极限的求法
1、利用极限的定义求极限
2、直接代入法求极限
3、利用函数的连续性求极限
4、利用单调有界原理求极限
5、利用极限的四则运算性质求极限 6. 利用无穷小的性质求极限 7、无穷小量分出法求极限 8、消去零因子法求极限 9、 利用拆项法技巧求极限 10、换元法求极限
11、利用夹逼准则求极限[3] 12、利用中值定理求极限 13、 利用罗必塔法则求极限 14、利用定积分求和式的极限 15、利用泰勒展开式求极限 16、分段函数的极限
1、利用极限的定义求极限
用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：()0
lim x x f x A →=的ε-δ 定义是指：∀ε＞0， ∃δ=δ(0x ，ε)＞0，0＜|x-0x |
＜δ⇒|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对0x 的邻域半径适当限制， 如然后适当放大｜f(x)-A ｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：
｜x+a ｜=|(x-0x )+(0x +a)|≤|x-0x |+|0x +a|＜｜0x +a ｜+δ1 域|x+a|=|(x-0x )+(0x +a)|≥|0x +a|-|x-0x |＞|0x +a|-δ1 从φ(x)＜δ2，求出δ2后，
取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-0x |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.
例：设lim n n x a →∞
=则有12 (i)
n
n x x x a n
→∞++=.
证明：因为lim n n x a →∞
=,对110()N N εε∀>∃=，,当1n N >时，-2
n x a ε
∣∣<于是当
1n N >时，1212......n n x x x x x x na a n n
+++∣+++-∣
∣-∣=
0ε<<1
其中112N A x a x a x =∣-∣+∣-∣+∣-α∣是一个定数,再由
2
A n ε
<，解得2A
n ε>
,故取12max ,A N N ε⎧⎫
⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
12...+=22n x x x n N n εεε+++>-α<当时，。
2、 直接代入法求极限
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例 1. 求. 分析由于,
所以采用直接代入法.
解 原式=
3、利用函数的连续性求极限
定理[2]：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义区间内的一点，则有)()(lim 00
x f x f x x =→。
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果()f x 是初等函数，0x 是其定义域内一点，则求极限0
lim ()x x f x →时，可把0x 代入()f x 中计算出函数值，即
lim ()x x f x →=0()f x 。
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若()u x φ=在0x 连续且00()u x φ=，
()y f u =在0u 处连续，则复合函数[()]y f x φ=在0x 处也连续，从而
lim o x xo
f x f x φφ→[()]=[()]或lim lim x xo
x xo
f x f x φφ→→[()]=()。
例：2
lim ln sin x x π
→
解：复合函数=2x π在处是连续的，即有2
lim ln sin =ln sin ln102x x ππ
→
==
4、利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限，先判断极限存在，进而求极限。
例：求lim ...n a a a →∞
+
解：令...n x a a a =+++，则1n n x a x +=+， a a a +>，即1n n x x +>，所以数列{}n x 单调递增，由单调有界定理知，lim ...n a a a →∞
+有限，并设为A ，
1lim lim n n
n n x a x +→∞
→∞
=+，即114,2
a
A a A +++=
A=，所以
114lim (2)
n a
a a a →∞
+++=
。
5、利用极限的四则运算性质求极限
定理[1]：若极限0
lim ()x x f x →和0
lim ()x x g x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当
0x x →时也存在且
①[]0
lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±
②[]0
lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→⋅=⋅
又若c ≠0，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有0
00
lim ()()lim ()lim ()
x x
x x x x f x f x g x g x →→→=. 利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，
一般情况所给的变量都不满足这个条件， 例如出现00，∞
∞
，∞-∞ 等情况，都
不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例：求3131
lim 11x x x
→---（）
解：由于当→x 1时，331x -与1
1x
-的极限都不存在，故不能利用“极限的和等
于和的极限”这一法则，先可进行化简
23322
313(1)(1)(2)(2)
=111-(1)(1)(1)
x x x x x x x x x x x x x -++-++-==---++++这样得到的新函数当1x →时，分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即
321131(2)lim =lim =111(1)
x x x x x x x →→+---++（）
