数列求和方法之裂项相消法

裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

1、 特别是对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+111n na a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：111)1(1+-=+n n n n)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n!)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n例1 求数列1{}(1)n n +的前n 和n S ．例2 求数列1{}(2)n n +的前n 和n S ．例3 求数列1{}(1)(2)n n n ++的前n 和n S ．例4 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例5：求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S例6、 求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

裂项相消法(1)求和 1111122334(1)n S n n =++++⨯⨯⨯+…解：通项公式：()()()1111111n n n a n n n n n n +-===-+++所以 111111*********n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…1111n n n =-+=+ (2)求和 1111377111115(41)(43)n S n n =++++⨯⨯⨯-+…解：()()()()()()43411111141434414344143n n n a n n n n n n +--⎛⎫===- ⎪-+-+-+⎝⎭ 得1111377111115(41)(43)n S n n =++++⨯⨯⨯-+… 11111111143771111154143n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 1114343n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ()343nn =+(3)求和 1111132435(2)n S n n =++++⨯⨯⨯+…()()()21111122222n n n a n n n n n n +-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭ ()()()()1111111113243546572112n S n n n n n n =++++++++⨯⨯⨯⨯⨯--++… 1111111111111112132435462112n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥--++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…11111212n n =+--++ （仔细看看上一行里边“抵消”的规律 ）311212n n =--++ 最后这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。

倒序相加法如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法.a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……当{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n 项和适用错位相减即{anbn}型 an 为等差bn 为等比。

例析数列求和的裂项相消法多数数学问题中都要求求出一个数列的某一个总和，这种推导过程通常是重复加法，涉及到大量的运算时间和工作量，特别是当数列项数很大时，传统的累加法就会遇到非常大的困难。

裂项相消法便是为了解决这一问题而出现的。

它是将正负型数列按照规律因式分解，以减少运算量，从而达到较快求和的目的。

将数列分解为正、负两种类型，正数加上负数可以使其和为0，也就是把问题转化为查找不同正、负数的有效组合。

求和公式：S=a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+...现在引入另一种折叠方法裂项相消法，它是一种数学方法，将一个正数与一个负数相加，让这两个数的和等于0，可以使用更简便的直接求和方法，使时间和空间复杂度更低，从而提高效率。

该方法的实现可以从两个角度进行:1.正数与负数相邻对消，此时正数和负数的组合要满足：两两之和等于0。

2.正数、负数以不等长度分组，此时组内的和相加的和需要等于0。

以上两种方法实现时，关键在于分组和求和的方式，解决方案有很多种，以下将介绍其中一种实现方式。

假设有一个数列S={S1,S2,S3,S4,…,Sn}，其中n为未知数，需要求和。

可以用裂项相消法将这个数列分解成三步：步骤1：先把数列分组，每一组包括两个数：第一个数是数列中正数的和，第二个数是数列中负数的和。

步骤2:每一组数的和缩小为单个数，因为每一组的和的计算，我们可以等价的将每一组的两个数相加，把它们减小到一个数，这个数就是最后的求和结果。

步骤3：最后再将每一个单个数相加，就得到了最终的求和结果。

以上就是裂项相消法的具体操作过程，它主要用于求和数列中正负数的组合，以更快的时间求出该数列的总和。

因此，裂项相消法是一种简便有效的求和方法。

不过，引入裂项相消法也有其局限性，因为它比累加法要慢，而且它只适用于数列的求和，并不能应用于其它的数学问题，而且在求和过程中，如果不正确求出最终的结果，就会影响最终的结果。

总之，裂项相消法是一种较为简单灵活的求和方法，可以在计算算式上带动效率，减少时间和空间复杂度。

裂项公式原理
裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]。

裂项相消公式有n·n!=(n+1)!-n!；
1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]等。

数列的裂项相消法，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。

三小特征：
1、分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

2、分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足用户相连2个分母上的因数“首尾
相接”。

3、分母上几个因数间的高就是一个定值。

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。

裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]。

裂项相消公式有n·n!=(n+1)!-n!；1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]等。

裂项法求和公式
（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n
（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]
什么是裂项相消法
数列的裂项相消法，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。

三大特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。

可编辑修改精选全文完整版专题30 数列中裂项相消法求和问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11, n n S a a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为13的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112n a a a +++<． 【方法总结】裂项相消法求和裂项相消法裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．主要适用于⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和． 常用的裂项公式(1)若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2； (2)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； (5)2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2(6)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )； (7)log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n ； (8)2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1，2n －k (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12k ⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1； (9)n ＋2(n 2＋n )2n ＋1＝1n ·2n －1(n ＋1)2n ＋1； (10)k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1； (11) (－1)n n (n －1)(n ＋1)＝(－1)n 12⎝⎛⎭⎫1n －1＋1n ＋1．注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．【题型突破】1．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 2．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝2a n 2＋a n． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)若b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ．3．(2017·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． 4．(2015·全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 5．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，求数列{b n }的前n 项和为T n ． 6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝lg a n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 7．已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝12(3a n －1－b n －1)，b n ＝－12(a n －1－3b n －1)，n ∈N *， n ≥2．(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n ． 8．(2018·天津)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1， a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明：∑k ＝1n (T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝2n ＋2n ＋2－2(n ∈N *)． 9．已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 10．在等差数列{a n }中，已知a 6＝16，a 18＝36．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5．(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49． 13．在等比数列{a n }中，首项a 1＝8，数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为S n ，又设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：T n <34． 14．已知数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1＝1，b 2＝a 1＋a 2，a 3＝2b 3－6．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：15≤T n <13． 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 2()a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1＋1T 2＋…＋1T n<2． 16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1(n ≥2)． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(a n ＋1)2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <710(n ∈N *)． 17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n 项的和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 18．设函数f (x )＝23＋1x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (1a n －1)，n ∈N *，且n ≥2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 4n 恒成立，求实数t 的取值范围． 19．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋12a 2＋13a 3＋ (1)a n ＝a n ＋1－1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1S n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 10对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ． 20．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n <319成立的最大的正整数n ．。

用裂项相消法对数列求和（文科用）西安市第一中学：张平乐在数列求和的方法中，裂项相消法是一种重要的方法. 裂项相消法——化作同一个数列中的两项之差的形式,适用于⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+1n n a a c 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+k n n a a c 其中{}n a 是各项不为0的等差数列，+∈N k ，c 为常数；部分无理数列等等. 裂项法的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如果，数列通项是分式，分母是几个因子连乘的形式，裂项往往是将分子变成分母中一些因子之差的形式进行裂项；如果是几个因子连乘的形式，则往往通过给它在乘以结果为1的两个式子之差的形式，裂项相消法通常从通项入手进行裂项.一、裂项法对数列求和的一些实例（教师出示数列的通项，学生试着裂项，展示依据和过程）：（1）)()1(n f n f a n-+=或)()(n f K n f a n -+= （2）111)1()1()1(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n （3）)211(21)2(2)2()2(1+-=+-+=+=n n n n n n n n a n 在对（1）、（2）、（3）的思考之后，由学生探索出（4）式. (4) )11(1)()()(1kn n k k n kn n k n k n n a n +-=+-+=+=. (5)).121121(21)12)(12(2)12()12()12)(12(1+--=+---+=+-=n n n n n n n n a n 在对（4）、（5）的思考之后，由学生探索出（6）、（7）、（8）、（9）式.（6）)121121(211)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+-=+-=n n n n n n n n a n （7）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(2)2()2)(1(1++-+=++-+=++=n n n n n n n n n n n n a n (8).2)1(12121)1()1(221)1(21n n n n n n n n n n n n n n a +-⋅=⋅+-+=⋅++=-(9)数列{}n a 为等差数列，0,0,)1(11≠≠-+=d a d n a a n . 则.1111111++++⋅-⋅=⋅-=⋅n n n n n n n n a d a d a da a a a a 对分母是积的形式，学生有了一个如何裂项的认识. (10)).1()1(31)2)(1(31)1(3)1()2()1(+--++=+⋅--+=+=n n n n n n n n n n n n a n ).1)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(4)1()3()2)(1()11(++--+++=++⋅+-+=++=n n n n n n n n n n n n n n n n a n 在对（10）、（11）的思考之后，由学生探索出（12）、（13）式.).()1()1(21)1()2)(1(21)()2)(1(2)1()1()()2)(1(12k n n n n k k n n n n k k n n n n k n k n k n n n n a n +⋅⋅⋅+-+-++⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅++⋅+--++=+⋅⋅⋅++=）（ (13)数列{}n a 为等差数列，0,0,)1(11≠≠-+=d a d n a a n ..3131311211121+-+++-++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⨯-=⋅n n n n n n n n n n n n a a a d a a a d a a d a a a a 则 (14)).1(),(11)1(1≠--=--=+q q q qa q q aq aq n n n n（不作要求， 看懂即可） (16)1tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+αααααn n n n . （不作要求，看懂即可） （由()[]αααn n -+=1tan tan 变形而得）[]n n n n n n n n tan )1tan()1cos(cos )1(sin )1cos(cos 1sin )15(-+=+-+=+对于三角函数的裂项，需要变角、变结构得来. (17)n n n n -+=++111. (18)n n nn lg )1lg(1lg -+=+. 关于其它形式的裂项，往往需要在学习中不断思考与探索，有些事变形的结果，有些可能是“妙手偶得之”的结果.如： (19)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=2)12(cos 2)12(cos 2sin 21sin θθθθn n n . （不作要求，看懂即可） (20) 2sin 2)1cos(cos 212sinαααα+-=⋅+n n n .（不作要求，看懂即可） (21)2sin 2sin )1sin(212cos ααααn n n -+=⋅+. （不作要求，看懂即可） 没有一定的素材，很难得出裂项法的规律，以上是一些常见的裂项结果，通过对这些通项裂项的思考，我们可以获得更重要的裂项的方法，而这些方法在学习中非常有用.二、以下举例说明：例1：计算下列和式： （1）.2)13(341∑=-+=nk n k k S （2）.)1(12122∑=++=n k n k k k S 解：（1）因为[])23)(13(3)13()23(4)23)(13(42)13(34+---+=+-=-+k k k k k k k k 所以，).231131(342)13(34+--=-+k k k k 所以，.232)231131(342)13(341+=+--=-+=∑=n n n k k S nk n （2）.)1(11)1()1()1(1222222222+-=+-+=++k k k k k k k k k 所以，.)1()2()1(11)1(1221222++=+-=++=∑=n n n n k k k S nk n 例2：已知数列{}n a 的通项公式为.,)2)(2(21*+∈++=N n b b a n n n n b 为常数且0>b ，求数列{}n a 的前n 项和n S .解：（1）因为.,2121)2)(2()2()2(111*+++∈+-+=+++-+=N n bb b b b b a n n n n n n n 所以，.,21211*+∈+-+=N n bb S n n 三、总结（揭示规律，不懂就问）1、对于用裂项法求数列的前n 项和的问题，从数列的通项如手进行裂项；2、数列通项是分式，分母是几个因子连乘的形式，裂项往往是将分子变成分母中一些因子之差的形式进行裂项；3、数列通项是几个因子连乘的形式，则往往通过给它再乘以结果为1的两个式子之差的形式来裂项；4、对于数列通项是三角函数的形式，往往通过变角、变结构、恒等变形得出裂项的方法.。