05
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
• • • • •
三、解答题 6．求下列函数的导数 (1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝x·tanx； (3)y＝(下列各式正确的是（ D ）
1 A.(log )' x ln 10 x B .(loga )' x x C .(3 )' 3 x
x a
D .(3 )' 3 ln 3
x x
0 (3) f(x)=80，则f '(x)=______;

基本初等函数的导数公式的推导过程.doc
导数的概念是微积分的基础。

本文将介绍基本初等函数的导数公式的推导过程，包括
幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数、三角函数的导数等。

一、幂函数的导数
幂函数是指形式为f (x)=xn的函数，它的导数是指其函数图像的切线斜率函数，表
示为f' (x)=dnxn-1，其中n是一个常数，如果n为0，则导数f' (x)也被称为常数函数，它的导数为0。

求幂函数的导数步骤如下：
① 根据常用求导法则，(xn)'= nxn-1 ；
② 如果n是正数，那么(xn)'= nxn-1 ；如果n是负数，则应该先做关于x的对称变换。

① 根据f (x)=a^x的定义，可以得出lnf(x)=xln a；
② 将x和a进行求导处理，即f' (x)=1*ln a +x*(ln a)^2；
③ 将上面的结果简略化，以得出最终结果f' (x)=a^xln a。

对数函数是指形式为f (x)=ln x的函数，它的导数表示为f' (x)=1/x 。

三角函数又分为正弦函数、余弦函数、正切函数。

1. 正弦函数的导数。

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5284 52.84，所以， (1)因为 c(90) 2 (90 100) 纯净度为90%时，费用的瞬时变化率
为52.84元/吨。
5284 1321 ，所以， (2)因为 c(98) 2 (98 100) 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率
为1321元/吨。
练习2、求下列函数的导数。
(1) y x sin x cosx
3
y 3x cos x sin x
2
x x 2 (1) y 2 sin cos 2 x 1 (2) 2 2
y cos x 4 x
(3) y ( x 1)(x 2)
y 2 x 3
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解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用
函数的导数。 5284 1 c( x) ( ) 5284 ( ) 100 x x 100 1 ( x 100) 1 ( x 100) 5284 2 ( x 100)
0 ( x 100) 11 5284 5284 2 2 ( x 100) ( x 100)
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练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
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思考如何求下列函数的导数：
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切线的方程为 y x 2

上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x

'
0.05eu 0.05e0.0 5x 1.
3函数y sinπx φ可以看作函数 y sinu和
u πx φ的复合函数 .
由复合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
我们无法用现有的方法 求函数 y lnx 2 的导数 . 下面, 我们先分析这个函数的 结构特点 . 若设 u x 2x 2 , 则y ln u.从而 y lnx 2 可以看成是由 y ln u 和u x 2x 2 经过 " 复 合" 得到的, 即y可以通过中间变量 u表示为自变量 x 的函数 . 如果把 y 与u的关系记作 y f u, u 和 x 的关系记作 u gx ,那么这个 " 复合 " 过程可表示为 y f u f gx lnx 2 . 我们遇到的许多函数都 可以看成是由两个函数 经过
思考 如何求函数y ln x 2 的导数呢?
" 复合" 得到的, 例如,函数y 2 x 3 由y u2和u 2 x 3" 复合" 而成,等等.
2
一般地 , 对于两个函数 y f u和u gx , 如果通过 变量 u, y可以表示成 x的函数 ,那么称这个函数为函 数y f u 和u g x 的 复 合 函 数 (composite fun ction),记作 y f gx . 复合函数 y f gx 的导数和函数 y f u,u gx 的 ' ' ' 导数间的关系为 y x yu ux .

导数基础公式
在微积分中，导数是一个非常重要的概念。

它描述了函数在某一点处的变化率，也可以用来求解函数的最值、拐点等问题。

在这里，我们来介绍一些导数的基础公式。

1. 常数函数的导数为0
如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f(x)在任何点的导数都是0。

这是因为常数函数在任何点处的斜率都是0，即不会发生变化。

2. 幂函数的导数
如果f(x) = x^n，其中n是一个正整数，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = n*x^(n-1)
这个公式可以通过求导数的定义式来证明。

3. 指数函数的导数
如果f(x) = e^x，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = e^x
这个公式也可以通过求导数的定义式来证明。

4. 对数函数的导数
如果f(x) = ln(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = 1/x
这个公式也可以通过求导数的定义式来证明。

5. 三角函数的导数
如果f(x) = sin(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = cos(x)
如果f(x) = cos(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = -sin(x)
如果f(x) = tan(x)，那么f(x)在任何点的导数为：
f'(x) = sec^2(x)
其中，sec(x)表示x的余切函数。

这些公式是导数的基础公式，掌握它们对于学习微积分和解决实际问题都非常重要。

当然，还有更多的导数公式，需要在学习中逐步掌握。

例2.求下列函数的导数. 1）y=x3-2x+3 2) y (x 1) x
4x - 1 3) y 4 x
4) y e x log4 x
6) y sinx cos x
lnx 5) y x e
7) y tan x
练习：《面对面》P13：基础训练 1，2，3，4 P14：基础巩固 1-8
3、如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求 切点坐标与切线方程.
解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行,
∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y | x=x0=(x3+x-10) | x=x0=3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12). 切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.
2 x1 2( x2 2) x1 0 x1 2 或 . 因为两切线重合, 2 2 x1 x2 4 x2 2 x2 0
若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.
所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

解 y f( ： x x ) f( x ) ( x x ) n x n
x n C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . . ( x . ) n x n
C n 1 x n 1 x C n 2 x n 2 ( x ) 2 . .( .x ) n
x
x0
x
x0 x x x x
lim
1
1
x0 x x x 2 x
即 x 1 x 0 P/15注意事项： 2x
注意事项:
x 1、，在求导数时，当 x 0时， 是不变
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
5
5 5x2
练习2:求下列函数的导数
(1) y=5x2-4x+1
(2) y=-5x2+3x+7
(3) y=(2+x)(3-x) (4) y=(2x-1)(3x+2) (5)y=x2-cosx
1.2.2导数公式表及数学软件的应用
数学 组
孙靓
二、基本初等函数导数公式表（九个公式）
C 0(C为常数）；
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平行 于x轴。
公式2: x 1
设yf xx
xlimf
xxf
x xxx
lim
1
x0
x
x0
x
即x1
在同一平面直角坐标系中，
探 画出y=2x,y=3x,y=4x的 究 图象，并根据导数定义， ？ 求它们的导数。
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0

导数的基本公式与运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点附近的变化率。

在计算导数时，有一些基本公式和运算法则可以帮助我们简化计算过程。

一、基本公式1.常数函数的导数公式对于常数函数f(x)=C，其中C是一个常数，其导数为f'(x)=0。

这是因为常数函数在任何点处的斜率都为0，所以其导数为0。

2.幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，其导数为f'(x) =nx^(n-1)。

这个公式可以通过使用极限定义来证明。

3.指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

这个公式可以通过使用极限定义和指数函数的性质来证明。

4.对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

这个公式可以通过使用极限定义和对数函数的性质来证明。

5.三角函数的导数公式对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)以及它们的反函数，它们的导数公式如下：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)cot'(x) = -csc^2(x)sec'(x) = sec(x) * tan(x)csc'(x) = -csc(x) * cot(x)这些公式可以通过使用极限定义和三角函数的性质来证明。

二、运算法则1.和差法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的和（或差）的导数等于它们的导数之和（或差）：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)2.积法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，那么它们的乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)3.商法则如果两个函数f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，那么它们的商的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数减去第二个函数乘以第一个函数的导数，再除以第二个函数的平方：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^24.复合函数的导数如果函数f(x)和g(x)都可导，那么复合函数f(g(x))的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)这些基本公式和运算法则是在计算导数时非常有用的工具，它们能够帮助我们简化计算过程并得到准确的结果。

第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数 的运算法则（一）
掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.
1.本课重点是掌握基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导 数与导数公式的简单应用.
基本初等函数的导数公式
9
27
此时公切线的斜率为k=2x1=64 .
27
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，2674 ③. …………………………………………………………………12分
1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_n_x_n_-1_；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=__c_o_sx_；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=__-_si_n_x_;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_a_x_ln_a_(a>0)；
…………………………………………………………………4分
②当x=2 时，2x=3x2=4
3
3
.此时C1的切线方程为y-
4=
9
4(x-
3
)，2
3
而C2的切线方程为y- 8 = (4x- ).2显然两者不是同一条
27 3 3
切线，所以x= 2舍去.………………………………………6分
3
(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A
1 x；-23 1 1

常见导数公式：① C'=0（C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) （n∈Q*）；③ （sinx)' = cosx；（cosx）' = — sinx；(tanx)’=1/（cosx）^2=(secx)^2=1+（tanx）^2-（cotx)'=1/（sinx)^2=（cscx）^2=1+（cotx）^2(secx）’=tanx·secx（cscx)'=—cotx·cscx④ (sinhx)'=hcoshx（coshx)’=-hsinhx（tanhx）’=1/（coshx)^2=(sechx）^2(coth)'=—1/（sinhx）^2=-(cschx)^2(sechx)'=—tanhx·sechx(cschx)’=-cothx·cschx⑤ (e^x)' = e^x；(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）（logax)’ =（xlna)^（—1），(a〉0且a不等于1）（x^1/2）’=［2（x^1/2）]^(—1）（1/x)'=—x^（-2）另外就是复合函数的求导：①（u±v)’=u'±v'②（uv）'=u'v+uv'③（u/v)'=(u'v—uv')/ v^2后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解,(arcsinx）’=1/(1—x^2）^1/2（arccosx）’=—1/（1—x^2）^1/2(arctanx）'=1/（1+x^2)（arccotx）'=-1/（1+x^2）(arcsecx)'=1/（|x｜(x^2—1)^1/2)（arccscx)'=—1/（|x|(x^2—1)^1/2）（arsinhx）’=1/(x^2+1）^1/2(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)’=1/(x^2—1） (|x｜〈1)(arcothx）'=1/（x^2—1） (|x|>1)（arsechx)'=1/（x(1-x^2）^1/2）(arcschx）'=1/（x（1+x^2)^1/2）1、x→0,sin(x）／x →12、x→0，（1 + x）^（1／x）→ex→∞ ，(1 + 1／x）^（1/x）→ 1（其中e≈2.7182818。

高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。

导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。

本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。

常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。

2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。

3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。

4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。

5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。

6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。

复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。

高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。

隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。

常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。

题型一： 题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一： 解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ － ＋ － ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 － ＋ ＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝ 法二： 解： 法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， － ＝ － ，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )

公式3: (x2 ) 2x
设y f x x2, x2 lim f xx f x
x0
x

x x2
lim
x2

lim2xx
2x
x0
x
x0
即x2 2x
公式4: x3 3 x 2
设y f x x3, x3 lim f xx f x
(A)y=x3+sinx (C)y=xsinx
(B)y=x2-cosx (D)y= x +cosx
(2)若(A f)1 (x x) (B x12), 则x fx (x1 )可(能C ) 是 2 下x 式3中(D 的) ( B2 1 x 3 )
(3)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的
sin
x 2
x 0
x
sin x
lim sin x x lim
x 0
x 0
2 x
lim sin x 1 x0 x
2
Hale Waihona Puke sin x证 明 ： ln x lim ln x x ln x
x 0
x

ln lim
x 0
的，视为常数，常数的极限是这个常数本身。
2、求极限的四则运算法则：
若 lim f x A, lim g x B B 0,
x0
x0
则 lim f x g x A B x0
lim f x g x A B
x0
lim f x A x0 g x B
2、 若 yfxxx0,0,Q，
则 yx1,为 有 理 数
证 明 ： s i n x li m s i n x x s i n x

常见导数公式：① C'=0（C为常数函数)；② (x^n)'= nx^(n-1) （n∈Q*）；③ （sinx)' = cosx；（cosx）' = — sinx；(tanx)’=1/（cosx）^2=(secx)^2=1+（tanx）^2-（cotx)'=1/（sinx)^2=（cscx）^2=1+（cotx）^2(secx）’=tanx·secx（cscx)'=—cotx·cscx④ (sinhx)'=hcoshx（coshx)’=-hsinhx（tanhx）’=1/（coshx)^2=(sechx）^2(coth)'=—1/（sinhx）^2=-(cschx)^2(sechx)'=—tanhx·sechx(cschx)’=-cothx·cschx⑤ (e^x)' = e^x；(a^x)' = a^xlna （ln为自然对数）(Inx)' = 1/x（ln为自然对数）（logax)’ =（xlna)^（—1），(a〉0且a不等于1）（x^1/2）’=［2（x^1/2）]^(—1）（1/x)'=—x^（-2）另外就是复合函数的求导：①（u±v)’=u'±v'②（uv）'=u'v+uv'③（u/v)'=(u'v—uv')/ v^2后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成常见函数来求解,(arcsinx）’=1/(1—x^2）^1/2（arccosx）’=—1/（1—x^2）^1/2(arctanx）'=1/（1+x^2)（arccotx）'=-1/（1+x^2）(arcsecx)'=1/（|x｜(x^2—1)^1/2)（arccscx)'=—1/（|x|(x^2—1)^1/2）（arsinhx）’=1/(x^2+1）^1/2(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)’=1/(x^2—1） (|x｜〈1)(arcothx）'=1/（x^2—1） (|x|>1)（arsechx)'=1/（x(1-x^2）^1/2）(arcschx）'=1/（x（1+x^2)^1/2）1、x→0,sin(x）／x →12、x→0，（1 + x）^（1／x）→ex→∞ ，(1 + 1／x）^（1/x）→ 1（其中e≈2.7182818。

导数的定义：f'(x)=lim Δy/ΔxΔx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n证法一：（n为自然数）f'(x)=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)=nx^(n-1)证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1)（2）f(x)=sinxf'(x)=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim cosxsinΔx/Δx=cosx（3）f(x)=cosxf'(x)=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim -sinxsinΔx/Δx=-sinx（4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lim a^x*m/loga^(m+1)=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]=lim a^x*lna*m/ln(m+1)=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]=lim a^x*lna/lne=a^x*lna证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)] '=[xlna] 'f' (x)/f(x)=lnaf' (x)=f(x)lnaf' (x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x（5）f(x)=loga^xf'(x)=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx=lim loga^(1+Δx/x)/Δx=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=lim lne/(x*lna)=1/(x*lna)若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2（7）f(x)=cotxf'(x)=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2（8）f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*secx（9）f(x)=cscxf'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim (1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim (sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim (sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim -sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx（10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx =lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（13）h(x)=f(x)/g(x)h'(x)=lim (f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim (f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim [(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim (f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x（14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim [f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim [f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim (f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim (f(u+Δu)-f(u))*Δu/(Δx*Δu)=lim f'(u)*Δu/Δx=lim f'(u)*(g(x+Δx)-g(x))/Δx=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的乘积为1)（15）y=f(x)=arcsinx则siny=x(siny)'=cosy所以(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy =1/√1-(siny)^2(siny=x)=1/√1-x^2即f'(x)=1/√1-x^2 (16)y=f(x)=arctanx则tany=x(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2 所以(arctanx)'=1/1+x^2即f'(x)= 1/1+x^2总结一下（x^n）'=nx^(n-1) （sinx）'=cosx（cosx）'=-sinx（a^x）'=a^xlna（e^x）'=e^x（loga^x）'=1/(xlna)（lnx）'=1/x(tanx)'=(secx)^2=1+(tanx)^2(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2 (secx)'=tanx*secx(cscx)'=-cotx*cscx(x^x)'=(lnx+1)*x^x(arcsinx)'=1/√1-x^2(arctanx)'=1/1+x^2[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x)) [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)。

基本初等函数导数推导定义1：设函数 f(x) 在 x_{0} 附近有定义，对应自变量的改变量 \Delta x ，有函数的改变量 \Deltay=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) ，若极限 \underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{\Delta y}{\Delta x} 存在，则称该极限为f(x) 在 x_{0}的导数，记作 f'(x_{0}) 。

引理1(导数公式1):常数函数的导数处处为零。

证明：设 f(x)=C 。

f'(x)=\underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Deltax}=\underset{\Delta x \rightarrow 0}\lim\frac{C-C}{\Delta x}= \underset{\Delta x \rightarrow0}\lim\frac{0}{\Delta x}=0引理2：部分三角函数和差化积公式\sin\alpha-\sin\beta=\sin(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin (\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))-(\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))=2\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cos\alpha-\cos\beta=\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}+\frac{\alpha-\beta}{2})-\cos(\frac{\alpha+\beta}{2}-\frac{\alpha-\beta}{2})=(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})-\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2}))-(\cos(\frac{\alpha+\beta}{2})\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})+\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alp ha-\beta}{2}))=-2\sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\sin(\frac{\alpha-\beta}{2})引理3：部分等价无穷小（1） \sin x\sim x(x\rightarrow 0)（2） e^{x}-1\sim x(x\rightarrow0)（3） \ln(1+x)\sim x(x\rightarrow0)（1）的证明略去，（2）（3）的证明见以下文章：引理4：导数的四则运算，设 u(x) 和 v(x) 可导。