高中立体几何证明垂直的练习
立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法:
(1) 通过“平移”。
(2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。
(3) 利用勾股定理。
(4) 利用三角形全等或三角行相似。
(5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。
⑴通过“平移”，根据若a〃b,且b平面,则a平面
1.在四棱锥P-ABCD中，△ PBC为正三角形，
E为PD中点.求证：AE!平面PDC.
分析：取PC的中点F,易证AE//BF，易证
BF丄平面PDC
2 •如图，四棱锥 P — ABCD 的底面是正方形，PA 丄底面
ABCD ，/ PDA=45。，点E 为棱AB 的中点. 求证：平面PCE 丄平面PCD ;
分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证 AF 丄平面PDC 于是EG 丄平面PCD 则平面PCE 丄平面 PCD
AB 平面 PAD , AB//CD , PD AD , E 是 PB 的中点,
1
DF AB , PH 为 PAD 中AD 边上的高。 2 (1) 证明：PH 平面ABCD ;
(2) 若 PH 1, AD . 2，FC 1,求三棱锥
(3) 证明：EF 平面PAB .
分析：要证EF 平面PAB ，只要把FE 平移 到DG ，也即是取AP 的中点G,易证EF//GD, 易证DG 丄平面PAB
如图所示
在四棱锥
P ABCD 中
F 是CD 上的点，且
P
(第 2题图)
E
(2)利用等腰三角形底边上的中线的性质
5、在三棱锥P ABC中，AC BC 2 ,
(I)求证：PC AB;
(U)求二面角B AP C的大小；
ACB 90°, AP BP AB , PC AC .
6、如图,在三棱锥P ABC 中，/ PAB
证
明：
AB 丄PC
因为PAB是等边三角形，PAC PBC 所以Rt PBC Rt PAC,可得AC BC。如图，取AB中点D，连结PD , CD5
则PD AB, CD AB,
所以AB平面PDC ,
所以AB PC。
90 ,
是等边三角形，/ PAC=Z PBC=90 o
9、如图，四面体 ABCD 中，0、E 分别是BD 、BC 的中点,
CA CB
CD BD 2, AB AD .2.
(1)求证： AO 平面 BCD ;
(2)求异面直线 AB 与CD 所成角的大小；
(1)证明：连结0C
Q BO DO, AB AD, AO BD. Q BO DO,BC CD, CO
BD.
(3) 利用勾股定理
1
8、如图 1,在直角梯形 ABCD 中，AB//CD ，AB AD ，且 AB AD —CD 1 .
2
现以AD 为一边向形外作正方形 ADEF ，然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折，使平面
ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.
(1) 求证：AM //平面BEC ;
(2) 求证：BC 平面BDE ;
7、如图，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 求证：PA 平面ABCD ；
1 的正方形，PA CD,PA 1,PD ,2.
C
在AOC中，由已知可得AO 1,CO .3.
而AC2,
AO2CO2AC2,AOC 90o,即AO OC. Q BD I O C O, AO平面BCD
10、如图，四棱锥S ABCD中，AB BC , BC CD
，侧面
SAB
为等边三角形,
AB BC2,CD SD 1
(I)证明：SD平面SAB
(n)求AB与平面SBC所成角的大小.
解法一：
(I)取AB中点E,连结DE，则四边形BCDE为
矩形，DE=CB=2，连结SE，则SE AB,SE . 3.
又SD=1，故ED2 SE2 SD2，
所以DSE
为直角。
由AB DE, AB SE,DE I SE E 得AB平面SDE，所以AB SD。
SD与两条相交直线AB、SE都垂直。
所以SD 平面SAB。
(4) 利用三角形全等或三角行相似
11.正方体ABCD —A i B i C i D i中0为正方形ABCD的中心，
求证：D i O丄平面MAC.
分析：法一：取AB的中点E,连A i E,OE,易证△ AB A i A 于是AM±A i E,又I 0E丄平面ABBA". OELAM,
••• AML平面OEAD. AM L DO
法二：连OM,易证△ D i DO^OBM于是DO L OM
i2 .如图，正三棱柱ABC —A i B i C i的所有棱长都为 2 , D为CC i中点.求证：AB i丄平面A i BD ;
分析：取BC的中点E,连AE,B i E,易证△ DCB^A EBB i,从而BD L EBi
i3、•如图，已知正四棱柱ABCD —A i B i C i D i中，过点B作B i C的垂线交侧棱CC i于点E,交B i C于点F, 求证：A i C L平面BDE ; M为BB i的中点,
A B
