小专题(二)：方程思想在勾股定理中的应用

第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。

难点：勾股定理及其逆定理的应用。

二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

第十七章勾股定理17．1 勾股定理第1课时勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a2＋b2＝c2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？解：∵梯形的面积为12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋12c2，∴a2＋2ab＋b2＝ab＋ab＋c2.∴a2＋b2＝c2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是(C)A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2 D．c2－a2＝b24．(2019·平顶山期末)在△ABC中，∠B＝90°.若BC＝3，AC＝5，则AB等于(C) A．2 B．3 C．4 D.345．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm，则另一条直角边的长是(C)A．4 cm B．4 3 cmC．6 cm D．6 3 cm6．(2019·毕节)如图，点E在正方形ABCD的边AB上．若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为(B)A. 3 B．3 C. 5 D．57．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5 cm，BC＝13 cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是15__cm2．8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64．【变式】如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆S1，S2，S3.若S2＝32π，S3＝18π，则斜边上半圆的面积S1＝50π．知识点3 赵爽弦图9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(B),A) ,B) ,C) ,D)10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是1．易错点直角边不确定时漏解11．(2019·洛阳期中)已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是(C)A．3 B.41C．3或41 D．9或4102 中档题12．(本课时T8变式)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是(A)A．8 3 B．6 3C．18 D．1213．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6C．3 2 D.2114．(2019·河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O.若点O 是AC 的中点，则CD 的长为(A)A ．2 2B ．4C ．3 D.1015．(2018·荆州)为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图进行推算，其中∠C＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1>10.(填“>”“<”或“＝”)16．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为32或42．17．如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2.∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84., 03 综合题)18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A ＝60°，AC＝10，求CD的长度．解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°.∴AB＝2AC＝20，BC＝AB2－AC2＝10 3.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°.∴BM＝12BC＝12×103＝5 3.∴CM＝BC2－BM2＝15.在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°.∴MD＝BM＝5 3.∴CD＝CM－MD＝15－5 3.第2课时勾股定理的应用01 基础题知识点1 勾股定理在平面图形中的应用1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．2．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．3．(2019·郑州管城区月考)如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？解：由题意，得BO＝1.5×6＝9(海里)，AO＝1.5×8＝12(海里)，∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，AB＝BO2＋AO2＝15(海里)．答：甲、乙两渔船相距15海里．知识点2 两次勾股定理的应用4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C)A．0.7米 B．1.5米C．2.2米 D．2.4米5．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．知识点3 利用勾股定理求两点间的距离6．(2019·常州)平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是5．7．(教材P26练习T2变式)如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是2；A，C两点间的距离是5；A，B两点间的距离是5．8．(2019·大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)；(2)确定C港在A港的什么方向．解：(1)由题意，得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°.∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°.∴∠ABQ＝30°.∴∠ABC＝∠ABQ＋∠CBQ＝90°.∵AB＝BC＝10，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝102≈14.1.答：A，C两港之间的距离约为14.1 km.(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝60°－45°＝15°.∴C港在A港北偏东15°的方向上．02 中档题9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)A．4米 B．8米C．9米 D．7米10．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.11．【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．解：设AD＝x m，则由题意可得AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m.在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2.解得x＝3.答：秋千支柱AD的高为3 m.12．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P 处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝(1003－100)m.∴从A到B小车行驶的速度为(1003－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h. ∴此车超过80 km/h的限制速度．03 综合题13．【分类讨论思想】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P 从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4 cm.(2)由题意，知BP＝t cm，①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4；②当∠BAP 为直角时，如图2，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ，在Rt△ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2＝32＋(t －4)2.在Rt△BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2.解得t ＝254. ∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254. 第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数1．(教材P27练习T1变式)(2019·河南期末)如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为(D)A ．2.2B. 2C. 3D. 52．在数轴上作出表示10的点(保留作图痕迹，不写作法)．解：略．知识点2 网格中的无理数3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB 的长度为(C) A. 2 B. 3 C. 5 D ．34．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D ，则CD 的长为(A)A.255B.355C.455D.455．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：如图所示．知识点3 等腰三角形中的勾股定理6．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12 cm ，则AF ＝62cm.7．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(B)A ．(1，1)B ．(1，3)C ．(3，1)D ．(3，3)8．(教材P27练习T2变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的底边上的高与面积．解：过点A 作AD⊥BC 于点D ，∵AB＝AC ＝13 cm ，∴BD＝CD ＝12BC ＝12×10 ＝5(cm)．∴AD＝AB 2－BD 2＝132－52＝12(cm)，即等腰三角形底边上的高为12 cm.∴S △ABC ＝12BC·AD＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题9．(2019·驻马店汝南县期末)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边AB 于点D.若 AC ＝3，BC ＝4，则BD 的长是(A)A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC 的周长为(B)A ．16B ．12＋4 2C ．7＋7 2D ．5＋11 211．(教材P27练习T1变式)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．12．点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离为355．13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，∴CB＝CD ，∠CDE＝∠DCE＝60°.∴∠BDC＝∠DBC＝12∠DCE＝30°. ∴∠BDE＝90°.在Rt△BDE 中，DE ＝4，BE ＝8，∴BD＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.14．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．(1)在图1中，以格点为端点，画线段MN＝13；(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD，使它的面积为10.解：(1)如图．(2)如图．03 综合题15．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．OA22＝(1)2＋1＝2，S1＝1 2；OA23＝(2)2＋1＝3，S2＝2 2；OA24＝(3)2＋1＝4，S3＝3 2；…(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出S21＋S22＋S23＋…＋S210的值．解：(1)OA2n＝(n－1)2＋1＝n，S n ＝n 2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10， ∴OA 10＝10.(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 利用勾股定理解决最短路径问题——教材P39复习题T12的变式与应用【例】 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的直线AA′剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．解：如图，由题意可得：AA′＝12，A′B＝12×2π×3＝9.在Rt△AA′B中，根据勾股定理，得AB2＝A′A2＋A′B2＝122＋92＝225.∴AB＝15.∴需要爬行的最短路程是15 cm.几何体中最短路径基本模型如下：图例圆柱――→展开长方体阶梯问题基本思路将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解.1．(2018·禹州期中)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24 dm，3 dm，3 dm，点A 和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是30__dm．3．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 2 cm.小专题(三) 方程思想在勾股定理中的应用——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用【教材母题】 一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB ＝x 尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB ＋BC ＝10尺，∴BC＝(10－x)尺．∵AC 2＋AB 2＝BC 2，∴32＋x 2＝(10－x)2，解得x ＝41120. 答：折断处离地面41120尺．在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系1．求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC ＝x ，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2x.∵A B 2＝AC 2＋BC 2，∴(2x)2＝x 2＋32.∴x＝3或－3(负值舍去)． ∴AC＝3，AB ＝2 3.如图2，设AC ＝x ，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴BC＝AC ＝x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴x 2＋x 2＝(32)2.∴x＝3或－3(负值舍去)．∴AC＝BC ＝3.类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系2．如图，在Rt△ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C)A.53B.52C.83D ．53．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．4．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点A与C重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为25．类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，试在x轴上找一点P，使△OAP为等腰三角形，求出P点的坐标．解：过点A作AB⊥x轴，垂足为B.∵A(1，3)，∴OB＝1，AB＝3.∴OA＝12＋32＝10.当AO＝AP时，以A为圆心，AO长为半径画弧与x轴交于点O与点P1，∵AB⊥x轴，∴BP1＝BO＝1，即P1(2，0)；当OA＝OP时，以O为圆心，OA长为半径画弧与x轴交于点P2，P3，∵OA＝10，∴P2(10，0)，P3(－10，0)；当PA＝PO时，作OA的垂直平分线交x轴于点P4.设OP4＝x，则BP4＝x－1，AP4＝OP4＝x.在Rt△ABP4中，AP24＝AB2＋BP24，∴x2＝32＋(x－1)2.解得x＝5，即P4(5，0)．综上所述，使△OAP为等腰三角形的点P有：P1(2，0)，P2(10，0)，P3(－10，0)，P4(5，0)．17.2 勾股定理的逆定理01 基础题知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C)A．两直线平行，同旁内角互补B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C．对顶角相等D．如果a2＝b2，那么a＝b2．(2019·安徽)命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b 互为相反数，那么a＋b＝0．逆命题是真命题．(填“真命题”或“假命题”)知识点2 勾股定理的逆定理3．(2019·郑州期末)下面四组数，其中是勾股数组的是(A)A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5C．32，42，52 D．6，7，84．(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(D) A．a2－b2＝c2B．a＝54，b＝1，c＝34C．a＝2，b＝3，c＝7D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶55．(2019·益阳)已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形6．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5，12，13；7，24，25．7．已知：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a＝3，b＝22，c＝5；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝5，b＝26，c＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠A是直角．8．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC ＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.02 中档题9．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10 B．11 C．12 D．1310．下列定理中，没有逆定理的是(B)A ．等腰三角形的两个底角相等B ．对顶角相等C ．三边对应相等的两个三角形全等D ．直角三角形两个锐角的和等于90°11．【关注数学文化】(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米12．如图，方格中的点A ，B 称为格点(横线的交点)，以AB 为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C 的个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．613．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．14．(教材P34习题T6变式)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别BC ，CD 边上的一点，且BE ＝2EC ，FC ＝29DC ，连接AE ，AF ，EF ，求证：△AEF 是直角三角形．证明：设FC ＝2a ，则DC ＝9a ，DF ＝7a.∴AB＝BC ＝AD ＝CD ＝9a.∵BE＝2CE ，∴BE＝6a ，EC ＝3a.在Rt△ECF 中，EF 2＝EC 2＋FC 2＝(3a)2＋(2a)2＝13a 2.在Rt△ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝(9a)2＋(7a)2＝130a 2.在Rt△ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝(9a)2＋(6a)2＝117a 2.∵13a 2＋117a 2＝130a 2，∴EF 2＋AE 2＝AF 2.∴△AEF 是以∠AEF 为直角的直角三角形．15．(教材P34习题T5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD ＝3，DA ＝1，且∠B＝90°.求：(1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)； (3)将△ABC 沿AC 翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D 的面积．解：(1)∵AB＝BC ＝1，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2.又∵CD＝3，DA ＝1，∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC＝90°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝135°.(2)∵S △ABC ＝12AB·BC＝12，S△ADC＝12AD·AC＝22，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝1＋22.(3)过点D作DE⊥AB′，垂足为E，由(1)知∠DAC＝90°.根据折叠可知∠B′AC＝∠BAC＝45°，AB＝AB′＝1，S△AB′C＝S△ABC＝1 2 .∴∠DAE＝∠DAC－∠B′AC＝45°.∴AE＝DE.设DE＝AE＝x，在Rt△ADE中，AE2＋DE2＝AD2. ∴x2＋x2＝1.∴x＝2 2.∴S△ADB′＝12×1×22＝24.∴S四边形ACB′D＝S△AB′C＋S△ADB′＝12＋24＝2＋24.03 综合题16．(2019·呼和浩特改编)如图，在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对应的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c满足aa－b＋c＝12（a＋b＋c）c，求证：△ABC是直角三角形；(2)若a＝m－n，b＝2mn，c＝m＋n，(其中m，n都是正整数，且m>n)，求证：△ABC 是直角三角形．证明：(1)原式可变形为a a ＋c －b ＝a ＋b ＋c 2c， ∴(a＋c)2－b 2＝2ac ，即a 2＋2ac ＋c 2－b 2＝2ac.∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．(2)∵a 2＝(m －n)2，b 2＝(2mn)2＝4mn ，c 2＝(m ＋n)2，∴(m－n)2＋4mn ＝(m ＋n)2，即a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形．章末复习(二) 勾股定理01 分点突破知识点1 勾股定理(河南中招2019T9选，2018T9选，2017T18(2)解，2016T6选，2015T7选，2014T7选)1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A．6 B．6 2C．6 3 D．122．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64cm2.3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴在△ACD中，AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2 勾股定理的应用4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m5．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽0.9 m，长1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．6．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3 逆命题及逆定理7．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4 勾股定理的逆定理及其应用8．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(C)A．∠C是直角 B．∠B是直角C．∠A是直角 D．∠A是锐角02 易错题集训10．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是100或28．11．(2018·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．03 河南常考题型演练12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋113．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8 cm B．6 cmC．5.5 cm D．1 cm14．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD15．(2019·信阳罗山县模拟)如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC ＝10，BC＝12，则BM的最小值为(B)A．8 B．9.6 C．10 D．4 516．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．17．(2019·枣庄)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝6－2．18．(2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C 的距离相等，则C，D间的距离为13km.19．如图，有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC.∵∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形．∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2.解得AC＝10.又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°.∴S四边形ABCD＝S Rt△ACB－S Rt△ACD＝12×10×24－12×6×8＝96(m2)．故这块空白地的面积为96 m2.04 核心素养专练20．(2019·邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．周测(第十七章)(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(C) A．8，15，17 B.2，3， 5C.3，2， 5 D．1，2， 52．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是(B)A．该命题为假命题B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3．点A(－3，－4)到原点的距离为(C)A ．3B ．4C ．5D ．74．如图，数轴上点A 表示的数是0，点B 表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B ，且BC ＝1，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，与数轴交于点D ，则点D 表示的数为(B)A ．1.4 B. 2 C. 3D ．25．将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到的三角形是(C)A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形6．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3.若AC ＝4，则AB 的长为(D)A ．8B ．6C.433D.8337．下面各三角形中，面积为无理数的是(C)8．如图，将边长为12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为7，则MN 的长为(B)A ．10B ．13C ．15D ．无法求出9．已知直角三角形两条直角边的长之和为6，斜边长为2，则这个三角形的面积是(B) A ．0.25 B ．0.5C ．1D ．2 310．已知一个直角三角形的斜边长为3，若以三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，则所作的三个等腰直角三角形的面积和为(A)A.92B.94C ．3D ．9二、填空题(每小题4分，共20分)11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为11．12．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为(－1，0)．13．如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC 边AC 上的高BD 的长为85．14．如图，在△ABC 中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒1 cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2 cm 的速度移动．若同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为18cm 2.15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.分别以AB，AC，BC为边在AB 的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4等于18．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．(1)求△ABC的面积；(2)求AB，AC的长．解：(1)S△ABC＝12×7×5＝17.5.(2)由勾股定理，得AB＝32＋52＝34，AC＝42＋52＝41.17．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，由勾股定理，得AB＝BC2＋AC2＝10，∵S△ABC＝12AB·CD＝12AC·BC，∴CD＝AC·BC AB ＝8×610＝4.8.18．(10分)如图，∠AOB＝90°，OA ＝45 cm ，OB ＝15 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，所以BC ＝CA. 设AC ＝BC ＝x ，则OC ＝45－x ，由勾股定理可知OB 2＋OC 2＝BC 2.又因为OB ＝15，所以152＋(45－x)2＝x 2.解得x ＝25.答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是25 cm.19．(10分)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法为：第一步：S 6＝n ；第二步：n ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘k ，得三边长．当面积S 等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长． 解：当S ＝150时，k ＝n ＝S 6＝1506＝25＝5， ∴三边长分别为3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25.∴这个直角三角形的三边长为15，20，25.20．(12分)在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H(点H 与点D 不重合)，通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于点E ，延长EG 交CD 于点F.如图1，当点H 与点C 重合时，易证得FG ＝FD(不要求证明)；如图2，当点H 为边CD 上任意一点时，求证：FG ＝FD.【应用】 在图2中，已知AB ＝5，BE ＝3，则FD ＝54，△EFC 的面积为154．(直接写结果)证明：连接AF ，由折叠的性质可得，AB ＝AG ＝AD.在Rt△AGF 和Rt△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AD ，AF ＝AF ，∴Rt△AGF≌Rt△ADF(HL)．∴FG＝FD.。

60 120140 60BACC A BDE 1015《勾股定理》专项训练练习基础篇1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，7 2、在△ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，•则这个三角形三边长分别是（ ）A ．5，4，3 B ．13，12，5 C ．10，8，6 D ．26，24，10 3、若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）． A. 3cm2B. 32cm2C. 33cm 2D. 4cm 24. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.6．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定7、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定8、ΔABC 中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ）A.1B.3C.6D.非以上答案9、在△ABC 中，AB=12cm ， BC=16cm ， AC=20cm ， 则△ABC 的面积是( )A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 210、已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（ ）11、在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．12、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.13、如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ．14、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是_____15、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．16、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？17、小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？18、如图，铁路上A 、B 两点相距25km , C 、D 为两村庄，若DA =10km ,CB =15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.（1）求E 应建在距A 多远处？ （2）DE 和EC 垂直吗？试说明理由19、如图,在△ABC 中，∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ，垂足为A,CD=2cm,求AB 的长.第12题图 第13题图 第15题图A B D专题篇一、勾股定理与梯子问题1、如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．2、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系例2如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是________．（要求写出过程）二、勾股定理中的数学思想1、面积法．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长．2、构造法．如图，已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，AC＝22．求△ABC的面积．3、转化思想．如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．4、分类讨论思想．已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．5、方程思想．如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．6、逆向思维的方法如图1，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，那么DC＝_____．图3DABC图4DCBAABC三、勾股定理在影响范围问题中的运用1、如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所中学，AP =160m 。

7．勤学早第17章《勾股定理》核心专题一点通B ——核心思想方法核心思想方法1：转化的思想（1）斜三角形→转化直角三角形→勾股定理1．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠ABC ＝75°，求△ABC 的面积．AB C解：过B 作BD ⊥AC 于D 点，∠A ＝30°，∴BD ＝2，∴△ABC 的面积是4．2．如图，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北我偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向，已知该岛周围4海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理1.732≈）解：过C 作CD ⊥AB 于D ，可求BC ＝AB ＝6，CD ＝4，∴该船继续向东航行，无触礁危险．（2）割补图形→转化直角三角形→勾股定理3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝6，CD ＝3，求AB 的长．ABD解：延长AB ，DC 交于E 点，∠E ＝30°，CE ＝2BC ＝12，BE＝DE ＝CE ＋CD ＝15，在Rt △ADE 中，∠E ＝30°，ADAE ＝2AD ＝，AB ＝AE －BE ＝．4．在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB =BC＝4，CD =ABCD 的面积．ADB C解：分别过A，D作BC的垂线，垂足为M，N，则围成直角梯形AMND，可求四边形ABCD的面积是6643+．（3）将立体图形→转化平面图形→勾股定理5．如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．QP A解：如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴P A＝4＋2＋4＋2＝12（cm），QA ＝5cm ．∴PQ＝13cm．∴蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶爬行到点B的最短路程．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2＋3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设妈蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得()222220[233]25x=++⨯=，解得x＝25．7．有一个如图所示的长立体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G生吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？A'QGFEDCBA解：（1）如图，AQ＋QG为最短路程；（2）∵AE＝40cm，A'A＝120，A'E＝80cm，又EG＝60cm，∴AQ ＋QG ＝'A Q ＋QG ＝A 'G ＝100cm ．∴最短路线长为100cm核心思想方法2：方程的思想（1）一般问题8．如图，等腰△ABC 的周长是16，底边上的高AD ＝4，求这个三角形各边的长．DBC解：设BD ＝x ，则AB ＝8－x ，由勾股定理，可以得到222AB BD AD =+，也就是()22284x x -=+，∴x ＝3，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．9．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH 的边长为2米，∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝6米，已知222CD AE BC =+，求AE 的长．A解：AE ＝143（2）直角三角形＋斜边上的高（知二求四） 10．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，BC ＝8，求CD 和AD 的长．DBA解：CD ＝4.8，AD ＝3.611．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DB －AD ＝4，AC ＝4，求BC 和AB 的长．DBA解：BC ＝AB ＝8．（3）直角三角形＋角平分线12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，AB ＝10，BC ＝8，求CD 的长．（提示：面积法求垂线段）CBAD解：过D 分别作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，利用面积法，可求DM ＝DN ＝247，CD =13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB 交CB 于D ，CD ＝3，BD ＝5，求AC 和AD 的长．CBA解：过D 作DM ⊥AB 于M ，AC ＝AM ＝a ，CD ＝MD ＝3，则BM ＝4，在Rt △ABC 中，()22284a a +=+，a ＝6，AC ＝6，AD ＝（4）直角三角形＋中线14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，AD ＝13，AB =AC 和BC 的长．CBA解：AC ＝12，CD ＝5，BC ＝2CD ＝1015．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD ，BE是中线，BE =AD ＝5，求AB 的长．C BA解：AB ＝核心思想方法3：分类讨论的思想（1）三角形的形状不明时需分类讨论16．（2017东营）在△ABC 中，AB ＝10，AC =BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 的长是（ C ） A ．10 B ．8 C ．6或10 D ．8或1017．在△ABC中，AB =AC ＝4，BC ＝2，以AB 为边向△ABC 处作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长．解：AC ＝4，BC ＝2，AB＝222AC BC AB +=，∴△ACB 为直角三角形，即∠ACB ＝90°，分三种情况：（1）如图1，过点D 作DE ⊥CB ，垂足为点E ，易证△ACB ≌△BED ，易求CD ＝（2）如2，过点D 作DE ⊥CA ，垂足为点E ，易证△ACB ≌△DEA ，易求CD＝（3）如图3，过点D 作DE ⊥CB ，垂足为点E ，过点A 作AF ⊥DE 垂足为点F ，易证△AFD ≌△DEB ，易求CD ＝图1DEB CA图2AEDB C 图3DF BECA（3）等腰三角形的顶点和腰不明时需要分类讨论 18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，1） （1）求OA 的长；（2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点坐标．xx解：（1）0A ； （2）1P （54，0）或2P （4，0）或3P ，0）. 核心思想方法4：建模的思想（1）数学模型1：半倍角→全等→勾股定理19．如图，四边形ADCF 中，∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝6，AE =EAF ＝45° （1）求EF 的长；（2）直接写出点F 到直线AE 的距离是 ．AE解：将四边形ADCF 补成正方形ABCD ，由半角与倍角模型结论可知EF ＝DE ＋BF ，设EF ＝x ，则BF ＝x －3，FC ＝9－x ，在Rt △ECF 中，()22293x x =-=，解得x ＝5，EF ＝5；（2）可知△AEF 的面积是15，∴点F 到直线AE 的距离＝215⨯÷20．（2017武汉改）（1）如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 是BC 上任意两点，且∠MAN ＝45，求证：BM 2＋CN 2＝MN 2．（2）如图2，已知△AMC 中，N 为MC 上一点，∠MAN ＝∠C ＝45°，AC =，MC ＝9，求AN 的长．CNCN图1 图2解：（1）略；（1）过A 作AB ⊥AC 交CM 的延长线于B 点，则BC，AC ＝12，BM ＝3，∴设NC ＝x ，则MN ＝9－x ，由（1）可知222BM CN MN +=，∴()22239x x +=-，解得x ＝4，过A 作AT ⊥MC 于T ，则AT ＝TC ＝6，在Rt △ANT 中，运用勾股定理得：AN＝（2）模型2：共顶点的等边三角形→全等→勾股定理21．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，BD ＝5，CE ＝8，求DE 的长．CE DF BAE'CED F BA解：∵AB ＝AC ，可把△AEC 绕点A 顺时针旋转120°得到△A 'E B ，BE '＝EC ＝8，'AE AE =，∠E 'AB ＝∠EAC ，∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠EAC ＝60°，∠E 'AD ＝∠E 'AB ＋∠BAD ＝60°， ∴△E 'AD ≌△EAD （SAS ），∴E 'D ＝ED ，过E '作EF ⊥BD 于点F ，∵A B ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝∠E 'BA ＝30°，∴∠E 'BF ＝60°，∴∠BE 'F ＝30°，∴1'42BF BE ==，'E F =BD ＝5，∴FD ＝BD －BF ＝1，在Rt △E 'FD 中，由勾股定理可得E 'D7，∴DE ＝7．22．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，以AC 为边向外作等边△ACD ，求BD 的长．F解：以AB 为边向外作等边三角形△ABE ，连接EC ，易证△ABD ≌△AEC ，得BD ＝EC ，过E 作EF ⊥BC 交CB 延长线于F ，易得32BF =，EF =，132CF =，在Rt △EFC 中，由勾股定理得EC ＝7，∴BD ＝7．（3）模型3：共顶点的等腰（直角）三角形→全等→勾股定理23．（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 和CE 的大小关系，并说明理由；（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．DABDAB图1 图2 图3解：（1）BD ＝CE ，理由：证△EAC ≌△BAD ，BD ＝CE ；（2）过A 向外作AE ⊥AB 、连接EB，则△ABE 为等腰直角三角形，BE＝AB ＝ABE ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠EBC ＝90°，∴BD ＝EC ＝（3）过A 向外作AE ⊥AB 交BC的延长线于E ，BE＝ BD ＝EC＝BE－BC ＝3．E。

勾股定理中的方程思想在直角三角形中，如果已知两边的长，利用勾股定理就可以求出第三边的长；如果已知一条边长及另外两边的数量关系，可以考虑利用方程思想解决。

一、选择题1、一直角三角形的斜边长比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）．A. 8B. 10C. 12D. 14答案：B解答：设斜边为x ，则x 2=（x -2）2+62，得到x =10．所以答案为B.2、已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（ ）．A. 12B. 1C.D. 2答案：A解答：设两直角边分别为：a ，b ，斜边为c ，∵直角三角形的斜边为2，周长为，∴a +b ，∵（a +b ）2=a 2+b 2+2ab =c 2+2ab =4+2ab =6，∴ab =1，∵三角形有面积=12ab =12． 二、填空题3、在Rt △ABC 中，∠C =90°，c =20，a :b =3:4，则a =______，b =______．答案：12；16解答：设a =3x ，b =4x ，则c =5x ，又∵c =20，即5x =20，∴x =4，∴a =3x =12，b =4x =16．4、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，若a+c=32，a:c=3:5，则△ABC的面积为______．答案：96解答：设a=3x，c=5x，则由勾股定理知b=4x．又a+c=8x=32，∴x=4．∴a=12，b=16．∴S△ABC =12ab=96．5、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=4，斜边AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、O，连接CE，则BE的长为______．答案：3解答：∵OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE，∴AB=BE+AE=BE+CE，设CE=x，则BE=8-x，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2即x2=42+（8-x）2，解得x=5．BE=8-5=3．6、如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是______．答案：3解答：如图，连接CE，设DE=x，则AE=8-x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8-x，在Rt△CDE中，x2+42=（8-x）2解得x=3，∴DE的长是3．故答案为：3．7、如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DA⊥AB，AD=1，BD，则BC的长为______．答案：17 8解答：在Rt△ABD中，由勾股定理可知，AD=1，BD，AB=4．设BC=CD=x，AC=4-x，由勾股可知12+（4-x）2=x2，解得x=178．三、解答题8、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BC=5，CD=BD，求AD的长度．答案：7 8解答：在RtΔABC中，AB2+AC2=BC2∴AC=3设AD=x，则BD=AB-AD=4-x∴CD=BD=4-x在RtΔACD中，AD2+AC2=CD2∴32+x2=（4-x）2，解得x=7 8∴AD=7 89、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．答案：BD．解答：设BD=x，则AD=2x．在Rt△ACD中，AC2-AD2=CD2．∴AC2-AD2=BC2-BD2．62-（2x）2=42-x2．∴x=3．∴BD．10、如图，在△ABC中，∠A=45°，AC AB，求BC的长．答案：BC=2．解答：作CD⊥AB于点D，∵∠A=45°，AC，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=x，由勾股定理得2x2=2．x=1，∵AB，∴BD在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2，∴BC．11、△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．（1）若a:b=3:4，c=25，求a，b．（2）若c-a=4，b=12，求a，c．答案：（1）a=15，b=20（2）a=16，c=20．解答：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a:b=3:4，∴设a=3x，则b=4x．∵a2+b2=c2，即（3x）2+（4x）2=252，解得x=5，∴a=3x=15，b=4x=20（2）∵△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c∴a2+b2=c2，∵c-a=4，b=12，∴a2+144=（a+4）2，解得：a=16，∴c=20．12、如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形．（2）求△ABC的面积．答案：（1）证明见解答．（2）52．解答：（1）在△BCD中，CD=1，BC BD=2，∵12+22=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BCD是直角三角形．（2）设AD=x，则AC=x+1，∵AB=AC，∴AB=x+1，∵∠BDC=90°，∴∠ADB=90°，∴AB2=AD2+BD2，即（x+1）2=x2+22，解得：x=32，∴AC=32+1=52，∴S△ABC=12 AC·BD=12×52×2=52．13、根据条件求三角形面积．（1）已知钝角三角形的三边长分别为2、3、4，求该三角形的面积．（2）已知锐角三角形的三边长分别为5、7、8，求该三角形的面积．答案：（1）4．（2）解答：（1）过点B 作AC 边上的高BD ，令AD =x ，∴BD 2+DA 2=AB 2，BD 2+DC 2=BC 2，∴AB 2-DA 2=BC 2-DC 2，即9-x 2=16-（x +2）2，解得x =34． ∴BD 2=AB 2-DA 2，∴BD ，∴S △ABC =·2AC BD =4． （2）过点A 作BC 边上的高AD ，设BD =x ，∴BD 2+AD 2=AB 2，CD 2+AD 2=AC 2，∴AB 2-BD 2=AC 2-CD 2，即25-x 2=49-（8-x ）2，解得x =52，即BD =52，∴AD 2=AB 2-BD 2=25-254=754，∴AD∴S △ABC =·2AD BC ． 14、如图，已知等腰三角形ABC 中，底边BC =10，D 为AB 上一点，且CD =8，BD =6，求△ABC 的周长．答案：803． 解答：由BC =10，CD =8，BD =6，所以BC 2=CD 2+BD 2，即△BCD 为Rt △，所以CD ⊥AB ，又因为AB =AC ，设AB =AC =x ，在Rt △ACD 中AD =x -6，AC =x ，CD =8，所以AC 2=AD 2+DC 2即x 2=82+（x -6）2，解得x =253， △ABC 周长=2AB +BC =503+10=803． 15、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =10，D 为AB 上一点，CD =8，BD =6．（1）求证：∠CDB =90°；（2）求AC 的长．答案：（1）证明见解答．（2）253．解答：（1）在△ABC中，BD2+CD2=62+82=100，BC2=102=100．∴BD2+CD2=BC2．∴△BCD是直角三角形∠CDB=90°．（2）设AD=x，则AC=AB=6+x，由（1）可知∠CDB=90°．∴∠CDA=90°．在Rt△CDA中，AD2+CD2=AC2．∴x2+82=（6+x）2．∴x=73．∴AC=6+x=253．16、如图，已知等腰△ABC的底边BC=20 cm，D是腰AB上一点，且CD=16 cm，BD=12 cm，求△ABC的周长．答案：1603cm．解答：由勾股定理逆定理得，△BCD是直角三角形．在△ACD中，应用勾股定理，设AC=x，x2-（x-12）2=162代入数值得，x=503．所以△ABC的周长=503×2+20=1603cm．17、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，CD=32，BD=52，求AC的长．答案：3．解答：过D 作DE ⊥AB ，∵AD 平分∠CAB ，∴CD =DE =32， ∵BD =52， ∴由勾股定理得BE =2，设AC =x ，则AB =x +2，在Rt △ABC 由勾股定理得：x 2+16=（x +2）2，解得x =3，∴AC =3．18、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，∠CAB 的平分线AD 与BC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ．（1）求BE 的长．（2）求CD 的长．答案：（1）4．（2）CD =3．解答：（1）∵AD 平分∠CAB ，∠C =90°，DE ⊥AB ，∴DC =DE ，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD AD DC DE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC =AE ．∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴在Rt△ABC中，AB，∴AE=6，BE=AB-AE=4．（2）设CD=x，则DE=x，BD=8-x，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴CD=3．19、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．答案：12．解答：设BD为x，则CD=14-x，∵AD为△ABC的高，∴在Rt△ABD中，AB2-BD2=AD2，在Rt△ACD中，AC2-CD2=AD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2．即152-x2=132-（14-x）2，解得：x=9．∴CD=14-x=14-9=5．∴在Rt△ABD中，AD=12．20、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D为AC边上的动点，点D 从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度．（1）若△CBD是直角三角形，求t的值．（2）若△CBD是等腰三角形，求t的值．答案：（1）t=4.5s或t=12.5s．（2）7.5s，9s或6.25s．解答：（1）当∠CDB=90°时，△CBD是直角三角形，CD=2t，AC，故AD=25-2t．∵BD⊥AC，∴BC2-CD2=BD2=AB2-AD2，即152-（2t）2=202-（25-2t）2，100t=450，t=4.5s．当∠CBD=90°时，△CBD是直角三角形，此时D与A重合，∴CD=25=2t，t=12.5s，综上所述，t=4.5s或t=12.5s．（2）当BC=CD时，即15=2t，解得t=7.5s，当BC=BD时，取CD中点E，连接BE．∵BC=BD，∴BE⊥AC，∴BE=12，∴CE=9，∴CD=2CE=18=2t，即t=9s．当CD=BD时，过B点作BF⊥AC于F点．∵CD=BD=2t，BF=12，CE=9，∴DF=2t-9，在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2，即122+（2t-9）2=（2t）2t=6.25s，综上所述，t的值为7.5s，9s或6.25s．。

类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

聚焦《勾股定理》中的数学思想一、方程思想所谓方程思想，就是通过观察，分析，判断，从已知量和未知量之间的位置关系或数量关系入手，找出等量关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程把问题解决.例1 如图，将矩形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在边BC上的F处，已知AB=8,AD=10.求CE得长。

点评通过勾股定理来建立方程是数学中常用的思想方法，设未知数把未知的量与已知的量集中到一个直角三角形中，再通过勾股定理建立方程，然后再解方程求出CE的长.二、数形结合思想所谓数形结合思想:就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过“以形助数”，和“以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.例2 如图:正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长是无理数的边数有( )条A.0B. 1C.2D. 3点评勾股定理由已知的“直角三角形”得出“a²+b²=c²”的结论，这是由“形”的条件而得出“数”的结果，蕴含着从形到数的转化.三、分类讨论思想所谓分类讨论思想，就是将问题划分为若干个既不重复也不遗漏的小问题，再一一加以解决的方法.当问题的条件不具体时，通过分类讨论可以确定准确的答案.例3 在△ABC中，AB=15,AC=13，边BC上的高AD=12.求△ABC 的面积.点评本题△ABC的形状不确定，可以通过分类讨论来解决问题.四、转化思想所谓转化思想，就是将要解决的问题转化为另一个较为容易解决的问题或已经解决的问题，具体的做法是将未知的“转化”为“已知”，将“陌生”的转化为“熟悉”，将“复杂”的转化为“简单”.例4 如图:要在直线L上修一水利站，分别向张庄A和李庄B送水，已知张庄A到河边L的距离AC= 2km，李庄B到河边L的距离BD=7km,CD=12km.如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，求铺设水管的最小费用.点评遇到实际问题或非直角三角形时，通常把实际问题或非直角三角形转化为直角三角形，然后利用勾股定理来解决问题.您给我转评赞，有一样就谢谢您了!。

第十七章 勾股定理17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C ) A ．a 2＋b 2＝c 2 B ．b 2＋c 2＝a 2 C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 2 4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝3，AC ＝5，则AB 等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D .34 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C ) A ．4 cm B ．4 3 cm C ．6 cm D ．6 3 cm 6．(2019·毕节)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B ) A .3 B ．3 C . 5 D ．57．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝5 cm ，BC ＝13 cm ，BD 是AC 边上的中线，则△BCD 的面积是15__cm 2．8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64．【变式】 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆S 1，S 2，S 3.若S 2＝32π，S 3＝18π，则斜边上半圆的面积S 1＝50π．知识点3赵爽弦图9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(B),A) ,B) ,C) ,D)10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是1．易错点直角边不确定时漏解11．(2019·洛阳期中)已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是(C)A．3 B.41C．3或41 D．9或4102中档题12．(本课时T8变式)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是(A)A．8 3 B．6 3C．18 D．1213．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6C．3 2 D.2114．(2019·河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(A)A．2 2 B．4C．3 D.1015．(2018·荆州)为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图进行推算，其中∠C ＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1>10.(填“>”“<”或“＝”)16．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为32或42． 17．如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84., 03 综合题) 18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，求CD 的长度．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°.∴AB ＝2AC ＝20，BC ＝AB 2－AC 2＝10 3. ∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.∴BM ＝12BC ＝12×103＝5 3.∴CM ＝BC 2－BM 2＝15. 在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°， ∴∠EDF ＝45°. ∴MD ＝BM ＝5 3.∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.第2课时勾股定理的应用01基础题知识点1勾股定理在平面图形中的应用1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．2．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．3．(2019·郑州管城区月考)如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？解：由题意，得BO＝1.5×6＝9(海里)，AO＝1.5×8＝12(海里)，∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，AB＝BO2＋AO2＝15(海里)．答：甲、乙两渔船相距15海里．知识点2两次勾股定理的应用4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米5．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC 上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．知识点3利用勾股定理求两点间的距离6．(2019·常州)平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是5．7．(教材P26练习T2变式)如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是2；A，C两点间的距离是5；A，B两点间的距离是5．8．(2019·大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)；(2)确定C港在A港的什么方向．解：(1)由题意，得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°.∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°.∴∠ABQ＝30°.∴∠ABC＝∠ABQ＋∠CBQ＝90°.∵AB＝BC＝10，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝102≈14.1.答：A，C两港之间的距离约为14.1 km.(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝60°－45°＝15°.∴C港在A港北偏东15°的方向上．02中档题9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)A．4米B．8米C．9米D．7米10．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.11．【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．解：设AD＝x m，则由题意可得AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m.在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2.解得x＝3.答：秋千支柱AD的高为3 m.12．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠P AO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝(1003－100)m.∴从A到B小车行驶的速度为(1003－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h.∴此车超过80 km/h的限制速度．03综合题13．【分类讨论思想】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4 cm.(2)由题意，知BP＝t cm，①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4；②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数 1．(教材P 27练习T 1变式)(2019·河南期末)如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为(D )A ．2.2B . 2C . 3D . 52．在数轴上作出表示10的点(保留作图痕迹，不写作法)． 解：略．知识点2 网格中的无理数3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB 的长度为(C ) A . 2 B . 3 C . 5 D ．34．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则CD 的长为(A ) A .255 B .355 C .455 D .455．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：如图所示．知识点3 等腰三角形中的勾股定理6．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12 cm ，则AF ＝62cm .7．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(B ) A ．(1，1) B ．(1，3) C ．(3，1) D ．(3，3)8．(教材P27练习T2变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的底边上的高与面积．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52 ＝12(cm)，即等腰三角形底边上的高为12 cm.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 9．(2019·驻马店汝南县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边AB 于点D.若 AC ＝3，BC ＝4，则BD 的长是(A )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC 的周长为(B )A ．16B ．12＋4 2C ．7＋7 2D ．5＋11 211．(教材P 27练习T 1变式)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．12．点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离为355．13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8， ∴BD ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.14．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图1中，以格点为端点，画线段MN ＝13；(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD ，使它的面积为10.解：(1)如图． (2)如图．03 综合题15．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n＝(n －1)2＋1＝n ，S n ＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10， ∴OA 10＝10.(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210 ＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 利用勾股定理解决最短路径问题 ——教材P39复习题T12的变式与应用【例】 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的直线AA ′剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．解：如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理，得 AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225. ∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路程是15 cm.图例圆柱――→展开长方 体阶梯 问题基本 思路将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解.1．(2018·禹州期中)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24 dm，3 dm，3 dm，点A和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是30__dm．3．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 2 cm.小专题(三)方程思想在勾股定理中的应用——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用【教材母题】一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB＝x尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，∴BC ＝(10－x )尺． ∵AC 2＋AB 2＝BC 2， ∴32＋x 2＝(10－x )2，解得x ＝41120.答：折断处离地面41120尺．在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数 量关系1．求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴AB ＝2x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴(2x)2＝x 2＋32.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝3，AB ＝2 3.如图2，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，∴BC ＝AC ＝x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴x 2＋x 2＝(32)2.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝BC ＝3.类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C )A .53B .52C .83D ．53．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．4．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为25．类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，试在x 轴上找一点P ，使△OAP 为等腰三角形，求出P 点的坐标．解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B. ∵A(1，3)，∴OB ＝1，AB ＝3. ∴OA ＝12＋32＝10.当AO ＝AP 时，以A 为圆心，AO 长为半径画弧与x 轴交于点O 与点P 1， ∵AB ⊥x 轴，∴BP 1＝BO ＝1，即P 1(2，0)；当OA ＝OP 时，以O 为圆心，OA 长为半径画弧与x 轴交于点P 2，P 3， ∵OA ＝10，∴P 2(10，0)，P 3(－10，0)；当PA ＝PO 时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4. 设OP 4＝x ，则BP 4＝x －1，AP 4＝OP 4＝x.在Rt △ABP 4中，AP 24＝AB 2＋BP 24， ∴x 2＝32＋(x －1)2.解得x ＝5，即P 4(5，0)．综上所述，使△OAP 为等腰三角形的点P 有：P 1(2，0)，P 2(10，0)，P 3(－10，0)，P 4(5，0)．17.2 勾股定理的逆定理01 基础题 知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C ) A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b 2．(2019·安徽)命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．逆命题是真命题．(填“真命题”或“假命题”)知识点2 勾股定理的逆定理 3．(2019·郑州期末)下面四组数，其中是勾股数组的是(A ) A ．3，4，5 B ．0.3，0.4，0.5 C ．32，42，52 D ．6，7，8 4．(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是(D ) A ．a 2－b 2＝c 2B ．a ＝54，b ＝1，c ＝34C ．a ＝2，b ＝3，c ＝7D ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 5．(2019·益阳)已知M ，N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5，12，13；7，24，25．7．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a＝3，b＝22，c＝5；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝5，b＝26，c＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠A是直角．8．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.02中档题9．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10 B．11 C．12 D．1310．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°11．【关注数学文化】(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米12．如图，方格中的点A，B称为格点(横线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为(B)A．3 B．4 C．5 D．613．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．14．(教材P34习题T6变式)如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝2 9DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．证明：设FC ＝2a ，则DC ＝9a ，DF ＝7a. ∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ＝9a. ∵BE ＝2CE ，∴BE ＝6a ，EC ＝3a.在Rt △ECF 中，EF 2＝EC 2＋FC 2＝(3a)2＋(2a)2＝13a 2. 在Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝(9a)2＋(7a)2＝130a 2. 在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝(9a)2＋(6a)2＝117a 2. ∵13a 2＋117a 2＝130a 2， ∴EF 2＋AE 2＝AF 2.∴△AEF 是以∠AEF 为直角的直角三角形．15．(教材P 34习题T 5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD ＝3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求： (1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)；(3)将△ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，如图所示，连接B′D ，求四边形ACB′D 的面积．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°.(2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB′＝1，S △AB′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22.∴S △ADB′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB′D ＝S △AB′C ＋S △ADB′＝12＋24＝2＋24.03 综合题16．(2019·呼和浩特改编)如图，在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对应的边分别为a ，b ，c.(1)若a ，b ，c 满足aa －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形；(2)若a ＝m －n ，b ＝2mn ，c ＝m ＋n ，(其中m ，n 都是正整数，且m>n)，求证：△ABC 是直角三角形．证明：(1)原式可变形为aa ＋c －b＝a ＋b ＋c 2c ，∴(a ＋c)2－b 2＝2ac ，即a 2＋2ac ＋c 2－b 2＝2ac. ∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．(2)∵a 2＝(m －n)2，b 2＝(2mn)2＝4mn ，c 2＝(m ＋n)2， ∴(m －n)2＋4mn ＝(m ＋n)2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形．章末复习(二)勾股定理01分点突破知识点1勾股定理(河南中招2019T9选，2018T9选，2017T18(2)解，2016T6选，2015T7选，2014T7选) 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A．6 B．6 2C．6 3 D．122．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64cm2.3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴在△ACD中，AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m5．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽0.9 m，长1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．6．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题及逆定理7．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用8．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(C)A．∠C是直角B．∠B是直角C．∠A是直角D．∠A是锐角02易错题集训10．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是100或28．11．(2018·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．03河南常考题型演练12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋113．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8 cm B．6 cmC．5.5 cm D．1 cm14．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD15．(2019·信阳罗山县模拟)如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为(B)A．8 B．9.6 C．10 D．4 516．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．17．(2019·枣庄)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝6－2．18．(2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13km.19．如图，有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC.∵∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形．∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2.解得AC＝10.又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°.∴S四边形ABCD＝S Rt△ACB－S Rt△ACD＝12×10×24－12×6×8＝96(m2)．故这块空白地的面积为96 m2.04核心素养专练20．(2019·邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a ＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．周测(第十七章)(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(C)A．8，15，17 B.2，3， 5C.3，2， 5 D．1，2， 52．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是(B)A．该命题为假命题B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3．点A(－3，－4)到原点的距离为(C)A．3 B．4 C．5 D．74．如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC 的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为(B)A ．1.4 B. 2 C. 3 D ．25．将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到的三角形是(C ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3.若AC ＝4，则AB 的长为(D ) A ．8 B ．6 C .433 D .8337．下面各三角形中，面积为无理数的是(C )8．如图，将边长为12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为7，则MN 的长为(B )A ．10B ．13C ．15D ．无法求出9．已知直角三角形两条直角边的长之和为6，斜边长为2，则这个三角形的面积是(B ) A ．0.25 B ．0.5 C ．1 D ．2 310．已知一个直角三角形的斜边长为3，若以三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，则所作的三个等腰直角三角形的面积和为(A )A .92B .94C ．3D ．9 二、填空题(每小题4分，共20分)11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为11．12．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为(－1，0)．13．如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC 边AC 上的高BD 的长为85．14．如图，在△ABC 中，AB ∶BC ∶CA ＝3∶4∶5，且周长为36 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒1 cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2 cm 的速度移动．若同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为18cm 2.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于18．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．(1)求△ABC 的面积；(2)求AB ，AC 的长． 解：(1)S △ABC ＝12×7×5 ＝17.5.(2)由勾股定理，得AB ＝32＋52＝34，AC ＝42＋52＝41.17．(10分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC ＝6，AC ＝8，求AB 与CD 的长．解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC·BC ， ∴CD ＝AC·BC AB ＝8×610＝4.8.18．(10分)如图，∠AOB ＝90°，OA ＝45 cm ，OB ＝15 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，所以BC ＝CA.设AC ＝BC ＝x ，则OC ＝45－x ，由勾股定理可知OB 2＋OC 2＝BC 2.又因为OB ＝15，所以152＋(45－x)2＝x 2.解得x ＝25.答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是25 cm .19．(10分)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法为：第一步：S 6＝n ；第二步：n ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘k ，得三边长．当面积S 等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．解：当S ＝150时，k ＝n ＝S 6＝1506＝25＝5， ∴三边长分别为3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25.∴这个直角三角形的三边长为15，20，25.20．(12分)在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H(点H 与点D 不重合)，通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于点E ，延长EG 交CD 于点F.如图1，当点H 与点C 重合时，易证得FG ＝FD(不要求证明)；如图2，当点H 为边CD 上任意一点时，求证：FG ＝FD.【应用】 在图2中，已知AB ＝5，BE ＝3，则FD ＝54，△EFC 的面积为154．(直接写结果)证明：连接AF ，由折叠的性质可得，AB ＝AG ＝AD.在Rt △AGF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △AGF ≌Rt △ADF(HL )．∴FG ＝FD.。

例析方程思想在勾股定理中的应用数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。

方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明：一、 直接利用勾股定理列方程：例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。

解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。

答：旗杆的高度为12米。

【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。

二、 两次利用勾股定理列方程：例2：在锐角∆A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。

解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14，在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝；2215x -在Rt ∆ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得:AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；221413x -- ∴2215x -＝()；221413x -- 解得9=x在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝，＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。

＝12DA答：DA 的长度的长度为12。

【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。

三、利用等积性建立方程：例3：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。

解析：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得：222BC AC AB +=，∵S ∆ABC CD AB BC AC ⨯⨯=⨯⨯2121＝ ∴CD AB BC AC ⨯=⨯∴CD 1068=⨯101003664682222==+=+=+=BC AC AB∴8.4CD答：CD的长度的长度为4.8。