专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题
【满分：100分 时间：90分钟】
（一）选择题（12*5=60分）
1．【山东省潍坊市2020届高三上学期期末】已知动圆C 的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＋1＝0相切，则此动圆C 必过定点( ) A ．(1,0) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(0，－1)
【答案】A
【解析】抛物线的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，而动圆C 与直线x ＋1＝0相切，即圆心C 到准线的距离等于圆的半径r ，故圆C 过焦点F (1,0)。故选A 。
2．（2020·湖南高一期末）直线20mx y m --+=过定点A ，若直线l 过点A 且与220x y +-=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．240x y +-= B ．240x y ++= C ．230x y -+= D ．230x y --=
【答案】A
【解析】由20mx y m --+=得：()21y m x -=-，∴直线20mx y m --+=过定点()1,2A ， 又直线220x y +-=的斜率2k =-且与直线l 平行，∴直线l 斜率为2-∴直线l 的方程为：()221y x -=--，即：240x y +-=。
3．（2019·江苏省如东高级中学高一期中）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线
20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】
22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值
为1213OA +=+=，选C.
4．（2019·重庆高二期末）已知过原点的动直线l 与椭圆22
132
x y +=交于A ，B 两点，D 为椭圆C 的上顶
点，若直线AD ，BD 的斜率存在且分别为1k ，2k ，则12k k =（ ） A ．2
3-
B ．23
C ．32
D ．32
- 【答案】A
【解析】由题知(D ，可设()11,A x y ，11,B
x y
，则21122
111
2
y k k x -==， 又A 在椭圆上，故2211132
x y +=，即2
211223y x =-，所以1223k k =-.故答案为：23-.
5．（2020·湖北高三月考（文））已知直线l 与抛物线2
6y x =交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB 的斜
率分别为1k ，2k
，且12k k ⋅=l 恒过定点（ ） A
．(- B
．(-
C
．(-
D
．(
【答案】C
【解析】设直线l 为
x my n =+,联立26x my n
y x
=+⎧⎨=⎩,消去x 可得2660y my n --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,所以126y y n =-,
因为12k k ⋅=
即1212y y x x ⋅=
所以122212123636
666
y y y y y y n ===-⋅
所以n =-,
所以x my =-所以直线l
一定过点()
-,
6．（2019·河北衡水中学高三月考（理））已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
若(1)1y k x ≥+-恒成
立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．4,3
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．[
)3,+∞ D ．1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】D
【解析】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，即220240330
x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区
域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式
()11y k x ≥+-恒成立，即11y
k x +≤
+恒成立，结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值1
2 ，
所以实数k 的取值范围是1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
，故选D.
7．（2019·湖南长郡中学高二月考）已知抛物线2
:4C x y =的焦点为,F A 是抛物线C 上异于坐标原点的任
意一点，过点A 的直线l 交y 轴的正半轴于点B ，且,A B 同在一个以F 为圆心的圆上，另有直线'//l l ，且
'l 与抛物线C 相切于点D ，则直线AD 经过的定点的坐标是（ ）
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(1,0)
D ．(2,0)
【答案】A
【解析】()2
4,0,1x y F =∴，设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，,A B ∴都在以同一个以F 为圆心的圆上，
)2
22
2
000110144B B x x y x x ⎛⎫∴-=+->=+ ⎪
⎝⎭
，解得22002,0,24
4B x x y B ⎛⎫=+∴+ ⎪⎝⎭
， 22
00002442'02
D
AB
D x x x k y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==-==-，得4D D x x =-，从而得2044,D D x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，AD 的方程为()2
022
000004444x x x y x x x x --=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，化为200
414x y x x -=+，过()0,1点，故答案为()0,1.
8．（2019·重庆市育才中学高一期末）已知非零实数a 、b 和1成等差数列，直线10ax by ++=与椭圆C ：
22
110
x y m +=恒有公共点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．53
m ≥
B ．5
3
m >
且10m ≠
