[例1]王师傅驾车从甲地开往乙地交货如果他往返都以每小

小学六年级奥数题1．奥数练习题：最忌问题习题：环形跑道周长是500米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发.甲每分跑120米，乙每分跑100米，两人都是每跑200米停下休息1分.甲第一次追上乙需____分？答案与解析：甲比乙多跑500米，应比乙多休息2次，即2分.在甲多休息的2分内，乙又跑了200米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑500+200=700(米)，甲跑步的时间为700÷(120-100)=35(分).共跑了120×35=4200(米)，中间休息了4200÷200-1=20(次)，即20分.所以甲第一次追上乙需35+20=55(分)。

2.奥数练习题：航行的轮船习题：轮船从A城到B城需行3天，而从B城到A城需行4天.从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？答案与解析：轮船顺流用3天，逆流用4天，说明轮船在静水中行4-3=1(天)，等于水流3+4=7(天)，即船速是流速的7倍.所以轮船顺流行3天的路程等于水流3+3×7=24(天)的路程，即木筏从A城漂到B城需24天。

3.奥数练习题：列车过隧道习题：某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？答案与解析：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600=20(米/秒)某列车的速度为：(250-210)÷(25-23)=40÷2=20(米/秒)某列车的车长为：20×25-250=500-250=250(米)两列车的错车时间为：(250+150)÷(20+20)=400÷40=10(秒)4.奥数练习题：分数化小数习题：将分数3/7化成小数后，小数点后面第2011位上的数字是_____，从小数点后第1位到第2011位的所有数字之和是______。

第一讲:速算与巧算例1:计算325÷25在除法里,被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变,利用这一性质,可以使这道计算题简便325÷25=(325×4)÷(25×4)=1300÷100=13计算下面各题1; 450÷25 2. 525÷253,3500÷125例2:计算(1)(360+108)÷36 (2)(450-75)÷15【思维导航】两个数的和(或差)除以一个数,可以用这个数分别去除这两个数,再求出两个商的和(或差,利用这一性质,可以使这道题计算简便(1)(360+108)÷36 (2)(450-75)÷15练习:计算下面各题1.(720+96)÷242.(4500-90)÷453.6342÷214.8811÷89例3:计算158×61÷79×3【思维导航】在乘除法混合运算中,如果算式中没有括号,计算时可以根据运算定律和性质调换因数或除数的位置158×61÷79×3=158÷79×61×3=2×61×3=366计算下面各题1.238×36÷119×52.624×48÷312÷83.138×27÷69×504.406×312÷104÷203例4:计算下面各题,(1)123×96÷16(2)200÷(25÷4)思维导航】这两道题都是乘除混合运算式题,我们可以根据这两道题的特点,采用加括号或去括号的方法,使计算简便,其方法与加减混合运算添,去括号的方法类似,可以概括为:括号前是乘号,添,去括号不变号:括号前是除号,添、去括号要变号:计算下面各题,1.612×366÷1832,1000÷(125÷4)3.(13×8×5×6)÷(4×5×6)4.241×345÷678÷345×(678÷241)第二讲定义新运算例1:设a、b都表示数,规定:a△b表示a的3倍减去b的2倍,即:a△b=a×3-b×2试计算:(1)5△6:(2)6△5,【思维导航】解这类题的关键是抓住定义的本质,这道题规定的运算本质是:运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍练习:1,设a、b都表示数,规定:aOb=6×a-2×b。

1。

（第一届华杯赛初赛第8题)早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。

两辆车的速度都是每小时60千米。

8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍.到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍.那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的？2. (第一届华杯赛初赛第16题)有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站.每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。

有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。

他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。

在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站.这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。

问他从乙站到甲站用了多少分钟?3。

（第一届华杯赛决赛第12题）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4公里的地方追上了他,然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他时候,离家恰好是8公里。

问这时是几点几分？4. (第一届华杯赛总决赛一试第13题）如下图，甲、乙、丙是三个站,乙站到甲、丙两站的距离相等。

小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇,然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。

问甲、丙两站的距离是多少米？5。

（第一届华杯赛总决赛二试第4题）快、中、慢三辆车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米,那么，慢车每小时走多少千米？6。

（第二届华杯赛初赛第2题)一个充气的救生圈（如右图）．虚线所示的大圆，半径是33厘米．实线所示的小圆,半径是9厘米．有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行．问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？7. （第二届华杯赛决赛第11题）王师傅驾车从甲地开乙地交货.如果他往返都以每小时60公里的速度行驶,正好可以按时返回甲地。

学科培优数学“行程基础”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位行程问题是一类常见的重要应用题,在历次数学竞赛中经常出现。

行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。

行程问题思维灵活性大,辐射面广,但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间=⨯=÷=÷的关系,即：距离速度时间,时间距离速度,速度距离时间。

在这三个量中,已知两个量,即可求出第三个量。

掌握这三个数量关系式,是解决行程问题的关键。

在解答行程问题时,经常采取画图分析的方法,根据题意画出线段图,来帮助我们分析、理解题意,从而解决问题。

知识梳理一、行程基本量我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.我们已经接触过一些简单的行程应用题,行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量,它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程可简记为：s = vt（2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v（3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t显然,知道其中的两个量就可以求出第三个量.二、平均速度平均速度的基本关系式为：平均速度总路程总时间；总时间总路程平均速度；总路程平均速度总时间。

【重点难点解析】1.行程三要素之间的关系2．平均速度的概念3．注意观察运动过程中的不变量【竞赛考点挖掘】1.注意观察运动过程中的不变量例题精讲【试题来源】【题目】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走12千米上坡路,8千米下坡路。

他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,到达目的地停留1小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?【试题来源】【题目】甲、乙两地相距100千米。

下午3点,一辆马车从甲地出发前往乙地,每小时走10千米；晚上9点,一辆汽车从甲地出发驶向乙地,为了使汽车不比马车晚到达乙地,汽车每小时最少要行驶多少千米？.【试题来源】【题目】小明每天早晨6：50从家出发,7：20到校,老师要求他明天提早6分钟到校。

A1一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米?解：火车过桥所用的时间是2分5秒=125秒，所走的路程是(8×125)米，这段路程就是(200米+桥长)，所以，桥长为8×125-200=800(米)答：大桥的长度是800米。

2一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需解：火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

(1)火车3分钟行多少米? 900×3=2700(米)(2)这列火车长多少米? 2700-2400=300(米)列成综合算式 900×3-2400=300(米)答：这列火车长300米。

要3分钟。

这列火车长多少米?3甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。

甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是多少米?答案与解析：甲、乙相遇后4分钟乙、丙相遇，说明甲、乙相遇时乙、丙还差4分钟的路程，即还差4×(75+60)=540米;而这540米也是甲、乙相遇时间里甲、丙的路程差，所以甲、乙相遇=540÷(90-60)=18分钟，所以长街长=18×(90+75)=2970米。

4甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。

如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次?答案与解析：10分钟两人共跑了(3+2)×60×10=3000 米 3000÷100=30个全程。

我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1、3、5、7。

29共15次。

5王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车，发现每隔12分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔4分钟迎面开来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相同，那么调度员每隔几分钟发一辆车?答案与解析：汽车间隔距离是相等的，列出等式为：(汽车速度-自行车速度)×12=(汽车速度+自行车速度)×4得出：汽车速度=自行车速度的2倍. 汽车间隔发车的时间=汽车间隔距离÷汽车速度=(2倍自行车速度-自行车速度)×12÷2倍自行车速度=6(分钟)6 甲乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A、乙从B同时出发;第一次相遇点距B处60 米。

应用题板块-行程问题之变速行驶（小学奥数六年级）变速行驶是行程问题中的综合题，常常需要混合使用多个解题手法，复杂度也直线上升。

本文对常见的题型和解题思路进行梳理分析，答题也就游刃有余了。

【一、题型要领】变速问题常见的有两类一是单人从A到B，以初始速度行驶，在路途中间加速或减速，最终提前或推迟到达目的地。

二是甲乙两人在AB异地同时出发，甲的速度始终不变，乙在行驶一段距离后速度发生改变，最终影响两人到达目的地的时间答题方法主要有分段法，图示法，比例法，方程法。

1. 分段法【基本概念】在非匀速即分段变速的行程问题中，公式（路程 = 速度 * 时间）不能直接套用。

这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来。

2. 图示法【基本概念】在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具，示意图包括线段图和折线图。

图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点。

另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法。

3. 比例法【基本概念】行程问题中有很多比例关系，在只知道和差，比例时，用比例法可求得具体数值。

更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件（如路程，速度，时间等）往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例法解题4.方程法【基本概念】在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解。

【二、重点例题】例题1【题目】一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶40千米，返回时每小时行驶50千米，结果返回时比去时的时间少48分钟。

求甲乙两地之间的路程？【分析】汽车从甲地开往乙地又从乙地开往甲地，来回所走距离相同。

有去时速度 * 去时时间 = 返回速度 * 返回时间已知去时速度 = 40千米/小时，返回速度 = 50千米/小时，因此去时时间：返回时间 = 5：4又知返回时间 - 去时时间 = 48分钟，可得返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟），最后可求出甲乙两地的距离【解】去时时间：返回时间 = 返回速度：去时速度 = 5：4返回时间 = 48 ÷ （5 - 4）* 4 = 192（分钟）甲乙两地之间的路程 = 50 ÷ 60 * 192 = 160（千米）【答】甲乙两地之间的路程是160千米例题2【题目】甲乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度比为3：2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这样当甲到达B地时，乙离A地还有28千米。

王师傅驾车从甲地开⼄地交货．如果他往返都以每⼩时60公⾥的速度⾏驶，正好可以按时返回甲地．可是，当到达⼄地时、他发现他从甲地到⼄地的速度只有每⼩时55公⾥，如果他想按时返回甲地，他应以多⼤的速度往回开？
分析：甲地到⼄地的路程为单位“1”，那么按时的往返⼀次需时间260，现在从甲到⼄花费了时间1÷55=155，所以从⼄地返回到甲地时所需的时间只能是260-155，进⽽求出返回的速度．
解答：解：1÷（260-155）
=1÷166
=66（公⾥/⼩时），
答：他应以66公⾥/⼩时的速度往回开．
点评：解答时把路程看做单位“1”，此题主要考查路程、速度、时间三者之间的数量关系，再利⽤它们的数量关系解答。

练 习 三1．甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行，甲和乙的速度比是3:4，已知甲行了全程的31，离相遇地点还有20千米，相遇时甲比乙少行多少千米?2．某人上山每小时行3千米，下山每小时行5千米，某日，他从山脚走到山顶，再立即返回山脚，一共用了3．6小时，山路长多少千米?3．甲、乙两人以同样的速度，同时从A 、B 两地相向出发，相遇后甲的速度提高了31，用221小时到达B 地，乙的速度减少了61，再用多少小时可以到达A 地?4．甲、乙两车从A 、B 两城市对开，已知甲车的速度是乙车的65，甲车先从A 城开出55千米后，乙车才从B 城出发，两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，试求A 、B 两城市之间的距离．5．王师傅驾车从甲地开往乙地交货，如果他往返都以每小时60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地．可是当到达乙地时，他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55千米，如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开?6．有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车接送，第一班的学生坐车从学校出发的同时，第二班学生开始步行，车到途中某处，让第一班学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车，并直接开往少年宫．学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速每小时40千米，空车每小时50千米，问：要使两班学生同时到达少年宫，第一班学生步行了全程的几分之几?(学生上下车时间不计)7．熊猫电器厂有两辆汽车8点多钟先后出发，由甲地开往乙地，速度是每小时70千米，已知第一辆汽车在9点12分时行驶的路程是第二辆汽车的3倍，在9点19分时行驶的路程是第二辆汽车的2倍，那么第一辆是在几点几分出发的．8．图中正方形ABCD 是一条环形公路，已知汽车在 A B D C 时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是 P M60千米，在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 中点相遇；如果从PC 的中点M ，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB 上一点N 相遇，求点的距离至点的距离至B N N A ＝？ 9．如下页图，阴影部分表示学校校园，长方形ABCD 表示校园 外紧靠围墙的小路，AD=320米，AB=250米．(1)小明，小亮分别从 A 、C 两地同时出发，分别按顺时针、逆时针方向跑步寻找对方，速度 分别是每秒3．5米和2．5米，出发后多久他们才能相遇?(2)如果(1)中其他条件不变，但小亮也按顺时针方向跑，那么，出发后多久小明才能(第一次)看见小亮?10．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相同而行，6小时后相遇在C 点，如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距C 点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距c 点16千米，甲车原来每小时行多少千米?11．有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟，有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车才到达甲站．这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟?12．A 、B 两地相距105千米，甲、乙 ． ． ． ．分别从A 、B 骑车同时相向出发，甲的速 d G M ～ B度为每小时40千米，出发l 小时45分钟后，与乙在肘地相遇．又过3分钟后，与迎面骑车而来的丙在Ⅳ地相遇，而乙则在C 地被丙追上，如果甲以每小时20千米的车速，乙以每小时比原速度快2千米的车速同时分别从A 、B 出发，则甲、乙在c 地相遇，请求出丙的车速是多少?13．有甲、乙、丙3辆汽车，以一定的速度从A 地开往日地．乙比丙晚出发lO 分钟，出发后40分钟追上丙，甲比乙又晚出发20分钟，出发后l小时40分钟追上丙，那么甲出发后需用分钟才能追上乙．14．甲、乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行往乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车往甲地．80分钟后两人在途中相遇，张平到达甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟张平在途中追上李明，张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去，当李明到达乙地时，张平追上李明的次数是．15．一辆汽车按计划速度行驶了1小时，剩下的路程用计划速度的÷继续行驶，到达目的地的时间比计划的时间迟了2小时，如果按计划速度行驶的路程再增加60千米，那么到达目的地的时间比计划时间只迟1小时．问：计划速度是多少?全程是多少?。

第九讲 行程（一）在今天这节课中，我们来研究行程问题．这一讲就是通过例题加深对行程问题三个基本数量关系的理解，使学生养成画图解决问题的好习惯！知识点：1、关于速度、时间、路程三者之间的较复杂的行程问题2、关于平均速度的计算.分析：最后乌龟取得了胜利．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40÷10=4（分钟）就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要500÷100=5（分钟）才能到达，所以乌龟胜利了.乌龟跑到终点还要（40÷10）=4（分钟），而小兔跑到终点还要1000÷2÷100=5（分钟），慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，领先兔子的距离是：100×1=100（米）．我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在三年级的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t ）、速度（v ）和路程（s ）这三个基本量，它们之间的关系如下：（1）速度×时间=路程 可简记为：s = vt（2）路程÷速度=时间 可简记为：t = s ÷v（3）路程÷时间=速度 可简记为：v = s ÷t显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量.关于平均速度的计算，需要知道整个过程的总路程与总时间，平均速度=总路程÷总时间（一） 直接利用行程问题基本关系解决的行程问题： 专题精讲教学目标想 挑 战 吗 ？ 龟、兔进行1000米的赛跑.小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手.”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了.当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑.最后骄傲的兔子能赢吗？胜利者能领先多远呢？【例1】（★★奥数网题库）骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？分析：这道题没有出发时间，没有甲、乙两地的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设A，B两人同时从甲地出发到乙地，A每小时行10千米，下午1点到；B每小时行15千米，上午11点到.B到乙地时，A距乙地还有10×2=20（千米），这20千米是B从甲地到乙地这段时间B比A 多行的路程.因为B比A每小时多行15-10=5（千米），所以B从甲地到乙地所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A，B是上午7点出发的，甲、乙两地的距离是15×4=60（千米）.要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）.[数学趣题] 都铎的埃德温爵士的情人—美女伊莎贝拉被邻近的一个坏贵族劫持，埃德温爵士要去救她，爵士计算了一下，如果他以每小时十五英里的速度骑行，他将提前一小时过早的到达那座城堡，而如果他以每小时十英里的速度骑行，他将落后正好一个小时而过晚的到达那儿.现在，头等重要的事情是，他应该按指定的时间准时到达，以保证他所计划的营救行动获得成功，而约好的时间是五时，那个时候伊莎贝拉正好在用她的傍晚茶，这道趣题是要准确的求出都铎的埃德温爵士跑的路有多远.分析：这个路程一定是六十英里.如果埃德温爵士在中午动身，并以每小时15英里的速度骑行，他将在四时到达——早了一个小时.如果他以每小时10英里的速度骑行，他将在六时到达——晚了一个小时.但是如果他以每小时12英里的速度行进，他到达那坏贵族的城堡的时间正好是五时——这正是指定的时间.【例2】（★★★奥数网题库）邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路.他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?分析:（方法一）先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻.（1）邮递员到达对面山里需时间：12÷4+8÷5=4.6(小时);（2）邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)（3）邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的.（方法二）从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的.评注：这种题目实际上就是考察同学们的对最基本的公式的理解，没有什么难度，但是要思路清晰.[拓展]小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟.已知小红下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？分析：上山用了3时50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180÷1.5=120（分）.由120÷30=4知，下山途中休息了3次，所以下山共用120+5×3=135（分）=2时15分.【例3】 （★★★奥数网题库）（华杯赛试题）某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12小时，再换骑自行车行9小时，恰好到达乙地，如果他从甲地先骑自行车21小时，再换骑摩托车行8小时，也恰好到达乙地，问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？分析：第二种走法如果先骑摩托车8小时，再骑自行车21小时，也同样恰好到达乙地，作示意图如下：自行车21小时自行车9小时摩托车8小时摩托车12小时甲地乙地乙地甲地由题意和线段图可知，第一种走法与第二种走法比较，摩托车多行了12-8=4小时，这样自行车就少行了21-9=12小时，即摩托车4小时行的路程等于自行车12小时行的路程，摩托车1小时行的路程相当于自行车12÷4=3小时行的路程，将第一种走法和第二种走法中自行车的时间用摩托车来替换即可求解，所以列式为：（12-9）÷（12-8）=3（小时），12+9÷3=15（小时）或21÷3+8=15（小时）[前铺]某人从甲地到乙地骑自行车每小时行20千米,回来时骑摩托车每小时行45千米,骑摩托车比骑自行车的时间少5小时,求甲乙两地间的路程是多少千米?分析:根据骑摩托车比骑自行车花费的时间少5小时,以及骑自行车的速度可求出当骑摩托车到达终点时,骑自行车还差的路程(可看成路程差).已知骑自行车与骑摩托车的速度可求出速度差,再根据路程差与速度差求出骑摩托车行驶的时间.最后用摩托车的速度×行驶时间=甲、乙的路程.于是,甲乙两地的路程为：20×5÷（45-20）×45=180（千米）【例4】 某人要到 60千米外的农场去，开始他以 6千米／时的速度步行，后来有辆速度为18千米／时的拖拉机把他送到了农场，总共用了6时.问：他步行了多远？分析：求步行路程，而且步行速度已知，我们需要求步行时间.如果6小时全部乘拖拉机，可以行进：18×6=108（千米），其中，108-60=48（千米），这48千米的距离是在某段时间内这个人在行走而没有乘拖拉机因此少走的距离，这样我们就可以求出行走的时间为：48÷（18-6）=4（小时），即这个人走了4个小时，距离为：6×4=24（千米），即这个人步行了24千米.另外本题通过画矩形图将会更容易解决：其中矩形的长表示时间，宽表示速度，由路程=速度×时间可知，矩形的面积表示的是路程，通过题意可以知道阴影部分的面积等于60，大矩形的面积为18×6=108，所以小矩形的面积为：108-60=48，又因为小矩形的宽为18-6=12，所以小矩形的长为：48÷12=4，所以“？”处矩形的面积为4×6=24（千米），“？”表示的是步行的路程，即步行的路程为24千米.注意：在以两种速度行进的题目中，假设是以一种速度行进，通过行程差和速度差求时间是非常重要的常用方法.[拓展]某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍?分析：复杂的行程问题总要先分析清楚过程．我们不把本题看作是一道相遇问题，因为在路程和速度都不知道的情况下，解相遇问题需要初中代数的知识．直接求出相遇点C到两端A、B的长度关系，再通过时间的倍数关系，就可以解出本题．车下午2时从学校出发，如图，CPBA学校工厂在C点与劳模相遇，再返回B点，共用时40分钟，由此可知，在从B到C用了40÷2=20分钟，也就是2时20分在C点与劳模相遇．此时劳模走了1小时20分，也就是80分钟．另一方面，汽车走两个AB需要一小时，也就是从B点走到A点需要30分钟，而前面说走完BC需要20分钟，所以走完AC要10分钟，也就是说BC=2AC．走完AC，劳模用了80分钟；走完BC，汽车用了20分钟．劳模用时是汽车的4倍，而汽车行驶距离是劳模的2倍，所以汽车的速度是劳模速度的4×2=8倍．注意：解这道题，最重要的就是找出劳模和汽车间路程及所有时间的倍数关系．通过汽车的用时推出AC 与BC的倍数关系，再得出答案．如何避开运用分数和比例，方法有很多．对于这道题，如果认为学校与工厂间相距为3000米，则做出这道题就更容易了：汽车1分钟走3000÷30=100米．AB相距1000米，劳模走了80分钟，所以劳模的速度是每分钟走1000÷80=12.5米，汽车速度是劳模的100÷12.5=8倍．而实际上，3000米这个附加条件对结果并不起作用，只是使解题人的思路更加清晰．【例5】 （★★★奥数网题库）一天唐僧师徒走的很口渴，于是让八戒去找水，那时是上午8时8分，8分钟后，孙悟空发现八戒忘记拿钵盂了，于是驾筋斗云去追他，在离休息处4千米的地方追上他．然后悟空立刻回去，到后怕八戒偷懒又立刻回头去追猪八戒，再追上他的时候，离休息处恰好是8千米．问这时是几时几分?分析 ：对于复杂的行程问题，分析清楚过程是关键 B A O 8千米4千米孙悟空猪八戒如图，猪八戒与孙悟空第一次相遇在A ，此时两人都走了4千米，而孙悟空少用8分钟．之后两人又在B 相遇，此时猪八戒走了8千米，孙悟空走了16千米，孙悟空比猪八戒还是少用8分钟．对于两次相遇进行比较，可以求出孙悟空的速度，整个问题随即也就被解决了． 首先，在从O 到A 的过程中，猪八戒所用时间比孙悟空多用8分钟；其次，在从A 到B 的过程中，猪八戒走了4千米，而孙悟空走了4+8=12千米．所以得出结论：孙悟空的速度是猪八戒速度的12÷4=3倍．因为二人的速度是3倍的关系，所以在从O 到A 的4千米路程中，猪八戒用时是孙悟空的3倍．另一方面，猪八戒又比孙悟空多用时8分钟，所以根据差倍问题的公式，孙悟空行完4千米用时8÷(3-1)=4分钟，孙悟空速度为每分钟1千米．孙悟空速度是猪八戒的3倍，猪八戒速度为每3分钟1千米．猪八戒从0点到B 点用时8×3=24分钟，所以猪八戒与孙悟空在B 相遇的时间为8时32分．注意：在猪八戒的第2个4千米，也就是从A 到B 的过程中，孙悟空从A 到O 再到B ，一共12千米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．[智慧故事]一次军事演习中，炮兵连小王负责组织士兵为前方增援大炮，一辆辆炮车牵引着增援的大炮开往前方，炮车行进途中遇到一座桥，桥头的标志牌上写着：最大载重量35吨.然而，每辆炮车重12吨，大炮重25吨，明显超出了桥的载重量，这可怎么办？小王急中生智，设计了一个方案，使大炮安然过桥.你知道他的妙计是什么吗？答案：用一条比桥面长的钢索，系在炮车与大炮之间，这样二者就不会同时压在桥上，便可以顺利用炮车将大炮拖过桥去.（二）平均速度【例6】 （★★★奥数网题库）一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A 点开始爬行一周. 在三条边上它每分钟分别爬行11cm ，33cm ，22cm （如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？分析：假设每条边长为66厘米，则总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（分钟），爬行一周的平均速度=66×3÷11=18（厘米/分钟）.[前铺]摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.分析：要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的332211总时间.摩托车“往”行了90千米，“返”也行了90千米，所以摩托车的总路程是：90×2=180（千米），摩托车“往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90÷30=3（小时），摩托车“返”的速度是每小时45千米，所用时间是：90÷45=2（小时），往返共用时间是：3+2=5（小时），由此可求出往返的平均速度，列式为：90×2÷（90÷30+90÷45）=180÷5=36（千米/小时）[巩固]如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路.小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少？分析：从A到B的时间为：6÷6=1（小时），从B到C的时间为：4÷4=1（小时），从C到D的时间为：4÷2=2（小时），从A到D的总时间为：1+1+2=4（小时），总路程为：6+4+4=14（千米），那么从A到D 的平均速度为：14÷4=3.5（千米/时）【例7】（★★★奥数网题库）一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，前120千米的平均速度为40千米／时，要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米／时，剩下的路程应以什么速度行驶？分析：求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：300-120=180（千米），计划总时间为：300÷50=6（小时），前120千米已用去120÷40=3（小时），所以剩下路程的速度为: （300-120）÷（6-3）=60（千米/时）.[巩固]汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？分析：假设AB两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来时的速度为240÷（10-240÷40）=60（千米/时）.【例8】（★★★奥数网题库）从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚会讲故事，王先生开车去拜访这位老和尚，汽车上山以30千米／时的速度，到达山顶后以60千米／时的速度下山.求该车的平均速度.分析：注意平均速度=总路程÷总时间，我们可以把上山路程可以看作60千米，那么上下山所用的总时间为（60÷30）+（60÷60）=3（小时），总路程为60×2=120（千米），那么平均速度=120÷3=40（千米/时）.[前铺]胡老师骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米，而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿，问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少？DCBA分析：题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，只要上下桥路程相等，总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，不妨设为48千米，来回两段路，所以每段路程为：48÷2=24（千米），总时间是：24÷12+24÷24=3（小时），所以平均速度是：48÷3=16（千米/小时）注意：在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，这样做无非是设了“单位48”，也就是把所有路程扩大了48倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.[巩固]汽车以72千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米／时的速度返回甲地.求该车的平均速度.分析：可以假设甲乙两地的距离为144千米（[72，48]=144），那么往返所用的总时间为：（144÷72）+（144÷48）=5（小时），总路程为：144×2=288（千米），那么平均速度=288÷5=57.6（千米/时）【例9】（★★★奥数网题库）甲、乙两地相距6720米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟？分析：（方法1）由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟60米，则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷2=70米．这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米，平均每分钟70米．而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米．这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷70=96分钟．由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720÷2=3360米．则前一个3360米用了3360÷80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟．（方法2）设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：x=48分钟，因为80×48=3840（米），大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3360÷80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别．在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数．但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的．其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易．而前一半路程所需时间的计算是简单的．因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法．这种选择能力也是需要锻炼和培养的．【例10】（★★★★奥数网题库）张师傅开汽车从A到B为平地（见右图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时. 已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？分析：由题意已知下山路是上山路的2倍，且从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时，设上山路程为28×42千米，那么下山路程为2×28×42千米，上下山的平均速度为：（28×42+2×28×42）÷（28×42÷28+2×28×42÷42）=36（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷36＝2（时）. 也可以采用列方程的方法，设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷28+2x÷42）=36（千米/时），正好是平地的速度，所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关.因此共需要72÷36＝2（时）.[前铺]有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度.分析：上坡、平路及下坡的路程相等很重要，平均速度还是要由总路程除以总时间求得，假设上坡、平路及下坡的路程均为24米，那么总时间=24÷4+24÷6+24÷8=6+4+3=13（秒），过桥的平均速度=24×3÷13≈5.54（米/秒）.专题展望本讲介绍了一些复杂的行程问题，并且学习了关于平均速度的一些计算方法，下一讲行程中我们将重点介绍直线型以及环形上的相遇与追及问题.行程问题对于以后的学习非常重要，希望同学们再接再厉！练习九1.（例1）一列火车从甲城开往乙城，每小时行48千米，中午12时到达；每小时行80千米，上午10时到达，如果要上午11时到达，这列火车每小时应行多少千米？分析：以48千米/时的速度行驶需要：80×（12-10）÷（80-48）=5（小时），甲乙两地的距离是48×5=240（千米），要上午11时到达，所求速度是：240÷（5-1）=60（千米/小时）2.（例4）王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?分析：假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地,他应以300÷4=75（千米/时）的速度往回开．3.（例6）一列火车以4米/秒的速度缓缓通过一座长300米的大桥，共用115秒.问：这辆火车的长度是多少？分析：火车的长度等于火车115秒行的路程减去大桥的长度.由“路程=时间×速度”可求出火车115秒行的路程为4×115=460（米），所以火车长度为460-300=160（米）.4.（例6）飞机以720千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480千米／时的速度返回甲地.求该车的平均速度.分析：可以假设甲乙两地的距离为1440千米（[720，480]=1440），那么往返所用的总时间为：（1440÷720）+（1440÷480）=5（小时），总路程为：1440×2=2880（千米），那么平均速度为2880÷5=576（千米/时）5.（例10）有一座小山，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人过山时，上坡、走平路和下坡的速度分别为22米／分、33米／分和66米／分，求他过山的平均速度.分析：假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷22+66÷33+66÷66=3+2+1=6（分），过桥的平均速度=66×3÷6=33（米/分）.成长故事一个数学故事引发的数学家陈景润是一个家喻户晓的数学家，在攻克哥德巴赫猜想方面作出了重大贡献，创立了著名的“陈氏定理”，所以有许多人亲切地称他为“数学王子”.但有谁会想到，他的成就源于一个故事.1937年，勤奋的陈景润考上了福州英华书院，此时正值抗日战争时期，清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧，不想因战事被滞留家乡.几所大学得知消息，都想邀请沈教授前进去讲学，他谢绝了邀请.由于他是英华的校友，为了报达母校，他来到了这所中学为同学们讲授数学课.一天，沈元老师在数学课上给大家讲了一故事：“200年前有个法国人发现了一个有趣的现象：6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，28=5+23，100=11+89.每个大于4的偶数都可以表示为两个奇数之和.因为这个结论没有得到证明，所以还是一个猜想.大数学欧拉说过：虽然我不能证明它，但是我确信这个结论是正确的.它像一个美丽的光环，在我们不远的前方闪耀着眩目的光辉.……”陈景润瞪着眼睛，听得入神.从此，陈景润对这个奇妙问题产生了浓厚的兴趣.课余时间他最爱到图书馆，不仅读了中学辅导书，这些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读.因此获得了“书呆子”的雅号.兴趣是第一老师.正是这样的数学故事，引发了陈景润的兴趣，引发了他的勤奋，从而引发了一位伟大的数学家.。